1、- 1 -石嘴山三中 2017 届第四次模拟考试能力测试文科数学第 I 卷（选择题）选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 已知集合 ， ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得 ： ，则.本题选择 C 选项.2. 复数 （ 为虚数单位） ，则复数 的共轭复数为A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得： .本题选择 A 选项.3. 中国古代数学名著九章算术中记载：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共猜得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？其意是：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，他们共猎获五只鹿，
2、欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配，问各得多少.若五只鹿的鹿肉共 500 斤，则不更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为A. 200 B. 300 C. D. 400【答案】B【解析】由题设五人分得的鹿肉斤数成等差数列，因为 ，所以，则由等差数列的性质可得 ，即 ，所以 ，应选答案 B 。点睛：本题将古代著名数学问题与等差数列紧密联系起来，彰显了数学知识的历史渊源，同- 2 -时也说明数学知识的应用无处不在。求解时巧妙运用等差数列的通项的性质，从而使得问题简捷、巧妙获解。4. 设 为 中 边上的中点，且 为 边上靠近点 的三等分点，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意： .本题选
3、择 D 选项.5. 已知命题 ：“ ”，命题 ：“直线 与直线 互相垂直” ，则命题 是命题 的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】命题 中，直线 的斜率是 所以 命题 是命题 成立的充分不必要条件.选 A6. 若 ， 为锐角，且满足 cos= ，则 sin 的值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由条件利用同角三角函数的基本关系求得 sin、sin（+）的值，再利用两角和差的正弦公式求得 sin=sin 的值解：， 为锐角，且满足cos= ，sin= = ，sin（+）= ，则 sin=sin=sin（+）co
4、scos（+）sin= = ，故选：C考点：两角和与差的正弦函数- 3 -7. 设 ， 满足约束条件 若目标函数 的最大值为 2，则实数 的值为A. B. 1 C. D. 【答案】A【解析】试题分析：试题分析：先作出不等式组 的图象如图,因为目标函数的最大值为 ,所以 与可行域交于如图 点,联立 ,得 ,由 在直线 上,所以有 ,选 A.考点：二元一次不等式所表示的平面区域.8. 函数 的图象大致为A. B. C. D. 【答案】C【解析】由函数的解析式 ，当 时,是函数的一个零点,属于排除 A,B,当 x(0,1)时，cosx0， ,函数 f(x) 0 时， y=x5，5 x53，解得 0x
5、8，故 0x8 符合题意。.综合可得， x 的取值为(8,8)，在集合 A=x|10x10， x R中随机抽取一个数值做为 x，故输出的 y 值落在区间(5,3)内的概率为 .本题选择 A 选项.11. 已知双曲线 的右顶点为 为坐标原点,以 为圆心的圆与双曲线 的某一条渐近线交于两点 ,若 且 ,则双曲线 的离心率为A. B. C. D. 【答案】B【解析】由图知 是等边三角形，设 中点是 ，圆的半径为，则 ， ，因为 ，所以 ， ，即 ，所以 ，即 ， ，从而得 ，故选 B点睛：本题考查双曲线的离心率，解题关键是建立 的一个关系式（等式） ，注意到条件是正三角形，因此取 中点 ，则 ，于是
6、渐近线 的斜率，而 的关系可通过 及正三角形求得，这样我们找到了 的等式，从而可求得离心率12. 若直角坐标平面内的两点 满足条件： 都在函数 的图象上； 关于原点对称。则称点对 是函数 的一对 “友好点对”(点对 与- 7 -看作同一对“友好点对 ”)已知函数 ,则此函数的“友好点对”有A. 3 对 B. 2 对 C. 1 对 D. 0 对【答案】C【解析】由题意得：函数 “友好点对”的对数，等于函数 （ ）的图象关于原点对称的图象，与函数 交点个数，在同一坐标系中做出函数（ ）的图象关于原点对称的图象，与函数 （ ）的图象如下图所示：由图象可知，两个图象只有一个交点故选 C.第 II 卷（
7、非选择题）填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13. 抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是_【答案】【解析】双曲线 的焦点 到渐近线距离为 的焦点 到渐近线距离为 .- 8 -14. 已知正项等比数列 中， ，其前 项和为 ，且 ，则_【答案】15【解析】解：由题意可知： ，结合 解得： ，则 .15. 若 ，且 ，则_.【答案】4032【解析】令 可得： ，则 .16. 已知函数 的定义域为，部分对应值如下表， 的导函数 的图象如图所示，下列关于 的命题：-1 0 4 51 2 2 1- 9 -函数 的极大值点为 0,4；函数 在上是减函数；如果当 时， 的最大值是 2，那么
8、t 的最大值为 4；当 1a2 时，函数 有 4 个零点.其中正确命题的序号是_【答案】【解析】试题分析： 由函数 的导函数 的图像知，函数 的极大值点为 ，所以正确；因为在 上的导函数为负，所以函数 在 上是减函数，所以正确；由 知，因为极小值 未知，所以无法判断函数 有几个零点，故不正确.综上所述，正确命题的个数为 2.考点：利用导数研究函数的极值；命题的真假判断与应用.三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知向量 ，向量 ，函数 .（1）求 单调递减区间；.（2）已知 分别为 内角 的对边， 为锐角， ，且 恰是在 上的最大值，
9、求 和 的面积 .【答案】 （1） ;（2）【解析】试题分析：(1)利用平面向量数量积的运算法则得到三角函数式，化简三角函数式即可求得 的周期；(2)结合(1)中的结论首先求得函数的最大值，据此求得 的大小，然后利用余弦定理求得边长 b 即可.试题解析：- 10 -（1）.（2）由（1）知： ， 时， ，当 时 取得最大值 ，此时 .由 得 .由余弦定理，得 ， ，即 ，则 .18. 甲、乙两人进行射击比赛，各射击 4 局，每局射击 10 次，射击命中目标得 1 分，未命中目标得 0 分两人 4 局的得分情况如下：（1）已知在乙的 4 局比赛中随机选取 1 局时，此局得分小于 6 分的概率不为
10、零，且在 4 局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求 的值；（2）如果 ，从甲、乙两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局，并将其得分分别记为 ，求 的概率； （3）在 4 局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出的所有可能取值 （结论不要求证明）【答案】 （1） ；（2） ；（3） 【解析】试题分析：（1）由题意，得 中至少有一个不小于 ，由此能得到 的值；（2）设“从甲乙的 局比赛中随机各选取 局，且得分满足 ”- 11 -为事件 ，记甲的 局比赛为 ，各局的得分分别为 ；乙局的 局比赛为，各局的得分分别是 ，利用列举法能求出 的概率；（3）由题设条件能求出的可能的取
11、值为 .试题解析：（1）由题意得 ，即 .在乙的 4 局比赛中随机选取 1 局时，此局得分小于 6 分的概率不为零， 至少有一个小于 6，又 ，且 ， ， .（2）设“从甲、乙的 4 局比赛中随机各选取 1 局，且得分满足 ”为事件 ，记甲的 4 局比赛为 ，各局的得分分别是 6,6,9,9；乙的 4 局比赛为，各局的得分分别是 7,9,6,10.则从甲、乙的 4 局比赛中随机各选取 1 局，所有可能的结果有 16 种，它们是： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， .而事件 的结果有 8 种，它们是： ， ， ， ， ， ， ，事件 的概率.（3）的所有可能取值为 6，7，8.
12、考点：古典概型及其概率的求解19. 如左图：在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=90 0，AB=BC=2，AD=6，CEAD 于 E 点，把DEC 沿 CE 折到 的位置，使 ，如下图：若 G,H 分别为 ， 的中点.- 12 -（1）求证： ；（2）求三棱锥 的体积.【答案】 （）证明过程见解析；（）【解析】试题分析：（）由勾股定理可得 又知 ，进而得 ，从而 面 ， ，再由线面垂直的判定定理可及性质得 ，；（）由（1）得.试题解析：（） 在 中 ， ，.- 13 -， ， .， .，.又 在平面 内， 分别为 ， 的中点，连接.（）由（1）得.20. 已知椭圆 ，离心率为 ，两焦点
13、分别为 ，过 的直线交椭圆 于 两点，且 的周长为 8.（1）求椭圆 的方程；（2）过点 作圆 的切线交椭圆 于 两点，求弦长 的最大值【答案】 （1） ；（2） 的最大值为 2【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般利用待定系数法，即根据条件列两个独立方程：一是离心率 ，二是椭圆定义： 的周长为 ，解方程组得， （2）涉及弦长问题，一般利用直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理和弦长公式求弦长：设切线的方程为 ，则- 14 -，再根据直线与圆相切得 ，即 ，代入化简得 ，最后利用基本不等式求最值试题解析：（1）由题得： ， 1 分， 3 分所以 4 分又 ，所以 ， 5 分即椭圆 的
14、方程为 6 分（2）由题意知， ，设切线的方程为 ，由 ，得 7 分设 ，则 8 分，由过点 的直线与圆 相切得 ，即 ，所以 11分，当且仅当 时， ，所以 的最大值为 2 12 分.考点：直线与椭圆位置关系【方法点睛】有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解。涉及中点弦问题往往利用点差法.- 15 -21. 已知函数（1）求函数 的最大值；（2）设 其中 ，证明: 1【答案】 （1）f(x)的最大值为 f(0)0；（2）证明过程见解
15、析【解析】试题分析：（1）先求导 ,从而求出增区间为 ,减区间为,故 ；（2）由（1）知 ,所以当 时,成立，当 时, ,令,所以 ,所以 成立.试题解析：（1）f(x)xe x当 x(，0)时，f(x)0，f(x)单调递增；当 x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减所以 f(x)的最大值为 f(0)0（2）由（）知，当 x0 时，f(x)0，g(x)01当1x0 时，g(x)1 等价于设 f(x)x设 h(x)f(x)x，则 h(x)xe x1当 x(1，0)时，0x1，0e x1，则 0xe x1，从而当 x(1，0)时，h(x)0，h(x)在(1，0单调递减当1x0 时，h(x)h(
16、0)0，即 g(x)1综上，总有 g(x)1考点：利用导数研究函数的性质.【方法点晴】求函数 在 上的最大值和最小值的步骤:（1）求函数在 内的极值；（2）求函数在区间端点的函数值 ；（3）将函数 的各极值与 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念.利用导数证明不等式,可先利用分析法分析,然后构造函数证明.请考生在第 22、23 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅- 16 -笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22. 选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为 （其中为参数）.现
17、以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .(1) 写出直线普通方程和曲线 的直角坐标方程；(2) 过点 且与直线平行的直线 交曲线 于 ， 两点，求 【答案】() ；()2.【解析】试题分析：() 消去参数即可得到直线的普通方程，根据即可求得曲线 的直角坐标方程；()首先求得直线 的参数方程，然后联立曲线 的直角坐标方程利用参数的几何意义求解即可.试题解析：() 由 消去参数，得直线的普通方程为 .又由 得 ，由 得曲线 的直角坐标方程为 .() 过点 且与直线平行的直线 的参数方程为将其代入 得 ，则 ，知，所以 .考点：1、直线的参数方程；2、极坐标方程与直角坐标方程间的互化.23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 的最大值为.（1）求的值；（2）若 ， ，求 的最大值 .- 17 -【答案】 （1） ；（2）2.【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义，将函数化为分段函数形式，分别求各段最大值，最后取各段最大值的最大者为的值；（2）利用基本不等式得，即得 的最大值.试题解析：（1）由于 由函数 的图象可知.（2）由已知 ,有 ， 因为 (当 时取等号)， (当 时取等号)，所以 ，即 ，故 的最大值为 2.
