1、第 1 页 共 15 页2018 届辽宁省凌源市实验中学、凌源二中高三 12 月联考数学（理）试题一、单选题1已知集合 ， ，则 （ ）|12Ax20BxABA. B. C. D. ,2,01,1,2【答案】B【解析】 ，|1,|xx或所以 ，故选 B。,02A2已知 为虚数单位，若复数 ，则 （ ）i 3izizA. B. C. D. 或1521【答案】C【解析】 ，所以 ，故选341ii iz215zC。3已知 ， 均为正实数，则 “ ”是“ ”的（ ）ab3log0abaA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】 ，得 ，3l
2、og0ab1ab，得 ，1b1所以 是 的充要条件，故选 C。3la4 等于（ ）cos85in2cos30A. B. C. D. 132【答案】C【解析】 ，1cos25cos605sin230cos85in23故选 C。第 2 页 共 15 页5已知实数 ， 满足不等式组 则 的取值范围是（ ）xy0, 24,xy2zxyA. B. C. D. 4,164,5,16,165【答案】D【解析】，表示原点 到阴影区域的距离的平方，220zxy0,所以 是原点 到 的距离的平方，则 ，min,x2min45z是原点 到点 的距离的平方，则 ，axz0,4, 2ax416所以 的取值范围是 ，故选
3、 D。,1656将函数 （ ）的图象向左平移 个单位长度后得到函数cosfxm06图象的解析式为（ ）A. B. 1cs6fxcosfxmC. D. omf3f【答案】A【解析】 ，故选 A。 1cscos66mfxxx7执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为 0，那么输入 的值为（ ）x第 3 页 共 15 页A. B. 或 C. D. 011【答案】C【解析】当 时， ，则 ；x20yxx当 时， ，无解，03x所以 ，故选 C。18已知双曲线 ： （ ， ）的顶点 到渐近线21yab0a0b,0a的距离为 ，则双曲线 的离心率是（ ）byxaA. B. C. D. 2345【答案】A【
4、解析】 ，所以 ，即 ，故选 A。2bda12ac2cea9我国古代数学名著九章算术 对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱， “阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中 ，若 ，当“阳马”即四棱锥1ABCACB12AB体积最大时， “堑堵”即三棱柱 外接球的体积为（ ）1C第 4 页 共 15 页A. B. C. D. 4238231643【答案】B【解析】设 ，则 ，ACm2B，1 24433BVm所以当 最大时， 体积最大，21BACV，当且仅当 时，取到最大值，222 4
5、44m2所以， ，外接球的直径 ，ACB2218DACB所以 ， ，故选 B。2R3482VR10已知函数 ，则 的大致图象为（ ）lnfxxfA. B. C. D. 【答案】A【解析】当 时， ， ，0x2lnfxx11220fxx第 5 页 共 15 页所以 在 单调递增，则 B、D 错误；fx,0当 时， ， ，则 在 单调递2lnfx12 xfxfx10,2减， 单调递增，所以 A 正确，故选 A。1,2点睛：本题通过对函数的单调性分析得到图象。由于本题函数是绝对值函数，则去绝对值分类讨论，分别通过求导分析，得到单调性情况，得到正确的图象。图象选择问题也常用特殊值法排除错误选项。11已
6、知圆 ： 与 轴切于点 ，与 轴切于点 ，设劣弧C2211xyxAyB的中点为 ，则过点 的圆 的切线方程是（ ）ABMCA. B. 2yx12yxC. D. 【答案】A【解析】由题意， ，则 是圆 与 的交点，得1,0,ABMCyx，21,M所以过点 的切线为 ，即 ，故选 A。212yx2yx点睛：通过画图，得到 的位置是圆 与 的交点，求得C，则点 的切线的斜率为 1，由点斜式得到切线方程为21,MM，化简得到答案。2yx12已知函数 ， ，若对任意 ，3logfx32694xa1,3x均存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围为（ ）21,x12fA. B. C. D. ,44,1,【答
7、案】A【解析】 的值域为 ，fx0,1，则 在 单调递减，则 的值域2393gxgx1,3gx第 6 页 共 15 页为 ，4,a由题意， ，所以 ，得 ，故选 A。0,14,a40 1a4a点睛：本题中首要要正确理解任意存在型的问题，得到 的值域包含于 的值fxgx域，然后两个值域的求解要求学生对函数图象性质掌握， 为对数函数的绝对值函数，直接求出值域， 为三次方函数，通过求导得到值域，通过包含关系，解gx出参数范围。二、填空题13 的展开式中 的系数为_61x2x【答案】9【解析】 ，6661x的通项 ，61x61 6kkk kTCCx当 时， ，得到 的系数为 ；5k56x2当 时， ，
8、得到 的系数为 ，442x15所以 展开式中 的系数为 。61x6914在直角梯形 中， ， ， ， ABCD/BC0A4ABC，梯形所在平面内一点 满足 ，则2P4P_P【答案】8【解析】如图建立坐标系， ，设 ，0,4,0,2,4BCAD,Pxy第 7 页 共 15 页，所以 ，即 ，4,4,BACBPxy1,xy1,P所以 ，则 。3,15PD8CD15定长为 4 的线段 两端点在抛物线 上移动，设点 为线段 的中点，MN2yxMN则点 到 轴距离的最小值为_y【答案】 7【解析】由图可知， ，4AFB所以 ，得 ，12Pxx74Px所以距离的最小值为 。7416已知首项为 的数列 满足
9、 （ ） ，且pna21110nnnaa2，数列 中任意相邻两项的和不为 0，若 为数列 的前 项和，则2aqn S_017S【答案】p【解析】 ， 2111110nnnnnnaaaa，10n所以 ，即 ，1n1nn穷举数列： ，,pqqp所以数列 是 6 个一循环的循环数列，一组的和为 0，na则 ，201731所以 。Sp点睛：考察数列的基本概念，本题首先对条件递推式进行化简，得到第 8 页 共 15 页，10nna即 ，此递推关系不是我们熟知的等差或等比关系，则我们采取穷举法，1观察数列的规律，得到数列 是周期性数列，求得题目答案。na三、解答题17在 中，角 ， ， 的对边长分别为 ，
10、 ， ， 的面积为ABCBCabcABC，且 S2243abc（1）求角 的大小；（2）若 ，且当 时， 取得最大值 ，试求sino16fxxxAfxb的值S【答案】 （1） （2）3C3S【解析】试题分析：（1）由题意， 2214sin32abCabc，即 ，所以 ；（2）化简得 ，23cosabtan33C i6fx所以 ， ，由正弦定理得 ，所以 6A2sincb13sin2SacB试题解析：（1）由已知得 ，即 ，2214sin3abCa3osbCt又因为 ，所以 0,（2） 14sincosin2fxx3sin2cox2sin6x当 （ ） ，即 （ ）时， 6kZ6kZmaxf又因
11、为 ，所以 ， ，0,A6A2b故 ， ， ，2BCsin1asin3cC所以 13sinSac18如图， ， ， ， 是圆柱底面圆周的四等分点， 是圆心， ， ADO1A， 与底面 垂直，底面圆的直径等于圆柱的高1B1CB第 9 页 共 15 页（1）证明： ；1BCA（2）求二面角 的大小D【答案】 （1）见解析（2） 4【解析】试题分析：（1）由题可知， ，又 ，所以 平面ABC1BC所以 ；（2）利用空间向量解题，建立空间直角坐标系，求得平面AB， 1CAB和平面 的法向量，求得二面角。1D试题解析：（1）证明：因为 平面 ， 平面 ，所以 ，1BCAD1BC因为 ， ， ， 是圆柱底
12、面圆周的四等分点，所以 ABC又因为 ， ， 平面 ，所以 平面 1A11 1A又因为 平面 ，所以 （2）解：据题意知 ， ， 两两垂直，以 为原点，分别以 ， ， BD1CCDB为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，不妨设圆柱的高为 2，则1Cxyzxyz， ， 0,0,22,0O所以平面 的一个法向量是 ，1ABCB， ，平面 的一个法向量是 ，1D2,0所以 ，cos,OCB由图知二面角 是锐二面角，所以它的大小是 1A4第 10 页 共 15 页19虽然吸烟有害健康，但是由于历史以及社会的原因，吸烟也是部分公民交际的重要媒介世界卫生组织 1987 年 11 月建议把每年的 4 月
13、7 日定为世界无烟日，且从1989 年开始，世界无烟日改为每年的 5 月 31 日某报社记者专门对吸烟的市民做了戒烟方面的调查，经抽样只有 的烟民表示愿意戒烟，将频率视为概率2%（1）从该市吸烟的市民中随机抽取 3 位，求至少有一位烟民愿意戒烟的概率；（2）从该市吸烟的市民中随机抽取 4 位， 表示愿意戒烟的人数，求 的分布列及数学期望【答案】 （1） （2）分布列见解析， 37641E【解析】试题分析：（1）依题意，得任意抽取一位吸烟的市民愿意戒烟的概率为 ，14从而任意抽取一位吸烟的市民不愿意戒烟的概率为 ，则34；（2） 的所有可能取值为 0,1,2,3,4，分别求得概率，371464P
14、A得到分布列，求出期望。试题解析：（1 ）依题意，得任意抽取一位吸烟的市民愿意戒烟的概率为 ，14从而任意抽取一位吸烟的市民不愿意戒烟的概率为 ，3设“至少有一位烟民愿意戒烟”为事件 ，A则 ，3271464PA故至少有一位烟民愿意戒烟的概率 3（2 ） 的所有可能取值为 0,1,2,3,4， ， 40381256PC31410827564PC， 244278，334156PC2所以 的分布列为01234第 11 页 共 15 页P812562742718364125630128625E20已知椭圆的一个顶点为 ，焦点在 轴上，若右焦点到直线0,Ax的距离为 32xy（1）求椭圆的方程；（2）
15、设椭圆于直线 （ ）相交于不同的两点 ， ，当ykxm0MN时，求实数 的取值范围AMN【答案】 （1） （ 2）213xy,【解析】试题分析：（1）利用焦点到直线距离为 3，及顶点为 ，求得椭圆的0,1A方程；（2） 有 ，则 ，2, 13ykxm2236kxkm12631kmx，取 中点为 ，由 ，有 ，故21xkMNEANAEM，所以 ，所以 。231AEMNmk231mk2m试题解析：（1 ）由题意，得 ，右焦点坐标 ，b,0c则 ，得 或 （舍去） ，023c2c5则 ，13a所以所求椭圆的方程为 21xy（2 ） 有 ，2, 13ykmx223630kxkm设 ， ，1,My2,N
16、y第 12 页 共 15 页则 ， ，12631kmx231xk故 ，21 2yk由 ，得 ，0231m取 中点为 ，由 ，有 ，MNEANAEM则 ，223131AEkk故 ，所以 ，23AEMNmkk231mk又因为 ，且 ，R0所以 ，且 ，2112所以 ，即实数 的取值范围是 m,2点睛：直线和圆锥曲线的综合题型常用方法就是联立方程组，得到韦达定理，本题中在此基础上，由 ，有 ，则斜率之积为-1，通过求解得到AMNAE，由 ，得 ，解得答案。231k021m21已知函数 （ ） lnxaxfaR（1）当 时，求函数 的单调区间；af（2）若 ， ，对任意 ， ， 恒成02mxge120
17、,x12fxg立，求实数 的取值范围【答案】 （1）函数 的单调递增区间为 ，函数 的单调递减函数为f ,f（2）0,ln2【解析】试题分析：（1）求导得 ，写出单调区间；221 1xxf（2）令 ， “对任意 ， ， 恒成立”1xf120,2fg等价于“当 时，对任意 ， ， 成立” ， 0axminaxx第 13 页 共 15 页，对 进行分类讨论，最后求得答案。min01x试题解析：（1 ）函数 的定义域为 f,当 时， ， a1lnxxf221 1xxf所以当 时， ，函数 的单调递增区间为 ；,0x0ff ,0当 ， ，函数 的单调递减函数为 xx,（2 ）令 ， “对任意 ， ，
18、恒成立”1f120,12fxg等价于“当 时，对任意 ， ， 成立” 0ax,mina由于 ，222 11axx当 时， 有 ，从而函数 在 上单调递增，0a0,0x0,所以当 时， ,2xmin因为 ，所以 xge22xmxmxgee当 时， ，若 ，则 ，显然不满足0m20,ax4g；axmin当 时，令 ，得 ， 0gx12xm（i）当 ，即 时， 对 成立，所以 在20g,2xgx单调递增，所以 ，所以只需使 ，得 ，0, 2max4e41meln2所以 ；1ln（ii）当 ，即 时， 对 成立， 单调210gx2,gx递增；当 时， ， 单调递减，所以,xm，所以只需使 ，得 或 ，
19、2ax4ge241me2em又因为 ，所以 ；11（iii）当 ，即 时， 对 成立， 单调递增，0m0gx,gx第 14 页 共 15 页， 不成立，2max4mge21综上， 的取值范围是 ,ln22选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，已知曲线 ： （ 为参数） ，曲线 ： xOy1C2, 3xcosyin2C（ 为参数） 45, ytxt（1）写出曲线 ， 的普通方程；1C2（2）若点 在曲线 上，求点 到直线 ： 距离的最大值PPl450xy【答案】 （1） ， （2 ）213yx45ymax12d【解析】试题分析：（1）利用参数方程之间的内在联系，写出普通方程；（2）
20、由距离公式 ，利用三角函数的化简技巧，求得cosin2dmax5102试题解析：（1 ）曲线 的普通方程为 ，1C213yx曲线 的普通方程为 245（2 ）设点 ，则cos,inP点 到直线 的距离 ，所以 l2s3i45dmax5102d点睛：参数方程转化为普通方程通过寻找参数方程的内在联系，得到 的关系，即y，曲线的普通方程；距离的求解采取参数设法，得到距离方程为三角函数关系，利用三角函数的化简技巧，得到距离最大值。23选修 4-5：不等式选讲已知函数 （ ） 24fxmx0（1）当 时，求不等式 的解集；f（2）若关于 不等式 的解集为 ，求 的取值范围x1ttRm【答案】 （1） （2）,02m第 15 页 共 15 页【解析】试题分析：（1）将 代入，解绝对值不等式；（2） “关于 不等式mx（ ）的解集为 ”等价于“对任意实数 和 ， 21fxttRt”，又 ， ，解得mamin46xm21302试题解析：（1 ）当 时， 48fxx所以 ，即为 ，0fx0所以 ，所以 ，482x即所求不等式解集为 ,（2 ） “关于 不等式 （ ）的解集为 ”等价于“对任意实x1fttR数 和 ， ”，tmamin2f因为 ， ，46x3t所以 ，即 ，又 ，所以 6312012
