1、- 1 -离散数学五、六章检测题 一、填空题1设 是一个群，则对任意的 均有 = 。,G,abG1)(ba2设 是整数集，在 上定义二元运算*为 ，其中+和 是数的加法和ZZ乘法，则代数系统的幺元是 0 ，零元是 -1 。3代数系统 ，+ （ 为整数集，+为普通加法）中， 关于“+”的幺元为 ，Z零元为 ，任意 ， 。 （0，无， ）x1 x代数系统 ， （ 为有理数集， 为普通乘法）中， 关于“ ”的幺元为 1 QQ，任意 ， 。1/x0,1xx4设 为非空集合， 为集合 的幂集。代数系统 中， 关于“S()PS(),PS()PS”的幺元为 ，零元为 ， 关于“ ”的幺元为 ，零元为 ()。
2、,S5设 是一个群， ，则 。GaG1()a6对于整数集 上定义的运算 ： ，其中+是数的加法，则 的幺Z2ba,Z元为 ，任意元素 的逆元为 。 （2， ）a14a7设 是群，若 中存在一个元素 ，使得 中任意元素都可由 的幂生成，则称,*GG该群是_，元素 称为该群的_。循环群，生成元8设 ， 上的运算 定义为： ，则 的运算表为1,2Amin(,),xyxyA。 129设群 中， ， 为其幺元，若元素 的逆元素为 ，则 的运算,G1eaGbab结果是 。10设 ,+，是一个代数系统， 是 关于“+”的幺元，如果满足 AA，则称 ,+，是域。- 2 -11设 是一个群， ，且 有限，则 是
3、 的子群当且仅当 ,G,BGB,G。 关于 封闭B12设 ，且 是以 1 为幺元的群， 则 = , = （ ；1）1,Sab,S2b3a13设 是一个有界格，如果 中任意元素都 ，则称AA是一个有补格。在有补格中，一个元素的补元素 唯一。,至少有一个补元素，不一定14设 是布尔代数，对任意的 ，有 _ _，,01,abA()ab_ _ （ ； ）()aba15设 是一个偏序集，如果 中任意两个元素都有 ，则称,AA是一个格。在格 中，对 ， 当且仅当 。 上,baab确界 和下确界， a16设 是布尔代数，则 共有 个不同的函数；有 个,01nA互不相等的布尔表达式。 （ ， ）n2n二、单项
4、选择题 1下面集合关于减法运算封闭的是（ B ）A B N2xZC D 2xZ是 质 数2设 是整数集合，则下面定义的二元运算不能使 与 构成代数系统的是( ) CA B ,abab 2,ababZC D /, 1,3有理数集 和 上定义的下列运算 不能不构成代数系统的是( )。BQA B ()/2abab2C D54在自然数集 N 上，下列定义的运算 中不可结合的只有（ D ）A Bmin(,)xyx xyC （即 的最大公约数） DGD,y(mod)- 3 -5以下系统是代数系统的是（ B ）A. ，其中 是正整数集， “ ”是数的减法运算；,ZB. ，其中 ， 运算定义为A,ababC.
5、 ，其中 Z 为整数集，是数的除法运算,D. ，其中 R 为实数集，是数的除法运算6 1,(1),Gi i GA 其 中 是 数 的 乘 法 运 算 是 一 个 群 下 列 代 数 系 统 为 的 子 群 的D()是 A. B. , ,iA C. D. iA 1 7以下不是阿贝尔群的是（ 2 ）（1） （Z m，+ ） ； （2） （非奇异矩阵，矩阵乘法） ；（3） （Q，） ； （4） （矩阵，加法） 8若一个代数系统 满足运算封闭性及结合律,且有幺元,则它是( A )。AA.独异点 B.群C.格 D.布尔代数9若 是一个代数系统，且满足结合律，则 必为( A )。, ,A.半群 B.独异点
6、C.群 D.可结合代数 10循环群，的所有生成元为（ 4 ） (1)，； (2) ，； (3) ，； (4) ，11具有如下定义的代数系统 （ 3 ） 哪 个 不 构 成 群,G(1)1,10， 是模 11 乘； (2)G=1,3,4,5,9, 同（1） ；(3)， 是普通乘法； (4)， 是普通加法；12设 Q 为有理数集， Q， （其中 为普通乘法）不能构成（ 1 ） 。(1)群； (2)独异点； (3)半群； (4)交换半群13设 是集合 上的二元运算，称元素 为 关于运算“ ”的幺元，如果（ A ） 。AeAA ，且对任意元素 ，使 exxB ，且对任意元素 ，使 eC ，且存在元素
7、，使 e- 4 -D ，且存在元素 ，使 eAxAexe14设 是集合 A 上的二元运算，称元素 为 关于运算“ ”的零元，如果（ B ） 。A ，且对任意元素 ，使 xB ，且对任意元素 ，使 xC ，且存在元素 ，使 xD ，且存在元素 ，使 A15设 是有限循环群，则下列说法不正确的是( ) A,*GA 的生成元是唯一的； B有限循环群中的运算*满足交换律；C 中存在一元素 ，使 中任一元素都可表示成 的幂；aGaD设 是 的生成元，则对任一正整数 ，存在正整数 使 a,*ijija16下面哪个偏序集构成有界格（ 4 ） (1) ； (2) ，其中为整除关系；,N,1264,3(3) ；
8、 (4) ；其中 ， 为 的幂集Z()PA,abc()PA17下面哪个哈斯图构成分配格（ ） - 5 -18下面哈斯图所示的有界格中，哪个不是有补格（ ） 19下面的偏序集，哪个不是格（ ） 下面所示的偏序集中，哪一个是格：（ ） (B)- 6 -】三、简答题1将下面运算表中的空白处填入适当的元素符号，使 构成群,abc a bcc2设 ， 是交换群， 是 的单位元。 的运算表如下：,Aabcd,Aa,Abcd cd12ax 4356x 求 ，并说明道理。123456,xx答案： 。因为有限群的运算表中的每行、每列23456,dcbxdcxb都是群中元素的一个置换。3设 是实数集 上的二元运算
9、，其定义如下： R2aa（1）求 2 3， 3 (-5)和 7 1/2 。 - 7 -（2） 是半群吗？ 可交换吗？,R（3）求 中关于 的单位元。 （4） 中哪些元素有逆元素，其逆元素是什么？答案：（1）17，-32，14.5 。 2） 是半群， 可交换。 （3）0。 ,R（4）当 时， 有逆元素， 。,1/aRa1/(2)a4设 ， 是 的幂集， 是集合对称差运算。已知是群。在Abc()PA(PA群中，找出其幺元。找出任一元素的逆元。求元素 使满足()P x。ax解：（1）由于对 都有 故 是的(),BPA()(),BB()PA幺元。（2）由于对 都有 故 B 是其自身的逆元。(),()(
10、),（3）由于 ，故 。ab,xab5设 =1,2,3,5,6,10,15,30 ， “” 为集合 上的整除关系。AA(1) ，是否为偏序集? 若是，画出其哈斯图；(2) ，是否构成格？为什么？(3) ，是否构成布尔代数？为什么？解：(1) ，是偏序集。 其哈斯图为：(2) ，构成格。因为其任意两个元素都有上确界和下确界。A(3) ，构成布尔代数。因为它是有界分配格，且其任意元素都有唯一补元素。6下面哈斯图表示的格中哪个元素无补元？对有补元的元素求出它们的补元- 8 -7设 0,1 ，是 布 尔 代 数)()()(),( 32321321 xxxE，上的一个布尔表达式，试求出其析取范式和合取范
11、式解：其析取范式为： 7,6531321321321321321 )()()()()( xxxxx其合取范式为： 3,20321321321 )()()( 四证明题 设 Q 是有理数集，在 QQ 定义运算为 ,b,y=ax,ay+b ，(1)证明Q Q,是独异点；(2)QQ 中元素,b是否有逆元，若有，求出,b的逆元设 是一个群， ， ， ，有,GaG:fxG1()a试证明 是 一个自同构f,证：首先证明 是入射。 （3 分） 111212 212,(), .xGfxfaxxaaff对 若 则 有该 式 两 边 同 时 左 乘 及 右 乘 得 故 为 入 射其次证明 是满射。f对 1, ,()
12、,yxyGyfxf都 存 在 使 得 因 此 是 满 射 .综合以上两点，知 是双射。 （3 分）f111121212 2,()()()() .xxaxaxaxff 最 后 对 都 有 从 而 是 到 的 自 同 构- 9 -3设 为一布尔代数，在 上定运算 如下： ， ， =( ),AAabAba( ) 证明 ， 是一个交换群ba证明：(1) 因为 为一布尔代数，所以 =( ) ( ) ，即 关于 , “ ”封闭。（2）对 ，,abcA()()()()()()()bacabcc 同理 ()()()()()abcabcabcc 所以“ ”是可结合的。（3）对 ，A0()(0)(1)aaa所以
13、0 是 ， 的幺元。（4）对 ， ，所以 。()()01（5） ，,abA()abbaba综上， ， 是一个交换群4 （10 分） （1）设 是独异点， 为其幺元，且对 ，有 ，证明,GeGe是一个交换群。,证明： 对 ，由于 ，则 ， 即 中的每一个元素 都有逆元aae1a a素,故 是一个群。,G又对 ，有b，11()abba所以 是一个 Abel 群。,G- 10 -(2) 若 为一个 阶非交换群，且 3，证明 中存在非幺元 和 ，,GnnGab，使得 。abab证： 为一个 阶非交换群，,由（1）知：存在 使得 ， （2 分）,G1a设 ，从而 ， ， ， （2 分）abaeb且有 。 （1 分）*
