2017届高考数学二轮复习 规范滚动训练 文（打包6套）.zip

1专题一 规范滚动训练(一)(建议用时 45 分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1．在锐角△ ABC 中， a， b， c 分别为角 A， B， C 所对的边，且 a＝2 csin A.3(1)求角 C 的大小；(2)若 c＝2，且△ ABC 的面积为 ，求 a＋ b 的值．3解：(1)由题意得 ＝sin A，由正弦定理得 ＝sin A，3a2c 3sin A2sin C又 sin A≠0，∴sin C＝ ，又 0°＜ C＜90°，32∴ C＝60°.(2)∵ S△ ABC＝ absin 60°＝ ，∴ ab＝4.12 3又 c＝2，∴由余弦定理得 c2＝ a2＋ b2－2 abcos 60°，即 4＝ a2＋ b2－2 ab· ，即 4＝( a＋ b)2－2 ab－ ab，12∴( a＋ b)2＝4＋3 ab＝16，∴ a＋ b＝4.2．已知函数 f(x)＝2cos π x·cos2 ＋sin[( x＋1)π]·sin φ －cos π x 的φ 2 (0＜ φ ＜ π 2)部分图象如图所示．(1)求 φ 的值及图中 x0的值；(2)将函数 f(x)的图象上的各点向左平移 个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标不变，16纵坐标伸长到原来的 倍，得到函数 g(x)的图象，求函数 g(x)在区间 上的最大值3 [－12， 13]和最小值．解：(1) f(x)＝2cos π x·cos2 ＋sin[( x＋1)π]·sin φ －cos π x＝cos π x·φ 2－sin π x·sin φ(2cos2φ 2－ 1)＝cos π x·cos φ －sin π x·sin φ ＝cos(π x＋ φ )．2由题图可知，cos φ ＝ ，又 0＜ φ ＜ ，所以 φ ＝ .32 π 2 π 6又 cos ＝ ，所以 π x0＋ ＝ ，(π x0＋π 6) 32 π 6 11π6所以 x0＝ .53(2)由(1)可知 f(x)＝cos ，将图象上的各点向左平移 个单位长度得到 y＝cos(π x＋π 6) 16[π (x＋ 16)＋ π 6]＝cos 的图象，然后将各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的 倍后得到 g(x)(π x＋π 3) 3＝ cos 的图象．3 (π x＋π 3)因为 x∈ ，所以－ ≤π x＋ ≤ .[－12， 13] π 6 π 3 2π3所以当 π x＋ ＝0，即 x＝－ 时， g(x)取得最大值 ；π 3 13 3当 π x＋ ＝ ，即 x＝ 时， g(x)取得最小值－ .π 3 2π3 13 323．已知在△ ABC 中，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，向量 m＝(2 b,1)，n＝(2 a－ c，cos C)，且 m∥ n.(1)若 b2＝ ac，试判断△ ABC 的形状；(2)求 y＝1－ 的值域．2cos 2A1＋ tan A解：(1)由已知， m∥ n，则 2bcos C＝2 a－ c，由正弦定理，得 2sin Bcos C＝2sin( B＋ C)－sin C，即 2sin Bcos C＝2sin Bcos C＋2cos Bsin C－sin C，在△ ABC 中，sin C≠0，因而 2cos B＝1，则 B＝ .π 3又 b2＝ ac， b2＝ a2＋ c2－2 accos B，因而 ac＝ a2＋ c2－2 accos ，即( a－ c)2＝0，π 3所以 a＝ c，△ ABC 为等边三角形．(2)y＝1－2cos 2A1＋ tan A＝1－2 cos2A－ sin2A1＋ sin Acos A3＝1－2cos A(cos A－sin A)＝sin 2 A－cos 2 A＝ sin ，由已知条件 B＝ 知 A∈ .2 (2A－π 4) π 3 (0， 2π3]所以，2 A－ ∈ .π 4 (－ π 4， 3π4)因而所求函数的值域为(－1， ]．24．已知函数 f(x)＝2sin sin ， x∈R.(x－π 6) (x＋ π 3)(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)在△ ABC 中，若 A＝ ， c＝2，且锐角 C 满足 f ＝ ，求△ ABC 的面积 S.π 4 (C2＋ π 6) 12解：(1)由题意得，f(x)＝2sin sin(x－π 6) (x＋ π 3)＝2sin sin(x－π 6) [π 2＋ (x－ π 6)]＝2sin cos(x－π 6) (x－ π 6)＝sin ，(2x－π 3)所以函数 f(x)的最小正周期为 ＝π.2π2(2)由(1)得， f ＝sin ＝sin C，(C2＋ π 6) [2(C2＋ π 6)－ π 3]所以 sin C＝ ，又角 C 为锐角，所以 C＝ .12 π 6由正弦定理，得 ＝ ＝ ＝ ＝ ，ac sin Asin Csinπ 4sinπ 62212 2又 c＝2，所以 a＝2 .2又 sin B＝sin[π－( A＋ C)]＝sin( A＋ C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝ ，6＋ 24所以△ ABC 的面积 S＝ acsin B＝ ×2 ×2× ＝1＋ .12 12 2 6＋ 24 31专题一、二 规范滚动训练(二)(建议用时 45 分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1．已知首项为 ，公比不等于 1 的等比数列{ an}的前 n 项和为 Sn，且 S3， S2， S4成等差数12列．(1)求数列{ an}的通项公式；(2)记 bn＝ n|an|，数列{ bn}的前 n 项和为 Tn，求 Tn.解：(1)通解 设数列{ an}的公比为 q，由题意得 2S2＝ S3＋ S4， q≠1，∴2× ＝ ＋ .a1 1－ q21－ q a1 1－ q31－ q a1 1－ q41－ q化简得 q2＋ q－2＝0，得 q＝－2，或 q＝1(舍)又数列{ an}的首项为 ，∴ an＝ ×(－2) n－1 .12 12优解 设数列{ an}的公比为 q，由题意得 2S2＝ S3＋ S4，即( S4－ S2)＋( S3－ S2)＝0，即( a4＋ a3)＋ a3＝0，∴ ＝－2，a4a3∴公比 q＝－2.又数列{ an}的首项为 ，∴ an＝ ×(－2) n－1 .12 12(2)bn＝ n|an|＝ n× ×2n－1 ＝ ×n×2n，12 14∴ Tn＝ b1＋ b2＋ b3＋…＋ bn＝ (1×2＋2×2 2＋3×2 3＋…＋ n×2n)，①142Tn＝ (1×22＋2×2 3＋3×2 4＋…＋ n×2n＋1 ，)②14①－②得，－ Tn＝ × ，14 [2× 1－ 2n1－ 2 － n×2n＋ 1]∴ Tn＝ ＋ (n－1)×2 n.12 122．在△ ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且满足(2 b－ c)cos A＝ acos C.(1)求角 A 的大小；(2)若 bcos C＋ c＝ a，判断△ ABC 的形状．122解：(1)由正弦定理 ＝ ＝ ，asin A bsin B csin C可得：2sin Bcos A＝sin Ccos A＋cos Csin A，∴2sin Bcos A＝sin( A＋ C)＝sin B，∵sin B≠0，∴cos A＝ .∴ A＝ .12 π 3(2)∵ bcos C＋ c＝ a，∴ b· ＋ c＝ a，整理得 a2＋ c2－ b2＝ ac，12 a2＋ b2－ c22ab 12∴cos B＝ ＝ ，∴ B＝ ，a2＋ c2－ b22ac 12 π 3从而 A＝ B＝ C＝ ，π 3∴△ ABC 为等边三角形．3．已知数列{ an}是公差不为零的等差数列，其前 n 项和为 Sn，且 S5＝30，又 a1， a3， a9成等比数列．(1)求 Sn；(2)若对任意 n＞ t， n∈N *，都有 ＋ ＋…＋ ＞ ，求 t 的最1S1＋ a1＋ 2 1S2＋ a2＋ 2 1Sn＋ an＋ 2 1225小值．解：(1)设公差为 d，由条件得Error!得 a1＝ d＝2.∴ an＝2 n， Sn＝ n2＋ n.(2)∵ ＝ ＝1Sn＋ an＋ 2 1n2＋ n＋ 2n＋ 2 1n2＋ 3n＋ 2＝ ＝ － .1 n＋ 1  n＋ 2 1n＋ 1 1n＋ 2∴ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋…＋ ＝ －1S1＋ a1＋ 2 1S2＋ a2＋ 2 1Sn＋ an＋ 2 (12－ 13) (13－ 14) ( 1n＋ 1－ 1n＋ 2) 12 1n＋ 2＞ .1225∴ ＜ － ＝ ，即 n＋2＞50， n＞48.1n＋ 2 12 1225 150∴ t 的最小值为 48.4．已知函数 f(x)＝sin( ωx ＋ φ ) 的部分图象如图所示．(ω ＞ 0， |φ |＜π 2)3(1)求函数 f(x)的解析式，并写出 f(x)的单调减区间；(2)已知△ ABC 的内角分别是 A， B， C，角 A 为锐角，且 f ＝ ，cos B＝ ，求 sin C(A2－ π12) 12 45的值．解：(1)由周期 T＝ － ＝ ，得 T＝π＝ ，12 2π3 π 6 π 2 2πω∴ ω ＝2.当 x＝ 时， f(x)＝1，可得 sin ＝1.π 6 (2·π 6＋ φ )∴ ＋ φ ＝ kπ＋ ， k∈Z.π 3 π 2∵| φ |＜ ，∴ φ ＝ .故 f(x)＝sin .π 2 π 6 (2x＋ π 6)由图象可得 f(x)的单调递减区间为 ， k∈Z.[kπ ＋π 6， kπ ＋ 2π3](2)由(1)可知，sin ＝ ，[2(A2－ π12)＋ π 6] 12即 sin A＝ ，12又角 A 为锐角，∴ A＝ .π 6∵0＜ B＜π，∴sin B＝ ＝ .1－ cos2B35∴sin C＝sin(π－ A－ B)＝sin( A＋ B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝ × ＋ × ＝ .12 45 32 35 4＋ 33101专题一～三 规范滚动训练(三)(建议用时 45 分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1．设数列{ an}的前 n 项积为 Tn，且 Tn＋2 an＝2( n∈N *)．(1)求证：数列{ }是等差数列；1Tn(2)设 bn＝(1－ an)(1－ an＋1 )，求数列{ bn}的前 n 项和 Sn.解：(1)∵ Tn＋2 an＝2，∴当 n＝1 时， T1＋2 a1＝2，∴ T1＝ ，即 ＝ .23 1T1 32又当 n≥2 时， Tn＝2－2× ，得TnTn－ 1Tn·Tn－1 ＝2 Tn－1 －2 Tn，∴ － ＝ ，1Tn 1Tn－ 1 12∴数列{ }是以 为首项， 为公差的等差数列．1Tn 32 12(2)由(1)知，数列{ }为等差数列，1Tn∴ ＝ ＋ (n－1)＝ ，1Tn 32 12 n＋ 22∴ an＝ ＝ ，2－ Tn2 n＋ 1n＋ 2∴ bn＝(1－ an)(1－ an＋1 )＝ ＝ － ，1 n＋ 2  n＋ 3 1n＋ 2 1n＋ 3∴ Sn＝ ＋ ＋…＋ ＝ － ＝ .(13－ 14) (14－ 15) ( 1n＋ 2－ 1n＋ 3) 13 1n＋ 3 n3n＋ 92．已知在△ ABC 中， A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 sin B＋ sin (b－c2) (c－ b2)C－ asin A＝0.(1)求角 A 的大小；(2)若 a＝ ，求 b＋ c 的取值范围．3解：(1)因为 sin B＋ sin C－ asin A＝0，由正弦定理得(b－c2) (c－ b2)b＋ c－ a2＝0，(b－c2) (c－ b2)化简得 b2＋ c2－ a2－ bc＝0，2即 cos A＝ ＝ ， A＝ .b2＋ c2－ a22bc 12 π 3(2)由正弦定理可得 ＝ ＝ ＝ ＝2，bsin B csin C asin A 3sin π 3所以 b＝2sin B， c＝2sin C，b＋ c＝2(sin B＋sin C)＝2 [sin B＋ sin(2π3－ B)]＝2 ＝3sin B＋ cos B(sin B＋32cos B＋ 12sin B) 3＝2 sin .3 (B＋π 6)因为 0＜ B＜ ，所以 ＜ B＋ ＜ ，2π3 π 6 π 6 5π6即 ＜sin ≤1，12 (B＋ π 6)所以 b＋ c∈( ，2 ]．3 33．某县共有 90 个农村淘宝服务网点，随机抽取 6 个网点统计其元旦期间的网购金额(单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数；(2)若网购金额(单位：万元)不小于 18 的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点，根据茎叶图推断这 90 个服务网点中优秀服务网点的个数；(3)从随机抽取的 6 个服务网点中再任取 2 个作网购商品的调查，求恰有 1 个网点是优秀服务网点的概率．解：(1)由题意知，样本数据的平均数＝ ＝12.X4＋ 6＋ 12＋ 12＋ 18＋ 206(2)样本中优秀服务网点有 2 个，频率为 ＝ ，由此估计这 90 个服务网点中有 90× ＝3026 13 13个优秀服务网点．(3)由于样本中优秀服务网点有 2 个，分别记为 a1， a2，非优秀服务网点有 4 个，分别记为b1， b2， b3， b4，从随机抽取的 6 个服务网点中再任取 2 个的可能情况有：( a1， a2)，(a1， b1)，( a1， b2)，( a1， b3)，( a1， b4)，( a2， b1)，( a2， b2)，( a2， b3)，( a2， b4)，(b1， b2)，( b1， b3)，( b1， b4)，( b2， b3)，( b2， b4)，( b3， b4)，共 15 种．3记“恰有 1 个是优秀服务网点”为事件 M，则事件 M 包含的可能情况有：( a1， b1)，(a1， b2)，( a1， b3)，( a1， b4)，( a2， b1)，( a2， b2)，( a2， b3)，( a2， b4)，共 8 种．故所求概率 P(M)＝ .8154．某 iphone 手机专卖店对某市市民进行 iphone 手机认可度的调查，在已购买 iphone 手机的 1 000 名市民中，随机抽取 100 名，按年龄(单位：岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：分组(岁) 频数[25,30) 5[30,35) x[35,40) 35[40,45) y[45,50) 10合计 100(1)求频数分布表中 x， y 的值，并补全频率分布直方图；(2)在抽取的这 100 名市民中，从年龄在[25,30)、[30,35)内的市民中用分层抽样的方法抽取 5 人参加 iphone 手机宣传活动，现从这 5 人中随机选取 2 人各赠送一部 iphone 6s 手机，求这 2 人中恰有 1 人的年龄在[30,35)内的概率．解：(1)由频数分布表和频率分布直方图可知，Error!，解得Error! ，频率分布直方图中年龄在[40,45)内的人数为 30，对应的 为 ＝0.06，频 率组 距 0.35所以补全的频率分布直方图如下：4(2)由频数分布表知，在抽取的 5 人中，年龄在[25,30)内的市民的人数为 5× ＝1，记为 A1，年龄在[30,35)内的市民的人数为5255× ＝4，分别记为 B1， B2， B3， B4.2025从这 5 人中任取 2 人的所有基本事件为：{ A1， B1}，{ A1， B2}，{ A1， B3}，{ A1， B4}，{B1， B2}，{ B1， B3}，{ B1， B4}，{ B2， B3}，{ B2， B4}，{ B3， B4}，共 10 个．记“恰有 1 人的年龄在[30,35)内”为事件 M，则 M 所包含的基本事件有 4 个：{ A1， B1}，{A1， B2}，{ A1， B3}，{ A1， B4}．所以这 2 人中恰有 1 人的年龄在[30,35)内的概率为 P(M)＝ ＝ .410 251专题一～四 规范滚动训练(四)(建议用时 45 分钟)1．在△ ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且三角形的面积为 S＝ accos B.32(1)求角 B 的大小；(2)若 ＋ ＝4，求 sin Asin C 的值．ca ac解：(1)在△ ABC 中， S＝ acsin B，由已知 S＝ accos B 可得 acsin B＝ accos 12 32 12 32B，∴tan B＝ ，3又∵0＜ B＜π，∴ B＝ .π 3(2)∵ ＋ ＝ ＝ ＝4，∵ B＝ca ac a2＋ c2ac b2＋ 2accos Bac π 3∴ b2＝3 ac，由正弦定理可得 sin2B＝3sin Asin C，∵ B＝ ，∴sin Asin C＝ .π 3 142．已知等比数列{ an}中， a1＝ a， a2＝ b， a3＝ c， a， b， c 分别为△ ABC 的三个内角A， B， C 的对边，且 cos B＝ .34(1)求数列{ an}的公比 q；(2)设集合 A＝{ x∈N| x20，∴ q＝ 或 q＝ .222(2)∵ x22|x|，∴ x4－4 x20，即 x2(x2－4)0，∴－2 x2 且 x≠0，又 x∈N，∴ A＝{1}，∴ a1＝1，∴ an＝( )n－1 或 an＝ n－1 .2 (22)3．对甲、乙两名同学的 8 次数学测试的成绩(满分 60 分)进行统计分析，记录的成绩如下：2甲：52,51,49,48,54,48,49,49乙：60,53,50,45,56,48,43,45(1)画出两名同学成绩的茎叶图，并分别求两名同学成绩的平均值和方差，对两名同学的成绩进行统计分析；(2)现从甲同学的成绩中抽取一数据 x(x≥50)，从乙同学的成绩中抽取一数据 y(y＜50)，求 x－ y≥10 的概率．解：(1)茎叶图如图所示.甲同学的平均成绩为1＝ ＝ ＝50 分，x52＋ 51＋ 49＋ 48＋ 54＋ 48＋ 49＋ 498 4008乙同学的平均成绩为＝ ＝ ＝50 分，x260＋ 53＋ 50＋ 45＋ 56＋ 48＋ 43＋ 458 4008甲同学成绩的方差为 s ＝ [(52－50) 2＋(51－50) 2＋(49－50) 2＋(48－50) 2＋(54－50)21182＋(48－50) 2＋(49－50) 2＋(49－50) 2]＝4，乙同学成绩的方差为 s ＝ [(60－50)2182＋(53－50) 2＋(50－50) 2＋(45－50) 2＋(56－50) 2＋(48－50) 2＋(43－50) 2＋(45－50) 2]＝31，由于平均成绩反映的是两名同学的平均水平，因而可知甲、乙两名同学的平均水平相当，而甲同学成绩的方差远远小于乙同学成绩的方差，因而从考试发挥的稳定程度上看，甲同学的成绩更稳定．(2)现从甲同学的成绩中抽取一数据 x(x≥50)，有 51,52,54 三种可能，从乙同学的成绩中抽取一数据 y(y＜50)，有 45,48,43,45 四种可能，因而总的可能结果有(51,45)，(51,48)，(51,43)，(51,45)，(52,45)，(52,48)，(52,43)，(52,45)，(54,45)，(54,48)，(54,43)，(54,43)，共 12 种情况，设“ x－ y≥10”为事件 M，则 M 所包含的情况有(54,43)，共 1 种，故 P(M)＝ .1124．(2016·山西太原市高三模拟)如图，在底面是正三角形的直三棱柱 ABC­A1B1C1中，3AA1＝ AB＝2， D 是 BC 的中点．(1)求证： A1C∥平面 AB1D；(2)求点 A1到平面 AB1D 的距离．解：(1)证明：连接 A1B，交 AB1于点 O，连接 OD.∵ ABC­A1B1C1是直三棱柱，∴四边形 ABB1A1是平行四边形，∴ O 是 A1B 的中点．又 D 是 BC 的中点，∴ OD∥ A1C，∵ OD⊂平面 AB1D， A1C⊄平面 AB1D，∴ A1C∥平面 AB1D.(2)由(1)知， O 是 A1B 的中点，∴点 A1到平面 AB1D 的距离等于点 B 到平面 AB1D 的距离．∵ ABC­A1B1C1是直三棱柱，∴ BB1⊥平面 ABC，∴平面 BCC1B1⊥平面 ABC，∵△ ABC 是正三角形， D 是 BC 的中点，∴ AD⊥ BC，∴ AD⊥平面 BCC1B1，∴ AD⊥ B1D，设点 B 到平面 AB1D 的距离为 d，∵ VB1­ABD＝ VB­AB1D，∴ S△ ABD·BB1＝ S△ AB1D·d，∴ d＝ ＝ ＝ ＝ ，S△ ABD·BB1S△ AB1D AD·BD·BB1AD·B1D BD·BB1B1D 255∴点 A1到平面 AB1D 的距离为 .2551专题二～五 规范滚动训练(五)(建议用时 45 分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1．设函数 f(x)＝ ＋sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{ xn}．x2(1)求数列{ xn}的通项公式；(2)设{ xn}的前 n 项和为 Sn，求 sin Sn.解：(1)令 f′( x)＝ ＋cos x＝0，即 cos x＝－ ，12 12解得 x＝2 kπ± π( k∈Z)．23由 xn是 f(x)的第 n 个正极小值点知 xn＝2 nπ－ π( n∈N *)．23(2)由(1)可知 Sn＝2π(1＋2＋…＋ n)－ nπ23＝ n(n＋1)π－ ，2nπ3所以 sin Sn＝sin .[n n＋ 1 π －2nπ3 ]因为 n(n＋1)表示两个连续正整数的乘积，所以 n(n＋1)一定为偶数，所以 sin Sn＝－sin .2nπ3当 n＝3 m－2( m∈N *)时，sin Sn＝－sin ＝－ ；(2mπ －4π3) 32当 n＝3 m－1( m∈N *)时，sin Sn＝－sin ＝ ；(2mπ －2π3) 32当 n＝3 m(m∈N *)时，sin Sn＝－sin2 mπ＝0.综上，当 n＝3 m－2( m∈N *)sin Sn＝－32当 n＝3 m－1，( m∈N *)sin Sn＝32当 n＝3 m，( m∈N *)sin Sn＝0.2．为了迎接国家卫生城市复审，创设干净整洁的城市环境，某高中要从高一、高二、高三三个年级推出的班级中分别选 1 个，组成“巩卫”小组，利用周末进行义务创城活动．其中高一推出 3 个班且标号分别为 A1， A2， A3，高二推出 2 个班且标号分别为 B1， B2，高三2推出 2 个班且标号分别为 C1， C2.(1)求 A1被选中的概率；(2)求 A1和 C2不全被选中的概率．解：通解：组成“巩卫”小组的所有结果如下：( A1， B1， C1)，( A1， B1， C2)，( A1， B2， C1)，(A1， B2， C2)，( A2， B1， C1)，( A2， B1， C2)，( A2， B2， C1)，( A2， B2， C2)，( A3， B1， C1)，(A3， B1， C2)，( A3， B2， C1)，( A3， B2， C2)，共 12 种．(1)记“ A1被选中”为事件 E，则 E 包含的结果有：( A1， B1， C1)，( A1， B1， C2)，(A1， B2， C1)，( A1， B2， C2)，共 4 种，所以 P(E)＝ ＝ .412 13(2)记事件 M 表示“ A1和 C2不全被选中” ，则其对立事件 表示“ A1和 C2全被选中” ．M由于事件 包含( A1， B1， C2)，( A1， B2， C2)，共 2 种结果，所以 P( )＝ ＝ .M M212 16由对立事件的概率计算公式得 P(M)＝1－ P( )＝1－ ＝ .M16 56故 A1和 C2不全被选中的概率为 .563．如图，在平行四边形 ABCD 中， BC＝2 AB，∠ ABC＝60°，四边形 BEFD 是矩形，且BE＝ BA，平面 BEFD⊥平面 ABCD.(1)求证： AE⊥ CF；(2)若 AB＝1，求该几何体的表面积．解：(1)法一：连接 AC，记 EC， EF， BD 的中点分别为 G， M， N，连接 GM， GN， MN，则GM∥ FC， GN∥ AE，如图 1.由题意，易证 BE⊥ AB，不妨设 AB＝1，则 GM＝ GN＝ ， MN＝ BE＝1，22由勾股定理的逆定理知 GM⊥ GN.故 AE⊥ CF.3法二：如图 2，将原几何体补成直四棱柱，则依题意，其侧面 ABEG 为正方形，对角线AE， BG 显然垂直，故 AE⊥ CF.(2)连接 AC，根据题意易证 AB⊥ AC， BE⊥平面 ABCD，易知 BE＝ AB＝ CD＝ DF＝1， BC＝ AD＝2， AE＝ CF＝ ， CE＝ AF＝ ， EF＝ BD＝ ，2 5 7从而 CE⊥ CF， AE⊥ AF.所以所求几何体的表面积S＝2× ＋2×1× ＝3＋ ＋ .(12×1×1＋ 12×1×2＋ 12×2×5) 32 10 34．已知椭圆 C： ＋ ＝1( a＞ b＞0)的左、右焦点分别为 F1， F2，离心率 e 为 ，过 F1的x2a2 y2b2 12直线 l1与椭圆 C 交于 M， N 两点，且△ MNF2的周长为 8.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设直线 l2与椭圆 C 交于 A， B 两点， O 为坐标原点，且 · ＝0.过点 O 作直线 l2的垂OA→ OB→ 线，垂足为 Q，求点 Q 的轨迹方程．解：(1)由题意知 4a＝8，∴ a＝2.∵ e＝ ，∴ c＝1， b2＝3.12∴椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1.x24 y23(2)∵ · ＝0，∴ OA⊥ OB.OA→ OB→ ①若直线 l2的斜率不存在，则点 Q 在 x 轴上．设点 Q 的坐标为( x0,0)，则 A(x0， x0)， B(x0，－ x0)．又∵ A， B 两点在椭圆 C 上，∴ ＋ ＝1， x ＝ .x204 x203 20 127∴点 Q 的坐标为 ，即| OQ|＝ .(±127， 0) 127②若直线 l2的斜率存在，设直线 l2的方程为 y＝ kx＋ m.由Error! 消去 y 得(3＋4 k2)x2＋8 kmx＋4 m2－12＝0.4由 Δ ＞0 得， m2＜3＋4 k2.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1＋ x2＝－ ， x1x2＝ .8km3＋ 4k2 4m2－ 123＋ 4k2∵ OA⊥ OB，∴ x1x2＋ y1y2＝0.∴ x1x2＋( kx1＋ m)(kx2＋ m)＝0，即( k2＋1) x1x2＋ km(x1＋ x2)＋ m2＝0.∴( k2＋1) － ＋ m2＝0.4m2－ 123＋ 4k2 8k2m23＋ 4k2整理得 7m2＝12( k2＋1)，满足 m2＜3＋4 k2.又由已知可得过原点 O 与直线 l2垂直的直线方程为 y＝－ x，1k解方程组Error!得点 Q 的横坐标与纵坐标分别为 x＝－ m，kk2＋ 1y＝ m，1k2＋ 1∴ x2＋ y2＝ m2＋ m2＝ ＝ ，k2 k2＋ 1 2 1 k2＋ 1 2 m2k2＋ 1 127即| OQ|＝ .127综合(1)(2)可知，点 Q 的轨迹是以坐标原点为圆心，半径为 的一个圆，且该圆的方程为127x2＋ y2＝ .1271专题三～六 规范滚动训练(六)(建议用时 45 分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1．从某市主办的科技知识竞赛的学生成绩中随机选取了 40 名学生的成绩作为样本，已知这 40 名学生的成绩全部在 40 分至 100 分之间，现将成绩按如下方式分成 6 组：第一组[40,50)；第二组[50,60)；……；第六组[90,100]，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．(1)求成绩在区间[80,90)内的学生人数；(2)从成绩大于等于 80 分的学生中随机选 2 名，求至少有 1 名学生的成绩在区间[90,100]内的概率．解：(1)因为各组的频率之和为 1，所以成绩在区间[80,90)内的频率为1－(0.005×2＋0.015＋0.020＋0.045)×10＝0.1，所以选取的 40 名学生中成绩在区间[80,90)内的学生人数为 40×0.1＝4.(2)设 A 表示事件“在成绩大于等于 80 分的学生中随机选 2 名，至少有 1 名学生的成绩在区间[90,100]内” ，由(1)可知成绩在区间[80,90)内的学生有 4 人，记这 4 名学生分别为a， b， c， d，成绩在区间[90,100]内的学生有 0.005×10×40＝2(人)，记这 2 名学生分别为 e， f，则选取 2 名学生的所有可能结果为( a， b)，( a， c)，( a， d)，( a， e)，( a， f)，( b， c)，(b， d)，( b， e)，( b， f)，( c， d)，( c， e)，( c， f)，( d， e)，( d， f)，( e， f)，共 15 种，事件“至少有 1 名学生的成绩在区间[90,100]内”的可能结果为( a， e)，( a， f)，( b， e)，(b， f)，( c， e)，( c， f)，( d， e)，( d， f)，( e， f)，共 9 种，所以 P(A)＝ ＝ .915 352．如图，在三棱锥 P­ABC 中，△ PAC，△ ABC 分别是以 A， B 为直角顶点的等腰直角三角形，AB＝1.2(1)现给出三个条件：① PB＝ ，② PB⊥ BC，③平面 PAB⊥平面 ABC，试从中任意选取一个3作为已知条件，并证明 PA⊥平面 ABC；(2)在(1)的条件下，求三棱锥 P­ABC 的体积．解：法一：选取条件①.(1)在等腰直角三角形 ABC 中，∵ AB＝1，∴ BC＝1， AC＝ .又 PA＝ AC，∴ PA＝ .2 2在△ PAB 中， AB＝1， PA＝ ， PB＝ ，2 3∴ AB2＋ PA2＝ PB2，∴∠ PAB＝90°，即 PA⊥ AB，又 PA⊥ AC， AB∩ AC＝ A，∴ PA⊥平面 ABC.(2)由(1)可知 PA⊥平面 ABC.∴ V 三棱锥 P­ABC＝ PA·S△ ABC＝ × × ×12＝ .13 13 2 12 26法二：选取条件②.(1)∵ PB⊥ BC，又 AB⊥ BC，且 PB∩ AB＝ B，∴ BC⊥平面 PAB.又 PA⊂平面 PAB，∴ BC⊥ PA，又 PA⊥ AC， BC∩ AC＝ C，∴ PA⊥平面 ABC.(2)由(1)可知 PA⊥平面 ABC.∵ AB＝ BC＝1， AB⊥ BC，∴ AC＝ PA＝ .2∴ V 三棱锥 P­ABC＝ × AB×BC×PA＝ × ×1×1× ＝ .13 12 13 12 2 26法三：选取条件③.(1)∵平面 PAB⊥平面 ABC，平面 PAB∩平面 ABC＝ AB， BC⊂平面 ABC， BC⊥ AB，∴ BC⊥平面 PAB.又 PA⊂平面 PAB，∴ BC⊥ PA，又 PA⊥ AC， BC∩ AC＝ C，∴ PA⊥平面 ABC.(2)由(1)可知 PA⊥平面 ABC.∵ AB＝ BC＝1， AB⊥ BC，∴ AC＝ PA＝ .2∴ V 三棱锥 P­ABC＝ × AB×BC×PA＝ × ×1×1× ＝ .13 12 13 12 2 263．已知圆心为 C 的圆满足下列条件：圆心 C 位于 y 轴的正半轴上，圆 C 与 x 轴交于 A， B3两点，| AB|＝4，点 B 到直线 AC 的距离为 .455(1)求圆 C 的标准方程；(2)若直线 y＝ kx－1( k∈R)与圆 C 交于 M， N 两点， · ＝－2( O 为坐标原点)，求 k 的OM→ ON→ 值．解：(1)设圆 C： x2＋( y－ a)2＝ r2(a＞0， r＞0)，圆心 C(0， a)，依题意不妨设 A(－2,0)，B(2,0)，所以直线 AC 的方程为 ax－2 y＋2 a＝0，因为点 B 到直线 AC 的距离为 ，455所以 ＝ ，解得 a＝±1，因为 a＞0，所以 a＝1，|2a＋ 2a|a2＋ 4 455所以 r＝| AC|＝ ，5所以圆 C 的标准方程为 x2＋( y－1) 2＝5.(2)设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，又直线 y＝ kx－1 与圆 C 交于 M， N 两点，联立Error!，消去 y 得(1＋ k2)x2－4 kx－1＝0.Δ ＝(－4 k)2＋4(1＋ k2)＝4(5 k2＋1)＞0 恒成立，即直线与圆恒有两个不同的交点．由根与系数的关系知 x1＋ x2＝ ， x1x2＝ ，4k1＋ k2 － 11＋ k2所以 y1y2＝( kx1－1)( kx2－1)＝ k2x1x2－ k(x1＋ x2)＋1＝ － ＋1＝ ，－ k21＋ k2 4k21＋ k2 － 4k2＋ 11＋ k2因为 · ＝－2，OM→ ON→ 所以 x1x2＋ y1y2＝ ＋ ＝ ＝－2，－ 11＋ k2 － 4k2＋ 11＋ k2 － 4k21＋ k2解得 k＝±1.4．已知函数 f(x)＝ (e 为自然对数的底数)在 x＝－1 处的切线方程为 ex－ y＋e＝0.ax＋ bex(1)求实数 a， b 的值；(2)若存在不相等的实数 x1， x2，使得 f(x1)＝ f(x2)，求证： x1＋ x2＞0.解：∵ f(x)＝ax＋ bex∴ f′( x)＝ .a－ b－ axex(1)因为函数 f(x)在 x＝－1 处的切线方程为 ex－ y＋e＝0，所以Error! ，4所以Error! ，解得Error!(2)由(1)可知， f′( x)＝－ .xex当 x 变化时， f′( x)， f(x)的变化情况如下表：x (－∞，0) 0 (0，＋∞)f′( x) ＋ 0 －f(x) 单调递增 1 单调递减不妨设 x1＜ x2，因为 f(x1)＝ f(x2)，所以 x1＜0＜ x2，则－ x1＞0.记 g(x)＝ f(－ x)－ f(x)，即 g(x)＝(1－ x)ex－ ，x＋ 1ex所以 g′( x)＝－e x＋(1－ x)ex＋ ＝－ xex＋ ＝ .xex xex x 1－ e2xex当 x 变化时， g′( x)， g(x)的变化情况如下表：x (－∞，0) 0 (0，＋∞)g′( x) － 0 －g(x) 单调递减 0 单调递减所以 g(x1)＞ g(0)＝0，故 f(－ x1)＞ f(x1)．所以 f(－ x1)＞ f(x2)．因为 f(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以－ x1＜ x2，故 x1＋ x2＞0.