1、辽宁省凌源市 2018 届高三上学期期末考试数学（理）试卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 , 故选：B2. 已知实数 满足 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ， ，解得： ， 故选：A3. 某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产品的数量分别为：460,350,190.现在用分层抽样的方法抽取一个容量为 100 的样本，下列说法正确的是（ ）A. 甲抽取样品数为 48B. 乙抽取样品数为 35C. 丙抽取样品数
2、为 21D. 三者中甲抽取的样品数最多，乙抽取的样品数最少【答案】B【解析】设甲、乙、丙抽取样品数分别为 ,则解得： ，故选：B4. “直线 的倾斜角大于 ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】直线 的倾斜角大于 ,或 或“直线 的倾斜角大于 ”是“ ”的必要不充分条件故选：B5. 太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆 ( 为坐标圆点）被曲线 分割为两个对称的鱼形图
3、案，其中小圆的半径均为 1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设大圆的半径为 R，则： ，则大圆面积为： ，小圆面积为： ，则满足题意的概率值为： .本题选择 B 选项.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件 A 满足的不等式，在图形中画出事件 A 发生的区域，据此求解几何概型即可.6. 已知正项等比数列 满足 ，且 ，则数列 的前 9 项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】正项等比数列 满足 ， ，即 ， ，又 ，
4、公比 故选：C7. 记 表示不超过 的最大整数，如 .执行如图所示的程序框图，输出 的值是（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】C【解析】运行程序的循环结构，依次可得接着可得： ，不符合 ,则跳出循环结构，输出 .故选:C点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定
5、的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 已知抛物线 的焦点 到准线 的距离为 2，过点 且倾斜角为 的直线与拋物线 交于 两点，若 ，垂足分别为 ，则 的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图：抛物线 C：y 2=2px（p0）的焦点 F 到其准线 l 的距离为 2，可得 p=2y 2=4x过焦点且倾斜角为 60的直线 y= x 与抛物线交于 M，N 两点，解得 M（3，2 ） ，N（ ， ） 若 MMl，NNl，垂足分别为 M（1，2 ） ，N（1， ） ，则MNF 的面积为： 故选：D9. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，图中画出的是某几何体的三视图，则
6、该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体为一个正方体挖去一个半圆锥得到的几何体，故所求表面积 2 .故选：A点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.10. 已知直线 截圆 所得的弦长为 ，点 在圆 上，且直线过定点 ，若 ，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】在依题意， 解得 ,因为直线 ： ，故 ；设 MN 的中点为 ，则 ，即
7、 ,化简可得 ,所以点 Q 的轨迹是以 为圆心，为半径的圆，所以 的取值范围为 ， 的取值范围为.故选：D11. 已知函数 在 上单调递增，且，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】依题意， ；,由 ,可得： ； ，故 ，故 符合题意,故 ,故 ， ，因为 ，故 ，故实数 的取值范围为故选：C12. 已知关于 的不等式 的解集中只有两个整数，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】依题意， ,令 ,则 ,令 ,则 ,则 在 上单调递增，又,存在 ，使得 , ，即 ， 在 单调递增，当 , ,即 ， 在 单调递减，, ,且当 时， ，又
8、， ， ，故要使不等式 的解集中只有两个整数，a 的取值范围应为 .故选：A点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中，含 的项的系数为_ 【答案】【解析】通项为令 ，解得： ，故含 的项的系数为 .故答案为：14. 已知函数 ，当 时，函数 的最小值与最大值之和为_【答案】【解
9、析】依题意， ，时， ，sin ， ，函数 的最小值与最大值之和为 .故答案为：15. 已知实数 满足 则 的最小值为_【答案】【解析】作出不等式组所对应的可行域，如图所示：当 过点 A 时， 有最小值为 .故选：点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.16. 已知数列 满足 ，若 ，则数列 的首项的取值范围为_【答案】【解析】依题意，设 ， ,故
10、,故 是以 为首项，公比为 3 的等比数列，故 ，由 ,整理得 , ，故故 .故答案为：三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知 中，角 所对的边分别是 ， 的面积为 ，且 , .（1）求 的值；（2）若 ，求 的值.【答案】 （I ) （2） .【解析】试题分析：（1）由 ，可得： ，再利用同角关系易得，又 ，故 ；（2）由 ，得 ，由正弦定理，得，可得 ,联立二者可得 的值.试题解析：（1）因为 ，得 ，得 ，即 ，所以 ，又 ，所以 ，故 ，又 ，故 ，即 ，所以 ，故 ，故 （2） ，所以 ，得 ，又 ，所以 ，在 中，由
11、正弦定理，得 ，即 ，得 ，联立，解得 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18. 共享单车因绿色、环保、健康的出行方式，在国内得到迅速推广.最近，某机构在某地区随机采访了 10 名男士和 10 名女士，结果男士、女士中分别有 7 人、6 人表示“经常骑共享单车出行” ，其他人表示“较少或不选择骑共享单车出行”.（1）从这些
12、男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率；（2）从这些男士中抽取一人，女士中抽取两人，记这三人中“经常骑共享单车出行”的人数为 ，求 的分布列与数学期望.【答案】 （1） （2）见解析【解析】试题分析：（1）记“从这些男士和女士中各抽取一人，至少有一人“经常骑共享单车出行”为事件 ，利用概率乘法公式及加法公式得到所求概率；（2） 的取值为 0,1,2,3,明确相应的概率值，得到分布列及相应的数学期望.试题解析：（1）记“从这些男士和女士中各抽取一人，至少有一人“经常骑共享单车出行”为事件 ，则 .（2）显然 的取值为 0,1,2,3, , ,故随机变量 的分布列为的数学
13、期望 .点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值” ，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；.19. 已知正四棱锥 的各条棱长都相等，且点 分别是 的中点.（1）求证: ；（2）若 平面 ，且 ，求 的值.【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：(1)由题意易证： . , 所以 平面 ，从而证得结果；(2)建立空间直角坐标系，平面 的法向量为 ，因为 平面 ，所以，从而得到 的值.试题解析：（1）设 ,则 为底面正方形 中心，连接 ,因为 为正四梭锥.所以 平面 ,所以 .又 ,且 ,所以 平面 ;因为 平面 ,故 .（2）作出点 如图所示，连
14、接 .因为 两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系.设 ,其中 ,则 ,所以 ,设平面 的法向量为 ，又 ，所以 ,即 ，所以 ,令 ,所以因为 平面 ，所以 ，即 .解得 ,所以 .20. 已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .过椭圆 右焦点且不与 轴重合的直线 与椭圆 交于 两点，且 . （1）求椭圆 的方程；（2）若点 与点 关于 轴对称，且直线 与 轴交于点 ，求 面积的最大值.【答案】 （I ) （2）最大值为 1. 【解析】试题分析：（1）由题意布列关于 的方程组，解之即可；（2）设直线，直线 与椭圆 方程联立可得： ，由题设知直线的方程为 ，令 得 ，即点 ，表示 面积，利用换元法转化
15、函数结构然后求最值即可.试题解析：（I )依题意， 解得 ，故椭圆 的方程为 ；（2）依题意，椭圆右焦点 坐标为 ，设直线 ，直线 与椭圆 方程联立 化简并整理得 ， ，由题设知直线 的方程为 ，令 得 ，点 ；故(当且仅当 即 时等号成立) 的面积存在最大值，最大值为 1. 点睛：在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建
16、立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.21. 已知函数 .（1）求函数 的单调增区间；（2）设 ，若 ，对任意 成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1） （2） . 【解析】试题分析：（1）依题意， ，从而易得函数 的单调增区间；（2）结合函数的性质分类讨论 a1 和 a1 两种情况即可求得实数 a 的取值范围试题解析：（1）依题意， ，令 ,解得 ,故函数 的单调增区间为 ； （2）当 时，对任意的 都有 ；当 时，对任意的 ，都有 ；故 对 成立，或 对 恒成立.而 ，设函数 .则 对 恒成立，或 对 恒成立， ，
17、当 时， ， ， 恒成立，所以 在 上递增， ，故 在 上恒成立，符合题意. 当 时，令 得 ，令 得 ，故 在 上递减，所以而 ，设函数 ，则 ， 恒成立， 在 上递增， 恒成立， 在 上递增， 恒成立.即 ，而 不合题意 . 综上，故实数 的取值范围为 . 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 ，现以极点 为原点，极轴为 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.（1）求曲线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程；（2）若曲线 与曲线 交于 两点， 为曲线 上的
18、动点，求 面积的最大值.【答案】 （1） , （2） .【解析】试题分析：(1) 曲线 的直角坐标方程为 ，曲线 的普通方程为;(2) 联立圆 与直线 的方程,得到两曲线的交点坐标，从而求得 ，再用点到直线距离表示 ，利用三角函数的有界性求最值即可.试题解析：（1）曲线 的直角坐标方程为 ，曲线 的普通方程为 .（2）联立圆 与直线 的方程，可求两曲线交点坐标分别为则 ，又 到 的距离，当 时， ，面积最大值为 .23. 选修 4-5:不等式选讲已知 .（1）求不等式 的解集 ；（2）若 ，证明： .【答案】 （1） （2）见解析【解析】试题分析：(1)对 分类讨论，去掉绝对值转化为具体不等式，解之即可；（2）由（1）明确 的范围，分别判断 与 的符号，问题得证.试题解析：（1） 由 得 ， .（2） ， ， ， ， ， ， ， .
