（天津版）高考数学分项版解析 专题1-11 文（打包11套）.zip

1第一章 集合与常用逻辑用语、复数一．基础题组1.【2005 天津，文 1】集合 的真子集个数是 {|03}AxxN且（ ）（A）16 （B）8 （C）7 （D）4【答案】C【解析】用列举法， ，A 的真子集有： ，共{0,12},{0}1,2,}{0,127 个，选 C2.【2006 天津，文 1】已知集合 则 ＝ ( )|3,|,xBxAB（A） （B） （C） （D）|21x|01|32|1【答案】 A.【解析】已知集合 = ，则 ＝{|31},{|2}AxBx|2}x≤ ≤ AB，选 A.|21x3.【2006 天津，文 5】设 那么 是 的( ),(,)2““tant“（A）充分页不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】C4.【2007 天津，文 1】已知集合 ， ，则12SxR≥ 102T， ， ， ，（ ）STA． B． C． D．212， 02， ， 0， ， ，【答案】B【解析】解：S={x∈R|x+1≥2}，则∴S={x∈R|x≥1}，2又∵T={-2，-1，0，1，2}，故 S∩T={1，2}．故选 B．5.【2007 天津，文 3】 “ ”是“直线 平行于直线 ”的（ ）2a20axy1xyA．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C6.【2008 天津，文 1】设集合 ， ， ，|0{8}xNU{1,245}S{3,7}T则 ()USTð（A） （B） （C） （D）{1,24}{1,2345,7}{,}{,6,8}【答案】A【解析】因为 ，所以 ，选 A．,68TUð()1,24USTð7.【2009 天津，文 1】i 是虚数单位, 等于( )i25A.1+2i B.－1－2i C.1－2i D.－1+2i【答案】D【解析】因为 .iiii 215)2()(258.【2009 天津，文 3】设 x∈R,则“x＝1”是“x 3＝x”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵“x＝1” “x3＝x”,但“x3＝x” “x＝1”,3∴“x＝1”是“x3＝x”的充分不必要条件.9.【2010 天津，文 1】i 是虚数单位，复数 ＝( )3i1A．1＋2i B．2＋4i C．－1－2i D．2－i【答案】A 【解析】 ＝1＋2i. 3i(i)1210.【2010 天津，文 5】下列命题中，真命题是( )A． m∈R，使函数 f(x)＝ x2＋ mx(x∈R)是偶函数B． m∈R，使函数 f(x)＝ x2＋ mx(x∈R)是奇函数C． m∈R，函数 f(x)＝ x2＋ mx(x∈R)都是偶函数D． m∈R，函数 f(x)＝ x2＋ mx(x∈R)都是奇函数【答案】A【解析】 因为当 m＝0 时，f(x)＝x2 为偶函数，所以 A 项为真命题． 11.【2011 天津，文 1】 是虚数单位，复数 =i13iA. B. C. D. 2i22i12i【答案】A【解析】因为 ，故选 A.13()1iii12.【2011 天津，文 4】13.【2012 天津，文 1】i 是虚数单位，复数 ( )53i4A．1－i B．－1＋i C．1＋i D．－1－i4【答案】C【解析】 ．253i(i)4205i13i71i=4614.【2012 天津，文 5】设 x∈R，则“ ”是“2 x2＋ x－1＞0”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 ∵2x2＋x－1＞0，可得 x＜－1 或 ，2∴“ ”是“2x2＋x－1＞0”的充分而不必要条件．215.【2012 天津，文 9】集合 A＝{ x∈R|| x－2|≤5}中的最小整数为__________．【答案】－3【解析】∵|x－2|≤5，∴－5≤x－2≤5，∴－3≤x≤7，∴集合 A 中的最小整数为－3．16.【2013 天津，文 1】已知集合 A＝{ x∈R|| x|≤2}， B＝{ x∈R| x≤1}，则 A∩ B＝( )．A．(－∞，2] B．[1,2]C．[－2,2] D．[－2,1]【答案】D【解析】解不等式|x|≤2，得－2≤x≤2，即 A＝{x|－2≤x≤2}，A∩B＝{x|－2≤x≤1}，故选 D.17.【2013 天津，文 4】设 a， b∈R，则“( a－ b)·a2＜0”是“ a＜ b”的( )．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为 a2≥0，而(a－b)a2＜0，所以 a－b＜0，即 a＜b；由 a＜b，a2≥0，得到(a－b)a2≤0 可以为 0，所以“(a－b)a2＜0”是 “a＜b”的充分而不必要条件．18.【2013 天津，文 9】i 是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝__________.5【答案】5－5i【解析】(3＋i)(1－2i)＝3－6i＋i－2i2＝5－5i.19.【2014 天津，文 1】 是虚数单位，复数 （ ）i i437A. B. C. D. i11251i7251【答案】A【解析】试题分析：因为 所以选 A.i437()34251,ii考点：复数的运算20.【2014 天津，文 3】已知命题 （ ）为则总 有 pexp,)(,0:A. B. 1)(,00xex使 得 10使 得C. D.00,x总 有 00,(1)xe总 有【答案】B考点：命题的否定21. 【2015 高考天津，文 1】已知全集 ,集合 ,集合{1,23456}U={235}A=,则集合 （ ）{1,346}B=AUB=（ ）ð(A) (B) (C) (D){2,5}{,6}{,}【答案】B【解析】 , ,则 ,故选 B.3A=UBð25UB=（ ）ð【考点定位】本题主要考查集合的交集与补集运算.22. 【2015 高考天津，文 4】设 ,则“ ”是“ ”的（ ）xRÎ1x||1x-(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件6【答案】A【解析】由 ,可知“ ”是“ ”的21213xxx12x||1x-充分而不必要条件,故选 A.【考点定位】本题主要考查不等式解法及充分条件与必要条件.23. 【2015 高考天津，文 9】i 是虚数单位,计算 的结果为 ．12i【答案】-i【解析】 .2i21i i【考点定位】本题主要考查复数的乘除运算.24.【2016 高考天津文数】已知集合 ， ，则 =}3,21{A},12|{AxyBB（A） （B） （C） （D）}3,1{, 3【答案】A【解析】试题分析： ,选 A.{1,35}{13}BA【考点】集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基础题，难度系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏.25.【2016 高考天津文数】设 ， ，则“ ”是“ ”的0xRyyx|yx（A） 充要条件 （B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析： ,所以充分性不成立； ，必要性成立，故34,||xyxy选 C.【考点】充要条件的判断【名师点睛】充要条件的三种判断方法：71.定义法：直接判断“若 p 则 q”、 “若 q 则 p”的真假，并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则 p 是 q 的充分条件．2.等价法：利用 p⇒q 与非 q⇒非 p， q⇒p 与非 p⇒非 q， p⇔q 与非 q⇔非 p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3.集合法：若 A⊆B，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 A＝ B，则 A 是 B 的充要条件．26.【2016 高考天津文数】 是虚数单位，复数 满足 ，则 的实部为_______.iz(1i)2z【答案】1【解析】试题分析： ，所以 的实部为 1.2(1)1i izz【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基础题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(i)()()i(,)abcdabdcabdR，. 其次要熟悉复数的相关基本概念，2i,ic，如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、共轭复数为 .(,)abRab2abiab二．能力题组1.【2009 天津，文 13】设全集 U＝A∪B＝{x∈N *|lgx＜1}.若 A∩( )＝{m|m＝2n+1,n＝0,1,2,3,4},则集合 B＝______________.【答案】{2,4,6,8}2.【2011 天津，文 9】已知集合 为整数集,则集合 中所有|1|2AxRZAZ元素的和等于 .【答案】3【解析】因为 ,所以 ,故其和为 3.|13Ax012Z8三．拔高题组1.【2010 天津，文 7】设集合 A＝{ x||x－ a|＜1， x∈R}， B＝{ x|1＜ x＜5， x∈R}．若A∩ B＝ ，则实数 a 的取值范围是( )A．{ a|0≤ a≤6} B．{ a|a≤2，或 a≥4}C．{ a|a≤0，或 a≥6} D．{ a|2≤ a≤4}【答案】C 【解析】A＝{x|a－1＜x＜a＋1，x∈R}，又 A∩B＝ ，所以 a＋1≤1 或 a－1≥5，即 a≤0 或 a≥6.1第二章 函数一．基础题组1.【2005 天津，文 9】若函数 在区间 ，内恒有2()log()0,1)afxxa(0,)2，则 的单调递增区间为 ()0fx()fx（ ）（A） （B） （C） （D）1(,)41(,)4(0,)1(,)2【答案】D2.【2005 天津，文 10】设 式定义在 上以 6 为周期的函数， 在 内单调递()fxR()fx0,3减，且 的图像关于直线 对称，则下面正确的结论是 （ ()yfx3）（A） （B）(1.5)3.)(6.5)fff(3.5)(1.6.5)fff（C） （D）61 (【答案】B【解析】函数图象关于直线 对称，则有 ，因此有3x(3)()fxf，又因为函数周期为 6，因此 ，(3.5)(0.)(.5)(2.)ffff (.5)(0.)ff在 内单调递减，所以 ，选 B()fx, (3.)(1.5.)fff3.【2005 天津，文 15】设函数 ，则函数 的定义域为 lnxf1()(2xgff2．【答案】 (2,1)(,【解析】由题意得则所求定义域为 .2012121xxxxx 或或 (2,1)(,4.【2006 天津，文 6】函数 的反函数是( )210yx（A） （B）2(0)yx2(0)yx（C） （D）【答案】D 【解析】由函数 解得 (y2)，所以21(0)yx22(1)xyy原函数的反函数是 ，选 D.25.【2006 天津，文 10】如果函数 且 在区间 上是增(3)(0xaa)[0,)函数，那么实数 的取值范围是( )a（A） （B） （C） （D）20,]3[,1)3(,3]3[,)2【答案】B6.【2007 天津，文 5】函数 的反函数是（ ）2log(4)0yx3A． B．24()xy24(0)xyC． D．【答案】C【解析】解：由 y=log2（ x+1） +1， 解得 x=2y-1-1 即 ： y=2x-1-1函数 y=log2（ x+1） +1（ x＞ 0） 的值域为{ y|y＞ 1}，∴函数 y=log2（ x+1） +1（ x＞ 0） 的反函数为 y=2x-1-1（ x＞ 1） ．7.【2007 天津，文 10】设 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，若()fR0≥ 2()fx对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ xt， ()xtfx≥ t）A． B． C． D．2， ∞ 2， ∞ 02， 210， ，【答案】A8.【2008 天津，文 3】函数 （ ）的反函数是1yx04（A） （ ） （B） （ ）2()yx32(1)yx04x（C） （ ） （D） （ ）【答案】A【解析】当 时， ，解 得 ，选 A．04x[,3]1x1yx12()fx9.【2008 天津，文 8】已知函数 ，则不等式 的解集是2,0()f2()f4（A） （B） （C） （D）[1,][2,][2,1][1,2]【答案】A【解析】依题意得 ，选22000xx xx或 或A．10.【2008 天津，文 10】设 ，若对于任意的 ，都有 满足方程1a[,]xa2[,]ya，这时 的取值集合为logl3aaxy（A） （B） （C） （D）2{|1}{|}23|}2{{2,3}【答案】B【解析】易得 ，在 上单调递减，所以 ，故 ，3ayx[,2]2[,]ya21a选 B．11.【2009 天津，文 8】设函数 ,则不等式 f(x)＞f(1)的解集.0,64)(2xxf是( )A.(－3,1)∪(3,+∞) B.(－3,1)∪(2,+∞)C.(－1,1)∪(3,+∞) D.(－∞,－3)∪(1,3)【答案】A12.【2010 天津，文 4】函数 f(x)＝e x＋ x－2 的零点所在的一个区间是( )A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)【答案】C【解析】 因为 f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e－1＞0，f(0)·f(1)＜0，所以函数f(x)在(0,1)内有一个零点． 13.【2010 天津，文 10】设函数 g(x)＝ x2－2( x∈R)， f(x)＝ 则4,(),.gxgx5f(x)的值域是( )A．[ ，0]∪(1，＋∞) B．[0，＋∞)94C．[ ，＋∞) D．[ ，0]∪(2，＋∞)94【答案】D 14.【2011 天津，文 8】已知 是等差数列, 为其前 n 项和, .若 ,nanSN316a,则 的值为 .20S10【答案】11015.【2012 天津，文 6】下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( )A． y＝cos2 x， x∈RB． y＝log 2|x|， x∈R 且 x≠0C． ， x∈ReD． y＝ x3＋1， x∈R【答案】B【解析】 对于 A 项，y＝cos2x 是偶函数，但在区间(1， )内是减函数，在区间( ，2)π2π2内是增函数，不满足题意．对于 B 项，log2|－x|＝log2|x|，是偶函数，当 x∈(1,2)时，y＝log2x 是增函数，满足题6意．对于 C 项， ，()ee() ()2xxf fx∴ 是奇函数，不满足题意．e2xy对于 D 项，y＝x3＋1 是非奇非偶函数，不满足题意．16.【2013 天津，文 7】已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数 a 满足 f(log2a)＋ ≤2 f(1)，则 a 的取值范围是( )．12logA．[1,2] B． 0,C． D．(0,2]1,2【答案】C17.【2014 天津，文 4】设 则（ ）,,log,l 2212cbaA. B. C. D.cbacab【答案】C.【解析】试题分析：因为 所以 ，2221122logl,logl0,(,1)abcbca选 C.考点：比较大小18.【2014 天津，文 12】函数 的单调递减区间是________.2()lgfx【答案】 (,0).7【解析】试题分析：因为函数定义域为 所以当 ， 单调减，函数(,0)(,)(,0)x2ux单调减，当 ， 单调增，函数 单调增，故函数2()lgfx,x2uxlgf的单调递减区间是lf (,0).考点：复合函数单调区间二．能力题组1.【2010 天津，文 16】设函数 f(x)＝ x－ .对任意 x∈[1，＋∞)， f(mx)＋ mf(x)＜0 恒1成立，则实数 m 的取值范围是__________．【答案】(－∞，－1)2.【2013 天津，文 8】设函数 f(x)＝e x＋ x－2， g(x)＝ln x＋ x2－3.若实数 a， b 满足 f(a)＝0， g(b)＝0，则( )．A． g(a)＜0＜ f(b) B． f(b)＜0＜ g(a)C．0＜ g(a)＜ f(b) D． f(b)＜ g(a)＜0【答案】A【解析】由 f(a)＝ea＋a－2＝0 得 0＜a＜1.由 g(b)＝ln b＋b2－3＝0 得 1＜b＜2.因为 g(a)＝ln a＋a2－3＜0，8f(b)＝eb＋b－2＞0，所以 f(b)＞0＞g(a)，故选 A.3. .【2015 高考天津，文 8】已知函数 ,函数 ,2|,())xfì-£ï=íî ()3(2)gxfx=-则函数 的零点的个数为（ ）y()fxg=-(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5【答案】A【解析】当 时 ,所以 , ,此时函数0x22fxx2fx的小于零的零点为 ;当31fgff 15时 , ,函数02x2fxx2fx无零点;当 时, ,31fg2f,函数 大于4xx2435fxgxxx2 的零点为 ,综上可得函数 的零点的个数为 2.故选 A.52y()f=-【考点定位】本题主要考查分段函数、函数零点及学生分析问题解决问题的能力.4. 【2015 高考天津，文 7】 已知定义在 R 上的函数 为偶函数,记 ,|()21()xmf-=为 实 数 0.5(log3),af=2b(log5),c()ffm=则 ,的大小关系为（ ）abc(A) (B) (C) (D) bcabacbc【答案】B【解析】由 为偶函数得 ,所以fx0m0,52log3log32112,, ,所以 ,故选 B.2log514b21cbca【考点定位】本题主要考查函数奇偶性及对数运算.三．拔高题组1.【2012 天津，文 14】已知函数 的图象与函数 y＝ kx 的图象恰有两个交2|1|xy点，则实数 k 的取值范围是__________．【答案】(0,1)∪(1,2)9【解析】2 1,|1|||||xxyx函数 y=kx 过定点(0,0)．由数形结合可知：0＜k＜1 或 1＜k＜kOC，∴0＜k＜1 或 1＜k＜2．2.【2014 天津，文 14】已知函数 若函数 恰有 40,245xxf xafy)(个零点，则实数 的取值范围为_______a【答案】 (1,2)【解析】试题分析：分别作出函数 与 的图像，由图知， 时，函数 与 无()yfx|yax0a()yfx|yaxy xo10交点， 时，函数 与 有三个交点，故 当 ， 时，函数0a()yfx|yax0.ax2a与 有一个交点，当 ， 时，函数 与 有两个()yfx| 02()yf|yx交点，当 时，若 与 相切，则由 得： 或yx254,(1)x01（舍） ，因此当 ， 时，函数 与 有两个交点，当 ，9a01a)yf|yaxx时，函数 与 有三个交点，当 ， 时，函数 与1()yfx|yx01()yf有四个交点，所以当且仅当 时，函数 与 恰有 4 个交点.|yax12a()yfx|ax考点：函数图像3. 【2016 高考天津文数】已知函数 在 R 上2(43),0() (1)log1axxf a且单调递减，且关于 x 的方程 恰有两个不相等的实数解，则 的取值范围|()|f是_________.【答案】 12[,)3【考点】函数综合【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化为求函数值域的问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．4.【2016 高考天津文数】已知 是定义在 上的偶函数，且在区间 上单调递增，)(xfR)0,(若实数 满足 ，则 的取值范围是a22(|1faa（A） （B） （C） （D）),(),3()1,()23,1(11),23(【答案】C【解析】试题分析：由题意得，故选 C1|1|1|213(2)(2) ||2aaaff a【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．(2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．1第三章 导数一．基础题组1.【2009 天津，文 10】设函数 f(x)在 R上的导函数为 f′(x),且 2f(x)+xf′(x)＞x 2.下面的不等式在 R上恒成立的是( )A.f(x)＞0 B.f(x)＜0 C.f(x)＞x D.f(x)＜x【答案】A【解析】特殊值法:由于 2f(x)+xf′(x)＞x2 成立,取特殊值 x＝0,则有 2f(x)＞0,即 f(x)＞0.2. 【2015 高考天津，文 11】已知函数 ,其中 a为实数,ln,0,fxa为 的导函数,若 ,则 a的值为 ．fxf13f【答案】3【解析】因为 ,所以 .lnfxax3f【考点定位】本题主要考查导数的运算法则.3.【2016 高考天津文数】已知函数 为 的导函数，则 的值()2+1)e,(xfxf)fx(0)f为__________.【答案】3【解析】试题分析： ()2+3)e,(0)3.xfxf【考点】导数【名师点睛】求函数的导数的方法：(1)连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)根式形式：先化为分数指数幂，再求导；(3)复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导；(4)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导；(5)不能直接求导：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导．二．能力题组1.【2005 天津，文 21】已知 ，设mR2： 和 是方程 的两个实根，不等式 对任意实P1x220xa21253mx恒成立；[,]a：函数 在 上有极值．Q324()()63fxmx(,)求使 正确且 正确的 的取值范围．P【答案】(-,1) ),[]5,4((Ⅱ)对函数 求导6)34()(23xmxf 3423)(' mxxf令 ，即 此一元二次不等式的判别式0)('xf02164)31422 m若＝0，则 有两个相等的实根 ，且 的符号如下：('xf 0x)('f3(－, )0x0x( ,+)0x+ 0 +因为， 不是函数 的极值0()fx()f若0，则 有两个不相等的实根 和 ( 0时，函数 f( )在(－,+)上有极值由 得 或 ，0624m4m因为，当 或 时，Q 是正确得14综上，使 P正确且 Q正确时，实数 m的取值范围为(-,1) ),6[]5,4(2.【2006 天津，文 20】已知函数 其中 为参数，且321()4cos,3fx,xR02.（I）当 时，判断函数 是否有极值；cos0()f（II）要使函数 的极小值大于零，求参数 的取值范围；()fx（III）若对（II）中所求的取值范围内的任意参数 ，函数 在区间()fx内都是增函数，求实数 的取值范围。(21,)aa【答案】 （I）无极值， （II） ， （III）325(,0][,1).8【解析】 （I）解：当 时 则 在 内是增函数，故无cos031()4,fx()fx,)极值。（II）解： 令 得2'()16cs,fxx'()0,f2o0,.4由 及（I） ，只需考虑 的情况。02cos0当 变化时， 的符号及 的变化情况如下表：x'()fx()fx因此，函数 在 处取得极小值 且()fxcos2cos(),2f31().4f要使 必有 可得 所以cos()0,2f3cos0,21cos,2,00 cs(,)2coscos(,)2'()fx＋ 0 － 0 ＋A极大值 A极小值 A53.【2007 天津，文 21】设函数 （ ） ，其中 ．2())fxaxRa（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；1ay(f，（Ⅱ）当 时，求函数 的极大值和极小值；0()fx（Ⅲ）当 时，证明存在 ，使得不等式 对任310k， 2(cos)(cos)fkxfkx≥意的 恒成立．xR【答案】 （Ⅰ） ；（Ⅱ）函数 在 处取得极小值 ，且580y()fx3a3af；函数 在 处取得极大值 ，且 ． ；（Ⅲ）详见解3427af()fxa()f()0f析【解析】 （Ⅰ）解：当 时， ，得 ，且1a232()1)fxx()2f， ．2()34fxx25所以，曲线 在点 处的切线方程是 ，整理得()y()， 25()yx．580x（1）若 ，当 变化时， 的正负如下表：0ax()fxx3a∞ ， 3a， a()a， ∞()f 006因此，函数 在 处取得极小值 ，且()fx3a3af；3427af函数 在 处取得极大值 ，且()fx()fa．0a（2）若 ，当 变化时， 的正负如下表：x()fxxa∞ ， 3a， 3a， ∞()f 00因此，函数 在 处取得极小值 ，且()fxa()fa；()0fa函数 在 处取得极大值 ，且()fx33f．427af74.【2008 天津，文 21】设函数 ，其中 ．432()()fxaxbRab，（Ⅰ）当 时，讨论函数 的单调性；103a（Ⅱ）若函数 仅在 处有极值，求 的取值范围；()fx（Ⅲ）若对于任意的 ，不等式 在 上恒成立，求 的取值范围．2， ()1fx≤ ， b【答案】 （I） 在 ， 内是增函数，在 ， 内是减函()fx10， ()， ∞ (0)∞ ， 12，数． （II） ． （Ⅲ） ．83， 4∞ ，【解析】 （Ⅰ）解： ．322()(34)fxaxxa当 时，103a．2()4)2(1)2fxxx令 ，解得 ， ， ．()0f1238当 变化时， ， 的变化情况如下表：x()fxf(0∞ ， 102， 12， (2)， ∞)fx 0(↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗所以 在 ， 内是增函数，在 ， 内是减函数．()fx102， ()， ∞ (0)∞ ， 12，（Ⅱ）解： ，显然 不是方程 的243xax430xa根．为使 仅在 处有极值，必须 恒成立，即有()fx02430a≥．2964a≤解此不等式，得 ．这时， 是唯一极值．83a≤ ≤ (0)fb因此满足条件的 的取值范围是 ．83，所以 ，因此满足条件的 的取值范围是 ．4b≤ b4∞ ，5.【2009 天津，文 21】设函数 (x∈R),其中 m＞0.xmxxf )1(31)(29(1)当 m＝1 时,求曲线 y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率;(2)求函数 f(x)的单调区间与极值;(3)已知函数 f(x)有三个互不相同的零点 0,x1,x2,且 x1＜x 2,若对任意的 x∈［x 1,x2］,f(x)＞f(1)恒成立,求 m的取值范围.本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性与极值、函数的零点与方程的根的关系、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力.满分 14分.【答案】 （Ⅰ）1；（Ⅱ）f(x)在(－∞,1－m),(1+m,+∞)内是减函数,在(1－m,1+m)内是增函数.函数 f(x)在 x＝1－m 处取得极小值 f(1－m),且 .312)1(23mf函数 f(x)在 x＝1+m 处取得极大值 f(1+m),且 ；（Ⅲ）( ).)(23f ,【解析】(1)解:当 m＝1 时, ,f′(x)＝－x 2+2x,故 f′(1)＝1.231)(xf所以曲线 y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为 1.(3)解:由题设,f(x)＝x(－ x2+x+m2－1)＝－ x(x－x1)(x－x2),所以方程313110－ x2+x+m2－1＝0 有两个相异的实根 x1,x2,故 x1+x2＝3,且 ＞0.解得3)1(342mm＜ (舍),或 m＞ .因为 x1＜x 2,所以 2x2＞x 1+x2＝3,故 x2＞ ＞1.3若 x1≤1＜x 2,则 f(1)＝－ (1－x 1)(1－x 2)≥0,而 f(x1)＝0,不合题意.3若 1＜x 1＜x 2,对任意的 x∈［x 1,x2］,有 x＞0,x－x 1≥0,x－x 2≤0,则 f(x)＝－ x(x－x 1)3(x－x 2)≥0.又 f(x1)＝0,所以 f(x)在［x 1,x2］上的最小值为 0.于是对任意的 x∈［x 1,x2］,f(x)＞f(1)恒成立的充要条件是 f(1)＝ ＜0,解得 .3m3m综上,m 的取值范围是( ).3,216.【2010 天津，文 20】已知函数 f(x)＝ ax3－ x2＋1( x∈R)，其中 a＞0.(1)若 a＝1，求曲线 y＝ f(x)在点(2， f(2))处的切线方程；(2)若在区间[－ ， ]上， f(x)＞0 恒成立，求 a的取值范围．21【答案】(1) y＝6x－9. (2) 0＜a＜5.【解析】解：(1)当 a＝1 时，f(x)＝x3－ x2＋1，f(2)＝3；f′(x)＝3x2－3x，f′(2)2＝6.所以曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 y－3＝6(x－2)，即 y＝6x－9.(2)f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)，令 f′(x)＝0，解得 x＝0 或 x＝ .1a以下分两种情况讨论：①若 0＜a≤2，则 ≥ ，当 x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：1a2x (－ ，0)10 (0， )12f′(x) ＋ 0 －11f(x) ↗ 极大值 ↘当 x∈[－ ， ]时，f(x)＞0 等价于 即121()0,2.f50,8.a解不等式组得－5＜a＜5.因此 0＜a≤2.综合①和②，可知 a的取值范围为 0＜a＜5. 三．拔高题组1.【2011 天津，文 19】已知函数 其中 .32()461,fxtxtxRt（Ⅰ）当 时,求曲线 在点 处的切线方程;1ty0,)f(Ⅱ)当 时,求 的单调区间;0()fx(Ⅲ)证明:对任意 , 在区间(0,1)内均在零点.t()f【答案】(1) (2) 若 ,则 的单调递增区间是 , ;6yx0t()fx()2t()的单调递减区间是 .)若 ,则 的单调递增区间是 , ;()fx(,)2tt12的单调递减区间是 . (3)详见解析.()fx(,)2t【解析】 （Ⅰ）当 时, 1t3246,(0),fxxf,2'()6'(0)fx所以曲线 在点 处的切线方程为 .()yfx,fyx(Ⅱ) 令 ,解得 或 ,因为 ,以下分两种情况22'1t'()0xt20t讨论:(1)若 ,则 .当 变化时, , 的变化情况如下表:0t2t '()fx(2t(,)2t(,)t'()f+ - +x所以 的单调递增区间是 , ; 的单调递减区间是 .()fx()2t()(fx(,)2t(2)若 ,则 .当 变化时, , 的变化情况如下表:0t2tx'f所以 的单调递增区间是 , ; 的单调递减区间是 .()fx()t()2(fx(,)2tx(,)t(,)2t(,)2t'()f + - +x13所以 在 内存在零点.()fx,12t若 , ,t37(1)4ft3704t所以 在 内存在零点,所以,对任意 , 在区间(0,1)(0)ffx02t (02)tfx内均在零点.综上, 对任意 , 在区间(0,1)内均在零点.()t(f【命题意图】本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.2.【2012 天津，文 20】已知函数 f(x)＝ x3＋ x2－ ax－ a， x∈R，其中 a＞0．1(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求 a的取值范围；(3)当 a＝1 时，设函数 f(x)在区间［ t， t＋3］上的最大值为 M(t)，最小值为 m(t)，记 g(t)＝ M(t)－ m(t)，求函数 g(t)在区间［－3，－1］上的最小值．【答案】 （Ⅰ）单调递增区间是(－∞，－1)，(a，＋∞)；单调递减区间是(－1，a)． ；（Ⅱ）(0， )；（Ⅲ）3414(2)由(1)知 f(x)在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数 f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当 解得 0＜a＜ ．(2),1,ff13所以，a 的取值范围是(0， )．13(3)a＝1 时，f(x)＝ x3－x－1．由(1)知 f(x)在［－3，－1］上单调递增，在［－1,1］上单调递减，在［1,2］上单调递增．①当 t∈［－3，－2］时，t＋3∈［0,1］ ，－1∈［t，t＋3］ ，f(x)在［t，－1］上单调递增，在［－1，t＋3］上单调递减．因此，f(x)在［t，t＋3］上的最大值 M(t)＝f(－1)＝，而最小值 m(t)为 f(t)与 f (t＋3)中的较小者．由 f(t＋3)－f(t)＝3(t＋1)(t＋2)知，当 t∈［－3，－2］时，f(t)≤f(t＋3)，故 m(t)＝f(t)，所以 g(t)＝f(－1)－f(t)．而 f(t)在［－3，－2］上单调递增，因此 f(t)≤f(－2)＝ ，所以 g(t)在53［－3，－2］上的最小值为 ．154(2)()3g153.【2013 天津，文 20】设 a∈[－2,0]，已知函数 3250.xaxf， ，＝ ，(1)证明 f(x)在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增；(2)设曲线 y＝ f(x)在点 Pi(xi， f(xi))(i＝1,2,3)处的切线相互平行，且 x1x2x3≠0.证明 x1＋ x2＋ x3＞ .【答案】 （Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析【解析】证明：(1)设函数 f1(x)＝x3－(a＋5)x(x≤0)，f2(x)＝ (x≥0)，32axx①f1′(x)＝3x2－(a＋5)，由 a∈[－2,0]，从而当－1＜x＜0 时，f1′(x)＝3x2－(a＋5)＜3－a－5≤0，所以函数 f1(x)在区间(－1,0]内单调递减．②f2′(x)＝3x2－(a＋3)x＋a＝(3x－a)(x－1)，由于 a∈[－2,0]，所以当 0＜x＜1 时，f2′(x)＜0；当 x＞1 时，f2′(x)＞0.即函数 f2(x)在区间[0,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．综合①，②及 f1(0)＝f2(0)，可知函数 f(x)在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．(2)由(1)知 f′(x)在区间(－∞，0)内单调递减，在区间 内单调递减，在区间306a，内单调递增．36a，16因为曲线 y＝f(x)在点 Pi(xi，f(xi))(i＝1,2,3)处的切线相互平行，从而 x1，x2，x3 互不相等，且 f′(x1)＝f′(x2)＝f′(x3)．不妨设 x1＜0＜x2＜x3，由 －(a＋5)＝213x－(a＋3)x2＋a＝ －(a＋3)x3＋a，23x23x可得 －(a＋3)(x2－x3)＝0，解得 x2＋x3＝ ，从而 0＜x2＜ ＜x3.23 3a6a设 g(x)＝3x2－(a＋3)x＋a，则 ＜g(x2)＜g(0)＝a.36ag由 －(a＋5)＝g(x2)＜a，解得 ＜x1＜0，213x253所以 x1＋x2＋x3＞ ，253a设 t＝ ，则 a＝ ，2532t因为 a∈[－2,0]，所以 t∈ ，315,故 x1＋x2＋x3＞ ，即 x1＋x2＋x3＞ .22()63tt134.【2014 天津，文 19】已知函数 23(0),fxaxR（1） 求 的单调区间和极值；()fx（2）若对于任意的 ，都存在 ，使得 ，求 的取1(2,)2(1,)x12()fxa值范围【答案】(1) 的单调增区间是 ，单调减区间是 和 ，当 时，()fx(0,)a(,0)(,)a0x取极小值 ，当 时， 取极大值 ， (2) ()fx01fx213a3[].42【解析】试题分析：(1)求函数单调区间及极值，先明确定义域：R，再求导数在定义域下求导函数的零点： 或 ，通过列表分析，根据2()(0).fxax0x1a17导函数符号变化规律，确定单调区间及极值，即 的单调增区间是 ，单调减区间()fx1(0,)a是 和 ，当 时， 取极小值 ，当 时， 取极大值 (,0)1(,)a0x()fx0fx213a， (2)本题首先要正确转化：“对于任意的 ，都存在 ，使得1(2,)2(1,)”等价于两个函数值域的包含关系. 设集合 ，集合12()fx {|,}Afx则 ，其次挖掘隐含条件，简化讨论情况，明确讨论方{|(,)(0},)BfxfAB向. 由于 ，所以 ,因此 ，又 ，所以 ，即032a(1)0f3.42a试题解析： 解(1)由已知有 令 ，解得 或 ，列表如下：2()(0).fxx()0fx0xax(,01,a1,a)f (xA0A23A所以 的单调增区间是 ，单调减区间是 和 ，当 时， 取()f1(,)a(,0)1(,)a0x()fx极小值 ，当 时， 取极大值 ，(2)由 及（1）知，当0xfx213a32f时， ，当 时， 设集合 ，集3(,)2xa()0f(,)()0.fx{()|,)}Afx合 则“对于任意的 ，都存在 ，使得1{|,},()Bxfxf12,)21,”等价于 .显然 .12AB018考点：利用导数求单调区间及极值，利用导数求函数值域5. 【2015 高考天津，文 20】 （本小题满分 14分）已知函数 4(),fxxR=-Î（I）求 的单调区间;()fx（II）设曲线 与 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P处的切线方程为 ,求()yf=x ()ygx证:对于任意的正实数 ,都有 ;()fgx£（III）若方程 有两个正实数根 且 ,求证:()fxa为 实 数 12x， ， 12.1321-4x+【答案】 （I） 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 ;（II）见试题fx11,解析;（III）见试题解析.【解析】（I）由 ,可得 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 ;3()4fx¢=-fx11,（II） , ,证明 在 单调递增,在00gFfgxFx0单调递减,所以对任意的实数 x, ,对于任意的正实数 ,都有0x0x;（III）设方程 的根为 ,可得 ,由 在()fg£ga21324axg单调递减,得 ,所以 .设曲线 222xfg2yfx19在原点处的切线为 方程 的根为 ,可得 ,由 在,yhxxa1x14a4hx在 单调递增,且 ,可得 所以11fh.321214axx（II）设 ,则 , 曲线 在点 P处的切线方程为0Px1304012,fxyfx,即 ,令 即yfgFg则 .0Fxfx0Fxffx由于 在 单调递减,故 在 单调递减,又因为3()4f¢=-,所以当 时, ,所以当 时, ,所以0x0xx0x0Fx在 单调递增,在 单调递减,所以对任意的实数 x,F0,对于任意的正实数 ,都有 .xx()fg£【考点定位】本题主要考查导数的几何意义及导数的应用.考查函数思想、化归思想及综合分析问题解决问题的能力6.【2016 高考天津文数】 （本小题满分 14分）20设函数 ， ，其中 .baxf3)(R,ab（Ⅰ）求 的单调区间；（Ⅱ）若 存在极值点 ，且 ，其中 ，求证：)(xf0x)(01xff01x；021x（Ⅲ）设 ，函数 ，求证： 在区间 上的最大值不小于a|)(|xfg)(xg],[.4【答案】 （Ⅰ）递减区间为 ，递增区间为 ，3(,)a3(,)a；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.3(,)a【解析】试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数： ，再根据导函数零点是否存在2()3fxa情况，分类讨论：①当 时，有 恒成立，所以 的单调0a0()fx增区间为 .②当 时，存在三个单调区间（Ⅱ）由题意得(,)即 ，再由 化简可得结论；（ Ⅲ）实质研20()30fxa23x)(01xff究函数 的最大值：主要比较 ， 的大小即可，)(g(),f3||,()|aff分三种情况研究①当 时， ，②当 时，3a1a34，③当 时，23231a0a.23a试题解析：（I）解：由 ，可得 ，下面分两种情3()fxab2()3fxa况讨论：21（1）当 时，有 恒成立，所以 的单调递增区间为0a2()30fxa()fx.(,)（2）当 时，令 ，解得 或 .0a()0fx3xa当 变化时， ， 的变化情况如下表：xff3(,)a3(,)a3a(,)()fx00()f单调递增 极大值单调递减 极小值单调递增所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，()fx3(,)a3(,)a.3(,)a（II）证明：因为 存在极值点，所以由（I）知 且 .()fx0ax由题意，得 ，即 ，2030a23x进而 ，()fxb又 ，且30000082282 ()axxbxf，x由题意及（I）知，存在唯一实数 满足 ，且 ，因此1x10()ffx10x，102x所以 .+=22（III）证明：设 在区间 上的最大值为 ， 表示 ， 两数()gx[1,]Mmax{,}yx的最大值，下面分三种情况讨论：（2）当 时， ，34a2332311aaa由（I）和（II） 知 ，3())()afff，23(1))()aff所以 在区间 上的取值范围为 ，()fx[1,]3[(),()]aff因此 M= 322ma{|()|,()|}mx{||,3|}99aff bb.22 1x||,|3|994aabb（3）当 时， ，由（I）和（II）知，304211， ，2(1))()afff3()()aff所以 在区间 上的取值范围为 ，因此，fx[1,][1,]fma{|()||}ax{|||}Mfba||,|b23.1|4ab综上所述，当 时， 在区间 上的最大值不小于 .0()gx[1,]14【考点】导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式【名师点睛】1.求可导函数单调区间的一般步骤：(1)确定函数 f(x)的定义域(定义域优先)；(2)求导函数 ；(3)在函数 f(x)的定义域内求不等式 或 的解集．()0fx()fx(4)由 ( )的解集确定函数 f(x)的单调增(减)区间．若遇不等式中0带有参数时，可分类讨论求得单调区间．2.由函数 f(x)在( a， b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为 (或)0fx)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．0f