1、2017-2018 学年度上学期沈阳市郊联体期末考试高三试题数学（理）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】集合 ，所以 .故选 C.2. 设向量 ， ，若 ，则实数 等于（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. -3【答案】C【解析】向量 ， ，.若 ，则 .解得 .故选 C.3. 为虚数单位，已知复数 满足 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】复数 满足 ，所以 .所以 .故选 D.4. 已知 ，则
2、 的值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为 ,所以 .，故选 A.5. 若 ，且 ，则 的值为（ ）A. 2 B. -1 C. 1 D. -2【答案】A【解析】 ,所以 ，.所以 .又 .所以 .故选 A.6. 高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有（ ）A. 16 种 B. 18 种 C. 37 种 D. 48 种【答案】C【解析】满足题意的不同的分配方案有以下三类：三个班中只有一个班去甲工厂有 =27 种方案；三个班中只有两个班去甲工厂有 =9 种方案；三个班都去甲工厂有 1 种方案综上可知：
3、共有 27+9+1=37 种不同方案故选：C7. 一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“犯罪在乙、丙、丁三人之中” ；乙说：“我没有作案，是丙偷的” ；丙说：“甲、乙两人中有一人作了案” ；丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四个人中有两个人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四个人中只有一名罪犯，说真话的人是（ ）A. 甲、乙 B. 甲、丙 C. 乙、丁 D. 甲、丁【答案】B【解析】甲 乙 丙 丁甲 乙 丙 丁 由四个所说，得上面的表，由于是两对两错，如果乙说的是对的，则甲也对丁也对，不符。所以乙说假话，小偷不是丙。同时丙说的也是假话。即甲、丙说的是
4、真话，小偷是乙，选 B.8. 一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为 的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图可知，该三棱柱的底面是顶角为 ，两腰为 2 的等腰三角形，高为 2，底面三角形的外接圆直径为 ，半径为 2设该三棱柱的外接球的半径为 R，则，所以该三棱柱的外接球的体积为 ，故选 A9. 算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题，执行该
5、程序框图，若输出的 的值为 0，则输入的 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】模拟程序的运行，可得m=2a3，i=1m=2（2a3）3=4a9，满足条件 i3，执行循环体，i=2，m=2（4a9）3=8a21满足条件 i3，执行循环体，i=3，m=2（8a21）3=16a45满足条件 i3，执行循环体，i=4，m=2（16a45）3=32a93此时，不满足条件 i3，退出循环，输出 m 的值为 0可得：m=32a93=0，解得：a= 故选：B点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注
6、意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10. 定义行列式运算 ，将函数 的图像向左平移 个单位，所得图像关于 轴对称，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数 的图象向左平移 n（n0）个单位，所得图象对应的函数为 y=2cos（x+n+ ） ，根据所得函数为偶函数，可得 n+ =k，kz，则 n 的最小值为 ，故选：D11. 如图，抛物线
7、 和圆 ，直线 经过抛物线的焦点，依次交抛物线与圆 四点， ，则 的值为（ ）A. B. C. 1 D. 【答案】A【解析】抛物线 焦点 准线方程为 ，圆 的圆心是( ,0)半径 r= ，过抛物线 的焦点 F 的直线依次交抛物线及圆 于点 A， B， C， D，A， D 在抛物线上， B， C 在圆上若直线的斜率不存在,则直线方程为 x= ，代入抛物线方程和圆的方程，可直接得到 ABCD 四个点的坐标为( ,p),( , ),( , )( ,p)，所以| AB|CD|= p p=2，解得 ；若直线的斜率存在,设为 k,则直线方程为 y=k(x )，因为直线过抛物线的焦点( ,0)，不妨设 A(
8、x1,y1),D(x2,y2)，由抛物线的定义,| AF|= x1+ ,|DF|= x2+ ，把直线方程与抛物线方程联立，消去 y 可得k2x2(pk2+2p)x+ k2=0，由韦达定理有 x1 x2= ，而抛物线的焦点 F 同时是已知圆的圆心，所以| BF|=|CF|=r= p，从而有| AB|=|AF|BF|= x1，|CD|=|DF|CF|= x2，由| AB|CD|=2,即有 x1 x2=2，由 =2,解得 .故选：A.点睛：本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆的简单性质等基础知识考查运算求解能力，属于中档题在抛物线中，处理抛物线上的点到交点的距离时一般
9、利用抛物线定义转化为点到准线的距离.12. 已知函数 ，若方程 恰有两个不同的解，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】方程 有两个不同的解，即直线 与函数 的图象有两个不同交点作出函数 的图象和直线 ，如图由 ，得 ，设直线 与函数图象切点为 ，则 ， ， ，即 是 的切线，当 时，与 有两个交点，但与 也有一个交点，这样就有三个交点，不合题意，当 ， 与 至多只有一个交点，不合，只有当 时，有三个交点，符合题意，故选 B点睛：方程的解的个数，函数的零点个数，两函数图象（一般是一直线与一函数图象）交点个数问题常常相互转化，数形结合思想是解决上此类问题的基本方法，
10、再转化时要注意“动”的一般是直线或易观察其变化规律的函数图象，本题转化为直线 与函数 的交点问题，其中应用了两直线的相交问题和直线与曲线相切的问题，掌握解决这些问题的方法是解题的关键第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若变量 满足约束条件 ，则 的最大值为_【答案】2【解析】先画出二元一次不等式所表示的可行域，目标函数为截距形， ，直线的截距越大， 值越小，可见最优解为 ，则 的最小值为 .14. 在 中， 分别为角 的对边， ，若 ，则_【答案】【解析】由余弦定理可得： ，再有正弦定理角化边可得：15. 已知下列命题：从匀速传递的产品生产
11、流水线上，质检员每 30 分钟从生产流水线中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样方法是系统抽样；两个变量的线性相关程度越强，则相关系数的值越接近于 1；两个分类变量 与 的观测值 ，若 越小，则说明“ 与 有关系”的把握程度越大；随机变量 ，则 .其中为真命题的是_【答案】【解析】对于，从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每 30 分钟从生产流水线中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样方法是系统抽样，故正确；对于，两个变量的线性相关程度越强，则相关系数的绝对值越接近于 1，故错误；对于,两个分类变量 X 与 Y 的观测值 ,若 越小，则说明“ X 与 Y 有关系”的把握程度越小，故错误
12、；对于,随机变量 XN(0,1),设 P(|X|1)=p,则 ， ， ,即 故正确。故选：A.16. 已知 为双曲线 ： 的一条渐近线， 与圆 （其中）相交于 两点，若 ，则 的离心率为 _【答案】【解析】由题意可知，双曲线的一条渐近线方程为：bx+ay=0，圆(xc) 2+y2=a2的圆心(c,0)，半径为：a，为双曲线 C: 的一条渐近线, 与圆(xc) 2+y2=a2(其中 c2=a2+b2)相交于A，B 两点，若|AB|=a，可得 ,可得 ，可得 4(c2a2)=3a2，解得 .故答案为： .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 1
13、7. 已知数列 满足 ， ，数列 的前 项和为 ，且 .（1）求数列 、 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 .【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）由等差数列的定义和通项公式可得 an；运用数列的递推式：当 n=1时，b 1=S1，当 n2 时，b n=Sn-Sn-1，即可得到b n的通项公式；（2）由（1）知 cn= ，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和试题解析：（1）因为 ， ，所以 为首项是 1，公差为 2 的等差数列，所以 又当 时， ，所以 ，当 时， 由-得 ，即 ， 所以 是首项为 1，公比为 的等比数列，故 . （2）
14、由（1）知 ，则-得 所以 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解.18. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，为了解网络外卖在 市的普及情况， 市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了 200 人进行抽样分析，得到表格（单位：人
15、）.（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用网络外卖的情况与性别有关？（2）现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取 5 人，再从这 5 人中随机选出了3 人赠送外卖优惠券，求选出的 3 人中至少有 2 人经常使用网络外卖的概率；将频率视为概率，从 市所有参与调查的网民中随机抽取 10 人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为 ，求 的数学期望和方差.参考公式： ，其中 .参考数据：0.15 0.10 0.05 0.025 0.0102.072 2.706 3.841 5.024 6.635【答案】(1)答案见解析；(2). ；.答案见解析.【解析】试
16、题分析：（1）由列联表中的数据计算 K2的观测值，对照临界值得出结论；（2）利用分层抽样原理求出所抽取的 5 名女网民中经常使用网络外卖和偶尔或不用网络外卖的人数，计算所求的概率值；由列联表中数据计算经常使用网络外卖的网民频率，将频率视为概率知随机变量 X 服从 n次独立重复实验的概率模型，计算数学期望与方差的大小试题解析：（）由列联表可知 的观测值， 所以不能在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用网络外卖情况与性别有关.（）依题意，可知所抽取的 5 名女网民中，经常使用网络外卖的有 （人） ，偶尔或不用网络外卖的有 （人）. 则选出的 3 人中至少有 2 人经常使用网络外卖的概
17、率为 . 由 列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的概率为 ， 将频率视为概率，即从 市市民中任意抽取 1 人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为 .由题意得 ， ； . 19. 如图 1，在直角梯形 中， ， ， ， ， 为线段的中点，将 沿 折起，使平面 平面 ，得到几何体 ，如图 2 所示.（1）求证： 平面 ；（2）求二面角 的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】试题分析：解析：（1）在图 1 中， 可得 ， 从而 ，故 .取 中点 连结 ， 则 ， 又面 面 ，面 面 ， 面 ， 从而 平面 . ，又 ， . 平面 .（2）建立空间直角坐标系 如图所示，则 ，
18、， ， ，.设 为面 的法向量，则 即 ， 解得 . 令 ， 可得 .又 为面 的一个法向量， .二面角 的余弦值为 .（法二）如图，取 的中点 ， 的中点 ，连结 .易知 ，又 ， ，又 ， .又 为 的中位线，因 ， ， ，且 都在面 内，故 ，故 即为二面角 的平面角.在 中，易知 ；在 中，易知 ， .在 中 .故 .二面角 的余弦值为 .考点：棱锥中的垂直以及二面角的平面角点评：主要是考查了运用向量法来空间中的角以及垂直的证明，属于基础题。20. 在平面直角坐标系 中，点 ，圆 ，以动点 为圆心的圆经过点 ，且圆 与圆 内切.（1）求动点 的轨迹 的方程；（2）若直线 过点 ，且与曲
19、线 交于 两点，则在 轴上是否存在一点 ，使得轴平分 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1) ；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）根据两圆内切得 ，再根据椭圆定义得动点 的轨迹的方程；（2） 轴平分 ，就是直线 的斜率相反，设直线 ，根据斜率坐标公式得 ，将直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理代入化简可得 ，即得试题解析：解：（）圆 的方程可化为： ，故圆心 ，半径 ，而 ，所以点 在圆 内.又由已知得圆 的半径 ，由圆 与圆 内切可得，圆 内切于圆 ，即 ，所以 ，故点 的轨迹，即曲线 是以 为焦点，长轴长为 的椭圆.显然 ，所以 ，故曲线 的方程为（）设
20、，当直线 的斜率不为 时，设直线 ，代入 得： ， 恒成立.由根与系数的关系可得， ，设直线 的斜率分别为 ，则由 得，. ，将 代入得 ，因此 ，故存在 满足题意.当直线 的斜率为 时，直线为 轴，取 ，满足 ，综上，在 轴上存在一点 ，使得 轴平分 .21. 已知函数 ，其中常数 .（1）当 时，求函数 的单调递增区间；（2）当 时，若函数 有三个不同的零点，求 的取值范围；（3）设定义在 上的函数 在点 处的切线方程为 ，当 时，若在 内恒成立，则称 为函数 的“类对称点” ，请你探究当 时，函数是否存在“类对称点” ，若存在，请最少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，说明理由.【答
21、案】(1) 和 ；(2) ；(3)答案见解析.【解析】试题分析：（1）由 f (x)=“2x-(a+2)+“ = =，能求出当 a2 时，求函数 f（x）的单调递增区间（2）a=4，f（x）=2x+ -6，故 f (x)=“2x+“ -64 -6，不存在 6x+y+m=0 这类直线的切线（3）y=g(x)=(2x 0+ -6)(x-x0)+ -6x0+4lnx0，令 h（x）=f（x）-g（x） ，由此入手，能够求出一个“类对称点”的横坐标解：（1）由 可知，函数的定义域为 ，且 .因为 ，所以 .当 或 时， ；当 时， ，所以 的单调递增区间为 .（2）当 时， .所以，当 变化时， ，
22、的变化情况如下：（0,1） 1 （1,2） 2 （2，+ 0 0 +单调递增 取极大值 单调递减 取极小值 单调递增所以 ，.函数 的图象大致如下：所以若函数 有三个不同的零点， .（3）由题意,当 时， ，则在点 P 处切线的斜率；所以.令 ，则 ， .当 时， 在 上单调递减，所以当 时， 从而有时， ；当 时， 在 上单调递减，所以当 时， 从而有时， ；所以在 上不存在“类对称点”.当 时， ，所以 在 上是增函数，故所以 是一个类对称点的横坐标.考点：本题主要是考查函数的单调区间的求法，考查类对称点的求法点评：解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意导数性
23、质的灵活运用.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 已知曲线 的参数方程为 ，其中 为参数，且 ，在直角坐标系中，以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线 的极坐标方程；（2）设 是曲线 上的一点，直线 与曲线 截得的弦长为 ，求 点的极坐标.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（）运用平方法，可将半圆的参数方程化为普通方程，再由x=cos，y=sin，x 2+y2= 2，即可得到极坐标方程；（）结合半圆的直径所对的圆周角为直角，再由特殊角的三角函数值，即可求得 T 点的极坐标试题解析：（）根据曲线 的参数方程 ，其
24、中 为参数，且 ，得曲线 C 的普通方程为： ， 所以，曲线 的极坐标方程为： ， . （）由题意可得半圆 C 的直径为 2，设半圆的直径为 OA，则 ，由于 ,则 ，由于 TAO= TOX，所以 ，T 点的极坐标为 .23. 已知函数 .（1）若不等式 的解集为 ，求实数 的值；（2）若不等式 对任意的实数 恒成立，求正实数 的最小值.【答案】(1) ；(2)4.【解析】试题分析：（）先根据绝对值定义解不等式解集为 ，再根据解集相等关系得 ，解得 （）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，即 ，根据绝对值三角不等式可得 ，再利用变量分离转化为对应函数最值问题： ，根据基本不等式求最值：，因此 ，所以实数 的最小值为 4试题解析：（）由题意知不等式 的解集为 由 ，得 ，所以，由 ，解得 （）不等式 等价于 ，由题意知 因为 ，所以 ，即 对任意 都成立，则 而，当且仅当 ，即 时等号成立，故 ，所以实数 的最小值为 4
