（新课标）2017版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量与复数 理（课件+习题）（打包9套）.zip

1题组层级快练(二十五)1．对于非零向量 a，b， “a＋b＝0”是“a∥b”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案 A解析 若 a＋b＝0，则 a＝－b，所以 a∥b；若 a∥b，则 a＝λb，a＋b＝0 不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．2．设 a 是任一向量，e 是单位向量，且 a∥e，则下列表示形式中正确的是( )A．e＝ B．a＝|a|ea|a|C．a＝－|a|e D．a＝±|a|e答案 D解析 对于 A，当 a＝0 时， 没有意义，错误；a|a|对于 B，C，D 当 a＝0 时，选项 B，C，D 都对；当 a≠0 时，由 a∥e 可知，a 与 e 同向或反向，选 D.3．(2014·新课标全国Ⅰ文)设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则 ＋EB→ ＝( )FC→ A. B.AD→ 12AD→ C. D.BC→ 12BC→ 答案 A解析 ＋ ＝ ( ＋ )＋ ( ＋ )＝ ( ＋ )＝ ，故选 A.EB→ FC→ 12AB→ CB→ 12AC→ BC→ 12AB→ AC→ AD→ 4．如图所示，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是( )A. ＝ B. ＋ ＝AB→ DC→ AD→ AB→ AC→ C. － ＝ D. ＋ ＝0AB→ AD→ BD→ AD→ CB→ 答案 C解析 由 － ＝ ＝－ ，故 C 错误．AB→ AD→ DB→ BD→ 25．若 a，b，a＋b 为非零向量，且 a＋b 平分 a 与 b 的夹角，则( )A．a＝b B．a＝－bC．|a|＝|b| D．以上都不对答案 C6．(2016·武汉调研测试)如图所示的方格纸中有定点 O，P，Q，E，F，G，H，则＋ ＝( )OP→ OQ→ A. B.OH→ OG→ C. D.EO→ FO→ 答案 D解析 在方格纸上作出 ＋ ，如图所示，则容易看出 ＋ ＝ ，故选 D.OP→ OQ→ OP→ OQ→ FO→ 7．(2014·福建文)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则 ＋ ＋ ＋ 等于( )OA→ OB→ OC→ OD→ A. B．2OM→ OM→ C．3 D．4OM→ OM→ 答案 D解析 利用平面向量的平行四边形法则进行加法运算．因为点 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，所以点 M 是 AC 和 BD 的中点．由平行四边形法3则知 ＋ ＝2 ， ＋ ＝2 ，故 ＋ ＋ ＋ ＝4 .OA→ OC→ OM→ OB→ OD→ OM→ OA→ OC→ OB→ OD→ OM→ 8．在△ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分∠ACB.若 ＝a， ＝b，|a|＝1，|b|＝2，则CB→ CA→ ＝( )CD→ A. a＋ b B. a＋ b13 23 23 13C. a＋ b D. a＋ b35 45 45 35答案 B解析 由内角平分线定理，得 ＝ ＝2.∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ( － )＝|CA||CB| |AD||DB| CD→ CA→ AD→ CA→ 23AB→ CA→ 23CB→ CA→ 23＋ ＝ a＋ b.CB→ 13CA→ 23 13故 B 正确．9．已知向量 i 与 j 不共线，且 ＝i＋mj， ＝ni＋j，若 A，B，D 三点共线，则实数AB→ AD→ m，n 应该满足的条件是( )A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1C．mn＝1 D．mn＝－1答案 C解析 由 A，B，D 共线可设 ＝λ ，于是有 i＋mj＝λ(ni＋j)＝λni＋λj.又 i，j 不AB→ AD→ 共线，因此 即有 mn＝1.{λ n-1，λ =m， )10．O 是平面上一定点，A，B，C 是该平面上不共线的三个点，一动点 P 满足：＝ ＋λ( ＋ )，λ∈(0，＋∞)，则直线 AP 一定通过△ABC 的( )OP→ OA→ AB→ AC→ A．外心 B．内心C．重心 D．垂心答案 C解析 取 BC 中点 D.4＝ ＋λ( ＋ )， － ＝λ( ＋ )， ＝2λ .OP→ OA→ AB→ AC→ OP→ OA→ AB→ AC→ AP→ AD→ ∴A，P，D 三点共线，∴AP 一定通过△ABC 的重心，C 正确．11．在四边形 ABCD 中， ＝a＋2b， ＝－4a－b， ＝－5a－3b，则四边形 ABCD 的形状AB→ BC→ CD→ 是( )A．矩形 B．平行四边形C．梯形 D．以上都不对答案 C解析 由已知 ＝ ＋ ＋ ＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2 .AD→ AB→ BC→ CD→ BC→ ∴ ∥ .又 与 不平行，∴四边形 ABCD 是梯形．AD→ BC→ AB→ CD→ 12．已知四边形 ABCD 是菱形，点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A，C)的充要条件是＝λ( ＋ )，则 λ 的取值范围是( )AP→ AB→ AD→ A．λ∈(0，1) B．λ∈(－1，0)C．λ∈(0， ) D．λ∈(－ ，0)22 22答案 A解析 如图所示，∵点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A，C)，∴ ＝λ ＝λ( ＋ )．由 与 同向知，λ0.又| || |，AP→ AC→ AB→ AD→ AP→ AC→ AP→ AC→ ∴ ＝λ1，∴λ∈(0，1)．反之亦然．|AP→ ||AC→ |13．如图所示，下列结论不正确的是________．① ＝ a＋ b； ② ＝－ a－ b；PQ→ 32 32 PT→ 32 32③ ＝ a－ b； ④ ＝ a＋b.PS→ 32 12 PR→ 32答案 ②④5解析 由 a＋b＝ ，知 ＝ a＋ b，①正确；由 ＝ a－ b，从而②错误； ＝ ＋b，23PQ→ PQ→ 32 32 PT→ 32 32 PS→ PT→ 故 ＝ a－ b，③正确； ＝ ＋2b＝ a＋ b，④错误．故正确的为①③.PS→ 32 12 PR→ PT→ 32 1214.如图所示，已知∠B＝30°，∠AOB＝90°，点 C 在 AB 上，OC⊥AB，用 和 来表示向OA→ OB→ 量 ，则 等于________．OC→ OC→ 答案 ＋34OA→ 14OB→ 解析 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ( － )＝ ＋ .OC→ OA→ AC→ OA→ 14AB→ OA→ 14OB→ OA→ 34OA→ 14OB→ 15．设 a 和 b 是两个不共线的向量，若 ＝2a＋kb， ＝a＋b， ＝2a－b，且 A，B，D 三AB→ CB→ CD→ 点共线，则实数 k 的值等于________．答案 －4解析 ∵A，B，D 三点共线，∴ ∥ .∵ ＝2a＋kb， ＝ ＋ ＝a－2b，∴k＝－4.故AB→ BD→ AB→ BD→ BC→ CD→ 填－4.16．已知 O 为△ABC 内一点，且 ＋ ＋2 ＝0，则△AOC 与△ABC 的面积之比是OA→ OC→ OB→ ________．答案 1∶2解析 如图所示，取 AC 中点 D.∴ ＋ ＝2 .OA→ OC→ OD→ ∴ ＝ .OD→ BO→ 6∴O 为 BD 中点，∴面积比为高之比．17．如图所示，已知点 G 是△ABO 的重心．(1)求 ＋ ＋ ；GA→ GB→ GO→ (2)若 PQ 过△ABO 的重心 G，且 ＝a， ＝b， ＝ma， ＝nb，求证： ＋ ＝3.OA→ OB→ OP→ OQ→ 1m 1n答案 (1) ＋ ＋ ＝0 (2)略GA→ GB→ GO→ 解析 (1)如图所示，延长 OG 交 AB 于 M 点，则 M 是 AB 的中点．∴ ＋ ＝2 .GA→ GB→ GM→ ∵G 是△ABO 的重心，∴ ＝－2 .GO→ GM→ ∴ ＋ ＋ ＝0.GA→ GB→ GO→ (2)∵M 是 AB 边的中点，∴ ＝ ( ＋ )＝ (a＋b)．OM→ 12OA→ OB→ 12又∵G 是△ABO 的重心，∴ ＝ ＝ (a＋b)．OG→ 23OM→ 13∴ ＝ － ＝ (a＋b)－ma＝( －m)a＋ b.PG→ OG→ OP→ 13 13 13而 ＝ － ＝nb－ma，PQ→ OQ→ OP→ ∵P，G，Q 三点共线，∴有且只有一个实数 λ，使得 ＝λ .PG→ PQ→ ∴( －m)a＋ b＝λnb－λma.13 13∴( －m＋λm)a＋( －λn)b＝0.13 137∵a 与 b 不共线，∴ 消去 λ，得 ＋ ＝3.{13-m+λ m=0，13-λ n=0. ) 1m 1n1．(2016·安徽合肥一模)在梯形 ABCD 中，已知 AB∥CD，AB＝2CD，M，N 分别为 CD，BC 的中点．若 ＝λ ＋μ ，则 λ＋μ＝________．AB→ AM→ AN→ 答案 45解析 连接 MN 并延长交 AB 的延长线于 T，由已知易得 AB＝ AT，45∴ ＝ ＝λ ＋μ ，45AT→ AB→ AM→ AN→ ∵T，M，N 三点共线，∴λ＋μ＝ .452．(2015·新课标全国Ⅱ理)设向量 a，b 不平行，向量 λa＋b 与 a＋2b 平行，则实数λ＝________．答案 12解析 由于 λa＋b 与 a＋2b 平行，所以存在 μ∈R，使得 λa＋b＝μ(a＋2b)，即(λ－μ)a＋(1－2μ)b＝0，因为向量 a，b 不平行，所以 λ－μ＝0，1－2μ＝0，解得 λ＝μ＝ .121题组层级快练(二十六)1．已知 M(3，－2)，N(－5，－1)，且 ＝ ，则 P 点的坐标为( )MP→ 12MN→ A．(－8，1) B．(－1，－ )32C．(1， ) D．(8，－1)32答案 B解析 设 P(x，y)，则 ＝(x－3，y＋2)．MP→ 而 ＝ (－8，1)＝(－4， )，∴ 解得12MN→ 12 12 {x－ 3=－ 4，y+2=12， ) {x=－ 1，y=－ 32， )∴P(－1，－ )．故选 B.322．已知点 A(－1，1)，B(2，y)，向量 a＝(1，2)，若 ∥a，则实数 y 的值为( )AB→ A．5 B．6C．7 D．8答案 C解析 ＝(3，y－1)，a＝(1，2)， ∥a，则 2×3＝1×(y－1)，解得 y＝7，故选 C.AB→ AB→ 3．与直线 3x＋4y＋5＝0 的方向向量共线的一个单位向量是( )A．(3，4) B．(4，－3)C．( ， ) D．( ，－ )35 45 45 35答案 D4．(2015·福建)设 a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若 b⊥c，则实数 k 的值等于( )A．－ B．－32 53C. D.53 32答案 A解析 因为 c＝(1＋k，2＋k)，b·c＝0，所以 1＋k＋2＋k＝0，解得 k＝－ ，故选 A.325．在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点，DE 交 AF 于 H，记 ， 分别为AB→ BC→ a，b，则 ＝( )AH→ 2A. a－ b B. a＋ b25 45 25 45C．－ a＋ b D．－ a－ b25 45 25 45答案 B解析 设 ＝λ ， ＝μ .AH→ AF→ DH→ DE→ 而 ＝ ＋ ＝－b＋λ ＝－b＋λ(b＋ a)，DH→ DA→ AH→ AF→ 12＝μ ＝μ(a－ b)．DH→ DE→ 12因此，μ(a－ b)＝－b＋λ(b＋ a)．12 12由于 a，b 不共线，因此由平面向量的基本定理，得解之得 λ＝ ，μ＝ .{μ ＝ 12λ ，－ 12μ ＝ － 1＋ λ .) 45 25故 ＝λ ＝λ(b＋ a)＝ a＋ b.故选 B.AH→ AF→ 12 25 456．(2016·湖北襄樊一模)已知 ＝(1，－3)， ＝(2，－1)， ＝(k＋1，k－2)，若OA→ OB→ OC→ A，B，C 三点不能构成三角形，则实数 k 应满足的条件是( )A．k＝－2 B．k＝12C．k＝1 D．k＝－1答案 C解析 若点 A，B，C 不能构成三角形，则向量 与 共线. 因为 ＝ － ＝(2，－1)AB→ AC→ AB→ OB→ OA→ －(1，－3)＝(1，2)， ＝ － ＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)．所以AC→ OC→ OA→ 1×(k＋1)－2k＝0，解得 k＝1，故选 C.7．已知命题：“若 k1a＋k 2b＝0，则 k1＝k 2＝0”是真命题，则下面对 a，b 的判断正确的是( )A．a 与 b 一定共线 B．a 与 b 一定不共线C．a 与 b 一定垂直 D．a 与 b 中至少有一个为 03答案 B解析 由向量共线基本定理易知．8．设向量 a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量 4a，3b－2a，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量 c 为( )A．(1，－1) B．(－1，1)C．(－4，6) D．(4，－6)答案 D解析 由题知 4a＝(4，－12)，3b－2a＝(－6，12)－(2，－6)＝(－8，18)，由4a＋(3b－2a)＋c＝0，知 c＝(4，－6)，选 D.9．(2014·陕西卷理改编)已知向量 a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)，且 a∥b，则tan(α－ )等于( )π 4A．3 B．－3C. D．－13 13答案 B解析 ∵a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)，且 a∥b，∴ ＝ ，∴tanα＝－ .sinαcosα 1－ 2 12∴tan(α－ )＝ ＝ ＝－3.π 4 tanα － 11＋ tanα－ 12－ 11－ 1210．如图所示，A，B 分别是射线 OM，ON 上的两点，且 ＝ ， ＝ ，给出下列向量：OA→ 12OM→ OB→ 14ON→ ① ＋2 ； ② ＋ ；OA→ OB→ 12OA→ 13OB→ ③ ＋ ； ④ ＋ ；34OA→ 13OB→ 34OA→ 15OB→ ⑤ － .34OA→ 15OB→ 这些向量中以 O 为起点，终点在阴影区域内的是( )A．①② B．①④4C．①③ D．⑤答案 C解析 由向量的平行四边形法则利用尺规作图，可得：终点在阴影区域内的是①③.11．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量 ＝a， ＝b，其中 a＝(3，1)，OA→ OB→ b＝(1，3)．若 ＝λa＋μb，且 0≤λ≤μ≤1，则 C 点所有可能的位置区域用阴影表示OC→ 正确的是( )答案 A解析 由题意知 ＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原OC→ 点，取 λ＝0，μ＝1，知所求区域包含(1，3)，从而选 A.12．已知 A(－3，0)，B(0， )，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC＝30°， ＝λ3 OC→ ＋ ，则实数 λ 的值为________．OA→ OB→ 答案 1解析 由题意知 ＝(－3，0)， ＝(0， )，则 ＝(－3λ， )．OA→ OB→ 3 OC→ 3由∠AOC＝30°知以 x 轴的非负半轴为始边，OC 为终边的一个角为 150°，∴tan150°＝ ，即－ ＝－ ，∴λ＝1.3－ 3λ 33 33λ13．若平面向量 a，b 满足|a＋b|＝1，a＋b 平行于 y 轴，a＝(2，－1)，则 b＝________．答案 (－2，0)或(－2，2)解析 设 b＝(x，y)，则 a＋b＝(x＋2，y－1)．∵|a＋b|＝1，∴(x＋2) 2＋(y－1) 2＝1.又∵a＋b 平行于 y 轴，∴x＝－2，代入上式，得 y＝0 或 2.∴b＝(－2，0)或 b＝(－2，2)．14．已知| |＝1，| |＝ ， · ＝0，点 C 在∠AOB 内，且∠AOC＝30°.设OA→ OB→ 3 OA→ OB→ 5＝m ＋n (m，n∈R)，则 ＝________．OC→ OA→ OB→ mn答案 3解析 方法一：如图所示，∵ · ＝0，∴ ⊥ .OA→ OB→ OB→ OA→ 不妨设| |＝2，过 C 作 ⊥ 于 D， ⊥ 于 E，则四边形 ODCE 是矩形．OC→ CD→ OA→ CE→ OB→ ＝ ＋ ＝ ＋ .OC→ OD→ DC→ OD→ OE→ ∵| |＝2，∠COD＝30°，∴| |＝1，| |＝ .OC→ DC→ OD→ 3又∵| |＝ ，| |＝1，故 ＝ ， ＝ .OB→ 3 OA→ OD→ 3OA→ OE→ 33OB→ ∴ ＝ ＋ ，此时 m＝ ，n＝ .OC→ 3OA→ 33OB→ 3 33∴ ＝ ＝3.mn 333方法二：由 · ＝0 知△AOB 为直角三角形，以 OA，OB 所在直线分别为 x，y 轴建立平面OA→ OB→ 直角坐标系，则可知 ＝(1，0)， ＝(0， )．OA→ OB→ 3又由 ＝m ＋n ，可知 ＝(m， n)，故由 tan30°＝ ＝ ，可知 ＝3.OC→ OA→ OB→ OC→ 3 3nm 33 mn15．已知 A，B，C 三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且 ＝ ， ＝AE→ 13AC→ BF→ 13.BC→ (1)求 E，F 的坐标；(2)求证： ∥ .EF→ AB→ 答案 (1)E(－ ， )，F( ，0) (2)略13 23 736解析 (1)设 E，F 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则依题意，得 ＝(2，2)，AC→ ＝(－2，3)， ＝(4，－1)．BC→ AB→ ∴ ＝ ＝( ， )， ＝ ＝(－ ，1)．AE→ 13AC→ 23 23 BF→ 13BC→ 23∴ ＝(x 1，y 1)－(－1，0)＝( ， )，AE→ 23 23＝(x 2，y 2)－(3，－1)＝(－ ，1)．BF→ 23∴(x 1，y 1)＝( ， )＋(－1，0)＝(－ ， )，23 23 13 23(x2，y 2)＝(－ ，1)＋(3，－1)＝( ，0)．23 73∴E 的坐标为(－ ， )，F 的坐标为( ，0)．13 23 73(2)由(1)知(x 1，y 1)＝(－ ， )，(x 2，y 2)＝( ，0)．13 23 73∴ ＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝( ，－ )．EF→ 83 23又 4×(－ )－(－1)× ＝0，23 83∴ ∥ .EF→ AB→ 16．已知向量 m＝(0，－1)，n＝(cosA，2cos 2 )，其中 A、B、C 是△ABC 的内角，且CA、B、C 依次成等差数列，求|m＋n|的取值范围．答案 [ ， )22 52解析 2B＝A＋C，B＝ ，A＋C＝ ，∴0A .π 3 2π3 2π3m＋n＝(cosA，2cos 2 －1)＝(cosA，cosC)，C|m＋n|＝ ＝cos2A＋ cos2C1＋ cos2A2 ＋ 1＋ cos2C2＝1＋ 12[cos2A＋ cos（ 4π3－ 2A） ]＝ ，1＋ 12cos（ 2A＋ π 3）∵ 2A＋ ，∴－1≤cos(2A＋ ) .π 3 π 35π3 π 3 127∴|m＋n|∈[ ， )．22 5217．已知向量 a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1，2)．(1)若 a∥b，求 tanθ 的值；(2)若|a|＝|b|，0θπ，求 θ 的值．答案 (1) (2) 或14 π 2 3π4解析 (1)因为 a∥b，所以 2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是 4sinθ＝cosθ，故 tanθ＝ .14(2)由|a|＝|b|知，sin 2θ＋(cosθ－2sinθ) 2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即 sin2θ＋cos2θ＝－1，于是 sin(2θ＋ )＝－ .π 4 22又由 0θπ 知， 2θ＋ ，所以 2θ＋ ＝ 或 2θ＋ ＝ .π 4 π 49π4 π 4 5π4 π 4 7π4因此 θ＝ 或 θ＝ .π 2 3π41．设向量 a，b 满足|a|＝2 ，b＝(2，1)，则“a＝(4，2)”是“a∥b”成立的是( )5A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件答案 C解析 若 a＝(4，2)，则|a|＝2 ，且 a∥b 都成立；5因 a∥b，设 a＝λb＝(2λ，λ)，由|a|＝2 ，得 4λ 2＋λ 2＝20.5∴λ 2＝4，∴λ＝±2.∴a＝(4，2)或 a＝(－4，－2)．因此“a＝(4，2)”是“a∥b”成立的充分不必要条件．2．在平面直角坐标系中，点 O(0，0)，P(6，8)，将向量 绕点 O 按逆时针方向旋转 后OP→ 3π4得向量 ，则点 Q 的坐标是( )OQ→ A．(－7 ，－ ) B．(－7 ， )2 2 2 2C．(－4 ，－2) D．(－4 ，2)6 6答案 A8解析 设 与 x 轴正半轴的夹角为 θ，则 cosθ＝ ，sinθ＝ ，则由三角函数定义，可得OP→ 35 45＝(| |cos(θ＋ )，| |sin(θ＋ ))．OQ→ OP→ 3π4 OP→ 3π4∵| |cos(θ＋ )＝ ×(cosθcos －sinθsin )OP→ 3π4 62＋ 82 3π4 3π4＝10×[ ×(－ )－ × ]＝－7 ，35 22 45 22 2| |sin(θ＋ )＝ ×(sinθcos ＋cosθsin )OP→ 3π4 62＋ 82 3π4 3π4＝10×[ ×(－ )＋ × ]＝－ ，45 22 35 22 2∴ ＝(－7 ，－ )，OQ→ 2 2即点 Q 的坐标为(－7 ，－ )．2 23．在△ABC 中，M 为边 BC 上任意一点，N 为 AM 的中点， ＝λ ＋μ ，则 λ＋μ 的值AN→ AB→ AC→ 为 ( )A. B.12 13C. D．114答案 A解析 ∵M 为边 BC 上任意一点，∴可设 ＝x ＋y (x＋y＝1)．∵N 为 AM 中点，AM→ AB→ AC→ ∴ ＝ ＝ x ＋ y ＝λ ＋μ .AN→ 12AM→ 12AB→ 12AC→ AB→ AC→ ∴λ＋μ＝ (x＋y)＝ .12 124．已知 a＝(6，1)，b＝(－2，2)，若单位向量 c 与 2a＋3b 共线，则向量 c 的坐标为________．答案 ±( ， )35 45解析 2a＋3b＝2(6，1)＋3(－2，2)＝(6，8)，∵单位向量 c 与(6，8)共线，∴c＝± ＝±( ， )．（ 6， 8）36＋ 64 35 455．若平面向量 a，b 满足|a＋b|＝1，a＋b 平行于 x 轴，b＝(2，－1)，则 a＝________．答案 (－1，1)或(－3，1)9解析 设 a＝(x，y)，∵b＝(2，－1)，则 a＋b＝(x＋2，y－1)，∵a＋b 平行于 x 轴，∴y－1＝0，y＝1，故 a＋b＝(x＋2，0)，又∵|a＋b|＝1，∴|x＋2|＝1，∴x＝－1 或x＝－3，∴a＝(－1，1)或 a＝(－3，1)．6．已知向量 a＝( ，1)，b＝(0，－1)，c＝(k， )．若 a－2b 与 c 共线，则3 3k＝________．答案 1解析 a－2b＝( ，3)，根据 a－2b 与 c 共线，得方程 3k＝ · ，解得 k＝1.3 3 37．如图所示，| |＝| |＝1，| |＝ ，∠AOB＝60°， ⊥ ，设 ＝x ＋y .求实OA→ OB→ OC→ 3 OB→ OC→ OC→ OA→ OB→ 数 x，y 的值．答案 x＝－2，y＝1解析 过 C 作 CD∥OB，交 OA 的反向延长线于点 D，连接 BC，由| |＝1，| |＝ ，OB→ OC→ 3⊥ ，得∠OCB＝30°.又∠COD＝30°，OB→ OC→ ∴BC∥OD，∴ ＝ ＋ ＝－2 ＋ .∴x＝－2，y＝1.OC→ OD→ OB→ OA→ OB→ 1题组层级快练(二十七)1．(2016·山东威海质检)已知 a＝(1，2)，2a－b＝(3，1)，则 a·b＝( )A．2 B．3C．4 D．5答案 D解析 ∵a＝(1，2)，2a－b＝(3，1)，∴b＝2a－(3，1)＝2(1，2)－(3，1)＝(－1，3)．∴a·b＝(1，2)·(－1，3)＝－1＋2×3＝5.2．(2016·长沙雅礼中学月考)已知 a，b 为单位向量，其夹角为 60°，则(2a－b)·b＝( )A．－1 B．0C．1 D．2答案 B解析 由已知得|a|＝|b|＝1， 〈a，b〉＝60°，∴(2a－b)·b＝2a·b－b 2＝2|a||b|cos〈a，b〉－|b| 2＝2×1×1×cos60°－1 2＝0，故选B.3．已知点 A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量 在 方向上的投影为AB→ CD→ ( )A. B.322 3152C．－ D．－322 3152答案 A解析 ＝(2，1)， ＝(5，5)，| |＝5 ，故 在 上的投影为 ＝ ＝ .AB→ CD→ CD→ 2 AB→ CD→ AB→ ·CD→ |CD→ | 1552 3224．(2014·新课标全国Ⅱ)设向量 a，b 满足|a＋b|＝ ，|a－b|＝ ，则 a·b＝( )10 6A．1 B．2C．3 D．5答案 A解析 由条件可得(a＋b) 2 ＝10，(a－b) 2＝6，两式相减，得 4a·b＝4，所以 a·b＝1.5．(2016·珠海质检)已知 a，b 均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－ ，则向量 a，b332的夹角为( )2A. B.π6 π4C. D.3π4 5π6答案 A解析 因为 a，b 均为单位向量，所以(2a＋b)·(a－2b)＝2－2－3a·b＝－ ，解得332a·b＝ ，所以 cos〈a，b〉＝ ＝ ，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝ .32 a·b|a||b| 32 π66．(2015·广东文)在平面直角坐标系 xOy中，已知四边形 ABCD是平行四边形，＝(1，－2)， ＝(2，1)，则 · ＝( )AB→ AD→ AD→ AC→ A．5 B．4C．3 D．2答案 A解析 由 ＝ ＋ ＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，得 · ＝(2，1)·(3，－1)＝5，AC→ AB→ AD→ AD→ AC→ 故选 A.7．(2014·大纲全国理)若向量 a，b 满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝( )A．2 B. 2C．1 D.22答案 B解析 利用向量的运算列式求解．由题意知 即{（ a＋ b） ·a＝ 0，（ 2a＋ b） ·b＝ 0， ) {a2＋ b·a＝ 0， ①2a·b＋ b2＝ 0， ② )将①×2－②，得 2a2－b 2＝0.∴b 2＝|b| 2＝2a 2＝2|a| 2＝2，故|b|＝ .28．(2013·福建)在四边形 ABCD中， ＝(1，2)， ＝(－4，2)，则该四边形的面积为AC→ BD→ ( )A. B．25 5C．5 D．10答案 C解析 · ＝(1，2)·(－4，2)＝0，故 ⊥ .故四边形 ABCD的对角线互相垂直，面积AC→ BD→ AC→ BD→ S＝ ·| |·| |＝ × ×2 ＝5，选 C.12 AC→ BD→ 12 5 59．已知 a，b 是非零向量，且向量 a，b 的夹角为 ，若向量 p＝ ＋ ，则|p|＝( )π3 a|a| b|b|3A．2＋ B.3 2＋ 3C．3 D. 3答案 D解析 ∵|p| 2＝1＋1＋2cos ，∴|p|＝ .π3 310．已知两个非零向量 a，b，满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是( )A．a∥b B．a⊥bC．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b答案 B解析 由|a＋b|＝|a－b|，两边平方并化简，得 a·b＝0.又 a，b 都是非零向量，所以a⊥b.11．已知向量 a＝(1，2)，a·b＝5，|a－b|＝2 ，则|b|等于( )5A. B．25 5C．5 D．25答案 C解析 由 a＝(1，2)，可得 a2＝|a| 2＝1 2＋2 2＝5.∵|a－b|＝2 ，∴a 2－2a·b＋b 2＝20.5∴5－2×5＋b 2＝20.∴b 2＝25.∴|b|＝5，故选 C.12．如图所示，已知正六边形 P1P2P3P4P5P6，则下列向量的数量积中最大的是( )A. · B. ·P1P2→ P1P3→ P1P2→ P1P4→ C. · D. ·P1P2→ P1P5→ P1P2→ P1P6→ 答案 A解析 由于 ⊥ ，故其数量积是 0，可排除 C； 与 的夹角为 π，故其数量P1P2→ P1P5→ P1P2→ P1P6→ 23积小于 0，可排除 D；设正六边形的边长是 a，则 · ＝| || |cos30°P1P2→ P1P3→ P1P2→ P1P3→ ＝ a2， · ＝| || |cos60°＝a 2.故选 A.32 P1P2→ P1P4→ P1P2→ P1P4→ 13．(2014·陕西文)设 00，得 2sinθ＝cosθ，tanθ＝ .π2 1214．(2013·江西理)设 e1，e 2为单位向量，且 e1，e 2的夹角为 ，若π3a＝e 1＋3e 2，b＝2e 1，则向量 a在 b方向上的投影为________．答案 52解析 向量 a在 b方向上的投影为|a|·cos〈a，b〉＝ ，又a·b|b|a·b＝(e 1＋3e 2)·2e1＝2e 12＋6e 1·e2＝2＋6× ＝5，|b|＝|2e 1|＝2，∴|a|·cos〈a，b12〉＝ .5215．若平面向量 a，b 满足|2a－b|≤3，则 a·b的最小值是________．答案 －98解析 由|2a－b|≤3 可知，4a 2＋b 2－4a·b≤9，所以 4a2＋b 2≤9＋4a·b.而4a2＋b 2＝|2a| 2＋|b| 2≥2|2a|·|b|≥－4a·b，所以 a·b≥－ ，当且仅当 2a＝－b 时取98等号．16．已知正方形 ABCD的边长为 1，点 E是 AB边上的动点，则 · 的值为DE→ CB→ ________； · 的最大值为________．DE→ DC→ 答案 1，1解析 以 D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则 D(0，0)，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)．设 E(1，a)(0≤a≤1)，所以 · ＝(1，a)·(1，0)＝1， · ＝(1，a)·(0，1)＝a≤1.故 · 的最大值为 1.DE→ CB→ DE→ DC→ DE→ DC→ 517．设两个向量 e1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与 e2的夹角为 ，若向量 2te1＋7e 2与π3e1＋te 2的夹角为钝角，求实数 t的取值范围．答案 (－7，－ )∪(－ ，－ )142 142 12解析 由向量 2te1＋7e 2与 e1＋te 2的夹角为钝角，得 0，（ 2te1＋ 7e2） ·（ e1＋ te2）|2te1＋ 7e2||e1＋ te2|即(2te 1＋7e 2)·(e1＋te 2)0，化简即得 2t2＋15t＋70，解得－7t－ .12当夹角为 π 时，也有(2te 1＋7e 2)·(e1＋te 2)0，但此时夹角不是钝角．设 2te1＋7e 2＝λ(e 1＋te 2)，λ0，可求得 ∴{2t＝ λ ，7＝ λ t，λ 0， ) {λ ＝ － 14，t=－ 142.)∴所求实数 t的范围是(－7，－ )∪(－ ，－ )．142 142 1218．(2016·浙江余杭高中期中)已知向量 m＝(1，1)，向量 n与向量 m的夹角为 π，且34m·n＝－1.(1)求向量 n；(2)若向量 n与向量 q＝(1，0)的夹角为 ，向量 p＝(2sinA，4cos 2 )，求|2n＋p|的值．π2 A答案 (1)n＝(－1，0)或 n＝(0，－1) (2)2解析 (1)设 n＝(x，y)，由 m·n＝－1，有 x＋y＝－1. ①∵m·n＝|m|·|n|cos π＝－1，34∴|n|＝1，则 x2＋y 2＝1. ②由①②得 或 即 n＝(－1，0)或 n＝(0，－1)．{x= -1，y=0 ) { x=0，y= -1， )(2)由 n与 q垂直，得 n＝(0，－1)．∴2n＋p＝(2sinA，4cos 2 －2)＝(2sinA，2cosA)．A∴|2n＋p|＝ ＝2.4sin2A＋ 4cos2A1．(2014·重庆理)已知向量 a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实6数 k＝( )A．－ B．092C．3 D.152答案 C解析 因为 2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得 k＝3，选 C.2．(2014·天津)已知△ABC 为等边三角形，AB＝2.设点 P，Q 满足 ＝λ ， ＝(1－λ)AP→ AB→ AQ→ ，λ∈R，若 · ＝－ ，则 λ＝( )AC→ BQ→ CP→ 32A. B.12 1±22C. D.1±102 － 3±222答案 A解析 以点 A为坐标原点，AB 所以直线为 x轴建立平面直角坐标系，则 B(2，0)，C(1， )，3由 ＝λ ，得 P(2λ，0)，由 ＝(1－λ) ，得 Q(1－λ， (1－λ))，所以 · ＝AP→ AB→ AQ→ AC→ 3 BQ→ CP→ (－λ－1， (1－λ))·(2λ－1，－ )＝－(λ＋1)(2λ－1)－ × (1－λ)＝－ ，3 3 3 332解得 λ＝ .123．已知 a，b 都是单位向量，a·b＝－ ，则|a－b|＝( )12A. B．33C．2 D．1答案 A解析 ∵|a－b| 2＝(a－b) 2＝|a| 2－2a·b＋|b| 2＝3，∴|a－b|＝ .34．设 a，b，c 是单位向量，且 a＋b＝c，则 a·c的值为( )A．2 B.12C．3 D.13答案 B解析 由|a|＝|b|＝|c|＝1，|b|＝|c|－|a|，两边平方得 b2＝(c－a)72，∴1＝1＋1－2a·c，∴a·c＝ .125．(2016·海淀区期末)设向量 a＝(1，0)，b＝( ， )，则下列结论中正确的是( )12 12A．|a|＝|b| B．a·b＝22C．a∥b D．a－b 与 b垂直答案 D6．已知|a|＝1，|b|＝ ，a＋b＝( ，1)，则 a＋b 与 a－b 的夹角为( )3 3A. B.π6 π3C. D.2π3 5π6答案 C解析 由 a＋b＝( ，1)得|a＋b| 2＝(a＋b) 2＝4，又|a|＝1，|b|＝ ，所以3 3|a|2＋2a·b＋|b| 2＝1＋2a·b＋3＝4，解得 2a·b＝0，所以|a－b|＝ ＝|a－ b|2＝2，设 a＋b 与 a－b 的夹角为 θ，则由夹角公式可得 cosθ＝|a|2－ 2a·b＋ |b|2＝ ＝－ ，且 θ∈[0，π]，所以 θ＝ π，即 a＋b 与（ a＋ b） ·（ a－ b）|a＋ b||a－ b| |a|2－ |b|22×2 12 23a－b 的夹角为 π.237．在平行四边形 ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E 为 CD的中点．若 · ＝1，则 AB的AC→ BE→ 长为________．答案 12解析 如图所示，在平行四边形 ABCD中， ＝ ＋ ，AC→ AB→ AD→ ＝ ＋ ＝－ ＋ .BE→ BC→ CE→ 12AB→ AD→ 所以 · ＝( ＋ )·(－ ＋ )AC→ BE→ AB→ AD→ 12AB→ AD→ ＝－ | |2＋| |2＋ · ＝－ | |2＋ | |＋1＝1，解方程得| |＝ (舍去| |＝0)，12AB→ AD→ 12AB→ AD→ 12AB→ 14AB→ AB→ 12 AB→ 8所以线段 AB的长为 .128．在正三角形 ABC中，D 是 BC上的点，若 AB＝3，BD＝1，则 · ＝________．AB→ CD→ 答案 152解析 如图所示， · ＝ ·( ＋ )＝9＋3×cos120°＝ ，故填 .AB→ AD→ AB→ AB→ BD→ 152 1529．(2015·天津文)在等腰梯形 ABCD中，已知 AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点 E和 F分别在线段 BC和 DC上，且 ＝ ， ＝ ，则 · 的值为________．BE→ 23BC→ DF→ 16DC→ AE→ AF→ 答案 2918解析 方法一：作 CO⊥AB 于 O，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(－ ，0)，B( ，0)，C(0， )，D(－1， )，所以 E( ， )，F(－ ， )，所32 12 32 32 16 33 56 32以 · ＝( ， )·( ， )＝ ＋ ＝ .AE→ AF→ 53 33 23 32 109 12 2918方法二：也可利用向量的线性运算解．10．(2014·江苏)如图，在矩形 ABCD中，AB＝ ，BC＝2，点 E为 BC的中点，点 F在边2CD上，若 · ＝ ，则 · 的值是________．AB→ AF→ 2 AE→ BF→ 答案 2解析 以 A为坐标原点，AB，AD 所在的直线分别为 x，y 轴建立直角坐标系，则 B( ，0)，2E( ，1)，D(0，2)，C( ，2)．设 F(x，2)(0≤x≤ )，2 2 29由 · ＝ ⇒ x＝ ⇒x＝1，所以 F(1，2)， · ＝ ( ，1)·(1－ ，2)＝ .AB→ AF→ 2 2 2 AE→ BF→ 2 2 211．已知 a＝(2，－3)，b＝(－3，4)，则 a－b 在 a＋b 方向上的投影为________．答案 －6 2解析 因为 a－b＝(5，－7)，a＋b＝(－1，1)，所以(a－b)·(a＋b)＝－5－7＝－12，|a＋b|＝ ＝ ，所以 a－b 在 a＋b 方向上的投影为（ － 1） 2＋ 12 2＝－6 .－ 122 212．若向量 ＝(1，－3)，| |＝| |， · ＝0，则| |＝________．OA→ OA→ OB→ OA→ OB→ AB→ 答案 2 5解析 方法一：设 ＝(x，y)，由| |＝| |，知 ＝ .又 · ＝x－3y＝0，所OB→ OA→ OB→ x2＋ y2 10 OA→ OB→ 以 x＝3，y＝1，或 x＝－3，y＝－1.当 x＝3，y＝1 时，| |＝2 ；当 x＝－3，y＝－1 时，AB→ 5| |＝2 ，则| |＝2 .AB→ 5 AB→ 5方法二：由几何意义知，| |就是以 ， 为邻边的正方形的对角线长，所以| |＝2 .AB→ OA→ OB→ AB→ 513．(2014·新课标全国Ⅰ理)已知 A，B，C 为圆 O上的三点，若 ＝ ( ＋ )，则 与AO→ 12AB→ AC→ AB→ 的夹角为________．AC→ 答案 90°解析 ∵ ＝ ( ＋ )，AO→ 12AB→ AC→ ∴点 O是△ABC 中边 BC的中点．∴BC 为直径，根据圆的几何性质有〈 ， 〉＝90°.AB→ AC→