1、章末检测一、选择题1对于向量 a、b、c 和实数 ，下列命题中真命题是 ( )A若 ab0，则 a0 或 b 0B若 a0，则 0 或 a0C若 a2b 2，则 ab 或 a bD若 abac，则 bc2直三棱柱 ABCA1B1C1 中，若 a， b， c，则 等于 ( )CA CB CC1 A1B Aabc BabcCabc Dabc3设 A、B 、C、D 是空间不共面的四点，且满足 0， 0， 0，则AB AC AC AD AB AD BCD 是 ( )A钝角三角形 B锐角三角形C直角三角形 D不确定4若平面 的法向量为 n，直线 l 的方向向量为 a，直线 l 与平面 的夹角为 ，则下列
2、关系式成立的是 ( )Acos Bcos na|n|a| |na|n|a|Csin Dsin na|n|a| |na|n|a|5已知 a(3,2,5)，b(1，x，1)且 ab2，则 x 的值是 ( )A3 B4 C5 D66已知 a(cos ，1，sin )，b(sin ，1，cos ) ，则向量 ab 与 ab 的夹角是( )A90 B60 C30 D07若三点 A(1，2,1) ，B(4,2,3)，C (6，1,4)，则ABC 的形状是 ( )A不等边的锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等边三角形8设 E，F 是正方体 AC1 的棱 AB 和 D1C1 的中点，在正方体的 12 条
3、面对角线中，与截面A1ECF 成 60角的对角线的数目是 ( )A0 B2 C4 D69已知 (1,2,3) ， (2,1,2)， (1,1,2)，点 Q 在直线 OP 上运动，则当 取得OA OB OP QA QB 最小值时，点 Q 的坐标为 ( )A. B. C. D.(12，34，13) (12，32，34) (43，43，83) (43，43，73)10若向量 a(2,3，)，b 的夹角为 60，则 等于 ( )( 1，1，63)A. B. C. D2312 612 23612 2361211已知平面 内的三点 A(0,0,1)、B(0,1,0)、C(1,0,0)，平面 的一个法向量为
4、n( 1 ，1， 1)，且 与 不重合，则 ( )A BC 与 相交但不垂直 D以上都不对12.如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1底面ABC，ABBCAA 1，ABC 90，点 E、F 分别是棱 AB、BB 1 的中点，则直线 EF 和 BC1 的夹角是 ( )A45 B60C90 D120二、填空题13已知 P 和不共线三点 A，B，C 四点共面且对于空间任一点 O，都有 2 OP OA OB ，则 _.OC 14已知 A(2,1,0)，点 B 在平面 xOz 内，若直线 AB 的方向向量是(3，1,2) ，则点 B 的坐标是_15平面 的法向量为 m(1,0，1)，平面
5、的法向量为 n(0，1,1) ，则平面 与平面 所成二面角的大小为 _16.如图所示，已知二面角 MlN 的平面角为 ，ABBC，BCCD，AB 在平面 N 内，BC 在 l 上，( (0，2)CD 在平面 M 内，若 ABBCCD1，则 AD 的长为_三、解答题17.如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，M、N 分别是 C1D1，AB 的中点，E 在AA1 上且 AE2EA 1，F 在 CC1 上且 CF FC1，试证明 MENF .1218.如图，四棱锥 SABCD 的底面是边长为 2a 的菱形，且SASC2a，SBSD a，点 E 是 SC 上的点，且 SEa (02)
6、2(1)求证：对任意的 (0,2，都有 BDAE ；(2)若 SC平面 BED，求直线 SA 与平面 BED 所成角的大小19.如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，P 是侧棱 CC1 上一点，CPm.试确定 m 使得直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角为 60.20如图，四棱锥 SABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍，P 为侧2棱 SD 上的点(1)求证：ACSD ；(2)若 SD平面 PAC，求二面角 PACD 的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱 SC 上是否存在一点 E，使得BE平面 PAC.若存在，求 SEEC 的值；若不存在，试说明理由
7、答案1B 2.D 3.B 4.D 5.C 6.A 7A 8.C 9.C 10.C 11.A 12.B132 14.(5,0,2) 15.60 或 12016. 3 2cos 17证明 由平行六面体的性质 12 13 ，12 13 12 13 ，12 13，又 M，E，M ，F 不共线， ME NF .18. (1)证明 连接 BD，AC，设 BD 与 AC 交于 O.由底面是菱形，得 BDAC.SBSD，O 为 BD 中点，BDSO.又 ACSOO，BD平面 SAC.又 AE平面 SAC，BD AE .(2)解 由(1)知 BDSO，同理可证 ACSO，SO平面 ABCD.取 AC 和 BD
8、的交点 O 为原点建立如图所示的坐标系，设 SOx，则 OA ，4a2 x2OB .2a2 x2OAOB ，AB2a，(4a 2x 2)(2a 2x 2)4a 2，解得 xa.OA a，则 A( a,0,0)，C( a,0,0)，S(0,0 ，a)3 3 3SC平面 EBD，是平面 EBD 的法向量( a,0，a)，( a,0，a) 3 3设 SA 与平面 BED 所成角为 ，则 sin ，| 3a2 a2|3 1a 3 1a 12即 SA 与平面 BED 所成的角为 .619.解 建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，B (1,1,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，D(
9、0,0,0)，B 1(1,1,1)，D1(0,0,1)则(1，1，0)，(0,0,1)，(1,1，m )，( 1,1,0)又由0， 0 知，为平面 BB1D1D 的一个法向量设 AP 与平面 BB1D1D 所成的角为 ，则 sin |cos ， |22 m2 2依题意得 sin 60 ，22 2m2 2 32解得 m .故当 m 时，直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角为 60.33 3320.(1)证明 连接 BD，设 AC 交 BD 于点 O，由题意知 SO平面 ABCD，以 O 点为坐标原点， 、 、分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 Oxyz 如图所示设底面
10、边长为 a，则高 SO a.62于是 S(0,0， a)，D ，62 ( 22a，0，0)C ，B ，(0，22a，0) ( 22a，0，0) ，(0，22a，0) ，0.故 OCSD ，因此 ACSD .( 22a，0， 62a)(2)解 由题意知，平面 PAC 的一个法向量 ，平面 DAC 的一个法向量(22a，0，62a)，(0，0，62a)设所求二面角为 ，则 cos ，故所求二面角 PACD 的大小为 30.32(3)解 在棱 SC 上存在一点 E 使 BE平面 PAC.由(2)知是平面 PAC 的一个法向量，且 ，(22a，0，62a) ，(0， 22a，62a) ，( 22a，22a，0)设t，则t .( 22a，22a1 t，62at)由0，得 t ，13即当 SEEC21 时，.而 BE 不在平面 PAC 内，故 BE平面 PAC.高考 试题库
