1、页 1 第2018 届辽宁省沈阳市郊联体高三上学期期末考试文数试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析： , ,所以 ，故选 A.考点：集合的运算.2. 已知复数 在复平面内对应的点位于直线 上，则的值为（ ）A. 2 B. C. D. -2【答案】B【解析】 ,在复平面内对应的点为 位于直线 上，所以 故选 B3. “ ”是“直线 和直线 平行”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.
2、 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据题意，若 l1l 2，则有 13=a（a-2） ，解可得 a=-1 或 3，反之可得，当 a=-1 时，直线 l1：x-y+6=0，其斜率为 1，直线 l2：-3x+3y-2=0，其斜率为 1，且 l1 与 l2 不重合，则 l1l 2，当 a=3 时， ，直线 l1：x+3y+6=0，直线 l2：x+3y+6=0，l1 与 l2 重合，此时 l1 与 l2 不平行，所以 l1l 2a=-1，反之，a=-1 l1l 2，故 l1l 2a=-1，故选 C4. 设 是两个不同的平面， 是两条不同的直线，且 ， （ ）A. 若 ，则 B.
3、若 ，则C. 若 ，则 D. 若 ，则页 2 第【答案】C【解析】A 中, 也可能两平面相交，A 错。B 中，两平面垂直，并不能推出两平面的任取一直线相互垂直，B 错.C 中由经过一平面垂线的平面与另一平面垂直，B 对。D 中，两平面平行只有被第 3 个平面相交所得的交线平行，其余情况不平行，D 错，选 C.5. 已知双曲线 的焦距为 ，且双曲线的一条渐近线为 ，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】双曲线 的焦距为 ，得 , 即 a2+b2=5，双曲线的一条渐近线方程为x-2y=0，可得 a=2b，解 可得 a=2，b=1所求的双曲线方程为：故选 D6. 数列 满足
4、 ，数列 满足 ，且 ，则 （ ）A. 最大值为 100 B. 最大值为 25 C. 为定值 24 D. 最大值为 50【答案】C【解析】 ， 所以 - 即数列 是等差数列，公差为 1，又 ，所以 ，所以 ，故 .故选 C7. 已知正数 满足 ，则曲线 在点 处的切线的倾斜角的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 则 ，可得 f（x）在点（m， f（m） ）处的切线的斜率为 k=m2+n2，页 3 第由正数 m，n，满足 mn= ，可得 k=m2+n22mn= ，则倾斜角的范围是 .故选 A8. 如图，在边长为 1 的正方形网格中用粗线画出了某个多面体的三视图，则该多面体
5、的体积为（ ）A. 15 B. 13 C. 12 D. 9【答案】B【解析】题中的几何体的直观图如图所示,其中底面 ABCD 是一个矩形( 其中 AB=5,BC=2),棱 EF底面 ABCD,且 EF=3,直线 EF 到底面 ABCD 的距离是 3.连接 EB,EC,则题中的多面体的体积等于四棱锥 E-ABCD 与三棱锥 E-FBC 的体积之和,而四棱锥 E-ABCD 的体积等于 (52)3=10,三棱锥 E-FBC 的体积等于 因此题中的多面体的体积等于 10+3=13.故选 B. 9. 已知椭圆 ： 的左、右顶点分别为 ，且以线段 为直径的圆与直线相切，则 的离心率为（ ）A. B. C.
6、 D. 【答案】C【解析】以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0 相切，原点到直线的距离 椭圆 C 的离心率 e= 页 4 第故选 A10. 已知在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】SA平面 ABC，ABAC，故三棱锥外接球等同于以 AB，AC，SA 为长宽高的长方体的外接球，故三棱锥外接球的表面积 S=（22+22+32）=17.故选 D.11. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 交抛物线于 两点，交准线于点 ，若 ，则（ ）A. B. C. 3 D. 5【答案】B【解析】 得 p=2,作 AM
7、、BN 垂直准线于点 M、N，则|BN|=|BF|，又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，故选 B点睛：本题考查抛物线的定义的应用,体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算，解题过程中相似比的应用是关键.12. 已知函数 满足 ，当 时， ，若在区间 内，函数 有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】当 时 作出 f（x）在 ，4上的函数图象如图所示：页 5 第因为函数 有三个不同的零点， 与 有 3 个交点，若直线 经过点（4，ln4） ，则 a= ,若直线 y=ax 与 y=lnx 相切，设切点为（x
8、，y） ，则此时切线斜率为 ，所以故选 D点睛：本题充分体现了转化思想以及数形结合的思想，即把根的问题转化为函数零点问题，再进一步转化为两个函数图象交点的问题，做出图象直观的判断，再进行计算.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知直线 与直线 垂直，且与圆 相切，则直线 的一般方程为_【答案】 或（和）【解析】由直线 l1 与直线 l2：4x-3y+1=0 垂直，则可设 l1 的方程是 3x+4y+b=0由圆 C：x2+y2=-2y+3，知圆心 C（0，1） ，半径 r=2， 或 l 1 的方程为 3x+4y+6=0 或 3x+4y-14
9、=0故答案为 3x+4y+6=0 或 3x+4y-14=014. 已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 _【答案】15【解析】当 时， ，所以 ，因为 是定义在 上的奇函数，所以故答案为 1515. 已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ，过 且与 轴垂直的直线交双曲线于两点，线段 与双曲线的另一交点为 ，若 ，则双曲线的离心率为_页 6 第【答案】【解析】如图所示：因为 ，所以|AC|=4|F 2C|由 x=-c，代入双曲线的方程，可得 ，取 A（-c， ），直线AF2 的方程为：y-0= 化为：y=- 代入双曲线 可得：（4c 2-b2）x2+2cb2x-b2c2-4a2c2=0，x
10、C（-c）= c-（-c ）=5（c- 化为：3a 2=c2，解得 e= 故答案为16. 已知椭圆 的右焦点为 ， 是椭圆上一点，点 ，当 的周长最大时， 的面积为_【答案】.页 7 第.故答案为点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，利用定义找到了 的周长最大时点 P 在 AF的延长线上，此时直线 的倾斜角为 ，根据余弦定理即可得 的长，对 的面积进行分割即可得解.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，内角 的边长分别为 ，且 .（1）若 ， ，求 的值；（2）若 ，且 的面积 ，求和 的值.【答案】 （1） ；（2） .【
11、解析】试题分析：（1） ， 根据余弦定理即得,再由正弦定理即可得 的值；（2）利用降幂公式化简 得 即 ，又 得，结合这两个等式即可得和 的值.试题解析：（1）由余弦定理 得 . 由正弦定理 得 . （2）原式降幂得 化简得 即 =10 又 得 18. 已知三棱柱 的侧棱垂直于底面， 为 的中点.页 8 第（1）求证： 平面 ；（2）若 ， ，且 ，求点 到平面 的距离.【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）连接 AB1与 A1B 交于点 ，则 P B 1C，由此能证明 B1C平面 A1PB；（2）利用得出体积为 1，由 是直角三角形得出面积为 ，则利用 可得点 到平面 的
12、距离 .试题解析：（1）法一 连 交 于 ，连 . 依题， 为矩形， 为 中点，又 为 的中点.为 的中位线， . 又 平面 ， 平面平面 （2） = . 易得 ， 为直角三角形， 设点 到平面 的距离为 ， .即点 到平面 的距离为 .19. 已知抛物线 上一点 到其焦点 的距离为 4，椭圆 的离心率 ，页 9 第且过抛物线的焦点 .（1）求抛物线 和椭圆 的标准方程；（2）过点 的直线交抛物线 于 两不同点，交 轴于点 ，已知 ， ，求证： 为定值.【答案】 （1）抛物线的方程为 ，椭圆的标准方程为 ；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）利用抛物线 C1：y22px 上一点 M（3，y0
13、）到其焦点 F 的距离为 4；求出 p，即可得到抛物线方程，通过椭圆的离心率 e ，且过抛物线的焦点 F（1，0）求出 a，b，即可得到椭圆的方程；（2）直线 l1 的斜率必存在，设为 k，设直线 l 与椭圆 C2 交于 A（x1，y1），B（x2，y2） ，求出直线 l 的方程为y=k（x-1），N（0，-k） ，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理以及判别式，通过向量关系式即可求出 + 为定值试题解析：（）抛物线的准线为 ， 所以 ,所以抛物线的方程为 所以 ， ,解得 所以椭圆的标准方程为 ()直线 的斜率必存在,设为 ,设直线 与抛物线 交于则直线 的方程为 , 联立方程组:所以 , (
14、*) 由 得:得: 所以页 10 第将(*)代入上式,得20. 已知椭圆 ： 的焦点 的坐标为 ， 的坐标为 ，且经过点 ， 轴.（1）求椭圆 的方程；（2）设过 的直线与椭圆 交于 两不同点，在椭圆 上是否存在一点 ，使四边形 为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）由 的坐标为 ，且经过点 ， 轴，得 ，解得 的值即可得椭圆 的方程；（2）假设存在符合条件的点 M（x 0，y 0） ，当 斜率不存在，推出矛盾不成立，设直线l 的方程为 ，与椭圆的方程联立得到根与系数关系，利用平行四边形的对角线相互平分的性质可得点 M
15、的坐标，代入椭圆方程解得 即可试题解析：（1） ，解得 .所以椭圆的方程 . （2）假设存在点 ，当 斜率不存在， ， ，不成立；当 斜率存在，设为 ，设直线 与 联立得 . .，则 的中点坐标为 AB 与 的中点重合， 得 ， 页 11 第代入椭圆的方程 得 .解得 .存在符合条件的直线 的方程为： .21. 设函数 ，已知曲线 在 处的切线的方程为 ，且 .（1）求 的取值范围；（2）当 时， ，求 的最大值.【答案】 （1） ；（2） .试题解析：（1） 因为 ， ， 所以切线方程为 由 ，得 的取值范围为 （2）令 ，得 ， 若 ，则 从而当 时， ；当 时， 即 在单调递减，在 单调
16、递增故 在 的最小值为 而 ，故当时， 若 ， 当 时， 即 在 单调递增故当 时， 若 ，则 从而当 时， 不恒成立故综上 的的最大值为 点睛：本题考查了切线方程问题，考查函数的单调页 12 第性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，对于不等式恒成立问题，转化为求最值是关键.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线的极坐标方程是 ，以极点为原点，极轴为 轴的正半轴建立极坐标系，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.（1）写出直线的普通方程与曲线 的直角坐标方程；（2）设 为曲线 上任意一点，求 的最小
17、值.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）根据直线的极坐标方程，即可求得直线 l 的直角坐标公式，由椭圆 C 的参数方程即可求得曲线 C 的直角坐标方程 ；（2）由（1）可得丨 x-y-4 丨=丨 2cos-sin-4 丨，根据辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得|x-y-4|的最小值试题解析：（1）由 cos-sin=4，将 x=cos，y=sin 代入即得直线 l 的直角坐标方程为 ；曲线 的参数方程为 （ 为参数）所以 .（2）设 ，则丨 x-y-4 丨=丨 2cos-sin-4 丨=| cos（+）-4 丨=4- cos（+）（tan= ）当 cos（+）=1 时，|x
18、-y-4|取最小值，最小值为 4- .23. 选修 4-5：不等式选讲设函数 .（1）当 时，解不等式 ；（2）若 的解集为 ， ，求证： .【答案】 （1） ；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）当 时， ，利用零点分段法解得 的范围，即可得不等式解集；（2）若 的解集为 得 ，利用均值不等式 得 ，代入得关于 的不等式，即可解得 .页 13 第试题解析： （1）当 时， 或 或 所以解得或 即不等式的解集为 .（2）由 的解集为 得 ，由均值不等式 得 ，当且仅当时取等. 得 .点睛：本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，利用分类讨论法去掉绝对值符号是解题的关键，注意计算的准确性.
