1、多元函数极值和条件极值的一般判定方法2006 年 4 月第 22 卷第 2 期皖西学院Journa1ofWestAnhuiUniversityApr.,2006Vo1.22N0.2多元函数极值和条件极值的一般判定方法李安东(4e 徽理工大学计算机系, 安徽淮南 232000)摘要:本文较为完整地探讨了多元函数极值和条件极值的一般判定方法和求法 .通过研究多元微分与一元微分之间的关系,把多元函数的极值判定问题转化为二次型的正定,负定判定问题,或转化为一阶方向导函数是否变号的问题对于条件极值,研究了适用于所有情况的降雏求极法,比拉格朗日乘数法更加直观,计算简便,并且同时解决了条件极值的判定问题关键
2、词:多元函数极值;多元极值判定;正定负定判别法; 导数变号判定法;降维求板法中图分类号:0174.1 文献标识码:A 文章编号:1009-9735(200602-0030-04多元函数的极值是一个简单,经典而又非常重要的问题.多元函数极值的求解,已有比较完善的方法,比如拉格朗日乘数法但多元函数极值和条件极值的判定问题(-元以上),却未得到很好地重视和解决.目前只能根据具体问题的实际意义或“最值 “的方法来推测其极值的类型(极大,极小和是否存在).本文对如何解决此类问题进行初步的分析和探讨.1 多元微分与一元微分的关系首先探讨一下多元函数微分与一元函数微分之间的关系,以下以二元函数为例进行分析.
3、众所周知,对于二元函数f(x,),(,)D 在点 P.(xo,Yo)处的微分定义为df(xo,yo)/(xo,Yo)+/(Xo,yo)一(/(Xo,Yo),/(0,Yo)?(,)(1)式中x,y 都是任意的,所以向量(Ax,Ay)的方向和长度也是任意的.它的几何意义似乎并不十分明显.但是,如果令:(Ax,Ay)一(cosa,sina).,其中,COSa 一南,sina 一南,;/ 可则上面的定义即可写为如下形式:df(x0,Yo)一(/(xo,Yo),/(xo,Yo)?(cosa,sina)(2)它的几何意义就十分明显了,只要固定(Ax,Ay)或(cosa,sina)的方向,容易看出它实质上就
4、是以 t 为自变量的一元函数g(z)一,(XO+tcosa,Yo+tsina)(3)在 t=0 处的微分妇 (O)=g(O)dt(用连锁规则求导), 其中(厂(动,Yo),/(xo,yo)?(cosa,sina)就是 zf(x,)在点 P0(Xo,Yo)处的方向导数所以若每固定(Ax,y) 的一个方向 ,就由=f(x,)的微分得到一个一元函数 g(z)的微分.无论自变量 t 如何变化,在XY 平面内它都只能沿着(cosa,sina)的方向而变,因此函数 g(z)的几何意义是:表示平面 p 与曲面=f(x,)的交线(为了讨论方便,这里未采用微分几何里的向量函数表示方式).而 B 则是经过点尸 0
5、(动 ,Yo),平行于 (cosa,sina)且正交于 XY 平面的一个平面.当平面 B 绕点Po(Xo,Yo)旋转时,即得到一个曲线族g(z),它们构成了曲面 f(x.).对于 n 元的函数(n2)的微分,情况也完全类似,这就是多元函数的微分与一元函数的微分之间的关系.2 多元函数极值的判定由上面的讨论知道,g(o) 就是f(x,) 在点尸 0 处沿 L 一(cos,sina)方向的方向导数.为了下面讨论的方便,我们不妨把 g()在 t=O 的 n 阶导数称为一 ,(,)在点 Po 处沿 L 方向的 n 阶方向导数.即 g“(o)就是f(x,)在点沿 L 方向的 n 阶方向导数,g 抽(z)
6、不妨称为 zf(x.)沿 L 方向且过 P.点的 n 阶方向导函数.?收稿日期:2oo6 一 o124作者简介:李安东(1958-),男.安徽理工大学计算机系 04 级硕士研究生.高级程序员.研究方向:计算机软件工程.3O按上述讨论,就可以把一元函数中的很多方法和结论,应用到多元函数中来(当然也包括极值问题),从而使问题更加直观和简化.首先讨论求驻点的问题.在一元函数中,只须考虑一个方向,ep/-x 轴正向的导数(微分),即可求出驻点.但在多元函数中要考虑无穷多个方向(x,ay) 的所有方向 ),即在驻点 Po 处沿任何方向的一阶方向导数均应为 0.或者说所求极值点就是曲线族譬()中所有曲线的
7、公共极值点.为简单起见,先以二元函数为例进行讨论.设 k=(k1,k2)为一任意单位向量,po(Xo,yo)为=f(x,)的一个驻点,则应有一+忌. 兰 o由于 kl 和|【2 是任意的,所以有/(xo,yo)一/(xo,yo)一 0 由此即可求出驻点Po(xo,Yo).下面着重讨论对于极值点的判定问题,可采用以下二种方法之一.2.1 正定,负定判定法求出 f 在点 Po 沿 k 方向的二阶方向导数:=+2z+l当芝在所有方向上均大于.时,P0 即为 f 的极小点,这时因为 k1,k2 是任意的,所以芏是关于 k】,的-l-型.故当其正定时 ,Po 是 f 的极小点.同理当壁负定时,P. 为
8、f 的极大点.当该二次型不定时,显然 Po 不是 f 的极值点.当半正定或半负定时,情况比较复杂.这时要针对使妻=o 的每一组 k,k2 值,分别考察=芏=o 且o 的情形若有某组这样的 k,k2 值使如下三种情况之一发生时 I 贝0P0不是 f 的极值点:i)l 为奇数;ii)o 且半正定;iii)o 且半负定;其它情况下 Po 就是 f 的极小(半正定时)或极大(婺半负定时 )点例 1:设,(z,勋,)一丑兰 二二_亟一,其中墨三三=o(i=l,2, ,).求 f 的极值点和极值 .解:由 1X1“Xi-.-1XpI“X.a=1(1等)_o(,?解得:1=2_-.?=一 a(a 三三=0
9、为任意常数)令 g(z)一(n+l+n+旋)/n-_=fi 干=.+i 二二二 鱼 f,其中k=(忌-.)为一 n 维的任意单位向量.;一(+.+),一盈(+.+)2_研而(+-+).(o)=(研+ +kD 一( 忌+ +).,由布辽可夫斯基不等式知,当 aO 时恒有(o)o? 工一= 工 n 口0 是 f 极小点.31,垭小位=(口+a)ln 一a0.2.2 导数变号判定法令 g(f)f(xo+趺,+趺),则可得到 f 沿 k 方向且过点 Po 的一阶方向导函数:g(f)=/(动+趺 Yo+tie2)量 1+/(Zo+tie1,Yo+趺 2)kz(6)每固定一组 k,Ic2 就得到一条曲线
10、g(f).当 t 由负变化到正时 (在 t=O 附近),考察对所有方向(即任意的 kl,I2 值), 也即是所有的 g(f),是否 g(f)也全都由负变化到正(Po 为极小点),或全都由正变化到负(P0 为极大点).若不是这二种情形,则 P0不是 f 的极值点.上述二种方法,完全适用于 n 元函数(n2).其关键之处就是所求曲面的极值点就是曲线族g(t)中所有曲线的公共极值点.3 多元函数条件极值的求法和判定3.1 降维求极法对于“: 厂(z1,动,)满足条件 G(z,9oi.,Xn)一 o(i 一 1,2,优) 的极值,可按降为 n-m 维函数,转化为非条件极值的思路求解.不妨设乏o,则以,
11、z., ,z 为独立的变量(自变量,耵十,而耵十 2,为因变量,这时它们是一组彼此独立的函数.设 k=(量一,量一为该 nmm 维子空间中的一个任意单位向量,作辅助函数:g(f);,(丑+tk1,-蝌+趺,一 ,f,z 一卜卜 1,厶)07)和 G=f(z1+趺 l,一+ 趺一 ,.1,矗)(f;1,2,优)(8)?则 g(f)和 dGi 分别是 f 和 Gf(:1,2,优)沿 k 方向且过 P(x,z,而)点的方向导函数,特别 g(O)就是 f 在点 P 沿k 方向的方向导数.求导过程中把而(J一优)作为 t 的函数,按链锁规则进行,由亟dt=0(=1,2,优)解出鲁(_一一优+1,),再代
12、入 gt(f).显然警=o(=1,2,优)是一个关于鲁(j=一优+1, ,)的 lTl 元线性方程组.令 g(0)-0,此时 g(O)是关于 k1,k 一的多项式,要使对任意的 k 均有 gt(O)三三;O,则必有 g(O)的各项系数均为 0.由此即得 nm 个关于 x1,的方程,再与 G(z,z,)一 O(i 一 1,2,优) 合为 n 个方程,解得驻点 Po(,).这是一个 n 元的方程组.对 Po 是否 f 的极值点的判定问题,即可直接利用前述的非条件极值判定方法解决.但在求 g(f)的各阶导数中,注意每次都要将已求出的譬(jrmm) 代入,这样 eli.-“保证不会出现关于的高阶导数
13、.利用上述方法解条件极值问题,要解一个 m 元方程组和一个 n 元的方程组.而用Lagrange 乘数法,则要解一个 n+m 元方程组.显然前者复杂程度低于后者.并且 Lagmnge 乘数法没有解决条件极值的判定问题.3.2 示例例 2;将一个正数 a 分解为 n 个非负数之和,并使它们的乘积为最大.解;即是求 f(x“,)=XlX2如 ,其中矗O(i=1,2,)在条件丑+=a 下的极大值.首先,求驻点,步骤如下:(1)设 k=(量“,量,广为一个 n 一 1 维的任意单位向量,(2)作辅助函数g(f)=,(Xl+del,zl+tkal-1,.Tn)一(z1+tk1)(一 1+tk1),则有:
14、(f)一 (勋+tk2)(l+tk.-1)k1+(zl+zk1)(z+tk.-)xnka-1+(zl+tk1) (1+tk.-1),(3)由(丑+k1f)+(+k2f)+(1+跌 1)+Xna 两边同时微分解得=一 (量+ 量,卜).32(4)将求出的代人 g(0)qll:g(O)一 2(晶一锄)+1 魏l(磊一 X2)五 2+12(Xn1)五 l令 k(一 1,I“/一 1 的系数全为 O,及 1+X2+Xna 得 n 个方程,解得:锄 x2 一=Xn 一旦;然后,判定极值类型,步骤如下:(1)把 Xl2一詈代人 g() 得:g()= 一 z?( 詈+ 废 2)(旦+废一)肼+( 詈+废)(
15、 旦+废 3)(旦+废一)髓+ +(旦+珐)(旦+ 珐 2)kLI“/I“/I“/I“/I“/一 lI(2)判断 g()符号变化情况 :.旦0 且 Iki1(i1,2,n 一 1),所以当 t 在 0 附近变化时,恒有旦+tkl0(i 一1,n 一 1).所以,在 t=0,l附近,当 t 由负变化到正时,g()恒由正变化到负,所以,f 在 Xl 一?,=詈时,有极大值.4 小结本文探讨了多元函数极值的判定问题,讨论了一元函数与多元函数微分的内在联系.把一元函数极值的判定方法和结论,应用到多元函数极值的判定中,化多元为一元,化曲面为平面曲线,使问题更加直观,简化.较为圆满地解决了多元函数极值与条
16、件极值的判定问题.对于条件极值的降维求极法也显然比拉格朗日乘数法简便.这些结论从理论上证明也是容易的,限于篇幅,这里就不做严谨的证明了.参考文献:1张筑生.数学分析新讲 (面向 21 世纪课程教材)( 上 ,中,下册)M.北京; 北京大学出版社,.2华东师大数学系.数学分析(第二版)( 上,下册)M.北京: 高等教育出版社,.E3装礼文.数学分析中的典型问题与方法.北京:高等教育出版社,.4孙更.数学分析内容 ,方法与技巧(上,下册). 北京:华中科技出版社,.5W.Rudin.数学分析原理( 上,下册)M.北京:人民教育出版社 ,.GeneralMethodsofDeterminingthe
17、TypeOfExtremumandConstrainedExtremumofMultivariateFunctionLiAndong(DepartmentofComputerScience,AnhuiUniversityofScienceandTechnology,Huainan,Anhui,232000)Abstract:ThisarticlehascompletelydiscussedtWOgeneralmethodsofdeterminingthetypesofextremaandconstrainedextremaofmultivariatefunctions.Ithasintrodu
18、cedanewwaytoworkouttheirvalues,too.Throughresearchingtherelationshipbetweenone-varatedifferentialandmultivarlatedifferential,theproblemsaboutextremaofmultivariatefunctioncanbetransformedasthequestionsofdecidingpositivedefinitionornegativedefinitionofquadricforms.Moreover,theycanbealsoturnedintodeter
19、miningwhetherthesignofafirstorderdirectionalderivativefunctionischangedfrompositivetonegativeorviceversa.Withregardtotheconstrainedextremum,ithasstudiedameanscalleddegradingdimensionstocomputeextremumvalues,whichissuitableforallsituationsandismoreintuitionisticandconvenientthanLagmngeMultipliers.Bes
20、ides,ithassolvedtheproblemofdeterminingthetypeofconstrainedmultivariateextremumsimultaneously.KeyWOn:l:extremumofmultivariatefunction;determiningmultivariatefunctionextremum;decidingpositivedefinitionornegativedefinition;determiningthechangeofderivativesign;computingextremathroughdegradingdimensions33
