1、第二章 质点动力学,牛顿,本章教学要求： 掌握牛顿三定律及其适用条件 能用微积分方法求解一维变力作用下简单的质点动力学问题。,本章重点： 牛顿三定律本章难点： 用微积分方法求解一维变力作用下简单的质点动力学问题,2.1 生活中常见的力和基本自然力,2.2 牛顿三大运动定律,2.2.1 牛顿第一定律 2.2.2 牛顿第二定律 2.2.3 牛顿第三定律,2.4 牛顿定律的应用,2.3 伽利略相对性原理,内容,2.1 生活中常见的力和基本自然力,运动学,动力学,加速度,揭示运动状态变化的原因,运动学与动力学的渊源,力是改变运动状态的根本原因,力的概念： 力是质点（或物体）之间的相互作用,生活中常见的
2、几种力,这里g是重力加速度，一般计算取g=9.8m/s2。,重力在地球表面的物体，受到地球的万有吸力。其方向是通常是指向地球中心的。设物体的质量为m，物体受重力为,弹力两个物体相互接触，由于挤压或拉伸，产生形变，物体企图恢复原状而彼此互施的作用力。,方 向: 始终与使物体发生形变的外力方向相反。,条 件：物体产生形变。,(2)绳对物体的拉力；,(3)弹簧的弹力；,大小：取决于绳的伸长形变。,方向：沿着绳指向绳收紧的方向。,弹性限度内，弹性力满足胡克定律：,方向：指向要恢复弹簧原长的方向。,方向：与物体相对运动或相对运动趋势的方向相反。,条件：表面接触挤压；有相对运动或相对运动趋势。,最大静摩擦
3、力,滑动摩擦力,滑动摩擦力比最大静摩擦力小,摩擦力两个相互接触的物体在沿接触面相对运动时，或者有相对运动趋势时，在它们的接触面间所产生的一对阻碍相对运动或相对运动趋势的力。,s：静摩擦系数,k：滑动摩擦系数,流体阻力,在相对速率比较小的时候，流体阻力的大小 与相对速率 成正比，方向相反。即,半径为 的小球为例，阻力系数为,若物体在流体中运动的速率足够大，此时常用的流体阻力大小的公式为,式中 是流体的质量密度， 表示物体运动方向的横截面积， 依赖于流体的粘滞性，称为曳引系数。,自然界四种基本相互作用力,重力的本质：万有引力,弹力的本质：电磁力,2.2 牛顿三大运动定律,从伽利略到牛顿,力是维持物
4、体运动的原因,两个轻重不同的物体，重的先落地,亚里斯多德认为：,近代科学的先驱伽利略在实验和观察的基础上，靠科学推理搞清楚了这个复杂的基本运动问题，将物理学的研究引上了正确的道路。,产生和维持运动的原因是什么？,伽利略的推理与理想实验,伽利略在斜面实验中观察到，不管斜面的坡度怎样，一个球会上升到它的原始高度，坡度为零时，小球将永远滚下去。,伽利略科学推论：当物体受到其他物体作用时才会改变其运动状态,即其他物体的作用是物体改变运动状态的原因。,小球在无限长光滑斜面上的运动,牛顿第一定律,重的比轻的快,落体佯谬,不同重量的物体只能同时落地,牛顿第二定律，万有引力定律,两个铁球同时落地,讹传,2.2
5、.1 牛顿第一定律,1）.物体具有惯性（保持原有运动状态的性质）,2）.外力是物体运动状态 改变的原因,3）.只适用于惯性系,2.2.2 牛顿第二定律,任一时刻物体动量的变化率总是等于物体所受的合外力。,牛顿第二定律的微分形式（牛顿当年发表形式）,定义：动量,速度远低于光速时，有,牛顿第二定律原文意思：运动的变化与所加的动力成正比，并且发生在这力所沿直线的方向上。,这里的“运动”指物体的质量和速度矢量的乘积。即动量,力的叠加原理：实验表明：某个质点所受合外力 等于所有其它质点给它的力的矢量和。,对应单位：,讨论：,(2)瞬时性的理解：定律中的力和加速度都是瞬时的，同时存在，同时消失。,(3)矢
6、量性的理解：矢量表达式，力与加速度都是矢量，二者方向相同，满足叠加原理。,因此，这里的质量叫做惯性质量。,牛顿第二定律的分量形式,两个物体之间的作用力 和反作用力 沿同一直线，大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。,2.2.3 牛顿第三定律,1.成对出现,同时消失,两力性质相同；,2.两力分别作用于不同物体，产生不同效果。,输的一方是因为力气小吗？,质点动力学牛顿定律,揭示,少年,青年,1666年6月22日至1667年3月25日， 躲避瘟疫回到家乡,1665年获学士学位,1661年考入剑桥大学三一学院,牛顿(1643-1727)简介,天资聪慧，但很喜欢制作各种机械模型，他有一种把自然现象、
7、语言等进行分类、整理、归纳的强烈嗜好，对自然现象极感兴趣。,1667年牛顿返回剑桥大学当研究生， 次年获得硕士学位,1669年由于巴洛的推荐，接受了“卢 卡斯数学讲座”的职务,全面丰收的时期,1672年进行了光谱色分析试验,1672年，由于制造反射望远镜的成就被接纳为伦敦皇家学会会员,1680年前后提出万有引力理论,1687年出版了自然哲学之数 学原理,Nature and Natures law lay hid in night ; God said, “Let Newton be,“ and all was light. Alexander Pope,晚年,潜心研究神学（上帝是第一推动力）
8、,与莱布尼兹争论微积分的优先权,1727年去世,If I can see a bit farther than some others, it is because I am standing on the shoulders of giants. Isaac Newton,惯性系牛顿定律成立的参考系,相对某个惯性系做匀速直线运动的参考系也是惯性系,2.3 伽利略相对性原理,惯性系与非惯性系,力学定律在所有惯性系中都具有相同的形式,萨尔维阿蒂的大船,a. 地球、太阳可以看作近似的惯性系,b. 相对惯性系作匀速直线运动的参照系也 是惯性系,分析、解决问题要点,1.分析问题，画出草图；,3.受力分
9、析（关键一步），运动分析：,4.建立坐标系，运用定律列方程（注意约束条件、关联方程）；,5.统一单位（SI），求解方程.,2.选取对象，分隔物体,6.分析和讨论计算结果的物理意义。,2.4、牛顿定律的应用举例,3.分隔物体，受力分析（关键一步），运动分析：,i）非接触力（重力、万有引力、电磁力）；,ii）接触力（正压力、张力、拉力、弹力、支撑力）；,iii）摩擦力,若忽略细绳与滑轮的质量，以及轴承处的摩擦。试求 （1）当升降机匀速上升时，绳中的张力及物体B对升降机的加速度；,例1、如图所示，重物B以跨过定滑轮的细绳连接置于水平桌面上的物体A。桌子及物体都放在升降机中。A与桌面的动摩擦因数 ，A
10、、B的质量分别为,加速上升时，绳中的张力,（2）当升降机以加速度,及物体B对升降机的加速度。,A和B的速度和加速度大小保持一致，即,解: (1)当升降机相对于地面匀速上升时，升降机或其中的桌面本身就是一个惯性参照系。受力分析如图,A物体沿x和y方向的运动方程,B物体沿x方向的运动方程,联立,(2)当升降机以加速度,加速上升时，升降机是非惯性系。,物体A和B相对升降机的加速度,。,物体A和B相对地面的加速度分别为,和,解以上联立方程组，可得,滑动摩擦力公式,这里,得：,A物体,B物体,例2、如图所示，质量为 的木块放在质量为 的楔形木块的斜面上，斜面的倾角,假设两个木块的表面和地面都非常光滑，可
11、以忽略摩擦力。当水平力推力 多大时，恰好可以维持小木块静止在斜面上不动？,如图2-7(b)所示，分隔木块,和,受外力。在如图所示的直角坐标系中，可以分别列出木块,的加速度方程,，并画出它们各自所,的加速度方程,两个木块相对静止，所以,即,解以上简单的联立方程组，可得,所需要的外推力大小为,方向水平向左。,例(链条),例4、设电梯中有一质量可以忽略的滑轮，在滑轮两侧用轻绳悬挂着质量分别为m1和m2的重物A和B，已知m1m2 。当电梯(1)匀速上升，(2)匀加速a0上升时，求绳中的张力和物体A相对于电梯的加速度。,解：以地面为参考系，物体A和B为研究对象，分别进行受力分析。,物体在竖直方向运动，建
12、立坐标系oy,(1)电梯匀速上升，物体对电梯的加速度等于它们对地面的加速度。A的加速度向下，B的加速度向上，根据牛顿第二定律，对A和B分别得到：,上两式消去T，得到：,将a代入上面任一式T，得到：,(2)电梯以加速度a0上升时，m1对地的加速度为，其投影式为 同理，m2的对地的加速度为 , 根据牛顿第二定律，且有 ，得到：,解此方程组得到：,讨论：,由(2)的结果，令a0=0，即得到(1)的结果,由(2)的结果，电梯加速下降时，a00，即得到,例5、一个质量为m、悬线长度为l的摆锤，挂在架子上，架子固定在小车上，如图所示。求在下列情况下悬线的方向(用摆的悬线与竖直方向所成的角表示)和线中的张力
13、： (1)小车沿水平方向以加速度a1作匀加速直线运动。(2)当小车以加速度a2沿斜面(斜面与水平面成角)向上作匀加速直线运动。,解：(1)以小球为研究对象，当小车沿水平方向作匀加速运动时，分析受力：,在竖直方向小球加速度为零，水平方向的加速度为a。建立图示坐标系：,利用牛顿第二定律，列方程：,x方向：,y方向：,解方程组，得到：,(2)以小球为研究对象，当小车沿斜面作匀加速运动时，摆的悬线与竖直方向所成的角,分析受力：,小球的加速度沿斜面向上，垂直于斜面处于平衡状态，建立图示坐标系，重力与y轴负向的夹角为。,利用牛顿第二定律，列方程：,x方向：,y方向：,讨论：如果=0，a1=a2，则实际上是
14、小车在水平方向作匀加速直线运动；如果a2=0，加速度为零，悬线保持在竖直方向。,求解上方程组，得到：,浮力 的大小等于物体所排除的流体的重量，即,例7、 研究一个半径 为的球体在液体中竖直下沉的过程。设球体质量均匀分布，密度为 ，流体的黏滞系数为 密度为 。试求球体下沉的速度与时间的函数关系。其中黏滞阻力为 （式中负号表示阻力的方向与物体运动的方向相反）,v为其速率。,解：以小球为研究对象，分析受力：,重力的大小为,黏滞阻力的大小为,小球的运动在竖直方向，以向下为正方向，根据牛顿第二定律，列出小球运动方程：,引入记号,即,运动方程可简化为,运动方程可简化为,它的通解为,若在,时刻，球体由静止释放，即,则球体下沉速度,随时间,变化的函数关系为,小球的加速度,最大加速度为：,极限速度为：,例8、有一密度为的细棒，长度为l，其上端用细线悬着，下端紧贴着密度为的液体表面。现悬线剪断，求细棒在恰好全部没入水中时的沉降速度。设液体没有粘性。,解：以棒为研究对象，在下落的过程中，受力如图：,棒运动在竖直向下的方向，取竖直向下建立坐标系。,当棒的最下端距水面距离为时x，浮力大小为：,此时棒受到的合外力为：,利用牛顿第二定律建立运动方程：,要求出速度与位置的关系式，利用速度定义式消去时间,积分得到,
