1、第四节 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题考纲解读1会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组3会从实际情境中抽象出一些简单的线性规划问题及一些简单非线性问题加以解决命令题趋势探究1从内容上看，线性规划是高考的热点之一，考查内容涉及最优解、最值等，通常通过画可行域、移线、用数形结合的思想方法解题2从题型上看，题目类型多为选择题和填空题，为容易题或中档题，多数情况下可用特殊位置法求解.3从能力要求上看，主要考查学生数形结合的思想与运算求解能力。知识点精讲一、一元二次不等式表示平面区域一般地，二元一次不等式（）在平面直角坐标系中表示直
2、线某一侧所有点组成的平面区域，通常把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，而在坐标系中画不等式所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界线画成实线。二、二元一次不等式表示平面区域的快速判断法二元一次不等式表示平面区域的快速判断法如表7-1所示，主要看不等式的符号与的符号是否同向，若同向，则在直线上方；若异向，则在直线下方，简记为“同上异下”，这叫值判断法.区域不等式直线上方直线下方直线下方直线上方三、线性规划（1）二元一次不等式组是一组变量的约束条件，这组约束条件都是关于的一次不等式，所以又称为线性约束条件。（2）（）是欲达到最大值或最小值所涉及的变量的解析式，叫做目标函数.由于又是的
3、一次解析式，所以又叫做线性目标函数（3）求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题.满足线性约束条件的解叫可行解，由所有可行解组成的集合叫可行域.使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做该问题的最优解.四、线性规划的实际应用线性规划的实际应用，一是给一定数量的人力、物力资源，问怎么运用这些资源使完成的任务量和收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小.题型归纳及思路提示题型96 二元一次不等式组的平面区域思路提示线性规划中的可行域，实质上就是一个二元一次不等式的平面区域，因而解决简单线性规划问题是以二元一次不等式表示平面区域
4、的知识为基础的.例7.21在平面直角坐标系中，满足不等式组的点的集合的阴影表示为下列图中的（ ）变式1 若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是 变式2 设为实数，若，则的取值范围是 题型97 平面区域的面积思路提示要求平面区域的面积，先依据条件画出所表达的区域，再根据区域的形状求其面积.例7.22不等式组所表示的平面区域的面积等于（ ） 变式1 若不等式组所表示的平面区域被直线分成面积相等的两部分，则的值为（ ） 例7.23若，且当时，恒有，则由点所形成的平面区域的面积等于（ ） 变式1 若为不等式组表示的平面区域，则当从变化到时，动直线扫过中的那部分区域的面积为 例7.24在平
5、面直角坐标系中，已知平面区域，则平面区域的面积为（ ） 变式1 在平面直角坐标系中，点集，则：（1）点集所表示的区域面积为 ；（2）所表示的区域的面积为 题型98 求解目标函数的取值范围或最值思路提示线性规划问题实质上就是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.（1）在线性约束条件下求线性目标函数最值（线性规划问题）；形如的含参数的目标函数，可变形为斜截式，进而考查轴上截距的取值范围.具体步骤为确定目标函数移动方向；确定最优解.（2）在线性约束条件下求非线性目标函数最值（要明确非线性的目标函数的几何意义）：对于形如：的分式目标函数，可基于斜率公式化归成，从而将问题化归为可行域内的点
6、与定点确定的直线斜率的倍；对于形如的目标函数，可化归成可行域中的动点与定点的距离的平方.对于形如的目标函数，因为，可将的最值化归成可行域内的点到直线的距离的最值的倍，或者先求出的取值范围，然后再求的范围即可.例7.25（2012年广东理5）已知变量满足约束条件，则的最大值为（ ） 变式1 （2012山东理5）设变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是（ ） 变式2 已知平面直角坐标系上的区域由不等式组给定.若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为（ ） 例7.26 若实数满足，则的取值范围是（ ） 变式1 已知变量满足约束条件，则的取值范围是（ ） 变式2 如果满足约束条件，则的取值范围是 例7
7、.27 如果点在平面区域上，点在曲线上，那么的最小值为（ ） 变式1 已知点的坐标满足条件，点为坐标原点，那么的最小值等于 ；最大值等于 变式2 已知点的坐标满足条件，点为坐标原点，那么的最小值为（ ） 例7.28设不等式组所表示的平面区域，平面区域与关于直线对称，对于中的任意一点与中的任意一点，的最小值等于（ ） 变式1 设是不等式组表示的平面区域，则中的点到直线距离的最大值是 变式2 已知实数，满足，则的最大值为（ ） A.1 B.2 C.8 D.9变式3 不等式组所确定的平面区域记为，若圆：的所有点都在区域内，则圆的面积的最大值是 .题型99 求解目标函数中参数的取值范围思路提示 对于含
8、参数的目标函数，如型，可变形为斜截式，进而考查轴上截距的取值情况；如（且型，可根据指数函数的单调性，又恒过定点的性质，让指数函数的图像“动起来”，即先找到第一个与可行域的交点（临界状态），然后向某个方向（顺时针或逆时针）旋转，直到与可行域中最后一个交点（临界状态）相交后停止.例7.29 已知变量，满足条件，若目标函数其中仅在点处取得最大值，则的取值范围是 .变式1 已知平面区域由以，为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域上有无数多个点可使目标函数取得最小值，则 （ ）A. B. C.1 D.4变式2 若，满足约束条件，目标函数仅在点处取得最小值，则的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 变
9、式3 若实数，满足不等式组，且的最大值为，则实数 （ ）A. B. C. D. 变式4 已知实数，满足，如果目标函数的最小值为，则实数等于 （ ）A. B. C. D. 变式5 设集合，.（1）的取值范围是 ；（2）若，且的最大值为，则的值是 .变式6 设，在约束条件下，目标函数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 例7.30 设二元一次不等式组所表示的平面区域为，使函数的图像过区域的的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 变式1 设不等式组表示的平面区域为，若指数函数的图像上存在区域中的点，则实数的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 变式2若函数图像上存在点满足约束条件，则实
10、数的最大值为 （ ） A. B. C. D. 例7.31 设，满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最小值为 （ ） A. B. C. D. 变式1 设，满足约束条件，若目标函数的最大值为8，则的最小值是 .题型100 简单线性规划问题的实际应用思路提示 常见问题有物资调运、产品安排和下料问题等.思想是先从实际问题中抽象出数量关系，然后确定其函数意义.其解题步骤为：（1）模型建立.（2）模型求解.画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解. （3）模型应用.将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳方案.例7.32 某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙
11、车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（ ） A.甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 B.甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C.甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D.甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱分析 设未知数，确定线性约束条件和目标函数，画出可行域和目标函数对应的初始直线、平行直线，确定最
12、优解，从而求出目标函数的最值.变式1某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）来源:学 A.1800元 B.2400元 C.2800元 D.3100元变式2 在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往临近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运
13、输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆车至多运一次，则该厂所花的最少运费为 （ ） A.2000元 B.2200元 C.2400元 D.2800元变式3某农户种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量和售价如表7-2所示. 表7-2年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入-总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为 （ ） A.50，0 B.30，20 C.20，30 D.0，50 最有效训练29（限时45分钟）1.在坐标平面上，不等式组所表
14、示的平面区域的面积为 （ ）A. B. C. D.22.设动点坐标满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D.103.给出平面区域（包括边界）如图7-20所示，若使目标函数取得最大值的最优解有无穷多个，则的值为 （ ） A. B. C.4 D.4.已知，满足不等式组，且的最大值是最小值的3倍，则 （ ） A. B. C. D.15.已知实数，满足，则的最大值是（ ）A. B. C. D.216.在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则的值为 （ ） A. B. C. D.37.点和在直线的两侧，则实数的取值范围是 .8.满足约束条件的目标函数的最小值是 .9.不等式组（）所表示的平面区域为，若的面积为，则的最小值为 .10.已知，满足约束条件，则目标函数的最大值是 .11.某人上午7点乘摩托艇以匀速km/h从A港出发到距50km的B港去，然后乘汽车以匀速km/h自B港向距300km的C市驶去，应该在同一天下午4点至9点到达C市，设乘摩托艇、汽车去所需要的时间分别是h，h，若所需的经费为，那么，分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费.12.已知，满足不等式组，求使取得最大值时的整数，.
