1、海珠区 2018 届高三综合测试（一）数学（文科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ,2. 已知为虚数单位，复数 的模 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 故选 C3. 如图所示，该程序运行后输出的结果为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】第一次循环：S=2，i=5第二次循环：S=4.i=4第三次循环：S=6，i=3，第四次循环：S=8，i=2,结束输出 S=8故选 C4. 的内角 的对边分别为 ，已知
2、，则 的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，由正弦定理得, c= = ，又 sinA=sin( BC)=sin( )=sin( + )= ， ABC 的面积 S=12bcsinA= ，故答案为：故选 B5. 在“某中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）A. 和 B. 和 C. 和 D. 和【答案】A【解析】试题分析： ，所以，故选 B.考点：样本的平均数与方差.6. 函数 图象的大致形状是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】当 时， 单调递减,去掉 A,B; 当 时
3、， ，单调递减，去掉 D;选 C.7. 设函数 ，则下列结论错误的是（ ）A. 的一个周期为 B. 的图像关于直线 对称C. 的一个零点为 D. 在区间 上单调递减【答案】C【解析】 的周期为 T=k ,所以 A 对；当 时， =-1,所以 B 对；时， 所以 C 错；时， ， y=cosx 在 上递减，所以 D 对；故选 C8. 如图，点 分别是正方体 的棱 的中点，用过点 和点的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由正视图的定义可知：点 A. B. 在后面的投影点分别是点 D. C. ，线段 AN
4、 在后面的投影面上的投影是以 D 为端点且与线段 C 平行且相等的线段，即正视图为正方形，另外线段 AM 在后面的投影线要画成实线,被遮挡的线段 D 要画成虚线，故几何体的正视图为，左视图为，俯视图为；故答案为：、选 D点睛：直接利用三视图的定义，正视图是光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，据此可以判断出其正视图左视图是光线从几何体的左侧向右侧正投影得到的投影图，据此可以判断出其左视图类似判断俯视图即可9. 已知双曲线 的渐近线与圆 相切，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】双曲线 (a0,b0)的渐近线为 bxay=0，依题意,直线 bxay=0 与圆
5、相切，设圆心(0,3)到直线 bxay=0 的距离为 d，则 d= =1,所以 8 双曲线离心率 e=3.故选：D.10. 若函数 为奇函数， ，则不等式 的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】函数 为奇函数， f(0)=0，即 a=1， ，当 x0 时,解 g(x)=lnx1 得： x(0, e1)，当 x1 得： x(,0)，故不等式 g(x)1 的解集为(,0)(0, e1)，故选：C11. 九章算术之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题， 张邱建算经卷上第 题为：今有女善织，日益功疾（注：从第 天起每天比前一天多织相同量的布） ，第一天织 尺布，现在一月
6、（按 天计） ，共织 尺布，则第 天织的布的尺数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设公差为 d,由题意可得：前 30 项和 =420=305+ d,解得 d= .第 2 天织的布的尺数=5+ d= .故选：A.12. 已知是自然对数的底数，函数 的零点为，函数 的零点为 ，则下列不等式中成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数 的零点为， f（0）=-10， f（1）= e-10，0 a1函数 的零点为 b， g（1）=-10， g（2）=ln20，1 b2综上可得，0 a1 b2再由函数 在（0，+）上是增函数，可得 ，故选 D点睛：本题主要考查函数的零点
7、的存在性定理，函数的单调性的应用，一般地，如果函数y=f（x）在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f（a） f（b）0，那么函数 y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在 c （ a， b） ，使得 f（c）=O，这个 c 也就是f（x）=0 的根第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量 ，若 ，则 _【答案】2【解析】根据题意,向量 ,且 ，则有 =13=3，解可得 x= ，则 = ；故答案为：2.14. 已知抛物线 的焦点 与双曲线 的右焦点重合，若 为抛物线上一点，且 ，则直线 的斜率等于_【答案】【解析】双曲线
8、 的右焦点为(2,0),抛物线方程为 =8x， p=4.| AF|=3, +2=3, =1代入抛物线方程可得点 A 在 x 轴上方, A(1, )，直线 AF 斜率等于 =2故答案为：215. 已知高为 的圆柱内接于一个直径为 的球内，则该圆柱的体积为_【答案】【解析】圆柱的高为 8,它的两个底面的圆周在直径为 10 的同一个球的球面上,该圆柱底面圆周半径 r= ，该圆柱的体积： V=Sh= .16. 已知函数 ，当 时， 有最大值 ，则 =_【答案】-5/12【解析】当 时， 有最大值 ,=tan三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17
9、. 已知数列 的首项 ，前 项和为 .（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 ；【答案】(1) ；（2） .【解析】试题分析: （1）由 ，得 （n2） ，两式相减得（n2） ， ,利用等比数列的通项公式即可得出 （2）由（1）知 ，故 =log33n=n，可得 ,利用分组求和得结果.试题解析:（1）由题意得两式相减得 ，所以当 时， 是以 为公比的等比数列.因为所以， ，对任意正整数成立， 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以得 .（2） ，所以 ，点睛：已知 与 的关系，再写一项得出 为等比数列，求和用到了分组求和，此外还有错位相减，裂项相消，并项求和，倒序相加等方法18
10、. 如图所示的多面体中， 是菱形， 是矩形， 面 .（1）求证：平面 平面 ；（2）若 ，求四棱锥 的体积.【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）由 是菱形知 ，推出 ；由 是矩形得 推出 ，从而可得 ；（2）连接 ， 由 是菱形，及 面 ,得到 ，证得 为四棱锥 的高由 是菱形， ，得到 为等边三角形，根据 ；得到 ，从而可计算几何体的体积 .试题解析：证明：（1）由 是菱形3 分由 是矩形6 分（2）连接 ， 由 是菱形，由 面 , ， 10 分则 为四棱锥 的高由 是菱形， ，则 为等边三角形，由 ；则 ， 14 分考点：1.空间垂直关系；2.几何体的体积.19. 小明家订
11、了一份报纸，暑假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示.（1）根据图中的数据信息，求出众数 和中位数 （精确到整数分钟） ；（2）小明的父亲上班离家的时间 在上午 至 之间，而送报人每天在 时刻前后半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等） ，求小明的父亲在上班离家前能收到报纸（称为事件 ）的概率.【答案】 （1） ， （2）【解析】试题分析：（1） ，由频率分布直方图可知 即 ，列方程 =0.5即得 ；（2）设报纸送达时间为 ，小明父亲上班前能取到报纸等价于 ，由几何概型概率计算公式即得.试题解析：（1） 2 分由频率分布直方图可知 即 ， 3 分 =0.
12、5解得 分即 6 分（2）设报纸送达时间为 7 分则小明父亲上班前能取到报纸等价于， 10 分如图可知，所求概率为 12 分考点：1.频率分布直观图；2.几何概型.20. 已知椭圆 的焦点在 轴上，中心在原点，离心率 ，直线 与以原点为圆心，椭圆 的短半轴为半径的圆 相切.（1）求椭圆 的方程；（2）设椭圆 的左、右顶点分别为 ，点 是椭圆上异于 的任意一点，直线的斜率分别为 .证明： 为定值.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析: （I）设椭圆的方程，利用离心率 e 直线 l： y=x+2 与以原点为圆心，椭圆 C 的短半轴为半径的圆 O 相切，确定几何量，从而可得椭圆的方程；（）利用
13、M 点在椭圆上，计算斜率，化简即可得到结论试题解析:（1）设椭圆 的方程为 .离心率 .直线 与以原点为圆心，椭圆 的短半轴为半径的圆 相切，.椭圆 的方程为 .（2）证明：由椭圆 的方程得 ，设 点的坐标为 ，则 .为定值 .点睛：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆相切，考查斜率的计算，主要应用点在曲线上得出定值.21. 已知函数 .（1）若 是 的极值点，求 的极大值；（2）求实数的范围，使得 恒成立.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析: （）由于 x=3 是 f（x）的极值点，则 f （3）=0 求出 a，进而求出f（x）0 得到函数的增区间，求出 f （x）0 时， 恒成立，设
14、 g(x)=，则 ，分类讨论参数 a，得到函数 g（x）的最小值0，即可得到 a 的范围试题解析：（1）是 的极值点解得当 时，当 变化时，递增 极大值 递减 极小值 递增的极大值为 .（2）要使得 恒成立，即 时， 恒成立，设 ，则（i）当 时，由 得函数 单调减区间为 ，由 得函数 单调增区间为，此时 ，得 .（ii）当 时，由 得函数 单调减区间为 ，由 得函数 单调增区间为 ，此时 ， 不合题意.（iii）当 时， 在 上单调递增，此时 ， 不合题意（iv）当 时，由 得函数 单调减区间为 ，由 得函数 单调增区间为 ，此时 ， 不合题意.综上所述： 时， 恒成立.点睛：本题考查利用导
15、数研究函数的单调性及函数恒成立时所取的条件，恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理也可构造新函数然后利用导数来求解.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直线坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为 （为参数） ，曲线 的极坐标方程为 .（1）直线的普通方程和曲线 的参数方程；（2）设点 在 上， 在 处的切线与直线垂直，求 的直角坐标.【答案】 （1） ， （ 为参数， ） （2） 或【解析】试题分析（1）：由 ，得 消去得直线的普通
16、方程，由两边直接乘以 得 ，得出（2）由（1）知 是以 为圆心，半径为 的圆，设曲线 上的点为，因为 在 处的切线与直线垂直，所以直线 与的斜率相等，得 ，出 坐标.试题解析：（1）由 ，得 ，消去得直线的普通方程为 .由 ，得 .将 代入上式，曲线 的直角坐标方程为 ，即 .得曲线 的参数方程为 （ 为参数， ）（2）设曲线 上的点为 ，由（1）知 是以 为圆心，半径为 的圆.因为 在 处的切线与直线垂直，所以直线 与的斜率相等，或者 ，故 得直角坐标为 或者 .23. 选修 4-5：不等式选讲已知 .（1）求不等式 的解集；（2）若存在 ，使得 成立，求实数的取值范围.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（）根据零点分段法，分 三种情况讨论去绝对值，求不等式的解集；（）若存在 不等式成立，即 ，根据含绝对值三角不等式得到 ，然后再解含的绝对值不等式.试题解析：（）不等式 等价于 或 或 ，解得 或 ，所以不等式 的解集是 ； （） ， ， ，解得实数的取值范围是
