1、2017-2018 学年度上学期高三学年 12 月验收考试数学试卷（文科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】集合 , ，则 ,故选 D.点睛: 1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合2求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解3在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用 Ven
2、n 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍2. 若 为虚数单位，则复数 的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】复数 ,虚部为 ,故选 D.3. “ ， ”的否定是（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】D【解析】 “ ， ”的否定是 ， ,故选 D.4. 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，故选 C。5. 若实数 ， 满足不等式组 ， ，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】画出可行域如图所示,令 = ,化简得 ,即过定点(-1,2)的直线系的斜率的取值范围,由图知当直线过定点(-1,2)与交点
3、(-3,1)连线时斜率为 ,此时斜率最小,则 的取值范围为 ,故选 A.6. 将函数 （ ）的图象向左平移 个单位长度后得到函数图象的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】A7. 执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为 0，那么输入 的值为（ ）A. B. 或 C. D. 【答案】C【解析】当 时， ，则 ；当 时， ，无解，所以 ，故选 C。8. 已知双曲线 ： （ ， ）的顶点 到渐近线 的距离为 ，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A9. 我国古代数学名著九章算术对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂
4、直于底面的三棱柱， “阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱 ，其中 ，若 ，当“阳马”即四棱锥 体积最大时， “堑堵”即三棱柱 外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设 ，则 ，所以当 最大时， 体积最大，当且仅当 时，取到最大值，所以， ，外接球的直径 ，所以 ， ，故选 B。10. 已知函数 ，则 的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】当 时， ， ，所以 在 单调递增，则 B、D 错误；当 时， ， ，则 在 单调递减， 单调递增，所以 A正确，故选 A。点睛：本题通过对函数的单调性分析得到图象。由于
5、本题函数是绝对值函数，则去绝对值分类讨论，分别通过求导分析，得到单调性情况，得到正确的图象。图象选择问题也常用特殊值法排除错误选项。11. 已知抛物线 ，直线 过抛物线焦点，且与抛物线交于 ， 两点，以线段 为直径的圆与抛物线准线的位置关系是（ ）A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 不确定【答案】C【解析】取 AB 的中点 M,分别过 A,B,M 作准线的垂线 AP,BQ,MN,垂足分别为 P,Q,N,如图所示,由抛物线的定义可知, ,在直角梯形 APQB 中, ,故圆心 M 到准线的距离等于半径,所以以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切,故选 C.点睛:本题考查直线与圆的位置关系以及
6、抛物线的定义的应用,属于中档题. 以线段 为直径的圆的圆心为 AB 中点 M,圆心到抛物线准线的距离为 MN,由图可知 MN 为梯形 APQB 的中位线,即 ,再根据椭圆的定义可得 ,圆心 M 到准线的距离等于半径,故直线与圆相切.12. 已知函数 ， ，若对任意 ，均存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 的值域为 ，则 在 单调递减，则 的值域为 ，由题意， ，所以 ，得 ，故选 A。点睛：本题中首要要正确理解任意存在型的问题，得到 的值域包含于 的值域，然后两个值域的求解要求学生对函数图象性质掌握， 为对数函数的绝对值函数，直接求出值域，
7、为三次方函数，通过求导得到值域，通过包含关系，解出参数范围。第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量 ， ，若向量 与 垂直，则 _【答案】7【解析】向量 ， ， ,则 ,解得 m=7,故填 7.14. 定义区间 的长度为 ，已知函数 的定义域为 ，值域为 ，则区间的长度的最小值为_【答案】2【解析】函数 的定义域为 ，值域为 ， ,2 和-2 至少有一个属于区间,故区间 的长度最小时为-2,0或0,2,即区间的长度最小值为 2,故填 2.15. 已知在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则 _【答案】2【解析】由
8、，可得 ,根据正弦定理得 ,代入得 ,解得 b=2,故填 2.16. 设 ， 分别是椭圆 的左右焦点， 为椭圆上任一点，点 的坐标为 ，则的最大值为_【答案】15【解析】椭圆 中,a=5,b=4,所以 c=3,焦点坐标 ,根据椭圆的定义得, ,当且仅当 P 在 上时取等号, 点 P 与图中的 重合时, ,此时 的最大值为 10+5=15,故填 15.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知在数列 中， ， （1）求数列 的通项公式；（2）若 ，数列 的前 项和为 ，求 【答案】(1) (2) 当 为奇数时， ；当 为偶数时， .【
9、解析】试题分析: （1）因为 ，所以当 时， ，所以 ，所以数列 的奇数项构成等比数列，偶数项也构成等比数列,按照 n 为奇数和偶数分别写出数列的通项公式即可;(2) 因为 ， ， ，所以 , 按照 n 为奇数和偶数分别写出数列的和,根据等差数列的求和公式计算出结果.试题解析:（1）因为 ，所以当 时， ，所以 ，所以数列 的奇数项构成等比数列，偶数项也构成等比数列又 ， ，所以当 为奇数时， ；当 为偶数时， ，所以（2）因为 ， ， ，所以 讨论：当 为奇数时， ；当 为偶数时， .18. “糖尿病”已经成为日渐多发的一种疾病，其具有危害性大且难以完全治愈的特征为了更好的抑制“糖尿病”多发
10、的势头，某社区卫生医疗机构针对所服务居民开展了免费测血糖活动，将随机抽取的 10 名居民均分为 ， 两组（ 组：4.3,5.1,4.6,4.1,4.9； 组：5.1,4.9,4.0,4.0,4.5） （1）通过提供的数据请判断哪一组居民的血糖值更低；（2）现从 组的 5 名居民中随机选取 2 名，求这 2 名中至少有 1 名的血糖值低于 4.5 的概率【答案】(1) 组居民的血糖值更低(2) 【解析】试题分析: （1）根据题中给出的数据分别计算 A,B 两组的平均数,比较可得结果;(2) 从 组 5 名居民中随机选取 2 名，基本事件总数为 10，这 2 名居民中至少有 1 名的血糖值低于 4
11、.5 对立事件是这 2 名居民的视力都不低于 4.5，列举出基本事件,根据古典概型求出概率,再求出事件的对立事件即可.试题解析:（1） 组 5 名居民血糖值的平均数 ，组 5 名居民血糖值的平均数 ，从计算结果看， 组居民的血糖值更低（2）从 组 5 名居民中随机选取 2 名，基本事件总数为 10，这 2 名居民中至少有 1 名的血糖值低于 4.5 对立事件是这 2 名居民的视力都不低于 4.5，这2 名居民的血糖值都不低于 4.5，包含的基本事件有 ， ， ，所以这 2 名居民的血糖值都不低于 4.5 的概率 19. 如图 1，在平面多边形 中，四边形 为正方形， ， ，沿着将图形折成图 2
12、，其中 ， ， 为 的中点（1）求证： ；（2）求四棱锥 的体积【答案】(1)见解析；(2)1.【解析】试题分析:(1) 由题可知， ， ，且 ，由线面垂直的判定定理可得 平面 ,进而得到 ,又 ,可证出 平面 ，则;(2)将四棱锥分割 , , 因为 ，且 ，所以 ，所以 ，计算三棱锥 E-ABD 的体积即可.试题解析:（1）证明：由题可知， ， ，且 ， ， 平面 ，所以 平面 因为 平面 ，所以 因为 ， 是 的中点，所以 又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，又因为 平面 ，所以 （2）解： ，其中 因为 ，且 ，所以 ，所以 点睛: 求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空
13、间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法分割法、补形法、等体积法. 割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值20. 已知以点 （ ，且 ）为圆心的圆与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ， ，其中 为坐标原点（1）求证： 的面积为定值；（2）设直线 与圆 交于点 ， ，若 ，求圆
14、的方程【答案】(1)见解析；(2) .【解析】试题分析:(1) 因为圆 过原点 ，所以 ，设圆 的方程是,分别令 和 求出 A,B 的坐标,代入面积公式即可;(2) 因为， ，所以 垂直平分线段 ,试题解析:（1）证明：因为圆 过原点 ，所以 ，设圆 的方程是 ，令 ，得 ， ；令 ，得 ， ，所以 即 的面积为定值（2）解：因为 ， ，所以 垂直平分线段 因为 ，所以 ，所以 ，解得 或 当 时，圆心 的坐标为 ， ，此时点 到直线 的距离 ，圆与直线 相交于两点；当 时，圆心 的坐标为 ， ，此时点 到直线 的距离 ，圆 与直线 不相交，所以 不符合题意，舍去所以所求圆 的方程为 21.
15、已知函数 ， （1）当 时，求 的单调区间；（2）当 时，若存在 使得 成立，求实数 的取值范围【答案】(1) 的单调递增区间为 ，不存在单调递减区间；(2) 【解析】试题分析: （1）当 时， ，对函数求导,令 解出 x 的范围,可得函数的单调递增区间为 ，即定义域内单调递增;(2) 据题意，得 在上有解，设 ,则 的最小值大于 0,对函数求导判断单调性,进而得出最小值,解出 m 的范围即可.试题解析:（1）当 时， ，所以 所以当 时， ，所以 的单调递增区间为 ，不存在单调递减区间（2）据题意，得 在 上有解，设 ，则 ，所以当 ， 时， ，所以 在区间 上是增函数，所以当 时， ，解得
16、 ，所以 的取值范围是 点睛: 本题考查函数导数与单调性,恒成立有解问题.方程的有解问题可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，已知曲线 ： （ 为参数） ，曲线 ： （为参数） （1）写出曲线 ， 的普通方程；（2）若点 在曲线 上，求点 到直线 ： 距离的最大值【答案】(1) 曲线 的普通方程为 ，曲线 的
17、普通方程为 (2) 【解析】试题分析：（1）利用参数方程之间的内在联系，写出普通方程；（2）由距离公式，利用三角函数的化简技巧，求得 试题解析：（1）曲线 的普通方程为 ，曲线 的普通方程为 （2）设点 ，则点 到直线 的距离 ，所以 点睛：参数方程转化为普通方程通过寻找参数方程的内在联系，得到 的关系，即曲线的普通方程；距离的求解采取参数设法，得到距离方程为三角函数关系，利用三角函数的化简技巧，得到距离最大值。23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 （ ） （1）当 时，求不等式 的解集；（2）若关于 不等式 的解集为 ，求 的取值范围【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）将 代入，解绝对值不等式；（2） “关于 不等式（ ）的解集为 ”等价于“对任意实数 和 ， ”，又 ， ，解得 试题解析：（1）当 时， 所以 ，即为 ，所以 ，所以 ，即所求不等式解集为 （2） “关于 不等式 （ ）的解集为 ”等价于“对任意实数 和 ，”，因为 ， ，所以 ，即 ，又 ，所以
