（新课标）2017春高中数学 第1章 解三角形（课件+习题）（打包13套）新人教B版必修5.zip

数 学必修 5 · 人教 B版新课标导学新课标导学第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理第 1课时 正弦定理1 课 前自主学 习2 课 堂典例 讲练3 课 时 作 业课 前自主学 习“无限 风 光在 险 峰 ”，在充 满 象征色彩的 诗 意里， 对险 峰的慨 叹跃 然 纸 上，成 为 千古之佳句． 对 于 难 以到达的 险 峰 应 如何 测 出其海拔高度呢？能通 过 在水平 飞 行的 飞 机上 测 量 飞 机下方的 险 峰海拔高度 吗 ？在本 节 中，我 们 将学 习 正弦定理，借助已学的三角形的 边 角关系解决 类 似于上述的 实际问题 ．1． 正弦定理在一个三角形中，各 _______的 长 和它所 对 角的 ________的 ________相等，即 ________＝ ________＝ ________.2． 正弦定理的 变 形公式边 正弦 比sinA︰ sinB︰ sinC 角几个元素 其他元素 A A D 2 课 堂典例 讲练命 题 方向 1 ⇨已知两角和任一 边 ，解三角形2 命 题 方向 2 ⇨已知两 边 和其中一 边 的 对 角，解三角形D 命 题 方向 3 ⇨三角形形状的判断D [点 评 ] 已知三角形中的 边 角关系式，判断三角形的形状，可考 虑 使用正弦定理，把关系式中的 边 化 为 角，再 进 行三角恒等 变换 求出三个角之 间 的关系式，然后 给 予判定．在正弦定理的推广中， a＝ 2RsinA、 b＝ 2RsinB、 c＝2RsinC是化 边为 角的主要工具．12017春高中数学 第 1章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 第 1课时 正弦定理 课时作业 新人教 B版必修 5基 础 巩 固一、选择题1．在△ ABC中， AB＝ ，∠ A＝45°，∠ C＝75°，则 BC等于 ( A )3 导 学 号 27542013A．3－ B． 3 2C．2 D．3＋ 3[解析] 由正弦定理，得 ＝ ，即 ＝ ，BCsinA ABsinC BCsin45° 3sin75°∴ BC＝ ＝ ＝3－ .3×sin45°sin75°3×226＋ 24 32．已知△ ABC的三个内角之比为 A︰ B︰ C＝3︰2︰1，那么对应的三边之比 a︰ b︰ c等于 ( D )导 学 号 27542014A．3︰2︰1 B． ︰2︰13C． ︰ ︰1 D．2︰ ︰13 2 3[解析] ∵Error!，∴ A＝90°， B＝60°， C＝30°.∴ a︰ b︰ c＝sin A︰sin B︰sin C＝1︰ ︰ ＝2︰ ︰1.32 12 33．在△ ABC中， a＝3， b＝5，sin A＝ ，则 sin B＝ ( B )13 导 学 号 27542015A． B．15 59C． D．153[解析] 由正弦定理，得 ＝ ，∴ ＝ ，asinA bsinB 313 5sinB即 sinB＝ ，选 B．594．在△ ABC中，三个内角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c，若 ＝ ，则角 Basin A bcos B的大小为 ( B )导 学 号 275420162A． B．π6 π4C． D．π3 π2[解析] 由 ＝ 及 ＝ ，可得 sin B＝cos B，又 0bsinC，又 c0，∴cos A＝0，即 A＝ ，∴△ ABC为直角三角形．π23．已知△ ABC中， a＝ x， b＝2，∠ B＝45°，若三角形有两解，则 x的取值范围是( C )导 学 号 275420255A． x2 B． x2C．2 x2 D．2 x22 3[解析] 由题设条件可知Error!，∴2 x2 .24．设 a、 b、 c分别是△ ABC中∠ A、∠ B、∠ C所对边的边长，则直线xsinA＋ ay＋ c＝0 与 bx－ ysinB＋sin C＝0 的位置关系是 ( C )导 学 号 27542026A．平行 B．重合C．垂直 D．相交但不垂直[解析] ∵ k1＝－ ， k2＝ ，∴ k1·k2＝－1，sinAa bsinB∴两直线垂直．二、填空题5．在△ ABC中，若 B＝2 A， a︰ b＝1︰ ，则 A＝30°.3 导 学 号 27542027[解析] 由正弦定理，得 a︰ b＝sin A︰sin B，又∵ B＝2 A，∴sin A︰sin2 A＝1︰ ，3∴cos A＝ ，∴ A＝30°.326．在△ ABC中，角 A、 B、 C所对的边分别为 a、 b、 c.若 a＝ ， b＝2，sin B＋cos 2B＝ ，则角 A的大小为 .2π6导 学 号 27542028[解析] ∵sin B＋cos B＝ sin(B＋ )＝ ；2π4 2∴sin( B＋ )＝1，π4又∵0 Bπ，∴ B＋ ，π4 π45π4∴ B＋ ＝ ，∴ B＝ .π4 π2 π4由正弦定理，得 ＝ ，asin A bsin B∴sin A＝ ＝ ＝ ＝ ，asin Bb 2sinπ42 2×222 12又∵ ab，∴ AB，∴ A＝ .π6三、解答题7．在△ ABC中， a＝3， b＝2 ，∠ B＝2∠ A．6 导 学 号 27542029(1)求 cos A的值；6(2)求 c的值．[解析] (1)因为 a＝3， b＝2 ，∠ B＝2∠ A，6所以在△ ABC中，由正弦定理，得 ＝ ，3sinA 26sin2A所以 ＝ ，故 cosA＝ .2sinAcosAsinA 263 63(2)由(1)知 cosA＝ ，所以 sinA＝ ＝ .63 1－ cos2A 33又因为∠ B＝2∠ A，所以 cosB＝2cos 2A－1＝ .13所以 sinB＝ ＝ ，1－ cos2B223在△ ABC中，sin C＝sin( A＋ B)＝sin AcosB＋cos AsinB＝ .539所以 c＝ ＝5.asinCsinA8．在△ ABC中，内角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c，已知cosA＝ ，sin B＝ cosC．23 5 导 学 号 27542030(1)求 tanC的值；(2)若 a＝ ，求△ ABC的面积．2[解析] (1)由 cosA＝ ，得 sinA＝ .又 cosC＝sin B＝sin( A＋ C)23 53 5＝ cosC＋ sinC，∴tan C＝ .53 23 5(2)由 tanC＝ ，得 sinC＝ ，cos C＝ ，5306 66∴sin B＝ cosC＝ .5306由正弦定理，得 c＝ ＝ ＝ .asinCsinA2×30653 3∴△ ABC的面积 S＝ acsinB＝ × × × ＝ .12 12 2 3 306 529．在△ ABC中，角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c，已知向量 m＝(2cos ，sin )，A2 A2n＝(cos ，－2sin )， m·n＝－1.A2 A2 导 学 号 275420317(1)求 cosA的值；(2)若 a＝2 ， b＝2，求 c的值．3[解析] (1)∵ m＝(2cos ，sin )，A2 A2n＝(cos ，－2sin )， m·n＝－1，A2 A2∴2cos 2 －2sin 2 ＝－1，A A∴2cos A＝－1，cos A＝－ .12(2)由(1)知 cos A＝－ ，又 0Aπ，∴ A＝ .12 2π3∵ a＝2 ， b＝2，3由正弦定理，得 ＝ ，asin A bsin B即 ＝ ，∴sin B＝ .23sin2π3 2sin B 12∵0 Bπ， BA，∴ B＝ ，π6∴ C＝π－ A－ B＝ ，∴ C＝ B，所以 c＝ b＝2.π6数 学必修 5 · 人教 B版新课标导学新课标导学第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理第 2课时 余弦定理1 课 前自主学 习2 课 堂典例 讲练3 课 时 作 业课 前自主学 习中国 载 人航天工程 实现 新突破，神舟九号航天 员 成功 驾驶飞 船与天 宫 一号目 标飞 行器 对 接， 这标 志着中国成 为 世界上第三个完整掌握空 间 交会 对 接技术 的国家． 这 一操作是由在地面 进 行了 1 500多次模 拟训练 的 43岁 航天 员 刘旺实 施的．在距地球 343 km处实 施 这 个 类 似 “倒 车 入 库 ”的 动 作，相当于 “太空穿针 ”，要求航天 员 具 备 极好的眼手 协调 性、操作精 细 性和心理 稳 定性． 这 一操作的成功，离不开地面的完美 测 控． 这 个 测 控的 过 程 应 用什么定理 测 量的？1． 余弦定理(1)语 言叙述三角形任何一 边 的平方等于 _________________减去____________________的 积 的 ________．(2)公式表达a2＝ ________________；b2＝ ________________；c2＝ ________________．其他两 边 的平方和 这 两 边 与它 们夹 角的余弦 两倍 b2＋ c2－ 2bccosAa2＋ c2－ 2accosBa2＋ b2－ 2abcosC(3)公式 变 形cosA＝ ______________；cosB＝ ______________；cosC＝ ______________.2． 余弦定理及其 变 形的 应 用应 用余弦定理及其 变 形可解决两 类 解三角形的 问题 ，一 类 是已知两 边 及其________解三角形，另一 类 是已知 ________解三角形．夹 角 三 边 B C A 4或 5 课 堂典例 讲练命 题 方向 1 ⇨已知两 边 及其 夹 角，解三角形A 命 题 方向 2 ⇨已知三 边 ，解三角形命 题 方向 3 ⇨应 用余弦定理判断三角形的形状等腰三角形等 边 三角形 [点 评 ] 利用三角形的 边 角关系判断三角形的形状的两个思路(1)利用 边 的关系判断：利用正、余弦定理把已知条件 转 化 为边边 关系，通过 代数恒等 变换 得出 边 的相 应 关系，从而判断三角形的形状． (2)利用角的关系判断：利用正、余弦定理把已知条件 转 化 为 内角的三角函数 间 的关系，通 过 三角函数恒等 变换 ，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此 时 要注意 应用 A＋ B＋ C＝ π这 个 结论 ．12017春高中数学 第 1章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 第 2课时 余弦定理课时作业 新人教 B版必修 5基 础 巩 固一、选择题1．在△ ABC中， b＝5， c＝5 ， A＝30°，则 a等于 ( A )3 导 学 号 27542047A．5 B．4 C．3 D．10[解析] 由余弦定理，得 a2＝ b2＋ c2－2 bccosA，∴ a2＝5 2＋(5 )2－2×5×5 ×cos30°，3 3∴ a2＝25，∴ a＝5.2．在△ ABC中，已知 a2＝ b2＋ c2＋ bc，则角 A等于 ( C )导 学 号 27542048A． B．π3 π6C． D． 或2π3 π3 2π3[解析] ∵ a2＝ b2＋ c2＋ bc，∴ b2＋ c2－ a2＝－ bc，∴cos A＝ ＝ ＝－ ，b2＋ c2－ a22bc － bc2bc 12又∵00)，32∴cos C＝ ＝ ＝－ ，故选 D．a2＋ b2－ c22ab k2＋ k2－ 3k22k2 125．△ ABC的内角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c，若 a、 b、 c满足 b2＝ ac，且c＝2 a，则 cosB＝ ( B )导 学 号 27542051A． B．14 34C． D．24 23[解析] ∵ b2＝ ac，且 c＝2 a，由余弦定理，得 cosB＝ ＝ ＝ .a2＋ c2－ b22ac a2＋ 4a2－ a×2a2a·2a 346．(2015·广东文，5)设△ ABC的内角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c.若 a＝2， c＝2， cos A＝ ，且 b＜ c，则 b＝ ( C )332 导 学 号 27542052A．3 B．2 2C．2 D． 3[解析] 由余弦定理，得 a2＝ b2＋ c2－2 bccosA，∴4＝ b2＋12－6 b，即 b2－6 b＋8＝0，∴ b＝2 或 b＝4.又∵ b0，因此 0°0，∴ x ，5长为 x的边所对的角为锐角时，4＋9－ x20，∴ x ，13∴ x .5 13三、解答题9．在△ ABC中，已知 sinC＝ ， a＝2 ， b＝2，求边 c.12 3 导 学 号 27542055[解析] ∵sin C＝ ，且 0Cπ，∴ C为 或 .12 π6 5π6当 C＝ 时，cos C＝ ，π6 323此时， c2＝ a2＋ b2－2 abcosC＝4，即 c＝2.当 C＝ 时，cos C＝－ ，5π6 32此时， c2＝ a2＋ b2－2 abcosC＝28，即 c＝2 .710．设△ ABC的内角 A、 B、 C所对边的长分别是 a、 b、 c，且 b＝3， c＝1，△ ABC的面积为 ，求 cosA与 a的值.2 导 学 号 27542056[解析] 由三角形面积公式，得S＝ ×3×1·sinA＝ ，∴sin A＝ ，∵sin 2A＋cos 2A＝ 1.12 2 223∴cos A＝± ＝± ＝± .1－ sin2A1－ 89 13①当 cosA＝ 时，由余弦定理，得13a2＝ b2＋ c2－2 bccosA＝3 2＋1 2－2×1×3× ＝8，13∴ a＝2 .2②当 cosA＝－ 时，由余弦定理，得13a2＝ b2＋ c2－2 bccosA＝3 2＋1 2－2×1×3×(－ )＝12，13∴ a＝2 .3能 力 提 升一、选择题1．在△ ABC中， AB＝3， BC＝ ， AC＝4，则 AC边上的高为 ( B )13 导 学 号 27542057A． B．322 332C． D．332 3[解析] 由余弦定理，可得 cosA＝AC2＋ AB2－ BC22AC·AB＝ ＝ ，所以 sinA＝ .42＋ 32－  13 22×3×4 12 32则 AC边上的高 h＝ ABsinA＝3× ＝ ，故选 B．32 3322．在△ ABC中，三边长 AB＝7， BC＝5， AC＝6，则 · 等于 ( D )AB→ BC→ 导 学 号 27542058A．19 B．－14C．－18 D．－194[解析] 在△ ABC中， AB＝7， BC＝5， AC＝6，则 cosB＝ ＝ .49＋ 25－ 362×5×7 1935又 · ＝| |·| |cos(π－ B)AB→ BC→ AB→ BC→ ＝－| |·| |cosBAB→ BC→ ＝－7×5× ＝－19.19353．若△ ABC的内角 A、 B、 C所对的边 a、 b、 c满足( a＋ b)2－ c2＝4，且∠ C＝60°，则ab的值为 ( A )导 学 号 27542059A． B．8－443 3C．1 D．23[解析] ∵( a＋ b)2－ c2＝4，∴ a2＋ b2－ c2＝4－2 ab.又∵∠ C＝60°，由余弦定理，得 cos 60°＝ ，a2＋ b2－ c22ab即 a2＋ b2－ c2＝ ab.∴4－2 ab＝ ab，则 ab＝ .434．△ ABC的三内角 A、 B、 C所对边的长分别为 a、 b、 c，设向量 p＝( a＋ c， b)，q＝( b－ a， c－ a)，若 p∥ q，则 C的大小为 ( B )导 学 号 27542060A． B．π6 π3C． D．π2 2π3[解析] ∵ p＝( a＋ c， b)， q＝( b－ a， c－ a)， p∥ q，∴( a＋ c)(c－ a)－ b(b－ a)＝0，即 a2＋ b2－ c2＝ ab.由余弦定理，得 cosC＝ ＝ ＝ ，a2＋ b2－ c22ab ab2ab 12∵0 Cπ，∴ C＝ .π3二、填空题5．(2015·重庆文，13)设△ ABC的内角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c，且a＝2，cos C＝－ ，3sin A＝2sin B，则 c＝4.14 导 学 号 27542061[解析] ∵3sin A＝2sin B，∴3 a＝2 b，又∵ a＝2，∴ b＝3.5由余弦定理，得 c2＝ a2＋ b2－2 abcosC，∴ c2＝2 2＋3 2－2×2×3×(－ )＝16，∴ c＝4.146．如图，在△ ABC中，∠ BAC＝120°， AB＝2， AC＝1， D是边 BC上一点， DC＝2 BD，则 · ＝－ .AD→ BC→ 83导 学 号 27542062[解析] 由余弦定理，得BC2＝2 2＋1 2－2×2×1×(－ )＝7，∴ BC＝ ，12 7∴cos B＝ ＝ .4＋ 7－ 12×2×7 5714∴ · ＝( ＋ )· ＝ · ＋ ·AD→ BC→ AB→ BD→ BC→ AB→ BC→ BD→ BC→ ＝－2× × ＋ × ×1＝－ .75714 73 7 83三、解答题7．如图，在△ ABC中，已知 B＝45°， D是 BC边上的一点，AD＝10， AC＝14， DC＝6，求 AB的长. 导 学 号 27542063[解析] 在△ ADC中， AD＝10， AC＝14， DC＝6，由余弦定理，得 cos ∠ ADC＝AD2＋ DC2－ AC22AD·DC＝ ＝－ ，100＋ 36－ 1962×10×6 12即∠ ADC＝120°，∠ ADB＝60°.在△ ABD中， AD＝10， B＝45°，∠ ADB＝60°，由正弦定理，得 ＝ ，ABsin ∠ ADB ADsin B于是 AB＝ ＝ ＝ ＝5 .AD·sin∠ ADBsin B 10sin 60°sin 45°10×3222 68．在△ ABC中，已知 lg a－ lg c＝lg sinB＝－lg ，且 B为锐角，试判断△ ABC的26形状. 导 学 号 27542064[解析] 由 lg sin B＝－lg ＝lg ，可得 sin B＝ .222 22又 B为锐角，所以 B＝45°.由 lg a－lg c＝－lg ，得 ＝ ，2ac 22所以 c＝ a.又因为 b2＝ a2＋ c2－2 accos B，2所以 b2＝ a2＋2 a2－2 a2× ＝ a2.222所以 a＝ b，即 A＝ B． 又 B＝45°，所以△ ABC为等腰直角三角形．9．已知 A、 B、 C为△ ABC的三个内角，其所对的边分别为 a、 b、 c，且 2cos2 ＋cos AA＝0. 导 学 号 27542065(1)求角 A的大小；(2)若 a＝2 ， b＝2，求 c的值．3[解析] (1)∵cos A＝2cos 2 －1，A又 2cos2 ＋cos A＝0，∴2cos A＋1＝0，A∴cos A＝－ ，∴ A＝120°.12(2)由余弦定理知 a2＝ b2＋ c2－2 bccosA，又 a＝2 ， b＝2，cos A＝－ ，312∴(2 )2＝2 2＋ c2－2×2× c×(－ )，312化简，得 c2＋2 c－8＝0，解得 c＝2 或 c＝－4(舍去)．数 学必修 5 · 人教 B版新课标导学新课标导学第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理第 3课时 正、余弦定理 习题课1 课 前自主学 习2 课 堂典例 讲练3 课 时 作 业课 前自主学 习“平方公里 阵 列 ”组织 宣布澳大利 亚 、新西 兰 、南非三国将 联 合建造世界最大射 电 天文望 远镜 ． 这 些射 电 天文望 远镜 的精确度将比 现 有射 电 天文望 远镜高 50倍，速度提升 10 000倍． 该 望 远镜 可以帮助人 类 更好地理解第一个黑洞及恒星何 时产 生． “平方公里 阵 列 ”射 电 天文望 远镜计 划于 2016年开工， 2024年完工，将包括 3 000座碟形天 线 ，每座直径 15 m， 总 面 积 达一平方公里．将 这 些射 电 天文望 远镜 的所在国家看作一个点，它 们 构成了什么 图 形？研究其中的 变量 问题 可运用什么定理？底 ×高 acsinB bcsinA (a＋ b＋ c) D A C 2 课 堂典例 讲练命 题 方向 1 ⇨计 算三角形的面 积[点 评 ] (1)求三角形的面 积 ，要充分挖掘 题 目中的条件， 转 化 为 求两 边 及夹 角正弦 问题 ，要注意方程思想在解 题 中的 应 用．(2)由 α＋ β＝ 180°，得 cosα＝－ cosβ和 sinα＝ sinβ， 这 是解三角形中 经 常用到的等量关系．命 题 方向 2 ⇨三角形中的三角函数命 题 方向 3 ⇨方程思想12017 春高中数学 第 1 章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 第 3课时 正、余弦定理习题课课时作业 新人教 B 版必修 5基 础 巩 固一、选择题1．在△ ABC 中， a＝7， b＝4 ， c＝ ，则△ ABC 的最小角为 ( B )3 13 导 学 号 27542079A． B． π 3 π 6C． D．π 4 π12[解析] ∵ abc，∴ C 为最小角，由余弦定理，得 cos C＝a2＋ b2－ c22ab＝ ＝ ，∴ C＝ .72＋  43 2－  13 22×7×43 32 π 62．在△ ABC 中，若 sinAsinB，则有 ( C )导 学 号 27542080A． ab D． a、 b 的大小无法确定[解析] 利用正弦定理将角的关系化为边的关系，由 ＝ 可得 ＝ ，因为△asinA bsinB ab sinAsinBABC 中 sinA0，sin B0，所以结合已知有 sinAsinB0，从而 1，即 ab.ab3．在锐角△ ABC 中，角 A、 B 所对的边长分别为 a、 b.若 2asinB＝ b，则角 A 等于3( D )导 学 号 27542081A． B．π12 π 6C． D．π 4 π 3[解析] 由正弦定理，得 ＝ ，∴sin A＝ ，∴ A＝ .asinA bsinB 32 π 34．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是 ( 导 学 号 27542082A )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．由增加的长度确定[解析] 设直角三角形的三边长分别为 a、 b、 c，且 a2＋ b2＝ c2，三边都增加 x，则 (a＋ x)2＋( b＋ x)2－( c＋ x)2＝ a2＋ b2＋2 x2＋2( a＋ b)x－ c2－2 cx－ x2＝2( a＋ b－ c)x＋ x20，2所以新三角形中最大边所对的角是锐角，所以新三角形是锐角三角形．5．若△ ABC 中，sin A︰sin B︰sin C＝2︰3︰4，那么 cosC＝ ( A )导 学 号 27542083A．－ B．14 14C．－ D．23 23[解析] 由正弦定理，得 sinA︰sin B︰sin C＝ a︰ b︰ c＝2︰3︰4，令 a＝2 k， b＝3 k， c＝4 k(k0)，∴cos C＝ ＝ ＝－ .a2＋ b2－ c22ab 4k2＋ 9k2－ 16k22×2k×3k 146．在△ ABC 中，若△ ABC 的面积 S＝ (a2＋ b2－ c2)，则∠ C 为 ( A )14 导 学 号 27542084A． B．π 4 π 6C． D．π 3 π 2[解析] 由 S＝ (a2＋ b2－ c2)，得 absinC＝ ×2abcosC，∴tan C＝1，∴ C＝ .14 12 14 π 4二、填空题7．在△ ABC 中， a＝2 ， b＝ ， A＝45°，则边 c＝3＋ .3 6 3导 学 号 27542085[解析] 由余弦定理，得 a2＝ c2＋ b2－2 cbcosA，∴12＝ c2＋6－2 c× ，622∴ c2－2 c－6＝0，解得 c＝3＋ .3 38．在△ ABC 中，若 b＝5， B＝ ，sin A＝ ，则 a＝ .π 4 13 523 导 学 号 27542086[解析] 由正弦定理，得 ＝ ，5sinπ 4a13∴ a＝ ＝ ＝ .5×13sinπ 45322 523三、解答题9．(2015·天津文，16)在△ ABC 中，内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c.已知△ABC 的面积为 3 ， b－ c＝2 ，cos A＝－ .1514导 学 号 27542087(1)求 a 和 sin C 的值；3(2)求 cos 的值．(2A＋π 6)[解析] (1)在△ ABC 中，由 cos A＝－ ，14得 sin A＝ ，154由 S△ ABC＝ bcsin A＝3 ，得 bc＝24，12 15又由 b－ c＝2，解得 b＝6， c＝4.由 a2＝ b2＋ c2－2 bccos A，可得 a＝8.由 ＝ ，得 sin C＝ .asin A csin C 158(2)cos ＝cos 2 Acos －sin 2 Asin (2A＋π 6) π 6 π 6＝ (2cos2A－1)－ ×2sin Acos A＝ .32 12 15－ 7316能 力 提 升一、选择题1．钝角三角形 ABC 的面积是 ， AB＝1， BC＝ ，则 AC＝ ( B )12 2 导 学 号 27542088A．5 B． 5C．2 D．1[解析] ∵ S△ ABC＝ acsinB＝ × ×1×sinB＝ ，12 12 2 12∴sin B＝ ，22∴ B＝ 或 .当 B＝ 时，经计算△ ABC 为等腰直角三角形，不符合题意，舍去．π 4 3π4 π 4当 B＝ 时，由余弦定理，得 b2＝ a2＋ c2－2 accosB，解得 b＝ ，故选 B．3π4 52．设△ ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，若 bcos C＋ ccos B＝ asin A，则△ ABC 的形状为 ( B )导 学 号 27542089A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定[解析] 由正弦定理，得 sinBcosC＋sin CcosB＝sin 2A，所以 sin(B＋ C)＝sin 2A，∴sin A＝sin 2A，而 sinA0，∴sin A＝1， A＝ ，所以△ ABC 是直角三角形．π 23．设 a、 b、 c 分别是△ ABC 的内角 A、 B、 C 的对边，则关于 x 的一元二次方程4b2x2＋( b2＋ c2－ a2)x＋ c2＝0 ( C )导 学 号 27542090A．有两个正数根 B．有两个负数根C．无实数根 D．有两个相等的实数根[解析] 由于 b2＋ c2－ a2＝2 bccos A，则 Δ ＝(2 bccos A)2－4 b2c2b，则∠ B＝ ( A )12 导 学 号 27542091A． B．π 6 π 3C． D．2π3 5π6[解析] 由正弦定理，得 sinB(sinAcosC＋sin CcosA)＝ sinB，∵sin B≠0，∴sin( A＋ C)＝ ，12 12∴sin B＝ ，由 ab 知， AB，∴ B＝ .故选 A．12 π 6二、填空题5．(2015·北京理，12)在△ ABC 中， a＝4， b＝5， c＝6，则 ＝1.sin2AsinC导 学 号 27542092[解析] 由正弦定理，得 ＝ ，由余弦定理，得sinAsinC accosA＝ ，∵ a＝4， b＝5， c＝6，b2＋ c2－ a22bc∴ ＝ ＝2· ·cosA＝2× × ＝1.sin2AsinC 2sinAcosAsinC sinAsinC 46 52＋ 62－ 422×5×66．在△ ABC 中，若 lg(a＋ c)＋lg( a－ c)＝lg b－lg ，则∠ A 等于 120°. 1b＋ c导 学 号 27542093[解析] 由 lg(a＋ c)＋lg( a－ c)＝lg b－lg ，1b＋ c得( a＋ c)(a－ c)＝ b(b＋ c)，即 b2＋ c2－ a2＝－ bc，故 cos A＝ ＝－ ，∴∠ A＝120°.b2＋ c2－ a22bc 12三、解答题7．(2015·浙江文，16)在△ ABC 中，内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c.已知 tan5＝2.(π 4＋ A) 导 学 号 27542094(1)求 的值；sin2Asin2A＋ cos2A(2)若 B＝ ， a＝3，求△ ABC 的面积．π 4[解析] (1)由 tan ＝2，得 tan A＝ ，所以 ＝(π 4＋ A) 13 sin 2Asin 2A＋ cos2 A＝ ＝ .2sin Acos A2sin Acos A＋ cos2 A 2tan A2tan A＋ 1 25(2)由 tan A＝ 及 A∈(0，π)可得 sin A＝ ，13 1010cos A＝ .又 a＝3， B＝ ，由正弦定理知 b＝3 .31010 π 4 5又 sin C＝sin( A＋ B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝ ，255所以 S△ ABC＝ absin C＝ ×3×3 × ＝9.12 12 5 2558．(2016·四川文，18)在△ ABC 中，角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c，且 ＋cosAa＝ .cosBb sinCc 导 学 号 27542095(1)证明：sin AsinB＝sin C；(2)若 b2＋ c2－ a2＝ bc，求 tanB．65[解析] (1)根据正弦定理，可设 ＝ ＝ ＝ k(k0)．asinA bsinB csinC则 a＝ ksinA， b＝ ksinB， c＝ ksinC．代入 ＋ ＝ 中，有 ＋ ＝ ，变形可得cosAa cosBb sinCc cosAksinA cosBksinB sinCksinCsinAsinB＝sin AcosB＋cos AsinB＝sin( A＋ B)．在△ ABC 中，由 A＋ B＋ C＝π，有 sin(A＋ B)＝sin(π－ C)＝sin C，所以 sinAsinB＝sin C．(2)由已知， b2＋ c2－ a2＝ bc，根据余弦定理，有65cosA＝ ＝ .b2＋ c2－ a22bc 356所以 sinA＝ ＝ .1－ cos2A45由(1)，sin AsinB＝sin AcosB＋cos AsinB，所以 sinB＝ cosB＋ sinB，故 tanB＝ ＝4.45 45 35 sinBcosB9.如图，在△ ABC 中，∠ B＝ ， AB＝8，点 D 在 BC 边上，且 CD＝2，cos∠ ADC＝ . π 3 17导 学 号 27542096(1)求 sin∠ BAD；(2)求 BD、 AC 的长．[解析] (1)在△ ADC 中，因为 cos∠ ADC＝ ，17所以 sin∠ ADC＝ .437所以 sin∠ BAD＝sin(∠ ADC－∠ B)＝sin∠ ADCcosB－cos∠ ADCsinB＝ × － × ＝ .437 12 17 32 3314(2)在△ ABD 中，由正弦定理，得BD＝ ＝ ＝3.AB·sin∠ BADsin∠ ADB8×3314437在△ ABC 中，由余弦定理，得 AC2＝ AB2＋ BC2－2 AB·BC·cosB＝8 2＋5 2－2× 8×5× ＝49.12所以 AC＝7.数 学必修 5 · 人教 B版新课标导学新课标导学第一章解三角形1.2 应用举例第 1课时 距离 问题1 课 前自主学 习2 课 堂典例 讲练3 课 时 作 业课 前自主学 习碧波万 顷 的大海上， “蓝 天号 ”渔轮 在 A处进 行海上作 业 ， “白云号 ”货轮 在 “蓝 天号 ”正南方向距 “蓝 天号 ”20n mile的 B处 ． 现 在 “白云号 ”以 10n mile/h的速度向正北方向行 驶 ，而 “蓝 天号 ”同 时 以 8n mile/h的速度由 A处 向南偏西 60°方向行驶 ， 经过 多少小 时 后， “蓝 天号 ”和 “白云号 ”两船相距最近？本 节 将用正、余弦定理解决此 类问题 ．1． 测 量从一个可到达的点到一个不可到达的点之 间 的距离 问题这实际 上是已知三角形两个角和一条 边 解三角形的 问题 ，用 __________可解决 问题 ．正弦定理 2． 测 量两个不可到达的点之 间 的距离 问题首先把求不可到达的两点 A、 B之 间 的距离 转 化 为应 用 __________求三角形的 边长问题 ，然后把未知的 BC和 AC的 问题转 化 为测 量可到达的一点与不可到达的一点之 间 的距离 问题 ．余弦定理 3． 方位角从指北方向 ________时针转 到目 标 方向的水平角．如 图 (1)所示．顺 4． 方向角相 对 于某一正方向 (东 、西、南、北 )的水平角．① 北偏 东 α°，即由指北方向 顺时针 旋 转 α°到达目 标 方向，如 图 (2)所示．② 北偏西 α°，即是由指北方向逆 时针 旋 转 α°到达目 标 方向．其他方向角 类 似．5．在 测 量上，我 们 根据 测 量的需要适当确定的 线 段叫做基 线 ．一般来 说，基 线 越 ________， 测 量的精确度越高．长D C 2.91 km 课 堂典例 讲练命 题 方向 1 ⇨测 量一个可到达点与一个不可到达点之 间 的距离命 题 方向 2 ⇨测 量两个不可到达的点之 间 的距离[点 评 ] (1)求解三角形中的基本元素， 应 由确定三角形的条件个数， 选择合适的三角形求解，如本 题选择 的是 △ BCD和 △ ABC．(2)本 题 是 测 量都不能到达的两点 间 的距离，它是 测 量学中 应 用非常广泛的三角网 测 量方法的原理，其中 AB可 视为 基 线 ．(3)在 测 量上，我 们 根据 测 量需要适当确定的 线 段叫做基 线 ，如本例的 CD． 在 测 量 过 程中，要根据 实际 需要 选 取合适的基 线长 度，使 测 量具有 较 高的精确度．一般来 说 ，基 线 越 长 ， 测 量的精确度越高．命 题 方向 3 ⇨正、余弦定理在航海 测 量上的 应 用12017 春高中数学 第 1 章 解三角形 1.2 应用举例 第 1 课时 距离问题课时作业 新人教 B 版必修 5基 础 巩 固一、选择题1．海上有 A、 B 两个小岛相距 10 n mile，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°的视角，从 B岛望 C 岛和 A 岛成 75°的视角，则 B、 C 间的距离是 ( D ) 导 学 号 27542109A．10 n mile B．10 n mile3 6C．5 n mile D．5 n mile2 6[解析] 如图，由正弦定理，得＝ ，BCsin60° 10sin45°∴ BC＝5 .62．某人向正东方向走 x km 后，他向右转 150°，然后朝新方向走 3 km，结果他离出发点恰好 km，那么 x 的值为 ( C )3 导 学 号 27542110A． B．23 3C．2 或 D．33 3[解析] 由题意画出三角形如图．则∠ ABC＝30°，由余弦定理，得 cos30°＝ ，∴ x＝2 或 .x2＋ 9－ 36x 3 33．两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东20°，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 ( 导 学 号 27542111B )A． a km B． a km3C． a km D．2 a km2[解析] ∠ ACB＝120°， AC＝ BC＝ a，由余弦定理可得 AB＝ a(km)．34．有一长为 10 m 的斜坡，它的倾斜角是 75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过2加长坡面的方法将它的倾斜角改为 30°，则坡底要延伸 ( C )导 学 号 27542112A．5 m B．10 mC．10 m D．10 m2 3[解析] 如图，在△ ABC 中，由正弦定理，得 ＝ ，xsin45° 10sin30°∴ x＝10 m.25．江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为 45°和 30°，而且两条船与炮台底部连线成 30°角，则两条船相距 ( D )导 学 号 27542113A．10 m B．100 m3 3C．20 m D．30 m3[解析] 设炮台顶部为 A，两条船分别为 B、 C，炮台底部为 D，可知∠ BAD＝45°，∠ CAD＝60°，∠ BDC＝30°， AD＝30.分别在 Rt△ ADB、Rt△ ADC 中，求得 BD＝30， DC＝30.在 △ DBC 中，由余弦定理，得 BC2＝ DB2＋ DC2－2 DB·DCcos30°，解得 BC＝30.36．海上的 A、 B 两个小岛相距 10 n mile，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°的视角，从 B岛望 C 岛和 A 岛成 75°的视角，则 B 岛与 C 岛之间的距离是 ( D )导 学 号 27542114A．10 n mile B． n mile31063C．5 n mile D．5 n mile2 6[解析] 在△ ABC 中， C＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理，得 ＝BCsin 60°，解得 BC＝5 n mile.10sin 45° 6二、填空题7．两船同时从 A 港出发，甲船以每小时 20 n mile 的速度向北偏东 80°的方向航行，乙船以每小时 12 n mile 的速度向北偏西 40°方向航行，一小时后，两船相距 28n mile. 导 学 号 27542115[解析] 如图，△ ABC 中， AB＝20， AC＝12，∠ CAB＝40°＋80°＝120°，由余弦定理，得 BC2＝20 2＋12 2－2×20×12·cos120°＝784，∴ BC＝28(n mile)．38．湖中有一小岛，沿湖有一条南北方向的公路，在这条公路上的一辆汽车上测得小岛在南偏西 15°方向，汽车向南行驶 1 km 后，又测得小岛在南偏西 75°方向，则小岛到公路的距离是 km.36 导 学 号 27542116[解析] 如图，∠ CAB＝15°，∠ CBA＝180°－75°＝105°，∠ ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1 km.由正弦定理 ＝ ，BCsin∠ CAB ABsin∠ ACB得 BC＝ ＝ (km)．设 C 到直线 AB 的距离为 d，则 d＝ BCsin75°sin15°sin60° 6－ 223＝ × ＝ (km)．6－ 223 6＋ 24 36三、解答题9．如图，甲船以每小时 30 n mile 的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直2线航行．当甲船位于 A1处时，乙船位于甲船的北偏西 105°方向的 B1处，此时两船相距 20 n mile.当甲船航行 20 min 到达 A2处时，乙船航行到甲船的北偏西 120°方向的 B2处，此时两船相距 10 n mile，问乙船每小时航行多少 n mile？2 导 学 号 27542117[解析] 解法一：如图，连接 A1B2，由已知，A2B2＝10 ， A1A2＝30 × ＝10 ，2 22060 24∴ A1A2＝ A2B2，又∠ A1A2B2＝180°－120°＝60°，∴△ A1A2B2是等边三角形，∴ A1B2＝ A1A2＝10 .2由已知， A1B1＝20，∠ B1A1B2＝105°－60°＝45°，由△ A1B2B1中，由余弦定理，得B1B ＝ A1B ＋ A1B －2 A1B1·A1B2·cos45°2 2 21＝20 2＋(10 )2－2×20×10 × ＝200.2 222∴ B1B2＝10 .2∴乙船的速度的大小为 ×60＝30 n mile/h.10220 2答：乙船每小时航行 30 n mile.2解法二：如图，连接 A2B1.由已知， A1B1＝20，A1A2＝30 × ＝10 ，∠ B1A1A2＝105°，22060 2cos105°＝cos(45°＋60°)＝cos45°cos60°－sin45°sin60°＝ .2 1－ 34sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝ .2 1＋ 34在△ A2A1B1中，由余弦定理，得A2B ＝ A1B ＋ A1A －2 A1B1·A1A2·cos105°21 21 2＝(10 )2＋20 2－2×10 ×20×2 22 1－ 34＝100(4＋2 )．3∴ A2B1＝10(1＋ )．3由正弦定理，得 sin∠ A1A2B1＝ ·sin∠ B1A1A2A1B1A2B15＝ × ＝ ，2010 1＋ 3 2 1＋ 34 22∴∠ A1A2B1＝45°，即∠ B1A2B2＝60°－45°＝15°，cos15°＝sin105°＝ .2 1＋ 34在△ B1A2B2中，由已知， A2B2＝10 ，2由余弦定理，得 B1B ＝ A2B ＋ A2B －2 A2B1·A2B2·cos15°2 21 2＝10 2(1＋ )2＋(10 )2－2×10(1＋ )×10 × ＝200.3 2 3 22 1＋ 34∴ B1B2＝10 ，2∴乙船速度的大小为 ×60＝30 n mile/h，10220 2答：乙船每小时航行 30 n mile.2能 力 提 升一、选择题1．如图，一货轮航行到 M 处，测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15°，与灯塔 S 相距 20 n mile，随后货轮按北偏西 30°的方向航行 30 min 后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为 ( B )导 学 号 27542118A．20( ＋ ) n mile/h B．20( － ) n mile/h2 6 6 2C．20( ＋ ) n mile/h D．20( － ) n mile/h6 3 6 3[解析] 由题意可知∠ NMS＝45°，∠ MNS＝105°，则∠ MSN＝180°－105°－45°＝30°.而 MS＝20，在△ MNS 中，由正弦定理，得 ＝ ，MNsin30° MSsin105°∴ MN＝ ＝20sin30°sin105° 10sin 60°＋ 45°＝10sin60°cos30°＋ cos60°sin30°＝ ＝10( － )．106＋ 24 6 26∴货轮的速度为 10( － )÷6 212＝20( － )n mile/h.6 22．如图，一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 n mile 的速度沿南偏东 40°的方向直线航行，30 min 后到达 B 处． C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65°，那么 B、 C 两点间的距离是( A )导 学 号 27542119A．10 n mile B．10 n mile2 3C．20 n mile D．20 n mile3 2[解析] 由题目条件，知 AB＝20 n mile，∠ CAB＝30°，∠ ABC＝105°，所以∠ ACB＝45°.由正弦定理，得 ＝ ，所以 BC＝10 n mile，故选 A．20sin45° BCsin 30° 2二、填空题3．甲船在岛 A 的正南 B 处，以 4 km/h 的速度向正北航行， AB＝10 km，同时乙船自岛A 出发以 6 km/h 的速度向北偏东 60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为 min.1507 导 学 号 27542120[解析] 如图，当两船航行 t h 时，甲船到 D 处，乙船到 C 处，则AD＝10－4 t， AC＝6 t，∠ CAD＝120°，若 AD′＝4 t－10， AC＝6 t，∠ CAD′＝60°，所以 CD2＝(6 t)2＋(10－4 t)2－2×6 t×(10－4 t)×(－ )＝28 t2－20 t＋100，12∴当 t＝ h 时， CD2最小，即两船最近，514t＝ h＝ min.514 15074．一船以 24 km/h 的速度向正北方向航行，在点 A 处望见灯塔 S 在船的北偏东 30°7方向上，15 min 后到点 B 处望见灯塔在船的北偏东 65°方向上，则船在点 B 时与灯塔 S 的距离是 5.2 km.(精确到 0.1 km)导 学 号 27542121[解析] 作出示意图如图．由题意知，则 AB＝24× ＝6，1560∠ ASB＝35°，由正弦定理，得 ＝ ，6sin35° BSsin30°可得 BS≈5.2 km.三、解答题5．碧波万顷的大海上， “蓝天号”渔轮在 A 处进行海上作业， “白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20 n mile 的 B 处．现在“白云号”以每小时 10 n mile 的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时 8n mile 的速度由 A 处向南偏西 60°方向行驶，经过多少小时后， “蓝天号”和“白云号”两船相距最近. 导 学 号 27542122[解析] 如右图，设经过 t h， “蓝天号”渔轮行驶到 C 处， “白云号”货轮行驶到 D处，此时“蓝天号”和“白云号”两船的距离为 CD． 则根据题意，知在△ ACD 中，AC＝8 t， AD＝20－10 t，∠ CAD＝60°.由余弦定理，得CD2＝ AC2＋ AD2－2× AC×ADcos60°＝(8 t)2＋(20－10 t)2－2×8 t×(20－10 t)×cos60°＝244 t2－560 t＋400＝244( t－ )2＋400－244×( )2，7061 7061∴当 t＝ 时， CD2取得最小值，即“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．70618答：经过 h 后， “蓝天号”和“白云号”两船相距最近．70616．已知海岛 B 在海岛 A 的北偏东 45°方向上， A、 B 相距 10 n mile，小船甲从海岛B 以 2 海里/小时的速度沿直线向海岛 A 移动，同时小船乙从海岛 A 出发沿北偏西 15°方向也以 2 n mile/ h 的速度移动. 导 学 号 27542123(1)经过 1 h 后，甲、乙两小船相距多少海里？(2)在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求出所需时间，若不可能，请说明理由．[解析] (1)经过 1 h 后，甲船到达 M 点，乙船到达 N 点，AM＝10－2＝8， AN＝2，∠ MAN＝60°，所以 MN2＝ AM2＋ AN2－2 AM·ANcos60°＝64＋4－2×8×2× ＝52.12所以 MN＝2 .13所以经过 1 h 后，甲、乙两小船相距 2 n mile.13(2)设经过 t(0t5)小时小船甲处于小船乙的正东方向，则甲船与 A 距离为AE＝(10－2 t)n mile，乙船与 A 距离为 AF＝2 t n mile，∠ EAF＝60°，∠ EFA＝75°，则由正弦定理，得 ＝ ，AFsin45° AEsin75°即 ＝ ，2tsin45°10－ 2tsin75°则 t＝ ＝ ＝ 5.10sin45°2sin75°＋ 2sin45° 103＋ 3 5 3－ 33答：经过 小时小船甲处于小船乙的正东方向．5 3－ 337.如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径．一从 A 沿直线步行到C，另一种是从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C． 现有甲、乙两位游客从 A处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后，乙从 A 乘缆车到 B，在9B 处停留 1 min 后，再从 B 匀速步行到 C、假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min，山路 AC 长为 1 260 m，经测量，cos A＝ ，cos C＝ .1213 35(1)求索道 AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 导 学 号 27542124[解析] (1)在△ ABC 中，因为 cos A＝ ，cos C＝ ，1213 35所以 sin A＝ ，sin C＝ .513 45从而 sin B＝sin[π－( A＋ C)]＝sin( A＋ C)＝sin Acos C＋cos AsinC＝ × ＋ × ＝ .513 35 1213 45 6365由正弦定理 ＝ ，得ABsin C ACsin BAB＝ ×sin C＝ × ＝1 040(m)．ACsin B 1 2606365 45所以索道 AB 的长为 1 040 m.(2)假设乙出发 t 分钟后，甲、乙两游客距离为 d，此时，甲行走了(100＋50 t) m，乙距离 A 处 130t m，所以由余弦定理得 d2＝(100＋50 t)2＋ (130t)2－2×130 t×(100＋50 t)×＝200(37 t2－70 t＋50)，1213因 0≤ t≤ ，即 0≤ t≤8，1 040130故当 t＝ min 时，甲、乙两游客距离最短．3537(3)由正弦定理 ＝ ，BCsin A ACsin B得 BC＝ ×sin A＝ × ＝500 (m)．ACsin B 1 2606365 513乙从 B 出发时，甲已走了 50×(2＋8＋1)＝550 m，还需走 710 m 才能到达 C． 设乙步10行的速度为 v m/min，由题意得－3≤ － ≤3，解得 ≤ v≤ ，500v 71050 1 25043 62514所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内．[1 25043 ， 62514]