（新课标）2016届高考数学二轮专题复习 第三部分 讲重点解答题专练 理（课件+习题）（打包22套）.zip

1三角函数专练·作业(二十三)1．(2015·吉林实验中学测试)已知函数 f(x)＝ sinωx cosωx ＋cos 2ωx － (ω 0)，332其最小正周期为 .π 2(1)求 f(x)的解析式；(2)将函数 f(x)的图像向右平移 个单位，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的 2π 8倍(纵坐标不变)，得到函数 y＝ g(x)的图像，若关于 x 的方程 g(x)＋ k＝0 在区间[0， ]π 2上有且只有两个实数解，求实数 k 的取值范围．解析 (1) f(x)＝ sinωx cosωx ＋cos 2ωx －332＝ sin2ωx ＋ － ＝sin(2 ωx ＋ )－1，32 cos2ω x＋ 12 32 π 6由题意知 f(x)的最小正周期 T＝ ， T＝ ＝ ＝ ，π 2 2π2ω πω π 2所以 ω ＝2，所以 f(x)＝sin(4 x＋ )－1.π 6(2)将 f(x)的图像向右平移 个单位后，得到 y＝sin(4 x－ )－1 的图像，再将所得π 8 π 3图像所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到 y＝sin(2 x－ )－1 的图像，π 3所以 g(x)＝sin(2 x－ )－1.π 3因为 0≤ x≤ ，所以－ ≤2 x－ ≤ .π 2 π 3 π 3 2π3g(x)＋ k＝0 在区间[0， ]上有且只有两个实数解，即函数 y＝ g(x)与 y＝－ k 的图像π 2在区间[0， ]上有且只有两个交点，由正弦函数的图像可知 －1≤－ k3.5，即 ，4cosα cosβsin α － β  72即 时，该船没有触礁危险．cosα cosβsin α － β  7861三角函数专练·作业(二十四)1．(2015·陕西西工大附中)若函数 f(x)＝sin 2ax－sin axcosax(a0)的图像与直线y＝ m(m 为常数)相切，并且切点的横坐标依次成等差数列，且公差为 .π 2(1)求 m 的值；(2)若点 A(x0， y0)是 y＝ f(x)图像的对称中心，且 x0∈[0， ]，求点 A 的坐标．π 2解析 (1)∵ f(x)＝ － sin(2ax＋ )，12 22 π 4∴ m＝ ± .12 22(2)∵切点的横坐标依次成等差数列，且公差为 ，π 2∴ T＝ ＝ ＝ ， a＝2， f(x)＝ － sin(4x＋ )．π 2 2π2a π a 12 22 π 4∵点 A(x0， y0)是 y＝ f(x)图像的对称中心，∴4 x0＋ ＝ kπ， k∈Z，解得 x0＝ － ， k∈Z.π 4 kπ4 π16∵ x0∈[0， ]，∴ x0＝ 或 ，点 A 的坐标为( ， )或( ， )．π 2 3π16 7π16 3π16 12 7π16 122．(2015·重庆万州区诊断)已知函数 f(x)＝[2sin( x＋ )＋sin x]cosx－ sin2x.π 3 3(1)若函数 y＝ f(x)的图像关于直线 x＝ a(a0)对称，求 a 的最小值；(2)若函数 y＝ mf(x)－2 在 x∈[0， ]时存在零点，求实数 m 的取值范围．5π12解析 (1)函数 f(x)＝[2sin( x＋ )＋sin x]π 3cosx－ sin2x＝2sin xcosx＋ cos2x－ sin2x＝sin2 x＋ cos2x＝2sin(2 x＋ )．3 3 3 3π 3又∵函数 y＝ f(x)的图像关于直线 x＝ a 对称，∴2 a＋ ＝ kπ＋ ， k∈Z，即 a＝ ＋ ， k∈Z.π 3 π 2 kπ2 π12又∵ a0，∴ a 的最小值为 .π12(2)设 x0∈[0， ]，满足 mf(x0)－2＝0，5π12可得 m＝ ＝ .2f x0 1sin 2x0＋ π 32∵ ≤2 x0＋ ≤ ，∴－ ≤sin(2 x0＋ )≤1.π 3 π 3 7π6 12 π 3∴ m∈(－∞，－2]∪[1，＋∞)．3．(2015·河南实验中学)已知 f(x)＝ m·n，其中 m＝(sin ωx ＋cos ωx ， cosωx )，3n＝(cos ωx －sin ωx, 2sinωx )，且 ω 0，若 f(x)相邻两对称轴间的距离不小于 .π 2(1)求 ω 的取值范围；(2)在△ ABC 中， a， b， c 分别是角 A， B， C 的对边， a＝ ， b＋ c＝3，当 ω 最大时，3f(A)＝1，求△ ABC 的面积．解析 f(x)＝(sin ωx ＋cos ωx )·(cosωx －sin ωx )＋2 sinωx ·cosωx ＝ sin2ωx ＋cos2 ωx ＝2sin(2 ωx ＋ )，3 3π 6(1)由 T≥π，得 ≥π，得 0ω ≤1.2π2ω(2)由(1)知 ω ＝1，∴ f(x)＝2sin(2 x＋ )．π 6∵ f(A)＝1，∴2sin(2 A＋ )＝1.∵ A∈(0，π)，∴ A＝ .π 6 π 3由 cosA＝ ，得 ＝ ， bc＝2.b2＋ c2－ a22bc 12 9－ 2bc－ 32bc∴ S△ ABC＝ bcsinA＝ .12 324．(2015·宁夏银川一中)在△ ABC 中， a， b， c 分别为内角 A， B， C 所对的边，且满足 sinA＋ cosA＝2.3(1)求 A 的大小；(2)现给出三个条件：① a＝2；② B＝45°；③ c＝ b.试从中选出两个可以确定△ ABC3的条件，写出你的选择并以此为依据求△ ABC 的面积．(只需写一个方案即可)解析 (1)依题意得 2sin(A＋ )＝2，即 sin(A＋ )＝1.π 3 π 3∵0 Aπ，∴ A＋ ，∴ A＋ ＝ ，∴ A＝ .π 3 π 3 4π3 π 3 π 2 π 6(2)方案一：选择①②由正弦定理 ＝ ，得 b＝ sinB＝2 .asinA bsinB asinA 2∵ A＋ B＋ C＝π，∴sin C＝sin( A＋ B)＝sin AcosB＋cos AsinB＝ .2＋ 643∴ S＝ absinC＝ ×2×2 × ＝ ＋1.12 12 2 2＋ 64 3方案二：选择①③由余弦定理 b2＋ c2－2 bccosA＝ a2，得 b2＋3 b2－3 b2＝4.则 b＝2， c＝2 ，所以 S＝ bcsinA＝ ×2×2 × ＝ .312 12 3 12 35．(2015·山东荷泽)已知函数 f(x)＝2cos 2x＋2 sinxcosx＋ a，且当 x∈[0， ]时，3π 2f(x)的最小值为 2.(1)求 a 的值，并求 f(x)的单调递增区间；(2)先将函数 y＝ f(x)的图像上的所有点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的 ，再将所12得的图像向右平移 个单位长度，得到函数 y＝ g(x)的图像，求方程 g(x)＝4 在区间[0，π12]上所有根之和．π 2解析 (1)函数 f(x)＝cos2 x＋1＋ sin2x＋ a＝2sin(2 x＋ )＋ a＋1，3π 6∵ x∈[0， ]，∴2 x＋ ∈[ ， ]．π 2 π 6 π 6 7π6f(x)min＝－1＋ a＋1＝2，得 a＝2，即 f(x)＝2sin(2 x＋ )＋3.π 6由 2kπ－ ≤2 x＋ ≤2 kπ＋ ， k∈Z，π 2 π 6 π 2得 kπ－ ≤ x≤ kπ＋ ， k∈Z.π 3 π 6∴函数 f(x)的单调递增区间为[ kπ－ ， kπ＋ ](k∈Z)．π 3 π 6(2)由题意得 g(x)＝2sin[4( x－ )＋ ]＋3＝2sin(4 x－ )＋3.π12 π 6 π 6又由 g(x)＝4，得 sin(4x－ )＝ .π 6 12解得 4x－ ＝2 kπ＋ 或 2kπ＋ (k∈Z)．π 6 π 6 5π6即 x＝ ＋ 或 ＋ (k∈Z)．kπ2 π12 kπ2 π 4∵ x∈[0， ]，∴ x＝ 或 .π 2 π12 π 44故所有根之和为 ＋ ＝ .π12 π 4 π 36．(2015·重庆一中模拟)已知函数 f(x)＝2sin( x－ )π 3cosx＋sin xcosx＋ sin2x(x∈R)．3(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)在△ ABC 中， B 为锐角，且 f(B)＝ ， AC＝4 ， D 是 BC 边上一点， AB＝ AD，试求3 3△ ADC 周长的最大值．解析 (1) f(x)＝2( sinx－ cosx)12 32cosx＋sin xcosx＋ sin2x＝ 2sinxcosx－ (cos2x－sin 2x)＝sin2 x－ cos2x＝2sin(2 x－3 3 3)．π 3由－ ＋2 kπ≤2 x－ ≤ ＋2 kπ( k∈Z)，π 2 π 3 π 2得－ ＋ kπ≤ x≤ ＋ kπ( k∈Z)．π12 5π12∴ f(x)的单调递增区间为[－ ＋ kπ， ＋ kπ]， k∈Z.π12 5π12(2)由 f(B)＝ ，得 sin(2B－ )＝ .3π 3 32又 0B ，则－ 2B－ ，2 B－ ＝ ，∴ B＝ .π 2 π 3 π 3 2π3 π 3 π 3 π 3由 AB＝ AD，知△ ABD 是正三角形， AB＝ AD＝ BD.∴ AD＋ DC＝ BD＋ DC＝ BC.在△ ABC 中，由正弦定理，得 ＝ ，即 BC＝8sin∠ BAC.43sinπ 3 BCsin∠ BAC∵ D 是 BC 边上一点，∴ ∠ BAC .π 3 2π3∴ sin∠ BAC≤1.32∴4 BC≤8.当∠ BAC＝ ， C＝ 时， AD＋ CD 取得最大值 8，△ ADC 周长的最大值为3π 2 π 68＋4 .31数列专练·作业(二十五)1．(2015·湖北黄冈模拟)数列{ an}的前 n 项和记为 Sn， a1＝1，点( Sn， an＋1 )在直线y＝2 x＋1 上， n∈N *.(1)求证：数列{ an}是等比数列，并求数列{ an}的通项公式 an；(2)设 bn＝log 3an＋1 ， Tn是数列{ }的前 n 项和，求 T2 015的值．1bn·bn＋ 1解析 (1)由题意得 an＋1 ＝2 Sn＋1， an＝2 Sn－1 ＋1( n≥2)，两式相减，得an＋1 － an＝2 an，即 an＋1 ＝3 an(n≥2)．∵ a1＝1，∴ a2＝2 S1＋1＝3，∴{ an}是首项为 1，公比为 3 的等比数列．∴ an＝3 n－1 .(2)由(1)得知 an＝3 n－1 ， bn＝log 3an＋1 ＝ n， ＝ ＝ － ，1bnbn＋ 1 1 n＋ 1 n 1n 1n＋ 1T2 015＝ ＋ ＋…＋ ＝(1－ )＋( － )＋…＋( － )＝1b1b2 1b2b3 1b2 015b2 016 12 12 13 12 015 12 016.2 0152 0162．(2015·河南联考)已知数列{ an}满足前 n 项和 Sn＝ n2＋1，数列{ bn}满足bn＝ ，且前 n 项和为 Tn，设 cn＝ T2n＋1 － Tn.2an＋ 1(1)求数列{ bn}的通项公式；(2)判断数列{ cn}的单调性；(3)当 n≥2 时， T2n＋1 － Tn0，得 a1，∴ a－10，∴ Tn3.n＋ 32n n＋ 32n5．(2015·河南郑州月考)数列{ an}的前 n 项和为 Sn， Sn＋ an＝－ n2－ n＋1( n∈N *)．12 32(1)设 bn＝ an＋ n，证明：数列{ bn}是等比数列；(2)求数列{ nbn}的前 n 项和 Tn；(3)若 cn＝( )n－ an， P＝ ，求不超过 P 的最大的整数值．12 2 013∑i＝ 1c2i＋ ci＋ 1c2i＋ ci解析 (1)因为 an＋ Sn＝－ n2－ n＋1，12 32所以，当 n＝1 时，2 a1＝－1，则 a1＝－ ；12当 n≥2 时， an－1 ＋ Sn－1 ＝－ (n－1) 2－ (n－1)＋1，12 32所以 2an－ an－1 ＝－ n－1，即 2(an＋ n)＝ an－1 ＋ n－1.所以 bn＝ bn－1 (n≥2)，而 b1＝ a1＋1＝ .12 124所以数列{ bn}是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 bn＝( )n.12 12 12(2)由(1)得 nbn＝ .n2n所以 Tn＝ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ，①12 222 323 424 n－ 12n－ 1 n2n2Tn＝1＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ，②22 322 423 n－ 12n－ 2 n2n－ 1②－①得 Tn＝1＋ ＋ ＋…＋ － ，12 122 12n－ 1 n2n∴ Tn＝ － ＝2－ .1－  12 n1－ 12 n2n n＋ 22n(3)由(1)知 an＝( )n－ n，又∵ cn＝( )n－ an，∴ cn＝ n.12 12∴ ＝1＋ ＝1＋ ＝1＋ － .c2n＋ cn＋ 1c2n＋ cn 1c2n＋ cn 1n n＋ 1 1n 1n＋ 1所以 P＝ ＝(1＋ － )＋(1＋ － )＋(1＋ － )＋…＋(1＋ －2 013∑i＝ 1c2i＋ ci＋ 1c2i＋ ci 11 12 12 13 13 14 12 013)＝2 014－ .故不超过 P 的最大整数为 2 013.12 014 12 0141数列专练·作业(二十六)1．(2015·贵阳监测)在等差数列{ an}中， a1＝3，其前 n 项和为 Sn，等比数列{ bn}的各项均为正数， b1＝1，公比为 q，且 b2＋ S2＝12， q＝ .S2b2(1)求 an与 bn；(2)设数列{ cn}满足 cn＝ ，求{ cn}的前 n 项和 Tn.1Sn思路 本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式、裂项相消法等基础知识，意在考查考生的运算求解能力与推理论证能力．解析 (1)设{ an}的公差为 d，因为Error! 所以Error!解得 q＝3 或 q＝－4(舍)， d＝3.故 an＝3＋3( n－1)＝3 n， bn＝3 n－1 .(2)由(1)知 Sn＝ ，n 3＋ 3n2所以 cn＝ ＝ ＝ ( － )．1Sn 2n 3＋ 3n 231n 1n＋ 1故 Tn＝ [(1－ )＋( － )＋…＋( － )]23 12 12 13 1n 1n＋ 1＝ (1－ )＝ .23 1n＋ 1 2n3 n＋ 12．(2015·河北衡水中学)数列{ an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＝1， an＋1 ＝2 Sn＋1，数列{bn}为等差数列，且 b3＝3， b5＝9.(1)求数列{ an}，{ bn}的通项公式；(2)若对任意的 n∈N *，( Sn＋ )·k≥ bn恒成立，求实数 k 的取值范围．12解析 (1)由 an＋1 ＝2 Sn＋1，①得 an＝2 Sn－1 ＋1( n≥2)．②①－②得 an＋1 － an＝2( Sn－ Sn－1 )．∴ an＋1 ＝3 an(n≥2)．又 a1＝1， a2＝2 S1＋1＝2 a1＋1＝3，也满足上式，∴{ an}是首项为 1，公比为 3 的等比数列．∴ an＝3 n－1 .∵{ bn}为等差数列，∴ b5－ b3＝2 d＝6，∴ d＝3.∴ bn＝3＋( n－3)×3＝3 n－6.2(2)Sn＝ ＝ ＝ ，a1 1－ qn1－ q 1－ 3n1－ 3 3n－ 12∴( ＋ )·k≥3 n－6 对任意的 n∈N *恒成立，3n－ 12 12∴ k≥ ＝2( )对任意的 n∈N *恒成立．6n－ 123n 3n－ 63n令 cn＝ ， cn－ cn－1 ＝ － ＝ ，3n－ 63n 3n－ 63n 3n－ 93n－ 1 － 2n＋ 73n－ 1当 n≤3 时， cncn－1 ，当 n≥4 时， cn0， a≠1)，记数列{ dn}的前 n 项和为 Sn，若 恒a 2n＋ 1＋ a 2n＋ 25 S2nSn为一个与 n 无关的常数 λ ，试求常数 a 和 λ .解析 (1)∵ a1＋ a2＋…＋ an－1 － an＝－1，①∴ a1＋ a2＋…＋ an－ an＋1 ＝－1.②①－②，得 an＋1 －2 an＝0，即 ＝2( n≥2)．an＋ 1an当 n＝2 时， a1－ a2＝－1.∵ a1＝1，∴ a2＝2，∴ ＝2.a2a1∴数列{ an}是首项为 1，公比为 2 的等比数列．∴ an＝2 n－1 (n∈N *)．(2)∵ an＝2 n－1 ，∴ dn＝1＋log a ＝1＋2 nloga2.a 2n＋ 1＋ a 2n＋ 25∵ dn＋1 － dn＝2log a2，∴{ dn}是以 d1＝1＋2log a2 为首项，以 2loga2 为公差的等差数列．∴ ＝ ＝ ＝ λ .S2nSn2n 1＋ 2loga2 ＋ 2n 2n－ 12 × 2loga2n 1＋ 2loga2 ＋ n n－ 12 × 2loga2 2＋  4n＋ 2 loga21＋  n＋ 1 loga2∴( λ －4) nloga2＋( λ －2)(1＋log a2)＝0.∵ 恒为一个与 n 无关的常数 λ ，S2nSn∴Error!3解得Error!4．(2015·安徽东至月考)设函数 f(x)＝ ＋sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的x2数列为{ xn}．(1)求数列{ xn}的通项公式；(2)设{ xn}的前 n 项和为 Sn，求 sinSn.解析 (1) f(x)＝ ＋sin x，令 f′( x)＝ ＋cos x＝0，得x2 12x＝2 kπ± (k∈Z)．2π3f′( x)0⇒2kπ－ 0，1n＋ 1 1n＋ 3 4 n＋ 1  n＋ 3所以{ An}单调递增，故( An)min＝ A1＝ .43因为 An＝3－2( ＋ )3，1n＋ 1 1n＋ 2所以 ≤ An3.43因为对任意正整数 n， Tn－2 n∈[ a， b]，所以 a≤ ， b≥3，即 a 的最大值为 ， b 的最43 43小值为 3，所以( b－ a)min＝3－ ＝ .43 5356．(2015·广东岭南检测)已知函数 f(x)＝ln x＋cos x－( － )x 的导数为 f′( x)，6π 92且数列{ an}满足 an＋1 ＋ an＝ nf′( )＋3( n∈N *)．π 6(1)若数列{ an}是等差数列，求 a1的值；(2)若对任意 n∈N *，都有 an＋2 n2≥0 成立，求 a1的取值范围．解析 f′( x)＝ －sin x－ ＋ ，则 f′( )＝4，故1x 6π 92 π 6an＋1 ＋ an＝4 n＋3.(1)若数列{ an}是等差数列，则 an＝ a1＋( n－1) d， an＋1 ＝ a1＋ nd.由 an＋1 ＋ an＝4 n＋3，得( a1＋ nd)＋[ a1＋( n－1) d]＝4 n＋3.解得 d＝2， a1＝ .52(2)方法一 由 an＋1 ＋ an＝4 n＋3( n∈N *)，得 an＋2 ＋ an＋1 ＝4 n＋7.两式相减，得 an＋2 － an＝4.故数列{ a2n－1 }是首项为 a1，公差为 4 的等差数列；数列{ a2n}是首项为 a2，公差为 4 的等差数列．又∵ a1＋ a2＝7，∴ a2＝7－ a1.∴ an＝Error!①当 n 为奇数时， an＝2 n－2＋ a1， an＋2 n2≥0 即 2n－2＋ a1＋2 n2≥0，转化为a1≥－2 n2－2 n＋2 对任意的奇数 n(n∈N *)恒成立．令 f(n)＝－2 n2－2 n＋2＝－2( n＋ )2＋ ，12 52∴ f(n)max＝ f(1)＝－2，∴ a1≥－2.②当 n 为偶数时， an＝2 n＋3－ a1， an＋2 n2≥0，即 2n＋3－ a1＋2 n2≥0，转化为－ a1≥－2 n2－2 n－3 对任意的偶数 n(n∈N *)恒成立．令 g(n)＝－2 n2－2 n－3＝－2( n＋ )2－ ，12 52∴ g(n)max＝ g(2)＝－15，∴－ a1≥－15，解得 a1≤15.综上， a1的取值范围是[－2,15]．方法二 ∵ an＋1 ＝－ an＋4 n＋3，∴ an＋1 ＋2( n＋1) 2＝－ an＋4 n＋3＋2( n＋1)2， an＋2 n2≥0 对任意的 n∈N *都成立，∴ an＋1 ＋2( n＋1) 2≥0，即－ an＋4 n＋3＋2( n＋1)2≥0，∴－2 n2≤ an≤4 n＋3＋2( n＋1) 2对任意的 n∈N *都成立．故当 n＝1 时也成立，即－2≤ a1≤15.1概率与统计专练·作业(二十七)1．(2015·山东青岛调研)某车间共有 12 名工人，随机抽取 6 名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间 12 名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间 12 名工人中，任取 2 人，求恰有 1 名优秀工人的概率．解析 (1)样本均值为 ＝ ＝22.17＋ 19＋ 20＋ 21＋ 25＋ 306 1326(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为 ＝ ，故推断该车间 12 名工人中有 12× ＝426 13 13名优秀工人．(3)设事件 A：从该车间 12 名工人中，任取 2 人，恰有 1 名优秀工人，则 P(A)＝ ＝ .C14C18C21 16332．(2015·陕西西工大附中测试)一个口袋中有 2 个白球和 n 个红球( n≥2，且 n∈N *)，每次从袋中摸出两个球(每次摸球后把这两个球放回袋中)，若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．(1)试用含 n 的代数式表示一次摸球中奖的概率 p；(2)若 n＝3，求三次摸球恰有一次中奖的概率；(3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为 f(p)，当 n 为何值时， f(p)取最大值．答案 (1) p＝ (2) (3) n＝2 时， f(p)取最大值n2－ n＋ 2n2＋ 3n＋ 2 54125解析 (1)一次摸球从( n＋2)个球中任选两个，有 C 种选法，其中两球颜色相同有2n＋ 2(C ＋C )种选法，2n 2∴一次摸球中奖的概率 p＝ ＝ .C2n＋ C2C2n＋ 2 n2－ n＋ 2n2＋ 3n＋ 2(2)若 n＝3，则一次摸球中奖的概率是 p＝ ，三次摸球是独立重复实验，三次摸球中25恰有一次中奖的概率是 p3(1)＝C ×p×(1－ p)2＝ .13541252(3)设一次摸球中奖的概率是 p，则三次摸球中恰有一次中奖的概率是 f(p)＝C ·p·(1－ p)2＝3 p3－6 p2＋3 p,03.841.n ad－ bc 2 a＋ b  c＋ d  a＋ c  b＋ d 40× 33－ 153 212×28×20×20因而有 95%的把握可以认为能够参加面试与是否参加考前培训有关．6．(2015·南昌模拟)在某学校的一次选拔性考试中，随机抽取了 100 名考生的成绩(单位：分)，并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表：组别 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100)频数 5 18 28 26 17 6(1)求抽取的样本平均数 和样本方差 s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；x(2)已知这次考试共有 2 000 名考生参加，如果近似地认为这次成绩 z 服从正态分布N(μ ， σ 2)(其中 μ 近似为样本平均数 ， σ 2近似为样本方差 s2)，且规定 82.7 分是复试x线，那么在这 2 000 名考生中，能进入复试的有多少人？(附： ≈12.7，若161z～ N(μ ， σ 2)，则 P(μ － σ 82.7)＝ ＝0.158 7，1－ 0.682 62所以能进入复试的人数为 2 000×0.158 7≈317.(3)显然 ξ 的取值为 1,2,3，P(ξ ＝1)＝ ＝ ，C14·C2C36 15P(ξ ＝2)＝ ＝ ，C24·C12C36 35P(ξ ＝3)＝ ＝ ，C34·C02C36 15ξ 的分布列为ξ 1 2 3P 15 35 15所以 E(ξ )＝1× ＋2× ＋3× ＝2.15 35 151概率与统计专练·作业(二十八)1．网购逐渐步入百姓生活，网络(电子)支付方面的股票也受到一些股民的青睐．某单位 4 个热心炒股的好朋友研究后决定购买“生意宝”和“九州通”这两支股票中的一支．他们约定：每个人必须从“生意宝”和“九州通”这两支股票中选择一支购买，且通过掷一枚质地均匀的骰子决定各自购买哪支股票，掷出点数为 5 或 6 的人买“九州通” ，掷出点数小于 5 的人买“生意宝” ．(1)求这 4 个人中恰有 1 人购买“九州通”股票的概率；(2)用 ξ 、 η 分别表示这 4 个人购买“生意宝”和“九州通”股票的人数，记X＝ ξη ，求随机变量 X 的分布列与数学期望 E(X)．解析 因为掷一枚质地均匀的骰子，掷出点数为 5 或 6 的概率为 ，13所以这 4 个人中每个人购买“九州通”的概率为 ，购买“生意宝”的概率为 .13 23设“这 4 个人中恰有 i 人购买‘九州通’股票”为事件 Ai(i＝0,1,2,3,4)，则 P(Ai)＝C ( )i( )4－ i(i＝0,1,2,3,4)．i413 23(1)这 4 个人中恰有 1 人购买“九州通”股票的概率 P(A1)＝C ( )1( )3＝ .1413 23 3281(2)易知 X 的所有可能取值为 0,3,4.P(X＝0)＝ P(A0)＋ P(A4)＝C ( )0( )4＋C ( )4·( )0＝ ＋ ＝ ，0413 23 413 23 1681 181 1781P(X＝3)＝ P(A1)＋ P(A3)＝C ( )1( )3＋C ( )3·( )1＝ ＋ ＝ ，1413 23 3413 23 3281 881 4081P(X＝4)＝ P(A2)＝C ( )2( )2＝ ＝ .2413 23 2481 827所以 X 的分布列为X 0 3 4P 1781 4081 827随机变量 X 的数学期望 E(X)＝0× ＋3× ＋4× ＝ .1781 4081 827 832．(2015·贵阳七校联考)交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为 T，其范围为[0,10]，分别有 5 个级别： T∈[0,2)畅通；T∈[2,4)基本畅通； T∈[4,6)轻度拥堵； T∈[6,8)中度拥堵； T∈[8,10]严重拥堵．早高峰时段( T≥3 )，从贵阳市交通指挥中心随机选取了二环以内 50 个交通路段，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示：2(1)据此直方图估算交通指数 T∈[4,8)时的中位数和平均数；(2)据此直方图求出早高峰二环以内的 3 个路段至少有 2 个严重拥堵的概率是多少？(3)某人上班路上所用时间若畅通时为 20 分钟，基本畅通为 30 分钟，轻度拥堵为 35分钟，中度拥堵为 45 分钟，严重拥堵为 60 分钟，求此人所用时间的数学期望．解析 (1)由直方图知： T∈[4,8)时交通指数的中位数为 5＋1× ＝ .0.20.24 356T∈[4,8)时交通指数的平均数为 4.5×0.2＋5.5×0.24＋6.5×0.2＋7.5×0.16＝4.72.(2)设事件 A 为“1 条路段严重拥堵” ，则 P(A)＝0.1，则 3 条路段中至少有 2 条路段严重拥堵的概率为：P＝C ×( )2×(1－ )＋C ×( )3＝ ，23110 110 3 110 7250所以 3 条路段中至少有 2 条路段严重拥堵的概率为 .7250(3)由题意，所用时间 X 的分布列如下表：X 30 35 45 60P 0.1 0.44 0.36 0.1则 E(X)＝30×0.1＋35×0.44＋45×0.36＋60×0.1＝40.6，所以此人上班路上所用时间的数学期望是 40.6 分钟．3．(2015·广东珠海模拟)已知函数 f(x)＝ x3－( a－1) x2＋ b2x，其中 a， b 为常数．13(1)当 a＝6， b＝3 时，求函数 f(x)的单调递增区间；(2)若任取 a∈[0,4]， b∈[0,3]，求函数 f(x)在 R 上是增函数的概率．解析 (1)当 a＝6， b＝3 时， f(x)＝ x3－5 x2＋9 x，13f′( x)＝ x2－10 x＋9.令 f′( x)＝ x2－10 x＋9≥0，解得 x≤1 或 x≥9，故函数 f(x)的单调增区间分别为(－∞，1]和[9，＋∞)．3(2)f′( x)＝ x2－2( a－1) x＋ b2，若函数 f(x)在 R 上是增函数，则对于任意x∈R， f′( x)≥0 恒成立，所以 Δ ＝4( a－1) 2－4 b2≤0，即( a＋ b－1)( a－ b－1)≤0.设“ f(x)是 R 上的增函数”为事件 A，则事件 A 对应的区域为{( a， b)|(a＋ b－1)(a－ b－1)≤0}，全部试验结果构成的区域为 Ω ＝{( a， b)|0≤ a≤4,0≤ b≤3}，所以 P(A)＝ ＝ ＝ .SASΩ 3×4－ 12×1×1－ 12×3×33×4 712故函数 f(x)在 R 上是增函数的概率为 .7124．(2015·江西新课标)为了提高食品的安全度，某食品安检部门检查了一个海水养殖场养殖的鱼的有关情况，安检人员从这个海水养殖场中不同位置共捕捞出 100 条饲养一年的鱼，称得每条鱼的质量(单位：kg)，并将所得的数据进行统计得下表．若规定超过正常生长速度(1.0～1.2 千克/年)的比例超过 15%，则认为所饲养的鱼有问题，否则认为所饲养的鱼没有问题．鱼的质量[1.00，1．05)[1.05，1．10)[1.10，1．15)[1.15，1．20)[1.20，1．25)[1.25，1．30)鱼的条数 3 20 35 31 9 2(1)根据数据统计表，估计数据落在[1.20,1.30)中的概率约为多少，并判断此养殖场所饲养的鱼是否存在问题？(2)上面捕捞的 100 条鱼中，从质量在[1.00,1.05)和[1.25，1.30)的鱼中，任取 2 条鱼来检测，求恰好所取得的鱼的质量在[1.00,1.05)和[1.25,1.30)各有 1 条的概率．解析 (1)捕捞的 100 条鱼中，数据落在[1.20,1.25)的概率约为 P1＝ ＝0.09；9100数据落在[1.25,1.30)的概率约为 P2＝ ＝0.02，2100所以数据落在[1.20,1.30)中的概率为 P＝ P1＋ P2＝0.11.由于 0.11×100%＝11%3.841.所以据此统计有 95%的把握认为42× 16×12－ 8×6 224×18×20×22 25255选做“几何类”或“代数类”试题与性别有关．(2)由题可知在选做“不等式选讲”试题的 18 位同学中，要选取 3 位同学．①令事件 C 为“在这名学委被抽到的条件下，两名数学科代表也被抽到” ，则 P(C)＝＝ ＝ .C2C217 217×16 1136②由题知 X 的可能取值为 0,1,2.依题意 P(X＝0)＝ ＝ ；C316C318 3551P(X＝1)＝ ＝ ；C216C12C318 517P(X＝2)＝ ＝ .C16C2C318 151从而 X 的分布列为6X 0 1 2P 3551 517 151于是 E(X)＝0× ＋1× ＋2× ＝ ＝ .3551 517 151 1751 131立体几何专练·作业(二十九)1.(2015·湖南十校联考)如图，已知四棱锥的侧棱 PD⊥底面 ABCD，且底面 ABCD 是直角梯形， AD⊥ CD， AB∥ CD， AB＝ AD＝ CD＝2，点 M 在侧棱 PC 上．12(1)求证： BC⊥平面 BDP；(2)若侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角的正切值为 ，点 M 为侧棱 PC 的中点，求异面直线12BM 与 PA 所成角的余弦值．解析 (1)证明：由已知可算得 BD＝ BC＝2 ，∴ BD2＋ BC2＝16＝ DC2，故 BD⊥ BC.又2PD⊥平面 ABCD， BC⊂平面 ABCD，故 PD⊥ BC.又 BD∩ PD＝ D，所以 BC⊥平面 BDP.(2)解：取 PD 中点为 N，并连接 AN， MN，易证明 BM∥ AN，则∠ PAN 即异面直线 BM 与PA 所成的角．又 PD⊥底面 ABCD，∴∠ PCD 即为 PC 与底面 ABCD 所成的角，即tan∠ PCD＝ ，∴ PD＝ CD＝2，即 PN＝ PD＝1，易求得 AN＝ ， PA＝2 ，12 12 12 5 2则在△ PAN 中，cos∠ PAN＝ ＝ ，AP2＋ AN2－ PN22PA·AN 31010即异面直线 BM 与 PA 所成角的余弦值为 .310102．(2015·山东文登二模)已知四边形 ABCD 满足 AD∥ BC， BA＝ AD＝ DC＝ BC＝ a， E 是12BC 的中点，将△ BAE 沿着 AE 翻折成△ B1AE，使平面 B1AE⊥平面 AECD， F， G 分别为 B1D， AE的中点．2(1)求三棱锥 E－ ACB1的体积；(2)证明： B1E∥平面 ACF；(3)证明：平面 B1GD⊥平面 B1DC.解析 (1)解：由题意知， AD∥ EC 且 AD＝ EC，所以四边形 ADCE 为平行四边形，∴ AE＝ DC＝ a，∴△ ABE 为等边三角形，∴∠ AEC＝120°，∴ S△ AEC＝ a2sin120°＝ .12 3a24连接 B1G，则 B1G⊥ AE，又平面 B1AE⊥平面 AECD，交线为 AE，∴ B1G⊥平面 AECD 且B1G＝ a，∴ VE－ ACB1＝ VB1－ AEC＝ B1G·S△ AEC＝ × a× a2＝ .32 13 13 32 34 a38(2)证明：连接 ED 交 AC 于 O，连接 OF，∵四边形 AECD 为菱形，∴ O 为 AC 的中点．又 F 为 B1D 的中点，∴ FO∥ B1E.又 B1E⊄平面 ACF， FO⊂平面 ACF，∴ B1E∥平面 ACF.(3)证明：连接 GD，则 DG⊥ AE，又 B1G⊥ AE， B1G∩ GD＝ G，∴ AE⊥平面 B1GD.又 AE∥ DC，∴ CD⊥平面 B1GD.又 DC⊂平面 B1DC，∴平面 B1GD⊥平面 B1DC.3．(2015·安徽江南期末)如图，四棱锥 P－ ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA⊥平面ABCD，且 PB 与底面 ABCD 所成的角为 45°， E 为 PB 的中点，过 A， E， D 三点的平面记为α ， PC 与 α 的交点为 Q.3(1)试确定 Q 的位置并证明；(2)求四棱锥 P－ ABCD 被平面 α 所分成上下两部分的体积之比；(3)若 PA＝2，截面 AEQD 的面积为 3，求平面 α 与平面 PCD 所成的锐二面角的正切值．解析 (1) Q 为 PC 的中点．证明如下：因为 AD∥ BC， AD⊄平面 PBC，故 AD∥平面 PBC.又由于平面 α ∩平面 PBC＝ EQ，故AD∥ EQ，所以 BC∥ EQ.又 E 为 PB 的中点，故 Q 为 PC 的中点．(2)如图，连接 EQ， DQ，因为 PA⊥平面 ABCD，所以 PB 与平面 ABCD 所成的角为∠ PBA＝45°.故 PA＝ AB.又因为 E 为 PB 的中点，所以 PE⊥ AE.因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AD⊥ AB.又 PA⊥平面 ABCD，得到 AD⊥ PA.又 PA∩ AB＝ A，所以 AD⊥平面 PAB，所以AD⊥ PE.又 AE∩ AD＝ A，故 PE⊥平面 α .设 PA＝ h， AD＝2 a，四棱锥 P－ ABCD 被平面 α 所分成的上下两部分的体积分别为 V1和 V2，则 EQ＝ a.又因为 AD⊥平面 PAB，所以 AD⊥ AE.V 上 ＝ PE·S 四边形 AEQD＝ · · (a＋2 a)· ＝ ，13 13 2h2 12 2h2 ah24V 下 ＝ PA·S 四边形 ABCD－ V 上 ＝ ·h·2a·h－ ＝ ah2，13 13 ah24 512所以 ＝ ＝ .V上V下ah24512ah2 35(3)过 E 作 EF⊥ DQ，连接 PF，因为 PE⊥平面 α ，所以 PE⊥ DF.又由于 EF∩ PE＝ E，所以 DF⊥平面 PEF，则 DF⊥ PF.所以∠ PFE 是平面 α 和平面 PCD 所成的二面角的平面角．因为 PA＝2，即 h＝2，截面 AEQD 的面积为 3，所以 S 四边形 AEQD＝ (a＋2 a) h＝3，解得 a＝ .又12 22 24因为 AD∥ EQ，且 EQ＝ AD，故 S△ EQD＝ S 四边形 AEQD＝1， QD＝ ＝2.又 S△12 13  AD－ QE 2＋ AE2EQD＝ EF·DQ＝1，解得 EF＝1. PE＝ PB＝ .在直角三角形 PEF 中，tan∠ PFE＝ ＝ ，即12 12 2 PEEF 2平面 α 与平面 PCD 所成的锐二面角的正切值为 .24.(2015·湖南长望调研)如图，在四棱锥 P－ ABCD 中， PD⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 是菱形， AC＝2， BD＝2 ，且 AC， BD 交于点 O， E 是 PB 上任意一点．3(1)求证： AC⊥ DE；(2)已知二面角 A－ PB－ D 的余弦值为 ，若 E 为 PB 的中点，求 EC 与平面 PAB 所成的155角的正弦值．解析 (1)证明：因为 DP⊥平面 ABCD，所以 DP⊥ AC.因为四边形 ABCD 为菱形，所以BD⊥ AC.又因为 BD∩ PD＝ D，所以 AC⊥平面 PBD.因为 DE⊂平面 PBD，所以 AC⊥ DE.(2)解：连接 OE，在△ PBD 中， EO∥ PD，所以 EO⊥平面 ABCD，分别以 OA， OB， OE 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 O－ xyz.设 PD＝ t，则 A(1,0,0)， B(0， ，0)， C(－1,0,0)， E(0,0， )， P(0，－ ， t)．3t2 3＝(－1， ，0)， ＝(－1，－ ， t)．AB→ 3 AP→ 3由(1)知，平面 PBD 的一个法向量为 n1＝(1,0,0)，设平面 PAB 的法向量为n2＝( x， y， z)，则Error!即Error!令 y＝1，得 n2＝( ，1， )．因为二面角 A－ PB－ D 的余弦值为 ，所以323t 155|cos〈 n1， n2〉|＝ ＝ ，解得 t＝2 或 t＝－2 (舍去)，所以34＋ 12t2 155 3 35P(0，－ ，2 )．3 3设 EC 与平面 PAB 所成的角为 θ .因为 ＝(－1,0，－ )， n2＝( ，1,1)，所以EC→ 3 3sinθ ＝|cos〈 ， n2〉|＝ ＝ ，所以 EC 与平面 PAB 所成角的正弦值为 .EC→ 2325 155 1555．(2015·福建龙岩期末)如图，在四棱锥 P－ ABCD 中，侧棱 PA⊥底面ABCD， AD∥ BC，∠ ABC＝90°， PA＝ AB＝ BC＝2， AD＝1， M 是棱 PB 的中点．(1)求证： AM∥平面 PCD；(2)设点 N 是线段 CD 上一动点，且 DN＝ λDC ，当直线 MN 与平面 PAB 所成的角最大时，求 λ 的值．解析 (1)证明：以点 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B(0,2,0)， C(2,2,0)， D(1,0,0)， P(0,0,2)， M(0,1,1)，∴ ＝(0,1,1)， ＝(1,0，－2)， ＝(－1，－2,0)．AM→ PD→ CD→ 设平面 PCD 的法向量是 n＝( x， y， z )，则Error! 即Error!令 z＝1，则 x＝2， y＝－1，于是 n＝(2，－1,1)．∵ ·n＝0，∴ ⊥ n，∴ AM∥平面 PCD.AM→ AM→ (2)解：∵点 N 是线段 CD 上的一点， DN＝ λDC ，∵ ＝ λ ＝ λ (1,2,0)，DN→ DC→ ＝ ＋ ＝(1,0,0)＋ λ (1,2,0)＝(1＋ λ ，2 λ ，0)，AN→ AD→ DN→ ＝ － ＝(1＋ λ ，2 λ ，0)－(0,1,1)＝(1＋ λ ，2 λ －1，－1)．MN→ AN→ AM→ 又平面 PAB 的一个法向量为 m＝(1,0,0)，设 MN 与平面 PAB 所成的角为 θ ，6则 sinθ ＝| | 1＋ λ ， 2λ － 1， － 1 · 1， 0， 0 1＋ λ  2＋  2λ － 1 2＋ 1＝ ＝1＋ λ5λ 2－ 2λ ＋ 3 1＋ λ5 1＋ λ  2－ 12 1＋ λ  ＋ 10＝ ＝ ，15－ 121＋ λ ＋ 10 11＋ λ  2110 11＋ λ － 35 2＋ 75∴当 ＝ 时，即 λ ＝ 时，sin θ 最大．11＋ λ 35 23∴ MN 与平面 PAB 所成的角最大时， λ ＝ .236.(2015·四川成都)在四棱锥 P－ ABCD 中， PD⊥平面ABCD， PD＝ CD＝ BC＝2 AD， AD∥ BC，∠ BCD＝90°.(1)求证： BC⊥ PC；(2)求 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值；(3)线段 PB 上是否存在点 E，使 AE⊥平面 PBC？说明理由．解析 (1)证明：在四棱锥 P－ ABCD 中，∵ PD⊥平面 ABCD， BC⊂平面ABCD，∴ PD⊥ BC.∵∠ BCD＝90°，∴ BC⊥ CD.∵ PD∩ DC＝ D，∴ BC⊥平面 PCD.∵ PC⊂平面PCD，∴ BC⊥ PC.(2)解：如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系 D－ xyz.不妨设 AD＝1，则 PD＝ CD＝ BC＝2，则D(0,0,0)， A(1,0,0)， B(2,2,0)， C(0,2,0)， P(0,0,2)，∴ ＝(1,0，－2)，PA→ ＝(2,2，－2)， ＝(0,2，－2)．设平面 PBC 的法向量 n＝( x， y， z)．PB→ PC→ 所以Error!7即Error!令 y＝1，则 x＝0， z＝1，∴ n＝(0,1,1)．∴cos〈 ， n〉＝ ＝－ .PA→ － 25×2 105∴ PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为 .105(3)解：设在线段 PB 上存在点 E，当 ＝ λ (0λ 1)时， AE⊥平面 PBC.设PE→ PB→ E(x0， y0， z0)，则 ＝( x0， y0， z0－2)，∴( x0， y0， z0－2)＝ λ (2,2，－2)，即PE→ x0＝2 λ ， y0＝2 λ ， z0＝－2 λ ＋2.∴ E(2λ ，2 λ ，－2 λ ＋2)，∴ ＝(2 λ －1,2 λ ，－2 λ ＋2)．由(2)可知平面 PBC 的法向量 n＝(0,1,1)．若 AE⊥平面AE→ PBC，则 ∥ n，即 ＝ μ n.解得 λ ＝ ， μ ＝1.∴当 ＝ ，即 E 为 PB 中点时， AE⊥平AE→ AE→ 12 PE→ 12PB→ 面 PBC.