1、1第一章 集合与常用逻辑用语、复数一基础题组1.【2005 天津，文 1】集合 的真子集个数是 |03AxxN且（ ）（A）16 （B）8 （C）7 （D）4【答案】C【解析】用列举法， ，A 的真子集有： ，共0,12,01,2,0,127 个，选 C2.【2006 天津，文 1】已知集合 则 ( )|3,|,xBxAB（A） （B） （C） （D）|21x|01|32|1【答案】 A.【解析】已知集合 = ，则 |31,|2AxBx|2x AB，选 A.|21x3.【2006 天津，文 5】设 那么 是 的( ),(,)2“tant“（A）充分页不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分
2、必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】C4.【2007 天津，文 1】已知集合 ， ，则12SxR 102T， ， ， ，（ ）STA B C D212， 02， ， 0， ， ，【答案】B【解析】解：S=xR|x+12，则S=xR|x1，2又T=-2，-1，0，1，2，故 ST=1，2故选 B5.【2007 天津，文 3】 “ ”是“直线 平行于直线 ”的（ ）2a20axy1xyA充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C6.【2008 天津，文 1】设集合 ， ， ，|08xNU1,245S3,7T则 ()UST（A） （B） （C） （D
3、）1,241,2345,7,6,8【答案】A【解析】因为 ，所以 ，选 A,68TU()1,24UST7.【2009 天津，文 1】i 是虚数单位, 等于( )i25A.1+2i B.12i C.12i D.1+2i【答案】D【解析】因为 .iiii 215)2()(258.【2009 天津，文 3】设 xR,则“x1”是“x 3x”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“x1” “x3x”,但“x3x” “x1”,3“x1”是“x3x”的充分不必要条件.9.【2010 天津，文 1】i 是虚数单位，复数 ( )3i1A12i
4、 B24i C12i D2i【答案】A 【解析】 12i. 3i(i)1210.【2010 天津，文 5】下列命题中，真命题是( )A mR，使函数 f(x) x2 mx(xR)是偶函数B mR，使函数 f(x) x2 mx(xR)是奇函数C mR，函数 f(x) x2 mx(xR)都是偶函数D mR，函数 f(x) x2 mx(xR)都是奇函数【答案】A【解析】 因为当 m0 时，f(x)x2 为偶函数，所以 A 项为真命题 11.【2011 天津，文 1】 是虚数单位，复数 =i13iA. B. C. D. 2i22i12i【答案】A【解析】因为 ，故选 A.13()1iii12.【201
5、1 天津，文 4】13.【2012 天津，文 1】i 是虚数单位，复数 ( )53i4A1i B1i C1i D1i4【答案】C【解析】 253i(i)4205i13i71i=4614.【2012 天津，文 5】设 xR，则“ ”是“2 x2 x10”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 2x2x10，可得 x1 或 ，2“ ”是“2x2x10”的充分而不必要条件215.【2012 天津，文 9】集合 A xR| x2|5中的最小整数为_【答案】3【解析】|x2|5，5x25，3x7，集合 A 中的最小整数为316.【2013
6、天津，文 1】已知集合 A xR| x|2， B xR| x1，则 A B( )A(，2 B1,2C2,2 D2,1【答案】D【解析】解不等式|x|2，得2x2，即 Ax|2x2，ABx|2x1，故选 D.17.【2013 天津，文 4】设 a， bR，则“( a b)a20”是“ a b”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为 a20，而(ab)a20，所以 ab0，即 ab；由 ab，a20，得到(ab)a20 可以为 0，所以“(ab)a20”是 “ab”的充分而不必要条件18.【2013 天津，文 9】i 是虚数单位，复数(3
7、i)(12i)_.5【答案】55i【解析】(3i)(12i)36ii2i255i.19.【2014 天津，文 1】 是虚数单位，复数 （ ）i i437A. B. C. D. i11251i7251【答案】A【解析】试题分析：因为 所以选 A.i437()34251,ii考点：复数的运算20.【2014 天津，文 3】已知命题 （ ）为则总 有 pexp,)(,0:A. B. 1)(,00xex使 得 10使 得C. D.00,x总 有 00,(1)xe总 有【答案】B考点：命题的否定21. 【2015 高考天津，文 1】已知全集 ,集合 ,集合1,23456U=235A=,则集合 （ ）1,
8、346B=AUB=（ ）(A) (B) (C) (D)2,5,6,【答案】B【解析】 , ,则 ,故选 B.3A=UB25UB=（ ）【考点定位】本题主要考查集合的交集与补集运算.22. 【2015 高考天津，文 4】设 ,则“ ”是“ ”的（ ）xR1x|1x-(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件6【答案】A【解析】由 ,可知“ ”是“ ”的21213xxx12x|1x-充分而不必要条件,故选 A.【考点定位】本题主要考查不等式解法及充分条件与必要条件.23. 【2015 高考天津，文 9】i 是虚数单位,计算 的结果为 12i【答案】
9、-i【解析】 .2i21i i【考点定位】本题主要考查复数的乘除运算.24.【2016 高考天津文数】已知集合 ， ，则 =3,21A,12|AxyBB（A） （B） （C） （D）3,1, 3【答案】A【解析】试题分析： ,选 A.1,3513BA【考点】集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基础题，难度系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏.25.【2016 高考天津文数】设 ， ，则“ ”是“ ”的0xRyyx|yx（A） 充要条件 （B）充分而不必要条件（C）必要而不充分
10、条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析： ,所以充分性不成立； ，必要性成立，故34,|xyxy选 C.【考点】充要条件的判断【名师点睛】充要条件的三种判断方法：71.定义法：直接判断“若 p 则 q”、 “若 q 则 p”的真假，并注意和图示相结合，例如“pq”为真，则 p 是 q 的充分条件2.等价法：利用 pq 与非 q非 p， qp 与非 p非 q， pq 与非 q非 p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3.集合法：若 AB，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 A B，则 A 是 B 的充要条件26.【2016 高考天津
11、文数】 是虚数单位，复数 满足 ，则 的实部为_.iz(1i)2z【答案】1【解析】试题分析： ，所以 的实部为 1.2(1)1i izz【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基础题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(i)()()i(,)abcdabdcabdR，. 其次要熟悉复数的相关基本概念，2i,ic，如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、共轭复数为 .(,)abRab2abiab二能力题组1.【2009 天津，文 13】设全集 UABxN *|lgx1.若 A( )m|m2n+1,n0,1,2,3,4,则集合 B_.【答案】2
12、,4,6,82.【2011 天津，文 9】已知集合 为整数集,则集合 中所有|1|2AxRZAZ元素的和等于 .【答案】3【解析】因为 ,所以 ,故其和为 3.|13Ax012Z8三拔高题组1.【2010 天津，文 7】设集合 A x|x a|1， xR， B x|1 x5， xR若A B ，则实数 a 的取值范围是( )A a|0 a6 B a|a2，或 a4C a|a0，或 a6 D a|2 a4【答案】C 【解析】Ax|a1xa1，xR，又 AB ，所以 a11 或 a15，即 a0 或 a6.1第二章 函数一基础题组1.【2005 天津，文 9】若函数 在区间 ，内恒有2()log()
13、0,1)afxxa(0,)2，则 的单调递增区间为 ()0fx()fx（ ）（A） （B） （C） （D）1(,)41(,)4(0,)1(,)2【答案】D2.【2005 天津，文 10】设 式定义在 上以 6 为周期的函数， 在 内单调递()fxR()fx0,3减，且 的图像关于直线 对称，则下面正确的结论是 （ ()yfx3）（A） （B）(1.5)3.)(6.5)fff(3.5)(1.6.5)fff（C） （D）61 (【答案】B【解析】函数图象关于直线 对称，则有 ，因此有3x(3)()fxf，又因为函数周期为 6，因此 ，(3.5)(0.)(.5)(2.)ffff (.5)(0.)ff
14、在 内单调递减，所以 ，选 B()fx, (3.)(1.5.)fff3.【2005 天津，文 15】设函数 ，则函数 的定义域为 lnxf1()(2xgff2【答案】 (2,1)(,【解析】由题意得则所求定义域为 .2012121xxxxx 或或 (2,1)(,4.【2006 天津，文 6】函数 的反函数是( )210yx（A） （B）2(0)yx2(0)yx（C） （D）【答案】D 【解析】由函数 解得 (y2)，所以21(0)yx22(1)xyy原函数的反函数是 ，选 D.25.【2006 天津，文 10】如果函数 且 在区间 上是增(3)(0xaa)0,)函数，那么实数 的取值范围是(
15、)a（A） （B） （C） （D）20,3,1)3(,33,)2【答案】B6.【2007 天津，文 5】函数 的反函数是（ ）2log(4)0yx3A B24()xy24(0)xyC D【答案】C【解析】解：由 y=log2（ x+1） +1， 解得 x=2y-1-1 即 ： y=2x-1-1函数 y=log2（ x+1） +1（ x 0） 的值域为 y|y 1，函数 y=log2（ x+1） +1（ x 0） 的反函数为 y=2x-1-1（ x 1） 7.【2007 天津，文 10】设 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，若()fR0 2()fx对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围
16、是（ xt， ()xtfx t）A B C D2， 2， 02， 210， ，【答案】A8.【2008 天津，文 3】函数 （ ）的反函数是1yx04（A） （ ） （B） （ ）2()yx32(1)yx04x（C） （ ） （D） （ ）【答案】A【解析】当 时， ，解 得 ，选 A04x,31x1yx12()fx9.【2008 天津，文 8】已知函数 ，则不等式 的解集是2,0()f2()f4（A） （B） （C） （D）1,2,2,11,2【答案】A【解析】依题意得 ，选22000xx xx或 或A10.【2008 天津，文 10】设 ，若对于任意的 ，都有 满足方程1a,xa2,ya，
17、这时 的取值集合为logl3aaxy（A） （B） （C） （D）2|1|23|22,3【答案】B【解析】易得 ，在 上单调递减，所以 ，故 ，3ayx,22,ya21a选 B11.【2009 天津，文 8】设函数 ,则不等式 f(x)f(1)的解集.0,64)(2xxf是( )A.(3,1)(3,+) B.(3,1)(2,+)C.(1,1)(3,+) D.(,3)(1,3)【答案】A12.【2010 天津，文 4】函数 f(x)e x x2 的零点所在的一个区间是( )A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)【答案】C【解析】 因为 f(0)e00210，f(1)e10，f(0)
18、f(1)0，所以函数f(x)在(0,1)内有一个零点 13.【2010 天津，文 10】设函数 g(x) x22( xR)， f(x) 则4,(),.gxgx5f(x)的值域是( )A ，0(1，) B0，)94C ，) D ，0(2，)94【答案】D 14.【2011 天津，文 8】已知 是等差数列, 为其前 n 项和, .若 ,nanSN316a,则 的值为 .20S10【答案】11015.【2012 天津，文 6】下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( )A ycos2 x， xRB ylog 2|x|， xR 且 x0C ， xReD y x31， xR【答案】B【
19、解析】 对于 A 项，ycos2x 是偶函数，但在区间(1， )内是减函数，在区间( ，2)22内是增函数，不满足题意对于 B 项，log2|x|log2|x|，是偶函数，当 x(1,2)时，ylog2x 是增函数，满足题6意对于 C 项， ，()ee() ()2xxf fx 是奇函数，不满足题意e2xy对于 D 项，yx31 是非奇非偶函数，不满足题意16.【2013 天津，文 7】已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间0，)上单调递增若实数 a 满足 f(log2a) 2 f(1)，则 a 的取值范围是( )12logA1,2 B 0,C D(0,21,2【答案】C17.【2
20、014 天津，文 4】设 则（ ）,log,l 2212cbaA. B. C. D.cbacab【答案】C.【解析】试题分析：因为 所以 ，2221122logl,logl0,(,1)abcbca选 C.考点：比较大小18.【2014 天津，文 12】函数 的单调递减区间是_.2()lgfx【答案】 (,0).7【解析】试题分析：因为函数定义域为 所以当 ， 单调减，函数(,0)(,)(,0)x2ux单调减，当 ， 单调增，函数 单调增，故函数2()lgfx,x2uxlgf的单调递减区间是lf (,0).考点：复合函数单调区间二能力题组1.【2010 天津，文 16】设函数 f(x) x .对
21、任意 x1，)， f(mx) mf(x)0 恒1成立，则实数 m 的取值范围是_【答案】(，1)2.【2013 天津，文 8】设函数 f(x)e x x2， g(x)ln x x23.若实数 a， b 满足 f(a)0， g(b)0，则( )A g(a)0 f(b) B f(b)0 g(a)C0 g(a) f(b) D f(b) g(a)0【答案】A【解析】由 f(a)eaa20 得 0a1.由 g(b)ln bb230 得 1b2.因为 g(a)ln aa230，8f(b)ebb20，所以 f(b)0g(a)，故选 A.3. .【2015 高考天津，文 8】已知函数 ,函数 ,2|,()xf
22、-= ()3(2)gxfx=-则函数 的零点的个数为（ ）y()fxg=-(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5【答案】A【解析】当 时 ,所以 , ,此时函数0x22fxx2fx的小于零的零点为 ;当31fgff 15时 , ,函数02x2fxx2fx无零点;当 时, ,31fg2f,函数 大于4xx2435fxgxxx2 的零点为 ,综上可得函数 的零点的个数为 2.故选 A.52y()f=-【考点定位】本题主要考查分段函数、函数零点及学生分析问题解决问题的能力.4. 【2015 高考天津，文 7】 已知定义在 R 上的函数 为偶函数,记 ,|()21()xmf-=为 实 数 0.5(
23、log3),af=2b(log5),c()ffm=则 ,的大小关系为（ ）abc(A) (B) (C) (D) bcabacbc【答案】B【解析】由 为偶函数得 ,所以fx0m0,52log3log32112, ,所以 ,故选 B.2log514b21cbca【考点定位】本题主要考查函数奇偶性及对数运算.三拔高题组1.【2012 天津，文 14】已知函数 的图象与函数 y kx 的图象恰有两个交2|1|xy点，则实数 k 的取值范围是_【答案】(0,1)(1,2)9【解析】2 1,|1|xxyx函数 y=kx 过定点(0,0)由数形结合可知：0k1 或 1kkOC，0k1 或 1k22.【20
24、14 天津，文 14】已知函数 若函数 恰有 40,245xxf xafy)(个零点，则实数 的取值范围为_a【答案】 (1,2)【解析】试题分析：分别作出函数 与 的图像，由图知， 时，函数 与 无()yfx|yax0a()yfx|yaxy xo10交点， 时，函数 与 有三个交点，故 当 ， 时，函数0a()yfx|yax0.ax2a与 有一个交点，当 ， 时，函数 与 有两个()yfx| 02()yf|yx交点，当 时，若 与 相切，则由 得： 或yx254,(1)x01（舍） ，因此当 ， 时，函数 与 有两个交点，当 ，9a01a)yf|yaxx时，函数 与 有三个交点，当 ， 时，
25、函数 与1()yfx|yx01()yf有四个交点，所以当且仅当 时，函数 与 恰有 4 个交点.|yax12a()yfx|ax考点：函数图像3. 【2016 高考天津文数】已知函数 在 R 上2(43),0() (1)log1axxf a且单调递减，且关于 x 的方程 恰有两个不相等的实数解，则 的取值范围|()|f是_.【答案】 12,)3【考点】函数综合【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化为求函数值域的问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同
26、一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解4.【2016 高考天津文数】已知 是定义在 上的偶函数，且在区间 上单调递增，)(xfR)0,(若实数 满足 ，则 的取值范围是a22(|1faa（A） （B） （C） （D）),(),3()1,()23,1(11),23(【答案】C【解析】试题分析：由题意得，故选 C1|1|1|213(2)(2) |2aaaff a【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效(2)借助函
27、数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化1第三章 导数一基础题组1.【2009 天津，文 10】设函数 f(x)在 R上的导函数为 f(x),且 2f(x)+xf(x)x 2.下面的不等式在 R上恒成立的是( )A.f(x)0 B.f(x)0 C.f(x)x D.f(x)x【答案】A【解析】特殊值法:由于 2f(x)+xf(x)x2 成立,取特殊值 x0,则有 2f(x)0,即 f(x)0.2. 【2015 高考天津，文 11】已知函数 ,其中 a为实数,ln,0,fxa为 的导函数,若 ,则 a的值为 fx
28、f13f【答案】3【解析】因为 ,所以 .lnfxax3f【考点定位】本题主要考查导数的运算法则.3.【2016 高考天津文数】已知函数 为 的导函数，则 的值()2+1)e,(xfxf)fx(0)f为_.【答案】3【解析】试题分析： ()2+3)e,(0)3.xfxf【考点】导数【名师点睛】求函数的导数的方法：(1)连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)根式形式：先化为分数指数幂，再求导；(3)复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导；(4)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导；(5)不能直接求导：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导二能力题组1.【200
29、5 天津，文 21】已知 ，设mR2： 和 是方程 的两个实根，不等式 对任意实P1x220xa21253mx恒成立；,a：函数 在 上有极值Q324()()63fxmx(,)求使 正确且 正确的 的取值范围P【答案】(-,1) ),5,4()对函数 求导6)34()(23xmxf 3423)( mxxf令 ，即 此一元二次不等式的判别式0)(xf02164)31422 m若0，则 有两个相等的实根 ，且 的符号如下：(xf 0x)(f3(, )0x0x( ,+)0x+ 0 +因为， 不是函数 的极值0()fx()f若0，则 有两个不相等的实根 和 ( 0时，函数 f( )在(,+)上有极值由
30、 得 或 ，0624m4m因为，当 或 时，Q 是正确得14综上，使 P正确且 Q正确时，实数 m的取值范围为(-,1) ),65,4(2.【2006 天津，文 20】已知函数 其中 为参数，且321()4cos,3fx,xR02.（I）当 时，判断函数 是否有极值；cos0()f（II）要使函数 的极小值大于零，求参数 的取值范围；()fx（III）若对（II）中所求的取值范围内的任意参数 ，函数 在区间()fx内都是增函数，求实数 的取值范围。(21,)aa【答案】 （I）无极值， （II） ， （III）325(,0,1).8【解析】 （I）解：当 时 则 在 内是增函数，故无cos03
31、1()4,fx()fx,)极值。（II）解： 令 得2()16cs,fxx()0,f2o0,.4由 及（I） ，只需考虑 的情况。02cos0当 变化时， 的符号及 的变化情况如下表：x()fx()fx因此，函数 在 处取得极小值 且()fxcos2cos(),2f31().4f要使 必有 可得 所以cos()0,2f3cos0,21cos,2,00 cs(,)2coscos(,)2()fx 0 0 A极大值 A极小值 A53.【2007 天津，文 21】设函数 （ ） ，其中 2()fxaxRa（）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；1ay(f，（）当 时，求函数 的极大值和极小值；0()f
32、x（）当 时，证明存在 ，使得不等式 对任310k， 2(cos)(cos)fkxfkx意的 恒成立xR【答案】 （） ；（）函数 在 处取得极小值 ，且580y()fx3a3af；函数 在 处取得极大值 ，且 ；（）详见解3427af()fxa()f()0f析【解析】 （）解：当 时， ，得 ，且1a232()1)fxx()2f， 2()34fxx25所以，曲线 在点 处的切线方程是 ，整理得()y()， 25()yx580x（1）若 ，当 变化时， 的正负如下表：0ax()fxx3a ， 3a， a()a， ()f 006因此，函数 在 处取得极小值 ，且()fx3a3af；3427af函
33、数 在 处取得极大值 ，且()fx()fa0a（2）若 ，当 变化时， 的正负如下表：x()fxxa ， 3a， 3a， ()f 00因此，函数 在 处取得极小值 ，且()fxa()fa；()0fa函数 在 处取得极大值 ，且()fx33f427af74.【2008 天津，文 21】设函数 ，其中 432()()fxaxbRab，（）当 时，讨论函数 的单调性；103a（）若函数 仅在 处有极值，求 的取值范围；()fx（）若对于任意的 ，不等式 在 上恒成立，求 的取值范围2， ()1fx ， b【答案】 （I） 在 ， 内是增函数，在 ， 内是减函()fx10， ()， (0) ， 12，
34、数 （II） （） 83， 4 ，【解析】 （）解： 322()(34)fxaxxa当 时，103a2()4)2(1)2fxxx令 ，解得 ， ， ()0f1238当 变化时， ， 的变化情况如下表：x()fxf(0 ， 102， 12， (2)， )fx 0( 极小值 极大值 极小值 所以 在 ， 内是增函数，在 ， 内是减函数()fx102， ()， (0) ， 12，（）解： ，显然 不是方程 的243xax430xa根为使 仅在 处有极值，必须 恒成立，即有()fx02430a2964a解此不等式，得 这时， 是唯一极值83a (0)fb因此满足条件的 的取值范围是 83，所以 ，因此
35、满足条件的 的取值范围是 4b b4 ，5.【2009 天津，文 21】设函数 (xR),其中 m0.xmxxf )1(31)(29(1)当 m1 时,求曲线 yf(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率;(2)求函数 f(x)的单调区间与极值;(3)已知函数 f(x)有三个互不相同的零点 0,x1,x2,且 x1x 2,若对任意的 xx 1,x2,f(x)f(1)恒成立,求 m的取值范围.本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性与极值、函数的零点与方程的根的关系、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力.满分 14分.【答案】 （）1；（）f(x)在(,1m),(1+m,
36、+)内是减函数,在(1m,1+m)内是增函数.函数 f(x)在 x1m 处取得极小值 f(1m),且 .312)1(23mf函数 f(x)在 x1+m 处取得极大值 f(1+m),且 ；（）( ).)(23f ,【解析】(1)解:当 m1 时, ,f(x)x 2+2x,故 f(1)1.231)(xf所以曲线 yf(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率为 1.(3)解:由题设,f(x)x( x2+x+m21) x(xx1)(xx2),所以方程313110 x2+x+m210 有两个相异的实根 x1,x2,故 x1+x23,且 0.解得3)1(342mm (舍),或 m .因为 x1x 2,所以
37、2x2x 1+x23,故 x2 1.3若 x11x 2,则 f(1) (1x 1)(1x 2)0,而 f(x1)0,不合题意.3若 1x 1x 2,对任意的 xx 1,x2,有 x0,xx 10,xx 20,则 f(x) x(xx 1)3(xx 2)0.又 f(x1)0,所以 f(x)在x 1,x2上的最小值为 0.于是对任意的 xx 1,x2,f(x)f(1)恒成立的充要条件是 f(1) 0,解得 .3m3m综上,m 的取值范围是( ).3,216.【2010 天津，文 20】已知函数 f(x) ax3 x21( xR)，其中 a0.(1)若 a1，求曲线 y f(x)在点(2， f(2)处
38、的切线方程；(2)若在区间 ， 上， f(x)0 恒成立，求 a的取值范围21【答案】(1) y6x9. (2) 0a5.【解析】解：(1)当 a1 时，f(x)x3 x21，f(2)3；f(x)3x23x，f(2)26.所以曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 y36(x2)，即 y6x9.(2)f(x)3ax23x3x(ax1)，令 f(x)0，解得 x0 或 x .1a以下分两种情况讨论：若 0a2，则 ，当 x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：1a2x ( ，0)10 (0， )12f(x) 0 11f(x) 极大值 当 x ， 时，f(x)0 等价于 即121(
39、)0,2.f50,8.a解不等式组得5a5.因此 0a2.综合和，可知 a的取值范围为 0a5. 三拔高题组1.【2011 天津，文 19】已知函数 其中 .32()461,fxtxtxRt（）当 时,求曲线 在点 处的切线方程;1ty0,)f()当 时,求 的单调区间;0()fx()证明:对任意 , 在区间(0,1)内均在零点.t()f【答案】(1) (2) 若 ,则 的单调递增区间是 , ;6yx0t()fx()2t()的单调递减区间是 .)若 ,则 的单调递增区间是 , ;()fx(,)2tt12的单调递减区间是 . (3)详见解析.()fx(,)2t【解析】 （）当 时, 1t3246
40、,(0),fxxf,2()6(0)fx所以曲线 在点 处的切线方程为 .()yfx,fyx() 令 ,解得 或 ,因为 ,以下分两种情况221t()0xt20t讨论:(1)若 ,则 .当 变化时, , 的变化情况如下表:0t2t ()fx(2t(,)2t(,)t()f+ - +x所以 的单调递增区间是 , ; 的单调递减区间是 .()fx()2t()(fx(,)2t(2)若 ,则 .当 变化时, , 的变化情况如下表:0t2txf所以 的单调递增区间是 , ; 的单调递减区间是 .()fx()t()2(fx(,)2tx(,)t(,)2t(,)2t()f + - +x13所以 在 内存在零点.(
41、)fx,12t若 , ,t37(1)4ft3704t所以 在 内存在零点,所以,对任意 , 在区间(0,1)(0)ffx02t (02)tfx内均在零点.综上, 对任意 , 在区间(0,1)内均在零点.()t(f【命题意图】本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.2.【2012 天津，文 20】已知函数 f(x) x3 x2 ax a， xR，其中 a01(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点，求 a的取值范围；(3)当 a1 时，设函数 f(x)在
42、区间 t， t3上的最大值为 M(t)，最小值为 m(t)，记 g(t) M(t) m(t)，求函数 g(t)在区间3，1上的最小值【答案】 （）单调递增区间是(，1)，(a，)；单调递减区间是(1，a) ；（）(0， )；（）3414(2)由(1)知 f(x)在区间(2，1)内单调递增，在区间(1,0)内单调递减，从而函数 f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点当且仅当 解得 0a (2),1,ff13所以，a 的取值范围是(0， )13(3)a1 时，f(x) x3x1由(1)知 f(x)在3，1上单调递增，在1,1上单调递减，在1,2上单调递增当 t3，2时，t30,1 ，1t，t3 ，
43、f(x)在t，1上单调递增，在1，t3上单调递减因此，f(x)在t，t3上的最大值 M(t)f(1)，而最小值 m(t)为 f(t)与 f (t3)中的较小者由 f(t3)f(t)3(t1)(t2)知，当 t3，2时，f(t)f(t3)，故 m(t)f(t)，所以 g(t)f(1)f(t)而 f(t)在3，2上单调递增，因此 f(t)f(2) ，所以 g(t)在533，2上的最小值为 154(2)()3g153.【2013 天津，文 20】设 a2,0，已知函数 3250.xaxf， ， ，(1)证明 f(x)在区间(1,1)内单调递减，在区间(1，)内单调递增；(2)设曲线 y f(x)在点
44、 Pi(xi， f(xi)(i1,2,3)处的切线相互平行，且 x1x2x30.证明 x1 x2 x3 .【答案】 （）详见解析；（）详见解析【解析】证明：(1)设函数 f1(x)x3(a5)x(x0)，f2(x) (x0)，32axxf1(x)3x2(a5)，由 a2,0，从而当1x0 时，f1(x)3x2(a5)3a50，所以函数 f1(x)在区间(1,0内单调递减f2(x)3x2(a3)xa(3xa)(x1)，由于 a2,0，所以当 0x1 时，f2(x)0；当 x1 时，f2(x)0.即函数 f2(x)在区间0,1)内单调递减，在区间(1，)内单调递增综合，及 f1(0)f2(0)，可
45、知函数 f(x)在区间(1,1)内单调递减，在区间(1，)内单调递增(2)由(1)知 f(x)在区间(，0)内单调递减，在区间 内单调递减，在区间306a，内单调递增36a，16因为曲线 yf(x)在点 Pi(xi，f(xi)(i1,2,3)处的切线相互平行，从而 x1，x2，x3 互不相等，且 f(x1)f(x2)f(x3)不妨设 x10x2x3，由 (a5)213x(a3)x2a (a3)x3a，23x23x可得 (a3)(x2x3)0，解得 x2x3 ，从而 0x2 x3.23 3a6a设 g(x)3x2(a3)xa，则 g(x2)g(0)a.36ag由 (a5)g(x2)a，解得 x1
46、0，213x253所以 x1x2x3 ，253a设 t ，则 a ，2532t因为 a2,0，所以 t ，315,故 x1x2x3 ，即 x1x2x3 .22()63tt134.【2014 天津，文 19】已知函数 23(0),fxaxR（1） 求 的单调区间和极值；()fx（2）若对于任意的 ，都存在 ，使得 ，求 的取1(2,)2(1,)x12()fxa值范围【答案】(1) 的单调增区间是 ，单调减区间是 和 ，当 时，()fx(0,)a(,0)(,)a0x取极小值 ，当 时， 取极大值 ， (2) ()fx01fx213a3.42【解析】试题分析：(1)求函数单调区间及极值，先明确定义域
47、：R，再求导数在定义域下求导函数的零点： 或 ，通过列表分析，根据2()(0).fxax0x1a17导函数符号变化规律，确定单调区间及极值，即 的单调增区间是 ，单调减区间()fx1(0,)a是 和 ，当 时， 取极小值 ，当 时， 取极大值 (,0)1(,)a0x()fx0fx213a， (2)本题首先要正确转化：“对于任意的 ，都存在 ，使得1(2,)2(1,)”等价于两个函数值域的包含关系. 设集合 ，集合12()fx |,Afx则 ，其次挖掘隐含条件，简化讨论情况，明确讨论方|(,)(0,)BfxfAB向. 由于 ，所以 ,因此 ，又 ，所以 ，即032a(1)0f3.42a试题解析：
48、 解(1)由已知有 令 ，解得 或 ，列表如下：2()(0).fxx()0fx0xax(,01,a1,a)f (xA0A23A所以 的单调增区间是 ，单调减区间是 和 ，当 时， 取()f1(,)a(,0)1(,)a0x()fx极小值 ，当 时， 取极大值 ，(2)由 及（1）知，当0xfx213a32f时， ，当 时， 设集合 ，集3(,)2xa()0f(,)()0.fx()|,)Afx合 则“对于任意的 ，都存在 ，使得1|,()Bxfxf12,)21,”等价于 .显然 .12AB018考点：利用导数求单调区间及极值，利用导数求函数值域5. 【2015 高考天津，文 20】 （本小题满分
49、14分）已知函数 4(),fxxR=-（I）求 的单调区间;()fx（II）设曲线 与 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P处的切线方程为 ,求()yf=x ()ygx证:对于任意的正实数 ,都有 ;()fgx（III）若方程 有两个正实数根 且 ,求证:()fxa为 实 数 12x， ， 12.1321-4x+【答案】 （I） 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 ;（II）见试题fx11,解析;（III）见试题解析.【解析】（I）由 ,可得 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 ;3()4fx=-fx11,（II） , ,证明 在 单调递增,在00gFfgxFx0单调递减,所以对任意的实数 x,
50、 ,对于任意的正实数 ,都有0x0x;（III）设方程 的根为 ,可得 ,由 在()fgga21324axg单调递减,得 ,所以 .设曲线 222xfg2yfx19在原点处的切线为 方程 的根为 ,可得 ,由 在,yhxxa1x14a4hx在 单调递增,且 ,可得 所以11fh.321214axx（II）设 ,则 , 曲线 在点 P处的切线方程为0Px1304012,fxyfx,即 ,令 即yfgFg则 .0Fxfx0Fxffx由于 在 单调递减,故 在 单调递减,又因为3()4f=-,所以当 时, ,所以当 时, ,所以0x0xx0x0Fx在 单调递增,在 单调递减,所以对任意的实数 x,F
51、0,对于任意的正实数 ,都有 .xx()fg【考点定位】本题主要考查导数的几何意义及导数的应用.考查函数思想、化归思想及综合分析问题解决问题的能力6.【2016 高考天津文数】 （本小题满分 14分）20设函数 ， ，其中 .baxf3)(R,ab（）求 的单调区间；（）若 存在极值点 ，且 ，其中 ，求证：)(xf0x)(01xff01x；021x（）设 ，函数 ，求证： 在区间 上的最大值不小于a|)(|xfg)(xg,.4【答案】 （）递减区间为 ，递增区间为 ，3(,)a3(,)a；（）详见解析；（）详见解析.3(,)a【解析】试题分析：（）先求函数的导数： ，再根据导函数零点是否存在
52、2()3fxa情况，分类讨论：当 时，有 恒成立，所以 的单调0a0()fx增区间为 .当 时，存在三个单调区间（）由题意得(,)即 ，再由 化简可得结论；（ ）实质研20()30fxa23x)(01xff究函数 的最大值：主要比较 ， 的大小即可，)(g(),f3|,()|aff分三种情况研究当 时， ，当 时，3a1a34，当 时，23231a0a.23a试题解析：（I）解：由 ，可得 ，下面分两种情3()fxab2()3fxa况讨论：21（1）当 时，有 恒成立，所以 的单调递增区间为0a2()30fxa()fx.(,)（2）当 时，令 ，解得 或 .0a()0fx3xa当 变化时， ，
53、 的变化情况如下表：xff3(,)a3(,)a3a(,)()fx00()f单调递增 极大值单调递减 极小值单调递增所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，()fx3(,)a3(,)a.3(,)a（II）证明：因为 存在极值点，所以由（I）知 且 .()fx0ax由题意，得 ，即 ，2030a23x进而 ，()fxb又 ，且30000082282 ()axxbxf，x由题意及（I）知，存在唯一实数 满足 ，且 ，因此1x10()ffx10x，102x所以 .+=22（III）证明：设 在区间 上的最大值为 ， 表示 ， 两数()gx1,Mmax,yx的最大值，下面分三种情况讨论：（2）当 时
54、， ，34a2332311aaa由（I）和（II） 知 ，3()()afff，23(1)()aff所以 在区间 上的取值范围为 ，()fx1,3(),()aff因此 M= 322ma|()|,()|mx|,3|99aff bb.22 1x|,|3|994aabb（3）当 时， ，由（I）和（II）知，304211， ，2(1)()afff3()()aff所以 在区间 上的取值范围为 ，因此，fx1,1,fma|()|ax|Mfba|,|b23.1|4ab综上所述，当 时， 在区间 上的最大值不小于 .0()gx1,14【考点】导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式【名师点睛】1.求可导函数单调区间的一般步骤：(1)确定函数 f(x)的定义域(定义域优先)；(2)求导函数 ；(3)在函数 f(x)的定义域内求不等式 或 的解集()0fx()fx(4)由 ( )的解集确定函数 f(x)的单调增(减)区间若遇不等式中0带有参数时，可分类讨论求得单调区间2.由函数 f(x)在( a， b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为 (或)0fx)恒成立问题，要注意“”是否可以取到0f
