（浙江专用）2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用（课件+习题）（打包7套）.zip

第 1讲 导 数的概念及运算知 识 梳 理(2)几何意 义 ：函数 f(x)在点 x0处 的 导 数 f′(x0)的几何意 义 是在曲 线 y＝ f(x)上点 ____________处 的 _____________.相应 地，切 线 方程 为 ___________________.2.函数 y＝ f(x)的 导 函数如果函数 y＝ f(x)在开区 间 (a， b)内的每一点 处 都有 导 数，其 导 数 值 在 (a， b)内构成一个新函数， 这 个函数称 为 函数y＝ f(x)在开区 间 内的 导 函数 .记 作 f′(x)或 y′.(x0， f(x0)) 切 线 的斜率y－ y0＝ f′(x0)(x－ x0)3.基本初等函数的 导 数公式基本初等函数 导 函数f(x)＝ c(c为 常数 ) f′(x)＝ ______f(x)＝ xα(α∈ Q*) f′(x)＝ _______f(x)＝ sin x f′(x)＝ _______f(x)＝ cos x f′(x)＝ ________f(x)＝ ex f′(x)＝ __________f(x)＝ ax(a＞ 0， a≠1) f′(x)＝ ___________f(x)＝ ln x f′(x)＝ __________f(x)＝ logax(a＞ 0，a≠1) f′(x)＝ ________0αxα－ 1cos x－ sin xexaxln af′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋ f(x)g′(x)yu′·ux′ y对 uu对 x1.判断正 误 (在括号内打 “ ”或 “×”) (1)f′(x0)与 (f(x0))′表示的意 义 相同 .( )(2)求 f′(x0)时 ，可先求 f(x0)再求 f′(x0).( )(3)曲 线 的切 线 与曲 线 不一定只有一个公共点 .( )(4)若 f(x)＝ e2x， 则 f′(x)＝ e2x.( )诊 断 自 测×××√√答案 A3.(2014·新 课标 全国 Ⅱ 卷 )设 曲 线 y＝ ax－ ln(x＋ 1)在点 (0，0)处 的切 线 方程 为 y＝ 2x， 则 a＝ ( )A.0 B.1 C.2 D.3答案 D4.设 函数 f(x)在 (0，＋ ∞)内可 导 ，且 f(ex)＝ x＋ ex， 则 f′(1)＝ ________.答案 25.(2015·全国 Ⅰ 卷 )已知函数 f(x)＝ ax3＋ x＋ 1的 图 象在点 (1，f(1))处 的切 线过 点 (2， 7)， 则 a＝ ________.解析 ∵ f′(x)＝ 3ax2＋ 1， ∴ f′(1)＝ 3a＋ 1.又 f(1)＝ a＋ 2，∴ 切 线 方程 为 y－ (a＋ 2)＝ (3a＋ 1)(x－ 1).∵ 切 线过 点 (2， 7)，∴ 7－ (a＋ 2)＝ 3a＋ 1， 解得 a＝ 1.答案 1考点一 导 数的运算规 律方法 (1)熟 记 基本初等函数的 导 数公式及运算法 则 是导 数 计 算的前提 ， 求 导 之前 ， 应 利用代数、三角恒等式等变 形 对 函数 进 行化 简 ， 然后求 导 ， 这样 可以减少运算量提高运算速度 ， 减少差 错 .(2)① 如函数 为 根式形式 ， 可先化 为分数指数 幂 ，再求 导 .② 复合函数求 导 ， 应 先确定复合关系， 由外向内逐 层 求 导 ， 必要 时 可 换 元 处 理 .考点二 导 数的几何意 义【例 2】 已知函数 f(x)＝ x3－ 4x2＋ 5x－ 4.(1)求曲 线 f(x)在点 (2， f(2))处 的切 线 方程；(2)求 经过 点 A(2，－ 2)的曲 线 f(x)的切 线 方程 .解 (1)∵ f′(x)＝ 3x2－ 8x＋ 5， ∴ f′(2)＝ 1，又 f(2)＝－ 2，∴ 曲 线 在点 (2， f(2))处 的切 线 方程 为 y＋ 2＝ x－ 2，即 x－ y－ 4＝ 0.规 律方法 (1)导 数 f′(x0)的几何意 义 就是函数 y＝ f(x)在点P(x0， y0)处 的切 线 的斜率 ， 切点既在曲 线 上 ， 又在切 线 上 .切 线 有可能和曲 线还 有其他的公共点 .(2)“曲 线 在点 P处 的切 线 ”是以点 P为 切点 ， “曲 线过 点 P的切 线 ”则 点 P不一定是切点 ， 此 时应 先 设 出切点坐 标 .(3)当曲 线 y＝ f(x)在点 (x0，f(x0))处 的切 线 垂直于 x轴时 ， 函数在 该 点 处 的 导 数不存在， 切 线 方程是 x＝ x0.【 训练 2】 (1)(2014·广 东 卷 )曲 线 y＝ e－ 5x＋ 2在点 (0， 3)处的切 线 方程 为 ________.(2)(2015·全国 Ⅱ 卷 )已知曲 线 y＝ x＋ ln x在点 (1， 1)处 的切线 与曲 线 y＝ ax2＋ (a＋ 2)x＋ 1相切， 则 a＝ ________.答案 (1)5x＋ y－ 3＝ 0 (2)8考点三 导 数几何意 义 的 综 合 应 用【例 3】 已知函数 f(x)＝ 2x3－ 3x.(1)求 f(x)在区 间 [－ 2， 1]上的最大 值 ；(2)若 过 点 P(1， t)存在 3条直 线 与曲 线 y＝ f(x)相切，求 t的取 值 范 围 .x (－ ∞， 0) 0 (0， 1) 1 (1，＋ ∞)g′(x) ＋ 0 － 0 ＋g(x) t＋ 3 t＋ 1规 律方法 解决本 题 第 (2)问 的关 键 是利用曲 线 上点的坐 标 表示切 线 方程 ， 可将 问题 等价 转 化 为 关于 x0的方程有三个不同的 实 根 ， 构造函数后 ， 利用函数的 单调 性求极 值 ， 通 过 数形 结 合方法找到 t满 足的条件即可 .答案 (1)A (2)[2，＋ ∞)[思想方法 ]1.f′(x0)代表函数 f(x)在 x＝ x0处 的 导 数 值 ； [f(x0)]′是函数 值 f(x0)的 导 数，而函数 值 f(x0)是一个常量，其 导 数一定 为 0，即[f(x0)]′＝ 0.2.对 于函数求 导 ，一般要遵循先化 简 再求 导 的基本原 则 .求 导时 ，不但要重 视 求 导 法 则 的 应 用，而且要特 别 注意求 导 法则对 求 导 的制 约 作用，在 实 施化 简时 ，首先必 须 注意 变换的等价性，避免不必要的运算失 误 .对 于复合函数求 导 ，关键 在于分清复合关系，适当 选 取中 间变 量，然后 “由外及内 ”逐 层 求 导 .第 2讲 导 数在研究函数中的 应 用最新考 纲 1.了解函数的 单调 性与 导 数的关系；能利用 导 数研究函数的 单调 性 ， 会求函数的 单调 区 间 (其中多 项 式函数一般不超 过 三次 )； 2.了解函数在某点取得极 值 的必要条件和充分条件；会用 导 数求函数的极大 值 、极小 值 (其中多 项 式函数一般不超 过 三次 )；会求 闭 区 间 上函数的最大 值 、最小 值 (其中多 项 式函数一般不超 过 三次 ).知 识 梳 理1.函数的 单调 性与 导 数的关系已知函数 f(x)在某个区 间 内可 导 ，(1)若 f′(x)＞ 0， 则 函数 y＝ f(x)在 这 个区 间 内 __________；(2)若 f′(x)＜ 0， 则 函数 y＝ f(x)在 这 个区 间 内 __________；(3)若 f′(x)＝ 0， 则 f(x)在 这 个区 间 内是常数函数 .2.函数的极 值 与 导 数(1)判断 f(x0)是极 值 的方法一般地，当函数 f(x)在点 x0处连续 且 f′(x0)＝ 0，单调递 增单调递 减① 如果在 x0附近的左侧 f′(x)＞ 0，右侧 f′(x)＜ 0，那么 f(x0)是________；②如果在 x0附近的左 侧 f′(x)___0，右 侧 f′(x) ___0，那么f(x0)是极小 值 .(2)求可 导 函数极 值 的步 骤 ：①求 f′(x)；②求方程 __________的根；③检查 f′(x)在方程 f′(x)＝ 0的根的左右两 侧 的符号 .如果左正右 负 ，那么 f(x)在 这 个根 处 取得 ________；如果左 负 右正，那么 f(x)在 这 个根 处 取得 ________.极大值f′(x)＝ 0极大值极小 值＜ ＞3.函数的最 值 与 导 数(1)函数 f(x)在 [a， b]上有最 值 的条件如果在区 间 [a， b]上函数 y＝ f(x)的 图 象是 连续 不断的曲线 ，那么它必有最大 值 和最小 值 .(2)设 函数 f(x)在 [a， b]上 连续 且在 (a， b)内可 导 ，求 f(x)在 [a， b]上的最大 值 和最小 值 的步 骤 如下：①求 f(x)在 (a， b)内的极 值 ；②将 f(x)的各极 值 与 ___________比 较 ，其中最大的一个是最大 值 ，最小的一个是最小 值 .f(a)， f(b)诊 断 自 测1.判断正 误 (在括号内打 “√”或 “×”) (1)函数 f(x)在区 间 (a， b)内 单调递 增的充要条件是 f′(x)＞0.( )(2)函数的极大 值 一定比极小 值 大 .( )(3)对 可 导 函数 f(x)， f′(x0)＝ 0是 x0为 极 值 点的充要条件 .( )(4)函数的最大 值 不一定是极大 值 ，函数的最小 值 也不一定是极小 值 .( )×××√2.(人教 A选 修 2－ 2P32A4改 编 )如 图 是 f(x)的 导 函数 f′(x)的 图象， 则 f(x)的极小 值 点的个数 为 ( )A.1 B.2 C.3 D.4解析 由 题 意知在 x＝－ 1处 f′(－ 1)＝ 0， 且其左右两 侧导 数符号 为 左 负 右正 .答案 A3.(2014·新 课标 全国 Ⅱ 卷 )若函数 f(x)＝ kx－ ln x在区 间(1，＋ ∞)上 单调递 增， 则 k的取 值 范 围 是 ( )A.(－ ∞，－ 2] B.(－ ∞，－ 1]C.[2，＋ ∞) D.[1，＋ ∞)答案 D4.函数 y＝ 2x3－ 2x2在区 间 [－ 1， 2]上的最大 值 是 ________.答案 8答案 (0， 1)考点一 利用 导 数研究函数的 单调 性规 律方法 (1)利用 导 数研究函数的 单调 性的关 键 在于准确判定 导 数的符号 ， 当 f(x)含参数 时 ， 需依据参数取 值对 不等式解集的影响 进 行分 类讨论 .(2)若可 导函数 f(x)在指定的区 间 D上 单调递 增 (减 )， 求参数范 围问题 ， 可 转 化 为 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)恒成立 问题 ， 从而构建不等式 ， 要注意 “＝ ”是否可以取到 .考点二 利用 导 数研究函数的极 值【例 2】 已知函数 f(x)＝ x－ aln x(a∈ R).(1)当 a＝ 2时 ，求曲 线 y＝ f(x)在点 A(1， f(1))处 的切 线 方程；(2)求函数 f(x)的极 值 .规 律方法 (1)求函数 f(x)极 值 的步 骤① 确定函数的定 义 域；② 求 导 数 f′(x)；③ 解方程 f′(x)＝ 0， 求出函数定 义 域内的所有根；④ 列表 检验 f′(x)在 f′(x)＝ 0的根 x0左右两 侧值 的符号 ， 如果左正右 负 ， 那么 f(x)在 x0处 取极大 值 ， 如果左 负 右正 ， 那么f(x)在 x0处 取极小 值 .(2)可 导 函数 y＝ f(x)在点 x0处 取得极 值 的充要条件是 f′(x0)＝ 0， 且在 x0左 侧 与右 侧 f′(x)的符号不同 ， 应 注意 ， 导 数 为 零的点不一定是极 值 点 .对 含参数的求极 值问题 ， 应 注意分 类讨论 .【 训练 2】 已知函数 f(x)＝ ax－ 1－ ln x(a∈ R).(1)讨论 函数 f(x)在定 义 域内的极 值 点的个数；(2)若函数 f(x)在 x＝ 1处 取得极 值 ， ∀ x∈ (0，＋ ∞)， f(x) bx－ 2恒成立，求 实 数 b的取 值 范 围 .考点三 利用 导 数求函数的最 值【例 3】 已知函数 f(x)＝ (ax2＋ bx＋ c)ex在 [0， 1]上 单调递 减且 满 足 f(0)＝ 1， f(1)＝ 0.(1)求 a的取 值 范 围 .(2)设 g(x)＝ f(x)－ f′(x)，求 g(x)在 [0， 1]上的最大 值 和最小 值 .解 (1)由 f(0)＝ 1， f(1)＝ 0，得 c＝ 1， a＋ b＝－ 1，则 f(x)＝ [ax2－ (a＋ 1)x＋ 1]ex，f′(x)＝ [ax2＋ (a－ 1)x－ a]ex，依 题 意 对 于任意 x∈ [0， 1]，有 f′(x)≤0.当 a＞ 0时 ，因 为 二次函数 y＝ ax2＋ (a－ 1)x－ a的 图 象开口向上，而 f′(0)＝－ a＜ 0，所以需 f′(1)＝ (a－ 1)e＜ 0，即 0＜ a＜ 1；当 a＝ 1时 ， 对 于任意 x∈ [0， 1]，有 f′(x)＝ (x2－ 1)ex≤0，且只在 x＝ 1时 f′(x)＝ 0， f(x)符合条件；当 a＝ 0时 ， 对 于任意 x∈ [0， 1]， f′(x)＝－ xex≤0，且只在 x＝ 0时 ， f′(x)＝ 0， f(x)符合条件；当 a＜ 0时 ，因 f′(0)＝－ a＞ 0， f(x)不符合条件 .故 a的取 值 范 围为 0≤ a≤ 1.(2)因 g(x)＝ (－ 2ax＋ 1＋ a)ex，g′(x)＝ (－ 2ax＋ 1－ a)ex，(ⅰ )当 a＝ 0时 ， g′(x)＝ ex＞ 0，g(x)在 x＝ 0处 取得最小 值 g(0)＝ 1，在 x＝ 1处 取得最大 值 g(1)＝ e.(ⅱ )当 a＝ 1时 ， 对 于任意 x∈ [0， 1]有 g′(x)＝－ 2xex≤0，g(x)在 x＝ 0处 取得最大 值 g(0)＝ 2，在 x＝ 1处 取得最小 值 g(1)＝ 0.规 律方法 求函数 f(x)在 [a， b]上的最大 值 和最小 值 的步 骤 ： (1)求函数在 (a， b)内的极 值 ； (2)求函数在区 间端点的函数 值 f(a)， f(b)； (3)将函数 f(x)的各极 值 与 f(a)， f(b)比 较 ， 其中最大的一个 为 最大 值 ， 最小的一个 为最小 值 .【 训练 3】 已知函数 f(x)＝ xln x.(1)求函数 f(x)的极 值 点；(2)设 函数 g(x)＝ f(x)－ a(x－ 1)，其中 a∈ R，求函数 g(x)在区 间 [1， e]上的最小 值 (其中 e为 自然 对 数的底数 ).第 3讲 导 数的 综 合 应 用最新考 纲 1.利用 导 数研究函数的 单调 性、极 (最 )值，并会解决与之有关的方程 (不等式 )问题 ； 2.会利用导 数解决某些 简单 的 实际问题 .知 识 梳 理1.生活中的 优 化 问题通常求利 润 最大、用料最省、效率最高等问题 称 为 _______问题 ，一般地， 对 于 实际问题 ，若函数在 给 定的定 义 域内只有一个极 值 点，那么 该 点也是最 值 点 .2.利用 导 数解决生活中的 优 化 问题 的基本思路优 化3.导 数在研究方程 (不等式 )中的 应 用研究函数的 单调 性和极 (最 )值 等离不开方程与不等式；反 过 来方程的根的个数、不等式的 证 明、不等式恒成立求参数等，又可 转 化 为 函数的 单调 性、极 值 与最 值 的 问题 ，利用 导 数 进 行研究 .4.导 数在 综 合 应 用中 转 化与化 归 思想的常 见类 型(1)把不等式恒成立 问题转 化 为 求函数的最 值问题 ；(2)把 证 明不等式 问题转 化 为 函数的 单调 性 问题 ；(3)把方程解的 问题转 化 为 函数的零点 问题 .诊 断 自 测1.判断正 误 (在括号内打 “√”或 “×”)(1)若 实际问题 中函数定 义 域是开区 间 ， 则 不存在最 优 解( )(2)函数 f(x)＝ x3＋ ax2＋ bx＋ c的 图 象与 x轴 最多有 3个交点，最少有一个交点 ( )(3)函数 F(x)＝ f(x)－ g(x)的最小 值 大于 0， 则 f(x)＞ g(x)( )(4)“存在 x∈ (a， b)，使 f(x)≥a”的含 义 是 “任意 x∈ (a， b)，使 f(x)≥ a”( )××√√答案 C3.(2015·全国 Ⅱ 卷 )设 函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈ R)的 导 函数， f(－ 1)＝ 0，当 x＞ 0时 ， xf′(x)－ f(x)＜ 0， 则 使得 f(x)＞ 0成立的 x的取 值 范 围 是 ( )A.(－ ∞，－ 1)∪ (0， 1) B.(－ 1， 0)∪ (1，＋ ∞)C.(－ ∞，－ 1)∪ (－ 1， 0) D.(0， 1)∪ (1，＋∞)答案 A4.若函数 f(x)＝ x3－ 3x＋ a有 3个不同的零点， 则实 数 a的取值 范 围 是 ________.解析 由于函数 f(x)是 连续 的 ， 故只需要两个极 值 异号即可.f′(x)＝ 3x2－ 3， 令 3x2－ 3＝ 0， 得 x＝ ±1， 只需 f(－ 1)·f(1)＜ 0， 即 (a＋ 2)(a－ 2)＜ 0， 故 a∈ (－ 2， 2).答案 (－ 2， 2)答案 f(a)＜ f(b)考点 一 利用 导 数研究函数的零点或方程的根规 律方法 研究函数零点或方程根的情况 ， 可以通 过导 数研究函数的 单调 性、最大 值 、最小 值 、 变 化 趋势 等 ， 并借助函数的大致 图 象判断函数零点或方程根的情况 ， 这 是 导 数 这一工具在研究函数零点或方程根中的重要 应 用 .x (0， ) ( ，＋ ∞)f′(x) － 0 ＋f(x)考点 二 导 数在不等式中的 应 用规 律方法 利用 导 数方法 证 明不等式 f(x)＞ g(x)在区 间D上恒成立的基本方法是构造函数 h(x)＝ f(x)－ g(x)， 然后根据函数的 单调 性或者函数的最 值证 明函数 h(x)＞ 0， 其中一种常用方法就是找到函数 h(x)在何 处 可以等于零 ， 这 往往就是解决 问题 的一个突破口 .【 训练 2】 设 函数 f(x)＝ x2＋ ax＋ b， g(x)＝ ex(cx＋ d)，若曲线 y＝ f(x)和曲 线 y＝ g(x)都 过 点 P(0， 2)，且在点 P处 有相同的切 线 y＝ 4x＋ 2.(1)求 a， b， c， d的 值 ；(2)若 x≥－ 2时 ， f(x)≤kg(x)，求 k的取 值 范 围 .考点 三 利用 导 数解决生活中的 优 化 问题【例 3】 某村庄 拟 修建一个无盖的 圆 柱形蓄水池 (不 计 厚度).设该 蓄水池的底面半径 为 r米，高 为 h米，体 积为 V立方米 .假 设 建造成本 仅 与表面 积 有关， 侧 面的建造成本 为100元 /平方米，底面的建造成本 为 160元 /平方米， 该 蓄水池的 总 建造成本 为 12 000π元 (π为圆 周率 ).(1)将 V表示成 r的函数 V(r)，并求 该 函数的定 义 域；(2)讨论 函数 V(r)的 单调 性，并确定 r和 h为 何 值时该 蓄水池的体 积 最大 .规 律方法 在求 实际问题 中的最大 值 或最小 值时(1)既要注意将 问题 中涉及的 变 量关系用函数关系表示 ， 还要注意确定函数关系式中自 变 量的取 值 范 围 .(2)要注意求得 结 果的 实际 意 义 ， 不符合 实际 的 值应 舍去 .(3)如果目 标 函数在定 义 域内只有一个极 值 点 ， 那么根据 实际 意 义该 极 值 点就是最 值 点 .