2016高中数学 第三章 直线与方程试题（打包8套）新人教A版必修2.zip

- 1 -3.1.1 倾斜角与斜率【选题明细表】 知识点、方法 题号直线的倾斜角、斜率的定义 1、3、4、6、9、10斜率公式 2、5、7直线斜率的应用 8、11、12、13基础巩固1.给出下列命题:①任何一条直线都有惟一的倾斜角;②一条直线的倾斜角可以为-30°;③倾斜角为 0°的直线只有一条,即 x轴;④按照倾斜角的概念,直线倾斜角的集合{α|0°≤α0,即 m1.选 A.4.(2015陕西府谷三中月考)若直线 l的向上方向与 y轴的正方向成 60°角,则 l的倾斜角为( C )(A)30° (B)60°(C)30°或 150° (D)60°或 120°解析:直线 l可能有两种情形,如图所示,故直线 l的倾斜角为 30°或 150°.故选 C.5.(2015宝鸡园丁中学月考)若经过 P(-2,2m)和 Q(m,8)的直线的斜率等于 1,则 m的值为( B )- 2 -(A)1 (B)2 (C)1或 4 (D)1或 2解析:由 =1,得 m=2,故选 B.6.a,b,c是两两不等的实数,则经过 P(b,b+c),C(a,c+a)两点直线的倾斜角为 . 解析:由题意知,b≠a,所以 k= =1,故倾斜角为 45°.答案:45°7.在平面直角坐标系中,画出过点 P(1,2)且斜率为 1的直线 l.解:设 A(x1,y1)是直线 l上与 P不重合的一点,则 =1,即 y1=x1+1.设 x1=0,则 y1=1,于是 A(0,1),所以过点 A(0,1)和 P(1,2)的直线即为 l,如图.8.求证:A(1,-1),B(-2,-7),C(0,-3)三点共线.证明:因为 kAB= =2,kAC= =2.所以 kAB=kAC.因为直线 AB与直线 AC的倾斜角相同且过同一点 A,所以直线 AB与直线 AC为同一直线.故 A,B,C三点共线.能力提升9.若图中的直线 l1,l2,l3的斜率分别为 k1,k2,k3,则有( C )(A)k1k2k3- 3 -(B)k2k3k1(C)k1k3k2(D)k2k1k3解析:设直线 l1,l2,l3的倾斜角分别为 α 1,α 2,α 3,由题图可知 α 3α 290°α 1,故相应斜率的关系为 k10k3k2,故选 C.10.已知 M（1, ）,N（ ,3）,若直线 l的倾斜角是直线 MN倾斜角的一半,则直线 l的斜率为( B )(A) (B) (C)1 (D)解析:设直线 MN的倾斜角为 α,则 tan α= = = ,α=60°,所以直线 l的倾斜角为 30°,斜率为 ,故选 B.11.(2015河南禹州一中月考)若 A(2,-3),B(4,3),C（5, ）在同一条直线上,则 k= . 解析:由题意,得 kAB= = ,得 k=12.答案:1212.已知 A(3,3),B(-4,2),C(0,-2),(1)求直线 AB和 AC的斜率;(2)若点 D在线段 BC上(包括端点)移动时,求直线 AD的斜率的变化范围.解:(1)由斜率公式可得直线 AB的斜率kAB= = ,直线 AC的斜率kAC= = ,所以直线 AB的斜率为 ,AC的斜率为 .- 4 -(2)如图,当 D由 B运动到 C时,直线 AD的斜率由 kAB增大到 kAC,所以直线 AD的斜率的变化范围是[ , ].探究创新13.已知实数 x,y满足 y=-2x+8,且 2≤x≤3,求 的最大值和最小值.解:如图所示,由于点(x,y)满足关系式 2x+y=8,且 2≤x≤3,可知点 P(x,y)在线段 AB上移动,并且 A,B两点的坐标可分别求得为 A(2,4),B(3,2).由于 的几何意义是直线 OP的斜率,且 kOA=2,kOB= ,所以可求得 的最大值为 2,最小值为 .- 1 -3.1.2 两条直线平行与垂直的判定【选题明细表】 知识点、方法 题号两直线平行关系 1、2、6、9两直线垂直关系 3、4、7、10、12两直线平行、垂直关系的应用 5、8、11、13基础巩固1.下列说法正确的是( C )(A)如果两条直线平行,则它们的斜率相等(B)如果两条直线垂直,则它们的斜率互为负倒数(C)如果两条直线的斜率之积为-1,则两条直线垂直(D)如果两条直线的斜率不存在,则该直线一定平行于 y 轴解析:如果两条直线平行,斜率存在时会相等,还有斜率不存在的情况,故 A 错;同理 B 错;如果两条直线的斜率不存在,则该直线一定平行于 y 轴或与 y 轴重合,故 D 错;只有 C 正确,故选 C.2.已知过点 P(3,2m)和点 Q(m,2)的直线与过点 M(2,-1)和点 N(-3,4)的直线平行,则 m 的值是( B )(A)1 (B)-1 (C)2 (D)-2解析:因为 MN∥PQ,所以 kMN=kPQ,即 = ,解得 m=-1,故选 B.3.以 A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是( C )(A)锐角三角形(B)钝角三角形(C)以 A 点为直角顶点的直角三角形(D)以 B 点为直角顶点的直角三角形解析:如图所示,易知 kAB= =- ,kAC= = ,由 kAB·kAC=-1 知三角形是以 A 点为直角顶点的直角三角形,故选 C.4.若点 A(0,1),B（ ,4）在直线 l1上,l 1⊥l 2,则直线 l2的倾斜角为( C )(A)-30° (B)30° (C)150° (D)120°解析:k AB= = ,故 l1的倾斜角为 60°,l1⊥l 2,所以 l2的倾斜角为 150°,故选 C.5.已知点 A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D(10,3),则以 A,B,C,D 为顶点的四边形是( B )- 2 -(A)梯形 (B)平行四边形(C)菱形 (D)矩形解析:如图所示,易知 kAB=- ,kBC=0,kCD=- ,kAD=0,kBD=- ,kAC= ,所以 kAB=kCD,kBC=kAD,kAB·kAD=0,kAC·kBD=- ,故 AD∥BC,AB∥CD,AB 与 AD 不垂直,BD 与 AC 不垂直.所以四边形 ABCD 为平行四边形.故选 B.6.已知△ABC 中,A(0,3)、B(2,-1),E、F 分别为 AC、BC 的中点,则直线 EF 的斜率为 .解析:因为 E、F 分别为 AC、BC 的中点,所以 EF∥AB.所以 kEF=kAB= =-2.答案:-27.已知直线 l1过点 A(-2,3),B(4,m),直线 l2过点 M(1,0),N(0,m-4),若 l1⊥l 2,则常数 m 的值是 . 解析:由 l1⊥l 2得,k AB·kMN=-1,所以 · =-1,解得 m=1 或 6.答案:1 或 68.已知在▱ABCD 中,A(1,2),B(5,0),C(3,4).(1)求点 D 的坐标;(2)试判断▱ABCD 是否为菱形.解:(1)设 D(a,b),由四边形 ABCD 是平行四边形,得 kAB=kCD,kAD=kBC,即 解得所以 D(-1,6).(2)因为 kAC= =1,kBD= =-1,- 3 -所以 kAC·kBD=-1.所以 AC⊥BD.所以▱ABCD 为菱形.能力提升9.已知点 A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,2),D(1,0),且直线 AB 与直线 CD 平行,则 m 的值为( D )(A)1 (B)0 (C)0 或 2 (D)0 或 1解析:m=0 时,直线 AB 与 CD 斜率均不存在,互相平行;m≠0 时, = ,解得 m=1,故选 D.10.已知点 A(-2,-5),B(6,6),点 P 在 y 轴上,且∠APB=90°,则点 P 的坐标为( C )(A)(0,-6) (B)(0,7)(C)(0,-6)或(0,7) (D)(-6,0)或(7,0)解析:由题意可设点 P 的坐标为(0,y).因为∠APB=90°,所以 AP⊥BP,且直线 AP 与直线 BP 的斜率都存在.又 kAP= ,kBP= ,kAP·kBP=-1,即 ·（- ）=-1,解得 y=-6 或 y=7.所以点 P 的坐标为(0,-6)或(0,7),故选 C.11.直线 l1,l2的斜率 k1,k2是关于 k 的方程 2k2-3k-b=0 的两根,若 l1⊥l 2,则 b= ;若l1∥l 2,则 b= . 解析:若 l1⊥l 2,则 k1k2=-1,即- =-1,b=2,若 l1∥l 2,则 Δ=9+8b=0,b=- .答案:2 -12.如图所示,一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路,已知矩形花园长 AD=5 m,宽 AB=3 m,其中一条小路定为 AC,另一条小路过点 D 和 BC 上一点 M,试确定 M 的位置,使得两条小路所在直线 AC 与 DM 相互垂直.解:如图所示,以点 B 为坐标原点,BC、BA 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系.- 4 -由 AD=5,AB=3,可得 C(5,0),D(5,3),A(0,3).设点 M 的坐标为(x,0),因为 AC⊥DM,所以 kAC·kDM=-1,所以 · =-1,即 x= =3.2,即 BM=3.2 m 时,两条小路所在直线 AC 与 DM 相互垂直.探究创新13.已知 A(0,3),B(-1,0),C(3,0),求 D 点的坐标,使四边形 ABCD 为直角梯形(A,B,C,D 按逆时针方向排列).解:设所求点 D 的坐标为(x,y),如图,由于 kAB=3,kBC=0,所以 kAB·kBC=0≠-1,即 AB 与 BC 不垂直,故 AB,BC 都不可作为直角梯形的直角腰.①若 CD 是直角梯形的直角腰,则 BC⊥CD,AD⊥CD.因为 kBC=0,所以 CD 的斜率不存在,从而有 x=3.又 kAD=kBC,所以 =0,即 y=3.此时 AB 与 CD 不平行.故所求点 D 的坐标为(3,3).②若 AD 是直角梯形的直角腰,则 AD⊥AB,AD⊥CD.因为 kAD= ,kCD= ,由于 AD⊥AB,所以 ·3=-1.又 AB∥CD,所以 =3.解上述两式可得 此时 AD 与 BC 不平行.综上可知,使四边形 ABCD 为直角梯形的点 D 的坐标可以为(3,3)或（ , ）.- 1 -3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程【选题明细表】 知识点、方法 题号直线的点斜式方程 1、5、6、7、8、10直线的斜截式方程 2、3、4、9直线平行与垂直的应用 11基础巩固1.方程 y=k(x-2)表示( B )(A)通过点(2,0)的一切直线(B)通过点(2,0)且不垂直于 x轴的一切直线(C)通过点(-2,0)的一切直线(D)通过点(2,0)且除去 x轴的一切直线解析:方程 y=k(x-2)表示的直线都过点(2,0)且存在斜率.故选 B.2.(2015天水一中高一期末检测)倾斜角为 135°,在 y轴上的截距为-1 的直线方程是( D )(A)x-y+1=0 (B)x-y-1=0(C)x+y-1=0 (D)x+y+1=0解析:因为倾斜角为 135°,所以斜率为-1,所以直线方程为 y=-x-1,即 x+y+1=0,故选 D.3.直线 y=kx+b通过第一、三、四象限,则有( B )(A)k0,b0 (B)k0,b0 (D)k0,b0,故选 B.4.与直线 y=2x+1垂直,且在 y轴上的截距为 4的直线的斜截式方程为( D )(A)y= x+4 (B)y=2x+4(C)y=-2x+4 (D)y=- x+4解析:与直线 y=2x+1垂直,故斜率为- ,所以所求的直线方程为 y=- x+4,故选 D.5.下列四个结论:- 2 -①方程 k= 与方程 y-2=k(x+1)可表示同一直线;②直线 l过点 P(x1,y1),倾斜角为 90°,则其方程为 x=x1;③直线 l过点 P(x1,y1),斜率为 0,则其方程为 y=y1;④所有直线都有点斜式和斜截式方程.其中正确的个数为( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:①中 k= 表示的直线上少一点(-1,2),y-2=k(x+1)则表示整条直线,故不正确;②③正确;直线斜率不存在时,无法用点斜式和斜截式方程表示,故④不正确,故选 B.6.(2015安康旬阳一中月考)已知一直线过点 P(0,2),且斜率与直线 y=-2x+3的斜率相等,则该直线方程是 . 解析:因直线 y=-2x+3的斜率为-2,故由点斜式可得直线方程 y-2=-2x,即 y=-2x+2.答案:y=-2x+2.7.直线 y=ax-3a+2(a∈R)必过定点 . 解析:将直线方程变形为 y-2=a(x-3),由直线方程的点斜式可知,直线过定点(3,2).答案:(3,2)8.已知直线 l经过点(0,-2),其倾斜角是 60°.(1)求直线 l的方程;(2)求直线 l与两坐标轴围成三角形的面积.解:(1)直线 l的方程为 y+2= (x-0),即 y= x-2.(2)令 x=0得 y=-2,令 y=0得 x= ,所求面积 S= ×2× = .能力提升9.在同一直角坐标系中,表示直线 y=ax与 y=x+a正确的是( C )解析:由直线 y=x+a的斜率为 1,可排除选项 B、D,结合选项 A、C 可知 a0,因此 y=ax的斜率为负数,故排除选项 A,选 C.10.已知点 A(-2,1),B(3,-1)关于直线 l对称,且点（2, ）在直线 l上,则直线 l的方程是 .解析:因为 kAB= =- ,且 AB⊥l,所以 kl= ,- 3 -又点（2, ）在直线 l上,所以直线 l的方程为 y- = (x-2),即 5x-2y-7=0.答案:5x-2y-7=0探究创新11.求斜率为 且与坐标轴所围成的三角形的周长为 12的直线的方程.解:设直线方程为 y= x+b,令 x=0,得 y=b;令 y=0,得 x=- b,由题意得|b|+︱- b︱+ =12,整理得|b|+ |b|+ |b|=12,解得 b=3或-3,所以所求直线方程为 y= x±3,即 3x-4y±12=0.- 1 -3.2.2 直线的两点式方程【选题明细表】 知识点、方法 题号直线的两点式方程 3、4、7、11直线的截距式方程 2、5、9、10中点坐标公式,直线方程的理解及应用 1、6、8、12、13基础巩固1.下列四个命题中的真命题是( B )(A)经过定点 P0(x0,y0)的直线都可以用方程 y-y0=k(x-x0)表示(B)经过任意两个不同点 P1(x1,y1)、P 2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y 1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示(C)不经过原点的直线都可以用方程 + =1表示(D)经过定点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b表示解析:当直线与 y轴重合时,斜率不存在,选项 A、D 不正确;当直线垂直于 x轴或 y轴时,直线方程不能用截距式表示,选项 C不正确,选项 B正确.故选 B.2.直线 l过点 A(3,0)和点 B(0,2),则直线 l的方程是( A )(A)2x+3y-6=0 (B)3x+2y-6=0(C)2x+3y-1=0 (D)3x+2y-1=0解析:由直线的截距式方程可得,直线 l的方程为 + =1,即 2x+3y-6=0,故选 A.3.已知 M(3, ),A(1,2),B(3,1),则过点 M(3, )和线段 AB的中点的直线方程为( B )(A)4x+2y=5 (B)4x-2y=5(C)x+2y=5 (D)x-2y=5解析:线段 AB的中点坐标为(2, ).所以所求直线方程为 = ,即 4x-2y=5,选 B.4.过两点(-1,1)和(3,9)的直线在 x轴上的截距为( A )(A)- (B)- (C) (D)2解析:由直线的两点式方程可得直线方程为 = ,即 2x-y+3=0,令 y=0得 x=- .故选 A.5.(2015江西崇义中学月考)经过点 M(1,1),且在两坐标轴上截距相等的直线是( C )(A)x+y=2 (B)x+y=1(C)x+y=2或 x=y (D)x=1或 y=1- 2 -解析:若截距为 0,则直线方程为 y=x,若截距不为 0,设直线方程为 + =1,又直线过 M点,所以 + =1,所以 a=2,故直线方程为 x+y=2,故选 C.6.(2015江西广昌一中月考)点 M(4,1)关于点 N(2,-3)的对称点 P的坐标为 . 解析:设 P(x,y),则 所以故点 P的坐标为(0,-7).答案:(0,-7)7.经过点 A(2,1),在 x轴上的截距是-2 的直线方程是 . 解析:由题意知直线过两点(2,1),(-2,0),由两点式方程可得所求直线的方程为 = ,即 x-4y+2=0.答案:x-4y+2=08.已知△ABC 的三个顶点为 A(0,3),B(1,5),C(3,-5).(1)求边 AB所在的直线方程;(2)求中线 AD所在直线的方程.解:(1)设边 AB所在的直线的斜率为 k,则 k= =2.它在 y轴上的截距为 3.所以,由斜截式得边 AB所在的直线的方程为 y=2x+3.(2)B(1,5)、C(3,-5), =2, =0,所以 BC的中点 D(2,0).由截距式得中线 AD所在的直线的方程为 + =1.能力提升9.直线 l1: - =1与直线 l2: - =1在同一坐标系中的图象可能是( B )- 3 -解析:l 1在 x轴上的截距为 m与 l2在 y轴上的截距为-m 互为相反数,l 1在 y轴上的截距为-n与 l2在 x轴上的截距为 n互为相反数,符合此关系的只有选项 B.故选 B.10.直线 l过点 P(-1,2),分别与 x、y 轴交于 A、B 两点,若 P为线段 AB的中点,则直线 l的方程为 . 解析:由题意可得 A(-2,0),B(0,4).故直线 l的方程为 + =1,即 2x-y+4=0.答案:2x-y+4=011.(2015南昌二中月考)经过 A(1,3)和 B(a,4)的直线方程为 . 解析:当 a=1时,直线 AB的斜率不存在,所求直线的方程为 x=1;当 a≠1 时,由两点式,得 = ,即 x-(a-1)y+3a-4=0.这个方程中,对 a=1时方程为 x=1也满足.所以,所求的直线方程为 x-(a-1)y+3a-4=0.答案:x-(a-1)y+3a-4=012.已知 A(-m-3,2),B(-2m-4,4),C(-m,m),D(3,3m+2),若直线 AB⊥CD,求 m的值.解:因为 A、B 两点纵坐标不相等,所以 AB与 x轴不平行.因为 AB⊥CD,所以 CD与 x轴不垂直,-m≠3,即 m≠-3.①当 AB与 x轴垂直时,-m-3=-2m-4,解得 m=-1.而 m=-1时 C、D 纵坐标均为-1,所以 CD∥x 轴,此时 AB⊥CD,满足题意.②当 AB与 x轴不垂直时,由斜率公式kAB= = ,kCD= = .因为 AB⊥CD,所以 kAB·kCD=-1,即 · =-1,- 4 -解得 m=1,综上 m的值为 1或-1.探究创新13.过点 P(2,3)作直线 l,使 l与点 A(-1,-2)、B(7,4)的距离相等,这样的直线 l存在吗?若存在,求出其方程;若不存在,请说明理由.解:这样的直线 l存在,有两条.①过点 P与线段 AB的中点 M(3,1)的直线满足题意,直线 l的方程为 = ,即 2x+y-7=0.②过点 P与直线 AB平行的直线满足题意,直线 l的斜率 k=kAB= = ,直线 l的方程为 y-3= (x-2),即 3x-4y+6=0.综上,直线 l的方程为 2x+y-7=0或 3x-4y+6=0.- 1 -3.2.3 直线的一般式方程【选题明细表】 知识点、方法 题号直线的一般式方程 1、2、3、9平行与垂直 4、5、6、10、11一般式方程的综合应用 7、8、12、13基础巩固1.(2015 江淮名校联考)直线 3x+2y+6=0 的斜率为 k,在 y 轴上的截距为 b,则有( C )(A)k=- ,b=3 (B)k=- ,b=-2(C)k=- ,b=-3(D)k=- ,b=-3解析:由 3x+2y+6=0,得 y=- x-3,知 k=- ,b=-3,故选 C.2.(2015 嘉峪关期末)如果 A·B0,B·C0,那么直线 Ax-By-C=0 不经过的象限是( B )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限解析:把直线方程 Ax-By-C=0 转化为斜截式为 y= x- ,因为 A·B0,B·C0,所以 0,- 0,所以直线 Ax-By-C=0 不经过的象限是第二象限,故选 B.3.已知 m≠0,则过点(1,-1)的直线 ax+3my+2a=0 的斜率为( D )(A)3 (B)-3 (C) (D)-解析:由题意,得 a-3m+2a=0,所以 a=m,又因为 m≠0,所以直线 ax+3my+2a=0 的斜率 k=- =- .故选 D.4.(2015 三亚期末)直线 l 过点(-1,2),且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则 l 的方程是( A )(A)3x+2y-1=0 (B)3x+2y+7=0(C)2x-3y+5=0 (D)2x-3y+8=0解析:设所求直线方程为 3x+2y+m=0,代入点(-1,2)得 3×(-1)+2×2+m=0,所以 m=-1.故直线 l 的方程是 3x+2y-1=0,故选 A.5.(2015 扬州竹西中学月考)若两条直线 2x-y+a=0 和 x- +b=0 平行,则 a,b 的取值可能是( D )- 2 -(A)2,1 (B) , (C)0,0 (D)7,3解析:由两条直线平行可得 a≠2b,验证可知 D 符合题意,故选 D.6.与直线 3x+4y+1=0 平行且过点(1,2)的直线方程为 . 解析:设所求直线的方程为 3x+4y+c=0,由直线过点(1,2)得 3+8+c=0,c=-11,则所求直线的方程为 3x+4y-11=0.答案:3x+4y-11=07.若直线(2t-3)x+y+6=0 不经过第一象限,则 t 的取值范围为 . 解析:方程可化为 y=(3-2t)x-6,因为直线不经过第一象限,所以 3-2t≤0,得 t≥ .答案:8.若方程(m 2-3m+2)x+(m-2)y-2m+5=0 表示直线.(1)求实数 m 的范围.(2)若该直线的斜率 k=1,求实数 m 的值.解:(1)由 解得 m=2,若方程表示直线,则 m2-3m+2 与 m-2 不能同时为 0,故 m≠2.(2)由- =1,解得 m=0.能力提升9.(2015 珠海希望之星月考)已知直线 Ax+By+C=0 的斜率为 5,且 A-2B+3C=0,则该直线方程为( A )(A)15x-3y-7=0 (B)15x+3y-7=0(C)3x-15y-7=0 (D)3x+15y-7=0解析:由题意得 所以所以直线方程为-5x+y+ =0,即 15x-3y-7=0.故选 A.10.直线(a+2)x+(1-a)y-3=0 与(a-1)x+(2a+3)y+2=0 互相垂直,则 a 等于( C )(A)-1 (B)1 (C)±1 (D)-解析:由(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0 化简得 1-a2=0,所以 a=±1,选 C.11.已知 A(0,1),点 B 在直线 l:2x+y=0 上运动,当线段 AB 最短时,直线 AB 的方程为 .- 3 -解析:当线段 AB 最短时,AB⊥l,故 kAB= ,直线 AB 的方程为 y-1= x,即 x-2y+2=0.答案:x-2y+2=012.求与直线 3x+4y+12=0 平行,且与坐标轴构成的三角形面积是 24 的直线 l 的方程.解:因为所求直线 l 与已知直线平行,可设 l 的方程为 3x+4y+m=0①直线 l 交 x 轴于 ,交 y 轴于 ,由 · · =24,得 m=±24,代入①得所求直线的方程为 3x+4y±24=0.探究创新13.如图,在平行四边形 ABCD 中,边 AB 所在的直线方程为 2x-y-2=0,点 C(2,0).(1)求直线 CD 的方程;(2)求 AB 边上的高 CE 所在的直线方程.解:(1)因为四边形 ABCD 为平行四边形,所以 AB∥CD,设直线 CD 的方程为 2x-y+m=0,将点 C(2,0)代入上式得 m=-4,所以直线 CD 的方程为 2x-y-4=0.(2)设直线 CE 的方程为 x+2y+n=0,将点 C(2,0)代入上式得 n=-2.所以直线 CE 的方程为 x+2y-2=0.- 1 -3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离【选题明细表】 知识点、方法 题号两直线的交点 1、5、6、11两点间的距离 2、3、9对称问题 7、10、13综合应用问题 4、8、12基础巩固1.直线 3x+2y+6=0 和 2x+5y-7=0 的交点的坐标为 ( C )(A)(-4,-3) (B)(4,3) (C)(-4,3) (D)(3,4)解析:由方程组 得 即交点坐标是(-4,3),选 C.2.已知点 A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则 a 的值为 ( C )(A)1 (B)-5 (C)1 或-5 (D)-1 或 5解析:因为|AB|= =5,所以 a=-5 或 a=1,故选 C.3.以 A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的三角形是( B )(A)直角三角形 (B)等腰三角形(C)等边三角形 (D)等腰直角三角形解析:因为|AB|= = ,|BC|= = ,|AC|= = ,所以△ABC 是等腰三角形,故选 B.4.已知 a,b 满足 a+2b=1,则直线 ax+3y+b=0 必过定点( D )(A) (B)(C) (D)解析:法一 因为 a+2b=1,所以 a=1-2b,代入直线方程得- 2 -(1-2b)x+3y+b=0,即 b(1-2x)+x+3y=0,由 得故直线必过定点 ,选 D.法二 因为 a+2b=1,所以 a+b- =0.所以 a· +3× +b=0,所以直线 ax+3y+b=0 过定点 ,选 D.5.当 00,所以交点在第二象限,故选 B.6.斜率为-2,且过两条直线 3x-y+4=0 和 x+y-4=0 交点的直线方程为 . 解析:解方程组 得交点为(0,4),所以所求的直线方程为 y=-2x+4.答案:y=-2x+47.(2015 潍坊四校联考)点 P(-3,4)关于直线 4x-y-1=0 的对称点的坐标是 . 解析:设对称点坐标为(a,b),则解得 即所求对称点的坐标是(5,2).答案:(5,2)8.(2015 珠海希望之星月考)设直线 l 经过 2x-3y+2=0 和 3x-4y-2=0 的交点,且与两坐标轴围成等腰直角三角形,求直线 l 的方程.解:设所求的直线方程为(2x-3y+2)+λ(3x-4y-2)=0,整理得(2+3λ)x-(4λ+3)y-2λ+2=0,由题意,得 =±1,解得 λ=-1,或 λ=- .- 3 -所以所求的直线方程为 x-y-4=0,或 x+y-24=0.能力提升9.设 A,B 是 x 轴上的不同两点,点 P 的横坐标为 2,|PA|=|PB|,若直线 PA 的方程为 x-y+1=0,则直线 PB 的方程是( A )(A)x+y-5=0 (B)2x-y-1=0(C)2y-x-4=0 (D)2x+y-7=0解析:设 P(2,y),由点 P 在直线 x-y+1=0 上得 P(2,3),设 A(x0,0),由点 A 在直线 x-y+1=0 上得A(-1,0),由|PA|=|PB|得 B 的坐标为(5,0),所以直线 PB 的方程为 x+y-5=0.故选 A.10.已知 A(3,1),B(-1,2),若∠ACB 的平分线方程为 y=x+1,则 AC 所在的直线方程为( C )(A)y=2x+4 (B)y= x-3(C)x-2y-1=0 (D)3x+y+1=0解析:设 B 关于直线 y=x+1 的对称点为 B′(x,y),则解得 即 B′(1,0).则 AC 的方程为 = ,即 x-2y-1=0.故选 C.11.三条直线 x+y+1=0,2x-y+8=0,ax+3y-5=0 不能围成三角形,则 a 的取值集合是 . 解析:因为 x+y+1=0 与 2x-y+8=0 相交,所以三条直线不能围成三角形可分为三线共点或其中有两条直线平行,由 x+y+1=0 与 ax+3y-5=0 平行得 a=3,由 2x-y+8=0 与 ax+3y-5=0 平行得 a=-6,由三线共点得 a= ,故 a 的取值集合是 .答案:12.已知平行四边形两边所在直线的方程为 x+y+2=0 和 3x-y+3=0,对角线的交点是(3,4),求其他两边所在直线的方程.解:由 得一顶点为 .因对角线交点是(3,4),则已知顶点的相对顶点为.设与 x+y+2=0 平行的对边所在直线方程为 x+y+m=0,- 4 -因为该直线过 ,所以 m=-16.设与 3x-y+3=0 平行的对边所在直线方程为3x-y+n=0,同理可知过点 ,得 n=-13.故所求直线的方程为 x+y-16=0 和 3x-y-13=0.探究创新13.在 x 轴上求一点 P,使得(1)P 到 A(4,1)和 B(0,4)的距离之差最大,并求出最大值;(2)P 到 A(4,1)和 C(3,4)的距离之和最小,并求出最小值.解:如图,(1)直线 BA 与 x 轴交于点 P,此时 P 为所求点,且|PB|-|PA|=|AB|==5.因为直线 BA 的斜率kBA= =- ,所以直线 BA 的方程为 y=- x+4.令 y=0 得 x= ,即 P .故距离之差最大值为 5,此时 P 点的坐标为 ,- 5 -(2)作 A 关于 x 轴的对称点 A′,则 A′(4,-1),连接 CA′,则|CA′|为所求最小值,直线 CA′与 x 轴交点为所求点.又|CA′|= = ,直线 CA′的斜率 kCA′ = =-5,则直线 CA′的方程为 y-4=-5(x-3).令 y=0 得 x= ,即 P .故距离之和最小值为 ,此时 P 点的坐标为 .- 1 -3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离 【选题明细表】 知识点、方法 题号点到直线的距离 1、2、4、9两平行线间的距离 3、5、6、10综合应用 7、8、11、12、13基础巩固1.(2015西安高新一中月考)点(1,2)到直线 y=2x+1的距离为( A )(A) (B) (C) (D)2解析:直线 y=2x+1即 2x-y+1=0,由点到直线的距离公式得 d= = ,选 A.2.已知点(3,m)到直线 x+ y-4=0的距离等于 1,则 m等于( D )(A) (B)- (C)- (D) 或-解析: =1,解得 m= 或- ,故选 D.3.两平行线 y=kx+b1与 y=kx+b2之间的距离是( B )(A)b1-b2 (B) (C)|b1-b2| (D)b2-b1解析:两直线方程可化为 kx-y+b1=0,kx-y+b2=0,所以 d= .故选 B.4.过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( A )(A)x+2y-5=0 (B)2x+y-4=0(C)x+3y-7=0 (D)3x+y-5=0解析:所求为过 A(1,2),且垂直 OA的直线,所以 k=- ,故所求直线为 y-2=- (x-1),即 x+2y-5=0.故选 A.5.两平行线分别经过点 A(3,0),B(0,4),它们之间的距离 d满足的条件是( B )(A)0d≤3 (B)0d≤5 (C)0d4 (D)3≤d≤5- 2 -解析:当两平行线与 AB垂直时,两平行线间的距离最大为|AB|=5,所以 0d≤5,故选 B.6.(2015珠海希望之星月考)直线 5x+12y+3=0与直线 10x+24y+5=0的距离是 . 解析:直线 10x+24y+5=0可化为 5x+12y+ =0,所以两平行直线间的距离 d= = .答案:7.一直线过点 P(2,0),且点 Q 到该直线的距离等于 4,则该直线的倾斜角为 . 解析:当过 P点的直线垂直于 x轴时,Q 点到直线的距离等于 4,此时直线的倾斜角为 90°,当过 P点的直线不垂直于 x轴时,直线斜率存在,设过 P点的直线为 y=k(x-2),即 kx-y-2k=0.由 d= =4,解得 k= .所以直线的倾斜角为 30°.答案:90°或 30°8.已知直线 l经过点 P(-2,5),且斜率为 .(1)求直线 l的方程.(2)若直线 m与 l平行,且点 P到直线 m的距离为 3,求直线 m的方程.解:(1)由直线方程的点斜式,得 y-5=- (x+2),整理得所求直线方程为 3x+4y-14=0.(2)由直线 m与直线 l平行,可设直线 m的方程为 3x+4y+C=0,由点到直线的距离公式得 =3,即 =3,解得 C=1或 C=-29,故所求直线方程为 3x+4y+1=0或 3x+4y-29=0.- 3 -能力提升9.点 P(m-n,-m)到直线 + =1的距离等于( A )(A) (B)(C) (D)解析:直线方程可化为 nx+my-mn=0,故 d=== .故选 A.10.若两平行直线 2x+y-4=0与 y=-2x-k-2的距离不大于 ,则 k的取值范围是( C )(A)[-11,-1] (B)[-11,0](C)[-11,-6)∪(-6,-1] (D)[-1,+∞)解析:y=-2x-k-2 可化为 2x+y+k+2=0,由题意,得 = ≤ ,且 k+2≠-4 即 k≠-6,得-5≤k+6≤5,即-11≤k≤-1,且 k≠-6.选 C.11.已知 x+y-3=0,则 的最小值为 . 解析:设 P(x,y)在直线 x+y-3=0上,A(2,-1),则 =|PA|.|PA|的最小值为点 A(2,-1)到直线 x+y-3=0的距离 d= = .答案:12.已知△ABC 的三个顶点 A(4,0),B(8,10),C(0,6).- 4 -(1)求过点 A且平行于 BC的直线方程;(2)求过 B点且与点 A,C距离相等的直线方程.解:(1)k BC= ,过 A点且平行于 BC的直线方程为 y-0= (x-4)即 x-2y-4=0.(2)设过 B点的直线方程为 y-10=k(x-8),即 kx-y-8k+10=0,由 = ,即 k= 或 k=- .所求的直线方程为 y-10= (x-8)或 y-10=- (x-8)即 7x-6y+4=0或 3x+2y-44=0.探究创新13.已知正方形 ABCD的中心 M(-1,0)和一边 CD所在的直线方程为 x+3y-5=0,求其他三边所在的直线方程.解:因为 AB∥CD,所以可设 AB边所在的直线方程为 x+3y+m=0.又因为 AD⊥CD,BC⊥CD,所以可设 AD,BC边所在的直线方程为 3x-y+n=0.因为中心 M到 CD的距离为 d= = ,所以点 M到 AD,AB,BC的距离均为 .由 = ,得|n-3|=6,所以 n=9或-3.由 = ,得|m-1|=6,所以 m=7或-5(舍去).所以其他三边所在的直线方程分别为 x+3y+7=0,3x-y+9=0,3x-y-3=0.- 1 -第三章 检测试题(时间:90 分钟 满分:120 分)【选题明细表】 知识点、方法 题号直线的倾斜角和斜率 1、2、17两条直线的位置关系 4、6、10、18交点、距离问题 5、8、9、14直线的方程 3、7、11、13综合应用 12、15、16、19、20一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.(2015 吉林学业水平检测)在直角坐标系中,直线 x-y-3=0 的倾斜角是( B )(A)30° (B)60° (C)120° (D)150°解析:直线的斜率 k= ,倾斜角为 60°,故选 B.2.(2015 许昌四校联考)若 A(-2,3),B(3,-2),C 三点共线,则 m 的值为( A )(A) (B)- (C)-2 (D)2解析:由 = ,得 m= ,故选 A.3.过点 P(-1,3)且垂直于直线 x-2y+3=0 的直线方程为( A )(A)2x+y-1=0 (B)2x+y-5=0(C)x+2y-5=0 (D)x-2y+7=0解析:设所求直线方程为 2x+y+c=0 又过点 P(-1,3),则-2+3+c=0,c=-1,故所求直线方程为 2x+y-1=0,故选 A.4.(2015 湖南师大附中)已知过点 A(-2,m)和 B(m,4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行,则 m 的值为( A )(A)-8 (B)0 (C)2 (D)10解析:直线 2x+y-1=0 的斜率 k=-2,所以 =-2,解得 m=-8,选 A.5.两条平行线 l1:4x-3y+2=0 与 l2:4x-3y-1=0 之间的距离是( B )(A)3 (B) (C) (D)1- 2 -解析:两条平行线 l1:4x-3y+2=0 与 l2:4x-3y-1=0 之间的距离 d= = ,故选 B.6.直线 l1:(3-a)x+(2a-1)y+7=0 与直线 l2:(2a+1)x+(a+5)y-6=0 互相垂直,则 a 的值是( B )(A)- (B) (C) (D)解析:因为 l1⊥l 2,所以(3-a)(2a+1)+(2a-1)(a+5)=0,所以 a= ,故选 B.7.直线 mx-y+2m+1=0 经过一定点,则该定点的坐标为( A )(A)(-2,1) (B)(2,1) (C)(1,-2) (D)(1,2)解析:直线变形为 m(x+2)-(y-1)=0,故无论 m 取何值,点(-2,1)都在此直线上,故选 A.8.(2015 银川一中期末)直线 x+ky=0,2x+3y+8=0 和 x-y-1=0 交于一点,则 k 的值是( B )(A) (B)- (C)2 (D)-2解析:由 得交点为(-1,-2),代入方程 x+ky=0,得-1-2k=0,所以 k=- ,故选 B.9.过点(1,2)且与原点的距离最大的直线方程是( A )(A)x+2y-5=0 (B)2x+y-4=0(C)x+3y-7=0 (D)3x+y-5=0解析:设原点为 O,P(1,2),则 kOP=2,当直线的斜率为- 时,所求直线方程与原点的距离最大,所以此时直线方程为 x+2y-5=0,故选 A.10.(2015 兰州 55 中期末)点 P(7,-4)关于直线 l:6x-5y-1=0 的对称点 Q 的坐标是( C )(A)(5,6) (B)(2,3) (C)(-5,6) (D)(-2,3)解析:设 Q(m,n),则 解得 m=-5,n=6,所以点 P(7,-4)关于直线 l:6x-5y-1=0 的对称点 Q 的坐标是(-5,6), 故选 C.11.已知直线 l 过点(1,2),且在 x 轴截距是在 y 轴截距的 2 倍,则直线 l 的方程为( C )(A)x+2y-5=0(B)x+2y+5=0(C)2x-y=0 或 x+2y-5=0(D)2x-y=0 或 x-2y+3=0解析:当直线在两坐标轴上的截距都为 0 时,设直线 l 的方程为 y=kx,把点(1,2)代入方程,得2=k,即 k=2,所以直线的方程为 2x-y=0;当直线在两坐标轴上的截距都不为 0 时,设直线的方程为 + =1,把点(1,2)代入方程,得 + =1,即 b= ,所以直线的方程为 x+2y-5=0.故选 C.- 3 -12.经过点(2,1)的直线 l 到 A(1,1)、B(3,5)两点的距离相等,则直线 l 的方程为( C )(A)2x-y-3=0 (B)x=2(C)2x-y-3=0 或 x=2 (D)以上都不对解析:满足条件的直线 l 有两种情况:①过线段 AB 的中点;②与直线 AB 平行.由 A(1,1),B(3,5)可知线段 AB 的中点坐标为(2,3),所以直线 x=2 满足条件.由题意知 kAB= =2.所以直线 l 的方程为 y-1=2(x-2),即 2x-y-3=0,综上可知直线 l 的方程为 x=2 或 2x-y-3=0,故选 C.二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.若直线 l 的方程为 y-a=(a-1)(x+2),且 l 在 y 轴上的截距为 6,则 a= . 解析:令 x=0,得 y=(a-1)×2+a=6,得 a= .答案:14.已知点 A(2,1),B(-2,3),C(0,1),在△ABC 中,BC 边上的中线长为 . 解析:BC 中点为 即(-1,2),所以 BC 边上中线长为 = .答案:15.经过两条直线 2x-y-3=0 和 4x-3y-5=0 的交点,并且与直线 2x+3y+5=0 平行的直线方程的一般式为 . 解析:解方程组 得交点为(2,1),由题意知所求直线斜率为- ,所以直线方程为 y-1=- (x-2),化为一般式为 2x+3y-7=0.答案:2x+3y-7=016.已知点 A(4,-3)与 B(2,-1)关于直线 l 对称,在 l 上有一点 P,使点 P 到直线 4x+3y-2=0 的距离等于 2,则点 P 的坐标是 . 解析:由题意知线段 AB 的中点 C(3,-2),kAB=-1,故直线 l 的方程为 y+2=x-3,即 y=x-5.设P(x,x-5),则 2= ,- 4 -解得 x=1 或 x= .即点 P 的坐标是(1,-4)或 .答案:(1,-4)或三、解答题(本大题共 4 小题,共 40 分)17.(本小题满分 10 分)当 m 为何值时,直线(2m 2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1.(1)倾斜角为 45°.(2)在 x 轴上的截距为 1.解:(1)倾斜角为 45°,则斜率为 1.所以- =1,解得 m=-1,m=1(舍去),直线方程为 2x-2y-5=0 符合题意,所以 m=-1.(2)当 y=0 时,x= =1,解得 m=- ,或 m=2,当 m=- ,m=2 时都符合题意,所以 m=- 或 m=2.18.(本小题满分 10 分)已知直线 l1:ax+by+1=0,(a,b 不同时为 0),l2:(a-2)x+y+a=0,(1)若 b=0 且 l1⊥l 2,求实数 a 的值;(2)当 b=3 且 l1∥l 2时,求直线 l1与 l2之间的距离.解:(1)若 b=0,则直线 l1:ax+1=0(a≠0).又因为 l1⊥l 2,所以可得 a(a-2)=0,所以 a=2,a=0(舍去),所以 a=2.(2)当 b=3 时,l 1:ax+3y+1=0,当 l1∥l 2时,有解得 a=3.此时,l 1的方程为 3x+3y+1=0,l2的方程为 x+y+3=0 即 3x+3y+9=0,则它们之间的距离为 d= = .- 5 -19.(本小题满分 10 分)△ABC 中,已知 A(-1,2),B(3,4),C(-2,5)(1)求 BC 边上的高 AH 所在的直线方程;(2)求△ABC 的面积.解:(1)由题意得 kBC= =- ,所以 kAH=5,所以 AH 所在的直线方程为 y-2=5(x+1),即 5x-y+7=0.(2)BC 所在的直线方程为 y-4=- (x-3),即 x+5y-23=0,点 A 到直线 BC 的距离为d= = .又|BC|= = ,所以 S△ABC = ×|BC|×d= × × =7.20.(本小题满分 10 分)光线从点 A(2,3)射入,若镜面的位置在直线 l:x+y+1=0 上,反射光线经过 B(1,1),求入射光线和反射光线所在直线的方程,并求光线从 A 到 B 所走过的路线长.解:设点 A 关于直线 l 的对称点为 A′(x 0,y0),因为 AA′被 l 垂直平分,所以解得因为 A′(-4,-3),B(1,1)在反射光线所在直线上,所以反射光线的方程为 = ,即 4x-5y+1=0.解方程组- 6 -得入射点的坐标为 .由入射点及点 A 的坐标得入射光线方程为 = ,即 5x-4y+2=0.故光线从 A 到 B 所走过的路线长为|A′B|= = .