学练考2015-2016学年高中数学 第1-4章单元测评（打包4套）新人教A版必修2.zip

1__单元测评(二)__第二章 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷 60 分，第Ⅱ卷 90 分，共 150 分，考试时间 120 分钟．第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．垂直于同一条直线的两条直线一定( )A．平行 B．相交C．异面 D．以上都有可能2．下列命题中，不是公理的是( )A．平行于同一个平面的两个平面互相平行B．过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线图 D2­13．已知一个四棱锥的三视图如图 D2­1 所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是( )A．4 B．3C．2 D．14．已知 α ， β ， γ 是三个不同的平面，命题“若 α ∥ β ，且 α ⊥ γ ，则 β ⊥ γ ”是真命题．若把 α ， β ， γ 中的任意两个平面换成直线，另一个保持不变，则在所得到的所有新命题中，真命题的个数是( )A．0 个 B．1 个C．2 个 D．3 个5．在长方体 ABCD ­A1B1C1D1的六个面与六个对角面(平面 AA1C1C，平面 ABC1D1，平面ADC1B1，平面 BB1D1D，平面 A1BCD1及平面 A1B1CD)所在的平面中，与棱 AA1平行的平面共有( )A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个6．若 l， m 是两条不同的直线， α 是一个平面，则下列命题中正确的是( )A．若 l⊥ m， m⊂α ，则 l⊥ αB．若 l⊥ α ， l∥ m，则 m⊥ αC．若 l∥ α ， m⊂α ，则 l∥ mD．若 l∥ α ， m∥ α ，则 l∥ m27．如图 D2 ­2 所示，已知六棱锥 P ­ ABCDEF 的底面是正六边形，若 PA⊥平面ABC， PA＝2 AB，则下列结论正确的是( )图 D2­2A． PB⊥ ADB．平面 PAB⊥平面 PBCC．直线 BC∥平面 PAED．直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45°8．在直三棱柱 ABC­A1B1C1中，若∠ BAC＝90°， AB＝ AC＝ AA1，则异面直线 BA1与 AC1所成的角等于( )A．30° B．45° C．60° D．90°9．已知 m， n 是两条不同的直线， α ， β ， γ 是三个不同的平面，下列命题中错误的是( )A．若 m⊥ α ， m⊥ β ，则 α ∥ βB．若 α ∥ γ ， β ∥ γ ，则 α ∥ βC．若 m⊂α ， n⊂β ， m∥ n，则 α ∥ βD．若 m， n 是异面直线， m⊂α ， n⊂β ， m∥ β ， n∥ α ，则 α ∥ β10．设 α ， β ， γ 是三个互不重合的平面， m， n 为两条不同的直线，给出下列命题：( )①若 n∥ m， m⊂α ，则 n∥ α ；②若 α ∥ β ， n⊄β ， n∥ α ，则 n∥ β ；③若 β ⊥ α ， γ ⊥ α ，则 β ∥ γ ；④若 n∥ m， n⊥ α ， m⊥ β ，则 α ∥ β .其中是真命题的有( )A．①和② B．①和③C．②和④ D．③和④11．如图 D2­3 所示，在长方体 ABCD ­ A1B1C1D1中，若 AB＝ BC， E， F 分别是 AB1， BC1的中点，则下列结论中不成立的是( )图 D2­3① EF 与 BB1垂直；② EF⊥平面 BCC1B1；3③ EF 与 C1D 所成的角为 45°；④ EF∥平面 A1B1C1D1.A．②③ B．①④ C．③ D．①②④12．在长方体 ABCD­A1B1C1D1中，若 AB＝ AD＝2 ， CC1＝ ，则二面角 C1­BD­C 的大3 2小为( )A．30° B．45°C．60° D．90°请将选择题答案填入下表：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 总分答案第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上)13．在四面体 ABCD 中，已知棱 AC 的长为 ，其余各棱长都为 2，则二面角 A ­ BD ­ 6C 的大小为________．14．已知 a，b 为互相不垂直的两条异面直线，α 是一个平面，则 a，b 在 α 上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．则在上面的结论中，正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)15．如图 D2­4 所示，若正四棱锥 P­ABCD 的底面积为 3，体积为 ，E 为侧棱 PC 的中22点，则 PA 与 BE 所成的角为________．图 D2­4图 D2­516．如图 D2­5 所示，已知矩形 ABCD 的边 AB＝a，BC＝2，PA⊥平面 ABCD，PA＝2，现有数据：①a＝ ；②a＝1；③a＝ ；④a＝2；⑤a＝4.当在 BC 边上存在点 Q，使 PQ⊥QD12 3时，a 可以取________．(填上一个你认为正确的数据序号即可)三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10 分)如图 D2­6 所示，在四面体 ABCD 中，CB＝CD，AD⊥BD，点 E，F 分别是 AB，BD 的中点．4求证：(1)直线 EF∥平面 ACD；(2)平面 EFC⊥平面 BCD.图 D2­618．(12 分)如图 D2­7 所示，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ADEF 是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝2 ，∠BAD＝∠CDA＝45°.2(1)求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值；(2)证明：CD⊥平面 ABF.图 D2­719．(12 分)如图 D2­8 所示是一个正方体的表面展开图的示意图，MN 和 PQ 是两条面对角线，请在正方体中将 MN 和 PQ 画出来，并就这个正方体解答下列问题．(1)求直线 MN 和 PQ 所成角的大小；(2)求四面体 M­NPQ 的体积与正方体的体积之比．5图 D2­820．(12 分)如图 D2­9 所示，在三角形 ABC 中，AC＝BC＝ AB，四边形 ABED 是边长为221 的正方形，平面 ABED⊥底面 ABC，G，F 分别是 EC，BD 的中点．(1)求证：GF∥平面 ABC；(2)求证：AC⊥平面 EBC；(3)求该五面体的体积．图 D2­921．(12 分)如图 D2­10 所示，在长方形 ABCD 中，AB＝2，AD＝1，E 为 CD 的中点，以AE 为折痕，把△DAE 折起到△D′AE 的位置，且平面 D′AE⊥平面 ABCE.(1)求证：AD′⊥BE；(2)求四棱锥 D′­ABCE 的体积；(3)在棱 D′E 上是否存在一点 P，使得 D′B∥平面 PAC，若存在，求出点 P 的位置，6若不存在，请说明理由．图 D2­1022．(12 分)如图 D2­11 所示，在等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD，AD⊥BD，M 为 AB 的中点，矩形 ABEF 所在的平面和平面 ABCD 相互垂直．(1)求证：AD⊥平面 DBE；(2)设 DE 的中点为 P，求证：MP∥平面 DAF；(3)若 AB＝2，AD＝AF＝1，求三棱锥 E­BCD 的体积．图 D2­117单元测评(二)1．D [解析] 两条直线同时垂直于同一条直线，这两条直线可能平行、相交、异面．2．A [解析] B 为公理 2，C 为公理 1，D 为公理 3.3．A [解析] 由三视图知：该几何体为底面是矩形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，其中四个侧面全是直角三角形，所以该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是 4.4．C [解析] 若 α，β 换为直线 a，b，则命题化为“若 a∥b，且 a⊥γ，则 b⊥γ” ，此命题为真命题；若 α，γ 换为直线 a，b，则命题化为“若 a∥β，且 a⊥b，则 b⊥β” ，此命题为假命题；若 β，γ 换为直线 a，b，则命题化为“若 a∥α，且 b⊥α，则 a⊥b” ，此命题为真命题．故真命题有 2 个．5．B [解析] 与 AA1平行的平面有：平面 BCC1B1，平面 CC1D1D，平面 BB1D1D，共 3个．6．B [解析] A 错误，要判断 l⊥α，需判断 l 垂直于 α 内的两条相交直线；B 正确，此为线面垂直的性质定理；C 错误，l 与 α 内的直线可能平行或异面；D 错误，l 与 m 可能平行、相交或异面．7．D [解析] 由题意知，直线 PD 与平面 ABC 所成的角为∠PDA.∵在 Rt△PAD 中，PA＝2AB＝AD，∴∠PDA＝45°.8．C [解析] 延长 CA 到 D，使得 AD＝AC，连接 A1D，则四边形 ADA1C1为平行四边形，故∠DA 1B 就是异面直线 BA1与 AC1所成的角．又∵三角形 A1DB 为等边三角形，∴∠DA 1B＝60°.9．C [解析] 若 m⊂α，n⊂β，m∥n，则 α∥β，错误，α 与 β 也可能相交．10．C [解析] ①错误，可能 n⊂α；③错误，可能 β，γ 相交；②和④正确．11．A [解析] 显然①④正确，②③错误．12．A [解析] 连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OC1.因为 AB＝AD＝2 ，所以 AC⊥BD，又3易证 BD⊥面 ACC1A1，所以 BD⊥OC 1，所以∠COC 1为二面角 C1­BD­C 的一个平面角．因为在△COC 1中，OC＝ ，CC 1＝ ，所以 tan∠COC 1＝ ，所以二面角 C1­BD­C 的大小为 30°.6 23313．90° [解析] 取 BD 的中点 M，连接 AM，CM，因为 AB＝AD＝BC＝CD，所以AM⊥BD，CM⊥BD，故∠AMC 为所求二面角的平面角．根据题意可知 AM＝ ，CM＝ ，因为3 3AM2＋CM 2＝AC 2，所以∠AMC＝90°.14．①②④ [解析] ①②④对应的情况如下图所示：15．60° [解析] 连接 AC，BD 交于点 O，连接 OE，易得 OE∥PA，∴所求的角为∠BEO.由所给条件易得 OB＝ ，OE＝ PA＝ ，BO⊥OE，62 12 22∴tan∠BEO＝ ＝ ，∴∠OEB＝60°.BOOE 316．①(或②) [解析] 为了使 PQ⊥QD，只要使 AQ⊥QD.设 BQ＝x，则 CQ＝2－x.∵△AQD 是直角三角形，∴AD 2＝AQ 2＋QD 2，即 4＝a 2＋x 2＋a 2＋(2－x) 2，∴x 2－2x＋a 2＝0，此方程有解，∴Δ≥0，即 0＜a≤1.故①②都满足题意．17．证明：(1)∵E，F 分别是 AB，BD 的中点，∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF∥AD.∵EF⊄平面 ACD，AD⊂平面 ACD，∴直线 EF∥平面 ACD.(2)∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.∵CB＝CD，F 是 BD 的中点，∴CF⊥BD.8又∵EF∩CF＝F，∴BD⊥平面 EFC.∵BD⊂平面 BCD，∴平面 EFC⊥平面 BCD.18．解：(1)因为四边形 ADEF 是正方形，所以 FA∥ED，故∠CED 为异面直线 CE 与 AF 所成的角．因为 FA⊥平面 ABCD，所以 FA⊥CD，故 ED⊥CD.在 Rt△CDE 中，因为 CD＝1，ED＝2 ，所以 CE＝ ＝3，2 CD2＋ ED2所以 cos∠CED＝ ＝ .故异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值为 .EDCE 2 23 2 23(2)证明：过点 B 作 BG∥CD 交 AD 于点 G，则∠BGA＝∠CDA＝45°.由∠BAD＝45°可得 BG⊥AB，从而 CD⊥AB.又因为 CD⊥FA，FA∩AB＝A，所以 CD⊥平面 ABF.19．解： (1)如图所示，MN 与 PQ 是异面直线，连接 NC，MC，因为在正方体中，PQ∥NC，所以∠MNC 为异面直线 MN 与 PQ 所成的角．因为 MN＝NC＝MC，所以∠MNC＝60°.所以 MN 与 PQ 所成角的大小为 60°.(2)设正方体的棱长为 a，则正方体的体积 V＝a 3.而三棱锥 M­NPQ 的体积与三棱锥 N­PQM 的体积相等，且 NP⊥平面 MPQ，所以 VN­PQM＝ · MP·MQ·NP＝ a3.13 12 16所以四面体 M­NPQ 的体积与正方体的体积之比为 1∶6.20．解：(1)证明：图 2连接 AE.∵四边形 ADEB 为正方形，∴AE∩BD＝F，且 F 是 AE 的中点，∴GF∥AC.又 AC⊂平面 ABC，∴GF∥平面 ABC.(2)证明：∵四边形 ADEB 为正方形，∴EB⊥AB.又∵平面 ABED⊥平面 ABC，平面 ABED∩平面 ABC＝AB，∴BE⊥平面 ABC，∴BE⊥AC.∵CA 2＋CB 2＝AB 2，∴AC⊥BC.又∵BC∩BE＝B，∴AC⊥平面 EBC.(3)取 AB 的中点 N，连接 CN.因为 AC＝BC，∴CN⊥AB.又∵平面 ABED⊥平面 ABC，平面 ABED∩平面 ABC＝AB，CN⊂平面 ABC，∴CN⊥平面 ABED.∵△ABC 是等腰直角三角形，∴CN＝ AB＝ .12 12∵五面体 C­ABED 是四棱锥，∴V 四棱锥 C­ABED＝ S 四边形 ABED·CN＝ ×1× ＝ .13 13 12 16921．解：(1)证明：根据题意可知，在长方形 ABCD 中，△DAE 和△CBE 为等腰直角三角形，∴∠DEA＝∠CEB＝45°，∴∠AEB＝90°，即 BE⊥AE，∵平面 D′AE⊥平面 ABCE，且平面 D′AE∩平面 ABCE＝AE，∴BE⊥平面 D′AE，∵AD′⊂平面 D′AE，∴AD′⊥BE.(2)取 AE 的中点 F，连接 D′F，则 D′F⊥AE.∵平面 D′AE⊥平面 ABCE，且平面 D′AE∩平面 ABCE＝AE，∴D′F⊥平面 ABCE，∴V D′­ABCE ＝ S 四边形 ABCE·D′F＝ × ×(1＋2)×1× ＝ .13 13 12 22 24(3)如图所示，连接 AC 交 BE 于 Q，假设在 D′E 上存在点 P，使得 D′B∥平面 PAC，连接 PQ，∵D′B⊂平面 D′BE，平面 D′BE∩平面 PAC＝PQ，∴D′B∥PQ，∴在△EBD′中， ＝ ，∵在梯形 ABCE 中， ＝ ＝ ，EPPD′ EQQB EQQB ECAB 12∴ ＝ ＝ ，即 EP＝ ED′，EPPD′ EQQB 12 13∴在棱 D′E 上存在一点 P，且 EP＝ ED′，使得 D′B∥平面 PAC.1322．解：(1)证明：∵平面 ABCD⊥平面 ABEF，平面 ABCD∩平面 ABEF＝AB，矩形 ABEF 中 EB⊥AB，∴EB⊥平面 ABCD，∵AD⊂平面 ABCD，∴EB⊥AD，∵AD⊥BD，BD∩BE＝B，∴AD⊥平面 BDE.(2)证明：取 EF 的中点 G，连接 MG，PG(如图所示)．因为 P，M，G 分别为 DE，AB，EF 的中点，∴MG∥AF，PG∥DF，∵MG∩PG＝G，AF∩DF＝F，∴平面 PMG∥平面 DAF.∵PM⊂平面 PMG，∴MP∥平面 DAF.(3)过 D 作 DH 垂直于 AB 于 H.在直角三角形 ADB 中，∵AB＝2，AD＝1，∴BD＝ ，DH＝ ，332∴三棱锥 E­BCD 的体积 V＝ ×1× ×1× ＝ .13 12 32 3121单元测评(四)第四章 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷 60分，第Ⅱ卷 90分，共 150分，考试时间 120分钟．第Ⅰ卷 (选择题 共 60分)一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．圆心为(3，4)且过点(0，0)的圆的方程是( )A． x2＋ y2＝25 B． x2＋ y2＝5C．( x－3) 2＋( y－4) 2＝25 D．( x＋3) 2＋( y＋4) 2＝252．若 x2＋ y2－ x＋ y－ m＝0 表示一个圆的方程，则 m的取值范围是( )A． m－ B． m≥－12 12C． m－2123．已知圆 C： x2＋ y2－2 x＋4 y＋1＝0，点 P在圆 C上，点 Q(－2，2)在圆 C外，则|PQ|的最大值为( )A．5 B．6 C．7 D．84．已知圆 C的圆心是直线 x＋ y＋1＝0 与直线 x－ y－1＝0 的交点，直线3x＋4 y－11＝0 与圆 C相交于 A， B两点，且| AB|＝6，则圆 C的方程为( )A． x2＋( y＋1) 2＝18 B． x2＋( y＋1) 2＝3 2C．( x＋1) 2＋ y2＝18 D．( x＋1) 2＋ y2＝3 25．若直线 x－2 y－3＝0 与圆( x－2) 2＋( y＋3) 2＝9 交于 E， F两点，则△ EOF(O是坐标原点)的面积为( )A. B.32 34C．2 D.56 556．在空间直角坐标系中，已知点 P(1， ， )，若过点 P作平面 yOz的垂线 PQ，则垂2 3足 Q的坐标为( )A．(0， ，0) B．(0， ， )2 2 3C．(1，0， ) D．(1， ，0)3 37．若直线 l将圆 x2＋ y2－2 x－4 y＝0 平分，且与直线 x＋2 y＝0 垂直，则直线 l的方程为( )A． y＝2 x B． y＝2 x－2C． y＝－ x＋ D． y＝ x＋12 32 12 328．若点 P(1，1)为圆 x2＋ y2－6 x＝0 的弦 MN的中点，则弦 MN所在直线的方程为( )A．2 x＋ y－3＝0B． x－2 y＋1＝0C． x＋2 y－3＝0D．2 x－ y－1＝09．圆 O1： x2＋ y2－4 x－6 y＋12＝0 与圆 O2： x2＋ y2－8 x－6 y＋16＝0 的位置关系是( )2A．相交 B．外离C．内含 D．内切10．若圆( x－3) 2＋( y＋5) 2＝ r2上有且只有两个点到直线 4x－3 y－2＝0 的距离等于1，则半径 r的取值范围是( )A．(4，6)B．[4，6]C．(4，5)D．(4，5]11．若过点 A(－1，4)作圆 C：( x－2) 2＋( y－3) 2＝1 的切线 l，则切线 l的方程是( )A．3 x－ y＋7＝0B．3 x＋4 y－13＝0C．3 x－ y－7＝0D． y＝4 或 3x＋4 y－13＝012．与直线 x＋ y－2＝0 和曲线 x2＋ y2－12 x－12 y＋54＝0 都相切的半径最小的圆的标准方程是( )A．( x－2) 2＋( y－2) 2＝2 B．( x＋2) 2＋( y＋2) 2＝2C．( x－2) 2＋( y＋2) 2＝2 D．( x＋2) 2＋( y－2) 2＝2请将选择题答案填入下表：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 总分答案第Ⅱ卷 (非选择题 共 90分)二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．把答案填在题中横线上)13．若圆心在 x轴上，半径为 的圆 O位于 y轴左侧，且与直线 x＋y＝0 相切，则圆2O的方程是__________________．14．圆 x2＋y 2＝1 上的点到直线 3x＋4y－25＝0 的距离的最小值是________．15．已知 A(－2，0)，B(2，0)，点 P在圆(x－3) 2＋(y－4) 2＝4 上运动，则|PA|2＋|PB| 2的最小值是________．16．若直线 y＝x＋m 与曲线 y＝ 有且只有一个公共点，则实数 m的取值范围是4－ x2________．三、解答题(本大题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10 分)求圆心在直线 l1：y－3x＝0 上，与 x轴相切，且被直线 l2：x－y＝0 截得的弦长为 2 的圆的方程．7318．(12 分)已知长方体 ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D 1D＝3，点 M是 B1C1的中点，点 N是 AB的中点．以 D为原点，建立如图 D4­1所示的空间直角坐标系．(1)写出点 D，N，M 的坐标；(2)求线段 MD，MN 的长度；(3)设点 P是线段 DN上的动点，求|MP|的最小值．图 D4­119．(12 分)设半径为 3的圆 C被直线 l：x＋y－4＝0 截得的弦 AB的中点为 P(3，1)，且弦长 ＝2 ，求圆 C的方程．|AB| 7420．(12 分)已知圆 C：x 2＋(y－1) 2＝5，直线 l：mx－y＋1－m＝0.(1)求证：对 m∈R，直线 l与圆 C总有两个不同的交点；(2)若直线 l与圆 C交于 A， B两点，且| AB|＝ ，求 m的值．1721．(12 分)已知方程 x2＋ y2－2 x－4 y＋ m＝0.(1)若此方程表示圆，求 m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线 x＋2 y－4＝0 相交于 M， N两点，且 OM⊥ ON(O为坐标原点)，求 m的值；(3)在(2)的条件下，求以 MN为直径的圆的方程．22．(12 分)已知圆 M： x2＋( y－4) 2＝1，直线 l：2 x－ y＝0，点 P在直线 l上，过点 P作圆 M的切线 PA， PB，切点分别为 A， B.(1)若∠ APB＝60°，求 P点的坐标；(2)若点 P的坐标为(1，2)，过点 P作一条直线与圆 M交于 C， D两点，当| CD|＝ 时，2求直线 CD的方程；5(3)求证：经过 A， P， M三点的圆与圆 M的公共弦必过定点，并求出此定点的坐标．61．C [解析] 由圆心(3，4)及圆上一点(0，0)，可得半径 r＝ ＝5，故圆的标32＋ 42准方程为(x－3) 2＋(y－4) 2＝25.2．A [解析] ∵方程表示一个圆，∴D 2＋E 2－4F＝(－1) 2＋1 2－4×(－m)0，∴m－ .123．C [解析] 由题可知，圆 C的圆心坐标为 C(1，－2)，半径 r＝2，则|CQ|＝ ＝5，根据几何意义得|PQ|的最大值为（ － 2－ 1） 2＋ （ 2＋ 2） 2|CQ|＋r＝5＋2＝7.4．A [解析] 易求得直线 x＋y＋1＝0 与直线 x－y－1＝0 的交点为(0，－1)，所以圆C的圆心为(0，－1)．设圆 C的半径为 r，由题意可得＋3 2＝r 2，解得 r2＝18，所以圆 C的标准方程为 x2＋(y＋1)(|3×0＋ 4×（ － 1） － 11|32＋ 42 )2 2＝18.5．D [解析] 由题知该圆的圆心为 A(2，－3)，半径 r＝3，圆心到直线的距离 d＝＝ ，弦长为 2 ＝2 ＝4，又因为原点到直线的距离为|2＋ 6－ 3|1＋ 4 5 r2－ d2 9－ 5＝ ，所以 S＝ ×4× ＝ .|0－ 0－ 3|1＋ 4 35 12 35 6 556．B [解析] 垂足 Q即为 P在平面 yOz上的射影，坐标为 .(0， 2， 3)7．A [解析] 圆 x2＋y 2－2x－4y＝0 可化为(x－1) 2＋(y－2) 2＝5，圆心为(1，2)，与直线 x＋2y＝0 垂直的直线的斜率为 2，故所求直线的方程为 y－2＝2(x－1)，即 y＝2x.8．D [解析] 圆的标准方程为(x－3) 2＋y 2＝9，圆心为 A(3，0)，因为点 P(1，1)是弦 MN的中点，所以 AP⊥MN，因为 AP的斜率为 k＝ ＝－ ，所以直线 MN的斜率为 2，1－ 01－ 3 12所以弦 MN所在直线的方程为 y－1＝2(x－1)，即 2x－y－1＝0.9．D [解析] 把圆 O1：x 2＋y 2－4x－6y＋12＝0 与圆 O2：x 2＋y 2－8x－6y＋16＝0 分别转化为标准方程为： ＋ ＝1 和 ＋ ＝9，两圆心间的距离 d＝(x－ 2)2 (y－ 3)2 (x－ 4)2 (y－ 3)2 ＝2＝r 2－r 1，所以两圆的位置关系为内切．(4－ 2)2 ＋ (3－ 3)2 10．A [解析] 圆心到直线 4x－3y－2＝0 的距离为 ＝5，|3×4－ 3×（ － 5） － 2|42＋ （ － 3） 2若圆(x－3) 2＋(y＋5) 2＝r 2上有且只有两个点到直线 4x－3y－2＝0 的距离等于 1，则半径 r的取值范围是(4，6)．11．D [解析] 结合图形知切线 l的斜率存在，设切线 l的方程是 y－4＝k(x＋1)，即 kx－y＋k＋4＝0，则圆心到切线 l的距离等于半径，即 ＝1，解得 k＝0|2k－ 3＋ k＋ 4|k2＋ 1或 k＝－ ，34因此，所求切线 l的方程是 y＝4 或 3x＋4y－13＝0.12．A [解析] 设所求圆的标准方程为(x－a) 2＋(y－b) 2＝r 2.如图所示，当已知圆与所求圆圆心的连线垂直于已知直线时，所求圆的半径最小，此时 2r＋3 等于已知圆的圆心到已知直线的距离，即 ＝2r＋3 ，2|6＋ 6－ 2|2 27解得 r＝ ，则2{b－ 6a－ 6＝ 1，|a＋ b－ 2|2 ＝ 2， )解得 a＝2，b＝2.∴所求圆的标准方程为(x－2) 2＋(y－2) 2＝2.13．(x＋2) 2＋y 2＝2 [解析] 设圆心坐标为(a，0)(a0，即 m5.(2)设 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)，则 x1＝4－2y 1，x 2＝4－2y 2.得 x1x2＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y2.∵OM⊥ON，∴x 1x2＋y 1y2＝0，∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y2＝0，①由 得 5y2－16y＋m＋8＝0.{x＝ 4－ 2y，x2＋ y2－ 2x－ 4y＋ m＝ 0， )∴y 1＋y 2＝ ，y 1y2＝ ，代入①得 m＝ .165 8＋ m5 85(3)以 MN为直径的圆的方程为(x－x 1)(x－x 2)＋(y－y 1)(y－y 2)＝0，即 x2＋y 2－(x 1＋x 2)x－(y 1＋y 2)y＝0，∵x 1＋x 2＝8－2(y 1＋y 2)＝ ，y 1＋y 2＝ ，85 165∴所求圆的方程为 x2＋y 2－ x－ y＝0.85 16522．解：(1)由条件可知|PM|＝2，设 P点坐标为(a，2a)，则|PM|＝ ＝2，解得 a＝2 或 a＝ ，所以 P(2，4)或 P ， .a2＋ （ 2a－ 4） 265 65 125(2)由条件可知圆心到直线 CD的距离 d＝ ＝ ，设直线 CD的方程为1－ 222 22y－2＝k(x－1)，则由点到直线的距离公式得 ＝ ，解得 k＝－7 或 k＝－1，|k＋ 2|k2＋ 1 22所以直线 CD的方程为 x＋y－3＝0 或 7x＋y－9＝0.(3)证明：设 P(a，2a)，过 A，P，M 三点的圆即以 PM为直径的圆，其方程为 x(x－a)＋(y－4)(y－2a)＝0，整理得 x2＋y 2－ax－4y－2ay＋8a＝0，与 x2＋(y－4) 2－1＝0 相减得公共弦的方程为(4－2a)y－ax＋8a－15＝0，即(－x－2y＋8)a＋4y－15＝0，令 解得 所以两圆的公共弦过定点 .{4y－ 15＝ 0，－ x－ 2y＋ 8＝ 0， ) {x＝ 12，y＝ 154， ) (12， 154)1单元测评(一)第一章 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷 60分，第Ⅱ卷 90分，共 150分，考试时间 120分钟．第Ⅰ卷 (选择题 共 60分)一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．现有下列三种叙述，其中正确的个数是( )①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0 B．1C．2 D．32．以长为 8 cm，宽为 6 cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为( )A．64π cm 2 B．36π cm 2 C．64π cm 2或 36π cm 2 D．48π cm 23．若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 4π，则该圆柱的体积为( )A．π B．2π C．4π D．8π4．若长方体的长、宽、高分别为 5，4，3，则它的外接球的表面积为( )A. π B．50π252C. π D. π125 23 5035．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，若其中有一条边长为 4，则此正方形的面积是( )A．16 B．64C．16 或 64 D．以上都不对6．若在棱长为 1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体，则截去 8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是( )A. B. 23 76C. D.45 567．若某空间几何体的三视图如图 D1­1所示，则该几何体的体积为( )2图 D1­1A．2π＋2 B．4π＋2 C．2π＋ D．4π＋3 32 33 2 338．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为 1， ， ，则此三棱锥的外接球的2 3表面积为 ( )A．6π B．12π C．18π D．24π 9．若底面是正三角形的三棱柱的正视图如图 D1­2所示，则其侧面积等于( )A. B．2 C．2 D．63 3图 D1­2图 D1­310．如图 D1­3所示，网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3 cm，高为 6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A. B. C. D.1727 59 1027 1311．两个等体积的球和正方体，它们的表面积的大小关系是( )A． S 球 S 正方体 B． S 球 S 正方体C． S 球 ＝ S 正方体 D．不能确定图 D1­412．如图 D1­4所示，已知△ ABC中，∠ C＝90°，∠ A＝30°， BC＝1.若在三角形内挖去一个半圆(圆心 O在边 AC上，半圆分别与 BC， AB相切于点 C， M，与 AC交于点 N)，则图3中阴影部分绕直线 AC旋转一周所得的旋转体的体积为( )A. π B. π33 5 327C. π D. π4 327 5 39请将选择题答案填入下表：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 总分答案第Ⅱ卷 (非选择题 共 90分)二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．把答案填在题中横线上)13．棱长为 2的正方体的外接球的半径是________．14.若一个几何体的三视图如图 D1­5所示，则该几何体的体积为________．图 D1­5 图 D1­6图 D1­715．若某三棱锥的三视图如图 D1­6所示，则该三棱锥最长的棱长为________．16. 某路口的机动车隔离墩的三视图如图 D1­7所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成的，根据图中标出的尺寸(单位： cm)，可求得隔离墩的体积为 ________．三、解答题(本大题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10 分)已知某几何体的三视图如图 D1­8所示，其中俯视图的内外均为正方形，边长分别为 2和 4，几何体的高为 3，求此几何体的表面积和体积．4图 D1­818．(12 分)如图 D1­9所示是一个圆台形的纸篓(有底无盖)，它的母线长为 50 cm，两底面直径分别为 40 cm和 30 cm.现有制作这种纸篓的塑料制品 50 m2，问最多可以做这种纸篓多少个？图 D1­919．(12 分)如图 D1­10所示，已知正三棱锥 O­ABC的底面边长为 2，高为 1，求该三棱锥的体积及表面积．5图 D1­1020．(12 分)如图 D1­11所示，在正三棱柱 ABC­A1B1C1中，AB＝3，AA 1＝4，M 为 AA1的中点，P 是 BC上的一点，且由 P沿棱柱侧面经过棱 CC1到 M的最短路线为 .设这条最短29路线与 CC1的交点为 N，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；(2)PC和 NC的长．图 D1­11621．(12 分)如图 D1­12所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．图 D1­1222．(12 分)如图 D1­13所示，从一个底面直径和高都是 2R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体．如果用一个与圆柱下底面的距离为 l且平行于底面的平面去截该几何体，求所得截面的面积．图 D1­13单元测评(一)1．A [解析] ①中的平面不一定平行于底面，故①错．②③可用右图反例检验，故②③不正确．2．C [解析] 分别以长为 8 cm, 宽为 6 cm的边所在的直线为旋转轴，即可得到两种7不同大小的圆柱，显然 C选项正确．3．B [解析] 设圆柱的底面半径为 r，则 2πr×2r＝4π，解得 r＝1，所以该圆柱的体积为 π×1 2×2＝2π.4．B [解析] 因为长方体的体对角线为外接球的直径，所以外接球的半径 r＝ ×12＝ ，所以它的外接球的表面积 S＝4πr 2＝50π.52＋ 42＋ 325 225．C [解析] 根据直观图的画法：平行于 x轴的线段长度不变，平行于 y轴的线段长度变为原来的一半．若长为 4的边平行于 x轴，则正方形的边长为 4，面积为 16；若长为4的边平行于 y轴，则正方形的边长为 8，面积为 64.6．D [解析] 易知 V＝1－8× × × × × ＝ .13 12 12 12 12 567．C [解析] 由图可知，该几何体由圆柱和正四棱锥组合而成，圆柱的体积为π×1 2×2＝2π，正四棱锥的体积为 ×( )2× ＝ ，故该几何体的体积为 2π＋ .13 2 3 2 33 2 338．A [解析] 将三棱锥补成边长分别为 1， ， 的长方体，则长方体的体对角线是2 3其外接球的直径，所以 2R＝ ，解得 R＝ ，故 S＝4πR 2＝6π.6629．D [解析] 由正视图可知，三棱柱是底面边长为 2，高为 1的正三棱柱，所以其侧面积为 3×2×1＝6.10．C [解析] 该零件可看成由两个圆柱组成的组合体，其体积V＝π×3 2×2＋π×2 2×4＝34π(cm 3)，原毛坯的体积 V 毛坯 ＝π×3 2×6＝54π(cm 3)，被切削掉部分的体积 V 切 ＝V 毛坯 －V＝54π－34π＝20π(cm 3)，所以 ＝ ＝ .V切V毛 坯 2054 102711．B [解析] 设球的半径为 R，正方体的边长为 a，它们的体积为 V，则V＝ πR 3＝a 3，即 a＝ ，R＝ .43 3V 33V4π故 S 正方体 ＝6a 2＝6 ＝ ，S 球 ＝4πR 2＝ ，所以 S 球 S 正方体．3V2 3216V2 336π V212．B [解析] 设半圆的半径 OC＝r，则 AC＝AO＋OM＝3r＝ ，∴r＝ .333故旋转体的体积 V＝ ×(π×1 2)× － π× ＝ π.13 3 43 (33)3 5 32713. [解析] 因为正方体的体对角线长为其外接球的直径，所以 2r＝2 ，故 r＝3 3.314. [解析] 该组合体为在一个圆柱内去掉一个半球，其体积π3V＝π×1 2×1－ π×1 3× ＝ .43 12 π315．2 [解析] 该三棱锥的直观图如图所示，并且 PB⊥平面2ABC，PB＝2，AB＝2，AC＝BC＝ ，PA＝ ＝2 ，PC＝ ＝ ，故 PA2 22＋ 22 2 22＋ （ 2） 2 6最长．16. π cm3 [解析] 该几何体的下半部分为一圆柱，上半部分为一半球，其体11 0003积 V＝π×10 2×30＋ π×10 3＝ π(cm 3)．23 11 0003817．解： 由已知得，该几何体为一个棱台，其侧面的高 h′＝ ＝ .(4－ 22 )2 ＋ 32 10故 S＝S 上底 ＋S 下底 ＋S 侧面 ＝2 2＋4 2＋4× ×(2＋4)× ＝20＋12 ，12 10 10所以该几何体的表面积为 20＋12 ，10体积 V＝ (42＋2 2＋2×4)×3＝28.1318．解：根据题意可知，纸篓底面圆的半径 r′＝15 cm，上口的半径 r＝20 cm，设母线长为 l，则纸篓的表面积 S＝πr ′2 ＋ ＝π(r ′2 ＋r′l＋rl)（ 2π r′ ＋ 2π r） l2＝π(15 2＋15×50＋20×50)＝1975π(m 2)．50 m2＝500 000 cm 2，故最多可以制作这种纸篓的个数 n＝ ≈80(个)．500 000S19．解：由已知条件可知，正三棱锥 O­ABC的底面△ABC 是边长为 2的正三角形，经计算得底面△ABC 的面积为 .所以该三棱锥的体积 V＝ × ×1＝ .313 3 33设 O′是正三角形 ABC的中心．由正三棱锥的性质可知，OO′⊥平面 ABC.延长 AO′交 BC于点 D，连接 OD，得 AD＝ ，3O′D＝ ，33又因为 OO′＝1，所以正三棱锥的斜高 OD＝ ，2 33故侧面积为 3× ×2× ＝2 ，12 2 33 3所以该三棱锥的表面积为 ＋2 ＝3 ，3 3 3因此，所求三棱锥的体积为 ，表面积为 3 .33 320．解：(1)该三棱柱的侧面展开图是宽为 4，长为 9的矩形，所以对角线的长为＝ .42＋ 92 97(2)将该三棱柱的侧面沿棱 BB1展开，如图所示．设 PC的长为 x，则 MP2＝MA 2＋(AC＋x) 2.因为 MP＝ ，MA＝2，AC＝3，29所以 x＝2(负值舍去)，即 PC的长为 2.又因为 NC∥AM，所以 ＝ ，即 ＝ ，PCPA NCAM 25 NC2所以 NC＝ .4521．解：由图可知半球的半径为 4cm，所以 V 半球 ＝ × πR 3＝ × π×4 3＝ π(cm 3)，12 43 12 43 1283V 圆锥 ＝ πr 2h＝ π×4 2×12＝64π(cm 3)．13 13因为 V 半球 V 圆锥 ，9所以如果冰淇淋融化了，不会溢出杯子．22．解：轴截面如图所示，可知被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径O1C＝R，圆锥的截面圆的半径 O1D设为 x.∵O 1D∥OB，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴x＝ ，O1DOB AO1AO xR l2R l2∴截面的面积 S＝πR 2－πx 2＝π ＝ (4R2－l 2)．(R2－l24) π4