1、Chap 2 质点力学,一、功的定义:,在直角坐标系中:,二、质点的动能定理：,即：合力对质点所作的功等于质点始、末两状态的动能的增量。 所以说：功是动能变化的量度。,2.6 位能 机械能守恒定律,一、几种常见力的功,1.万有引力的功,设有质量分别为M和m的两个质点，M静止在坐标原点，m在万有引力作用下沿曲线从A点运动到B点。在质点m运动路径上任取一段微小位移 ，万有引力作的元功为：,式中 为沿 方向的单位矢量。,质点m从rA运动到rB的过程中万有引力作的总功为：,上述结果表明，当质量M和m一定时，万有引力作的功只与质点的始、末位置有关，而与质点运动的具体路径无关，这就是万有引力作功的一个重要
2、特点。,质点移近质点时，万有引力作正功；质点远离质点时，万有引力作负功。,2.重力的功,如图，取地面上一点为坐标原点，X轴沿水平方向，Y 轴沿竖直方向，正方向向上。在地面附近质点所受的重力可以视为恒力，质点沿任意路径从A运动到B时重力作的功为：,（2-34）,上式表明，重力作功只与路径的始、末位置有关，而与具体路径无关，这就是重力作功的特点。（重力是物体与地球之间的万有引力，当然应该有此特性）,3.弹性力的功,如图，在光滑水平面上放置一弹簧，一端固定，另一端系一质量为m的物体。取弹簧原长为坐标原点，物体受的弹性力为:,物体从A运动到B过程中弹性力作的功为:,（2-35）,可见，弹性力作功也与路
3、径无关。,4.摩擦力的功,设质量为m的质点在粗糙的水平面上运动，所受的滑动摩擦力大小为 f (为常数)。当质点沿着任意路径s从A点运动到B点时，摩擦力作的功为:,（2-36）,式中sAB为从A点到B点的路径长度。可见，摩擦力作功不但与质点的始、末位置有关，而且与质点运动的具体路径也有关，这就是摩擦力作功的特点。,万有引力、重力、弹簧的弹性力作功只与质点的始、末位置有关，而与质点运动的具体路径无关。,摩擦力作功不但与质点的始、末位置有关，而且与质点运动的具体路径也有关，,二、保守力, 保守力作功特点的另一种表述(数学表达式),所以：,即：,若物体沿闭合路径运动一周，保守力作功：,而：,即：物体沿
4、闭合路径运动一周，保守力所作的功为零。,三、势能,保守力作功只与质点的始、末位置有关，而功是能量增量的量度。显然，在保守力场中，质点在始、末两个不同的位置上具有不同的能量，也就是说，保守力场中的物体储藏着一种能量，这种能量是位置的函数。我们将这种与位置有关的能量称为势能（或称位能），用Ep表示。 由上面的讨论可知，万有引力、重力、弹性力为保守力，可以引入相应的势能。,保守力对质点作的功等于质点相关势能增量的负值。,引力势能：,重力势能：,弹性势能：,所以，质点从位置A到位置B保守力作功可表示为：,（2-38）,即：保守力对质点作的功等于质点相关势能增量的负值。 或等于质点相关势能的减少量。,保
5、守力对质点作的功等于质点相关势能增量的负值。,1. 只有在保守力场中才能引入势能。势能的改变是通过保守力作功来实现的。保守力作正功，势能减少；保守力作负功，势能增加。,2.势能的数值是相对的，与势能零点的选取有关。一般重力势能的零点选在地面；引力势能的零点选在无限远处；弹性势能的零点选在弹簧振子所受合力为零的地方。在实际问题中，要根据分析问题的方便来选取势能的零点。,3.系统的势能与参考系无关。保守力场中某点的势能实际上是该点与零势能点之间的势能差,而势能差与参考系的选取是无关的。,4.势能是属于系统共有的。,考虑由n个质点组成的质点系,对第i个质点应用质点动能定理:,四、质点系的动能定理和功
6、能原理,1.质点系的动能定理,将上式对各个质点求和：,（2-39）,或:,（2-40）,上式表明，系统的外力功和内力功的和等于系统总动能的增量，这称为质点系的动能定理。,内力不能改变系统的总动量，但可以改变系统的总动能。因为系统内的内力总是成对出现的，且大小相等、方向相反，同时产生、同时消失，作用时间是相等的，所以冲量的矢量和为零，即成对的内力对系统的动量的贡献为零。但一对内力的作用点的位移一般并不相等，所以作用力和反作用力的功不能相互抵消，成对的内力对系统动能的贡献一般不为零。例如木块静止在光滑水平面上，子弹水平射入木块，最后停在木块内。在这一过程中子弹和木块之间的摩擦力是一对作用力和反作用
7、力，但木块的位移为L，而子弹的位移为L+d，因此两摩擦力作功的代数和不等于零。,2. 质点系的功能原理,系统的内力可分为保守内力和非保守内力。因此，内力的功可分为保守内力的功和非保守内力的功，分别用A内保和A内非表示。上式可以写成:,而保守内力的功又等于势能增量的负值，即:,代入上式并整理，可得:,（2-41）,动能与势能的和称为机械能，用E表示。上式可写成:,（2-42a）,即：作用于系统的外力的功与系统非保守内力的功的和等于系统机械能的增量，这称为质点系的功能原理。,上式的微分形式为:,如果取单个质点为研究对象时，应用质点动能定理，作用于质点上的力均是外力，所有力的功等于质点动能的增量。,
8、（2-42a）,（2-42b）,选取系统为研究对象时，一般采用功能原理，如果应用了系统的势能概念，计算力作功时，应将保守内力的功除去。因为保守内力的功已经为系统的势能增量所取代。当然，如果没有考虑系统势能的增量，则必须要计算保守内力所作的功。,五、机械能守恒定律,从式（2-42b）中可以看出，若在一段时间内满足:,（2-43）,则有:,（2-44a）,或:,（2-44b）,以上结果说明，如果作用于系统的外力的功与非保守内力的功的和为零，则系统的机械能守恒，这称为机械能守恒定律。,即:,Ek为系统的动能； Ep为系统的势能。,3.质点系的功能原理:,1.质点的动能定理:,2.质点系的动能定理:,
9、4.机械能守恒定律: 若:,则:,引力势能：,弹性势能：,重力势能:,例2-11:一雪橇从高度为50m的山顶上的A点沿长为s=500m的坡道由静止下滑，至B点后又沿水平冰道继续滑行，停止在C点。若雪橇与冰道之间的摩擦系数为0.050。求BC的长度s。（忽略空气阻力）,解：将雪橇、冰道和地球视为一个系统，系统不受外力作用。雪橇受力为重力、冰道对雪橇的支持力和摩擦力。支持力不作功，重力为保守力。只有摩擦力作功。根据功能原理，得:,选水平冰道为重力势能零平面，则:,（1）,得：,在坡道上摩擦力作的功为:,（因为斜坡的坡度很小，所以 ）,（3）,代入数据得:,（2）,在水平冰道上摩擦力作的功为:,（1
10、）,所以:,例2-12：一个轻弹簧上端固定，下端系一个金属圆盘，弹簧伸长为 。一个质量和圆盘相同的泥球，从高于盘处 处由静止下落到盘上。求此盘向下运动的最大距离 。,解：本题可分为三个过程进行分析。第一个过程为泥球自由下落的过程。它落到盘上的速度为：,第二个过程为泥球与盘碰撞的过程。将盘和泥球看作一个系统，因二者之间的冲力远大于它们所受的外力（包括重力和弹簧的拉力），可认为动量守恒。设它们的质量均为m，它们碰撞后结合在一起以共同的速度V运动。沿Y方向的动量守恒定律的分量式为：,（1）,第三过程为泥球和盘共同下降的过程。选弹簧、泥球、盘和地球为系统。以泥球与盘共同开始运动为系统的初态，二者到达最
11、低点时为末态。在此过程中只有重力、弹性力（均为保守力）作功，系统机械能守恒。以弹簧的原长为弹性势能的零点。以盘到达的最低位置为重力势能的零点，则系统的机械能守恒的表达式为：,（2）,由于:,因此:,（3）,将（1）、（2）、（3）式联立，代入数据，可得：,（舍去）,解方程得：,例2-13：试用机械能守恒定律求出三种宇宙速度。,解：第一宇宙速度是飞行器绕地球运动的最小速度。设人造卫星绕地球作圆周运动，它受到的向心力为：,式中r为卫星运行的半径。设从地面发射的卫星的速率为v0，将卫星、地面视为一个系统，在发射点系统的机械能为：,式中的R为地球半径。卫星作半径为r的圆周运动时的机械能为：,，利用地面
12、上 得,当r=R时，最小发射速度为：,代入数据，得第一宇宙速度：,第二宇宙速度是在地面发射抛体、使抛体脱离地球引力范围所需要的最小速度v2。规定无限远处势能为零，抛体脱离地球引力时（到达无限远处）动能也为零，因此机械能为零。根据机械能守恒定律，有：,所以第二宇宙速度为：,因为：,第三宇宙速度是使抛体脱离太阳引力所需要的最小速度v3。为使问题简化，将地球引力和太阳引力分步考虑。第一步考虑将抛体送出地球引力圈，在此过程中忽略太阳引力，抛体只受地球引力作用。设抛体脱离地球引力后的速度为v。有：,第二步考虑抛体脱离地球引力后，只受太阳引力作用继续飞行，逃离太阳引力所需要的速度。,先计算地球绕太阳公转的
13、速度 v。以太阳为参考系，地球受到的向心力为：,将 代入上式，得：,即：,抛体脱离地球引力后的速度：,得第三宇宙速度为：,设以太阳为参考系，脱离太阳引力所需要的速度为v2。与计算第二宇宙速度类似，有：,由：,第三宇宙速度,三种宇宙速度,第一宇宙速度,第二宇宙速度,3.质点系的功能原理:,1.质点的动能定理:,2.质点系的动能定理:,4.机械能守恒定律: 若:,则:,引力势能：,弹性势能：,重力势能:,阅读：P68-71阅读：P83-95作业：习题2-27、习题2-28、习题2-32、 习题2-34、习题2-35、习题2-37,一轻弹簧的劲度系数为k =100N/m，用手推一质量 m =0.1
14、kg的物体把弹簧压缩到离平衡位置为x1=0.02m处, 如图所示。放手后，物体沿水平面移动到x2=0.1m而停止。,放手后，物体运动到 x 1 处和弹簧分离。在整个过程中，,解,例,物体与水平面间的滑动摩擦系数。,求,摩擦力作功:,弹簧弹性力作功:,根据动能定理有:,长为l 的均质链条，部分置于水平桌面上，另一部分自然下垂, 已知链条与水平桌面间的静摩擦系数为0 , 滑动摩擦系数为,(1) 以链条的水平部分为研究对象，设链条每单位长度的质量为，沿铅垂向下取Oy 轴。,解,例,求,满足什么条件时，链条将开始滑动？ (2) 若下垂部分长度为b 时，链条自静止开始滑动，当链条末端刚刚滑离桌面时，其速
15、度等于多少？,当 y b0 ，拉力大于最大静摩擦力时，链条将开始滑动。,设链条下落长度 y =b0 时，处于临界状态，则有：,(2) 以整个链条为研究对象，链条在运动过程中各部分之间相互作用的内力的功的和为零。,摩擦力的功:,重力的功:,根据动能定理有:,r,M,m,0,r,在图示的坐标系中：,R,2R,2,1,解：,例：已知地球的半径为R，质量为M。现有一质量为m的物体，在离地面高度为2R处，以地球和物体为系统，如取地面为势能零点，试求系统的引力势能。,问题：若以无限远为势能零点，此题又如何计算？,另解：,解：,在图示的坐标系中：,用弹簧连接两个木板m1 、m2 ，弹簧压缩量为x0。,解,整
16、个过程只有保守力作功，机械能守恒:,例:,给m2 上加多大的压力才能在该力撤除时恰好使m1离开桌面？,求,解：设碰撞后两球的速度分别是:,由动量守恒:,两边平方:,由机械能守恒（势能无变化）:,两球速度总互相垂直。,例：打桩机锤的质量m0=10T,将质量m=24T、横截面积s=0.25m2 （截面为正方形）长达 l=38.5m的水泥桩打 入地层,单位侧面积上所受泥土的阻力系数为k=2.65104N/m2,问：1、依靠自重桩能下沉多深？2、桩稳后，锤自1m高自由下落，且锤与桩面作完全非 弹性碰撞，第一锤能使桩下沉多少？3、桩已下沉35m，再一锤，锤反弹0.05m,问桩又下沉多 少？,解：（1）、建立如图所示的坐标系，设所求为yo,且桩静止后最低点为重力势能的零点,则：,依功能原理有：,f,mg,y0,（2）、锤碰撞桩面的速度满足：,桩下沉的初速度满足：,设所求为y1,取桩静止后其质心处为重力势能的零点，依功能原理则有：,由A式得：,代入B式得：,将已知数值代入C式化简得：,解之得：,解（3）:作示意图，并建立坐标系，则,0,y,y0,E=0,对锤则有：,在此坐标系中，碰撞满足：,h,h1,由a:,由b:,由c:,代入：,解得：,得： V=2.2 (m/s),得： V1=0.99 (m/s),得：V0=4.43 (m/s),得：,
