1、13.2 立体几何中的向量方法（1）空间向量与平行关系学习目标 1. 掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.知识点一 直线的方向向量与平面的法向量思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？答案 (1)点：在空间中，我们取一定点 O 作为基点，那么空间中任意一点 P 的位置就可以用向量 来表示.我们把向量 称为点 P 的位置向量.OP OP (2)直线：直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.对于直线 l 上的任一点 P，存在实数 t，使得 t ，此
2、方程称为直线的向量参数方程.AP AB (3)平面：空间中平面 的位置可以由 内两条相交直线来确定.对于平面 上的任一点 P， a， b 是平面 内两个不共线向量，则存在有序实数对( x， y)，使得 xa yb.OP 空间中平面 的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示.梳理 (1)用向量表示直线的位置直线 l 上一点 A条件表示直线 l 方向的向量 a(即直线的方向向量)形式 在直线 l 上取 a，那么对于直线 l 上任意一点 P，一定存在实数 t，使得 tAB AP AB 2定位置 点 A 和向量 a 可以确定直线的位置作用定点 可以具体表示出 l 上的任意一点(2)用向量表示平面的
3、位置通过平面 上的一个定点 O 和两个向量 a 和 b 来确定：条件 平面 内两条相交直线的方向向量 a， b 和交点 O形式 对于平面 上任意一点 P，存在有序实数对( x， y)使得 xa ybOP 通过平面 上的一个定点 A 和法向量来确定：平面的法向量直线 l ，直线 l 的方向向量，叫做平面 的法向量确定平面位置 过点 A，以向量 a 为法向量的平面是完全确定的(3)直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量能平移到直线上的非零向量 a，叫做直线 l 的一个方向向量平面的法向量直线 l ，取直线 l 的方向向量 n，叫做平面 的法向量(4)空间中平行关系的向量表示设直线 l， m 的
4、方向向量分别为 a， b，平面 ， 的法向量分别为 ， v，则线线平行 l ma ba kb(kR)线面平行 l a a 0面面平行 v kv(kR)知识点二 利用空间向量处理平行问题思考 (1)设 v1( a1， b1， c1)， v2( a2， b2， c2)分别是直线 l1， l2的方向向量.若直线l1 l2，则向量 v1， v2应满足什么关系.(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？答案 (1)由直线方向向量的定义知若直线 l1 l2，则直线 l1， l2的方向向量共线，即l1 l2v
5、1 v2v1 v2( R).(2)可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行.3(3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行.梳理 利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.类型一 求直线的方向向量、平面的法向量例 1 如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA平面 ABCD， E 为 PD 的中点.AB AP1， AD ，试建立恰当的空间直角坐标
6、系，求平面 ACE 的一个法向量.3解 因为 PA平面 ABCD，底面 ABCD 为矩形，所以 AB， AD， AP 两两垂直.如图，以 A 为坐标原点， 的方向为 x 轴的正方向，建立空间直角坐标系，AB 则 D(0， ，0)， E(0， ， )， B(1，0，0)， C(1， ，0)，332 12 3于是 (0， ， )， (1， ，0).AE 32 12 AC 3设 n( x， y， z)为平面 ACE 的法向量，则Error! 即Error!所以Error!令 y1，则 x z .3所以平面 ACE 的一个法向量为 n( ，1， ).3 3引申探究若本例条件不变，试求直线 PC 的一个
7、方向向量和平面 PCD 的一个法向量.解 如图所示，建立空间直角坐标系，则 P(0，0，1)， C(1， ，0)，34所以 (1， ，1)，PC 3即直线 PC 的一个方向向量.设平面 PCD 的法向量为 n( x， y， z).因为 D(0， ，0)，所以 (0， ，1).3 PD 3由Error! 即Error!所以Error! 令 y1，则 z .3所以平面 PCD 的一个法向量为 n(0，1， ).3反思与感悟 利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为 n( x， y， z).(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量 ， .AB AC (3)列方程组：由Error
8、!列出方程组.(4)解方程组：Error!(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取1).(6)得结论：得到平面的一个法向量.跟踪训练 1 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形.平面 PAB平面 ABCD， PAB是边长为 1 的正三角形， ABCD 是菱形. ABC60， E 是 PC 的中点， F 是 AB 的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面 DEF 的法向量.解 因为 PA PB， F 为 AB 的中点，所以 PF AB，又因为平面 PAB平面 ABCD，平面 PAB平面 ABCD AB， PF平面 PAB.所以 PF平面 ABCD，因为 AB BC， ABC6
9、0，所以 ABC 是等边三角形，所以 CF AB.以 F 为坐标原点，建立空间直角坐标系(如图所示).5由题意得 F(0，0，0)， P(0，0， )， D(1， ，0)， C(0， ，0)， E(0， ， ).32 32 32 34 34所以 (0， ， )， (1， ，0).FE 34 34 FD 32设平面 DEF 的法向量为 m( x， y， z).则Error! 即Error!所以Error! 令 y2，则 x ， z2.3所以平面 DEF 的一个法向量为 m( ，2，2).3类型二 利用空间向量证明平行问题例 2 已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2， E、 F 分别
10、是 BB1、 DD1的中点，求证：(1)FC1平面 ADE；(2)平面 ADE平面 B1C1F.证明 (1)建立如图所示空间直角坐标系 Dxyz，则有 D(0，0，0)， A(2，0，0)， C(0，2，0)，C1(0，2，2)， E(2，2，1)， F(0，0，1)， B1(2，2，2)，所以 (0，2，1)， (2，0，0)， (0，2，1).FC1 DA AE 设 n1( x1， y1， z1)是平面 ADE 的法向量，则 n1 ， n1 ，DA AE 即Error! 得Error!令 z12，则 y11，所以 n1(0，1，2).因为 n1220，FC1 所以 n1.FC1 又因为 F
11、C1平面 ADE，所以 FC1平面 ADE.6(2)因为 (2，0，0)，设 n2( x2， y2， z2)是平面 B1C1F 的一个法向量.由C1B1 n2 ， n2 ，FC1 C1B1 得Error! 得Error!令 z22，得 y21，所以 n2(0，1，2)，因为 n1 n2，所以平面 ADE平面 B1C1F.反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题.跟踪训练 2 如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA平面 ABCD， PB 与底面所成的角为 45，底面 ABCD 为直角梯形， ABC BAD9
12、0， PA BC AD1，问在棱 PD 上是否存在一点12E，使 CE平面 PAB？若存在，求出 E 点的位置；若不存在，请说明理由.解 分别以 AB， AD， AP 为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系， P(0，0，1)， C(1，1，0)， D(0，2，0)，设 E(0， y， z)，则 (0， y， z1)， (0，2，1)，PE PD ，PE PD y(1)2( z1)0， (0，2，0)是平面 PAB 的法向量，AD 又 (1， y1， z)， CE平面 PAB，CE ，(1， y1， z)(0，2，0)0.CE AD y1，代入得 z ，12 E 是 PD 的中点，7
13、存在 E 点，当点 E 为 PD 中点时， CE平面 PAB.1.若 A(1，0，1)， B(1，4，7)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量为( )A.(1，2，3) B.(1，3，2) C.(2，1，3) D.(3，2，1)答案 A解析 因为 (2，4，6)，所以与 共线的非零向量都可以作为直线 l 的方向向量.AB AB 2.已知直线 l1的方向向量 a(2，3，5)，直线 l2的方向向量 b(4， x， y)，若l1 l2，则 x， y 的值分别是( )A.6 和10 B.6 和 10 C.6 和10 D.6 和 10答案 A解析 由 l1 l2，得两向量 a， b 平行，即 ，
14、2 4 3x 5y所以 x， y 的值分别是 6 和10.3.若 (2，3，1)是平面 的一个法向量，则下列向量中能作为平面 的法向量的是( )A.(0，3，1) B.(2，0，1)C.(2，3，1) D.(2，3，1)答案 D解析 能作为平面 的法向量的向量与 (2，3，1)共线，(2，3，1) .4.若直线 l ，且 l 的方向向量为(2， m， 1)，平面 的法向量为 ，则 m 为( )(1，12， 2)A.4 B.6 C.8 D.8答案 C解析 l ，平面 的法向量为 ，(1，12， 2)(2， m， 1) 0，(1，12， 2)2 m20， m8.125.在正方体 ABCD A1B1
15、C1D1中，平面 ACD1的一个法向量为_.答案 (1，1，1)(答案不惟一)解析 不妨设正方体的棱长为 1，建立空间直角坐标系，则各点坐标为 A(1，0，0)，C(0，1，0)， D1(0，0，1)，8设平面 ACD1的一个法向量 a( x， y， z)，则 a 0， a 0.AC AD1 因为 (1，1，0)， (1，0，1)，AC AD1 所以Error!所以Error!所以Error! 不妨取 x1，则 a(1，1，1).(注：答案不惟一，只要与所给答案共线都对)1.应用向量法证明线面平行问题的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的
16、方向向量共线.(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示.即用平面向量基本定理证明线面平行.2.证明面面平行的方法设平面 的法向量为 n1( a1， b1， c1)，平面 的法向量为 n2( a2， b2， c2)，则 n1 n2(a1， b1， c1) k(a2， b2， c2)(kR).40 分钟课时作业一、选择题1.已知 l1的方向向量为 v1(1，2，3)， l2的方向向量为 v2( ，4，6)，若 l1 l2，则 等于( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 B解析 l1 l2， v1 v2，则 ， 2.1 242.已知 a( 1，0，2)， b(6，2 1，2 )，
17、若 a b，则 与 的值可以是( )A.2， B. ， C.3，2 D.2，212 13 129答案 A解析 由题意知Error!解得Error!或Error!3.直线 l 的方向向量 s(1，1，1)，平面 的一个法向量为 n(2， x2 x， x)，若直线 l ，则 x 的值为( )A.2 B. C. D.2 2 2答案 D解析 易知121( x2 x)1( x)0，解得 x .24.在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F 分别在 A1D， AC 上，且 A1E A1D， AF AC，则( )23 13A.EF 至多与 A1D， AC 中的一个垂直B.EF A1D， EF AC
18、C.EF 与 BD1相交D.EF 与 BD1异面答案 B解析 以 D 点为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间DA DC DD1 直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则 A1(1，0，1)， D(0，0，0)， A(1，0，0)， C(0，1，0)，E( ，0， )， F( ，0)， B(1，1，0)， D1(0，0，1)， (1，0，1)，13 13 2313 A1D (1，1，0)， ( ， )， (1，1，1)，AC EF 1313 13 BD1 ， 0， 0，EF 13BD1 A1D EF AC EF 从而 EF BD1， EF A1D， EF
19、AC.故选 B.5.设直线 l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 b，若 ab0，则( )A.l B.l C.l D.l 或 l 答案 D解析 当 ab0 时， l 或 l .6.已知平面 内两向量 a(1，1，1)， b(0，2，1)且 c ma nb(4，4，1).若 c为平面 的法向量，则 m， n 的值分别为( )A.1，2 B.1，2 C.1，2 D.1，2答案 A解析 c ma nb(4，4，1)( m， m， m)(0，2 n， n)(4，4，1)( m4， m2 n4， m n1)，由 c 为平面 的法向量，得Error!得Error!10二、填空题7.已知 A(4，1，3)
20、， B(2，3，1)， C(3，7，5)，点 P(x，1，3)在平面 ABC 内，则 x 的值为_.答案 11解析 点 P 在平面 ABC 内，存在实数 k1， k2，使 k1 k2 ，AP AB AC 即( x4，2，0) k1(2，2，2) k2(1，6，8)，Error! 解得Error! x42 k1 k2817，即 x11.8.已知 l ，且 l 的方向向量为 m(2，8，1)，平面 的法向量为 n(1， y， 2)，则y_.答案 12解析 l ， l 的方向向量 m(2，8，1)与平面 的法向量 n(1， y， 2)垂直，218 y20， y .129.设平面 的法向量为 m(1，2，2)，平面 的法向量为 n(2，4， k)，若 ，则 k_.答案 4解析 由 得 ，解得 k4.1 2 2 4 2k10.已知平面 与平面 垂直，若平面 与平面 的法向量分别为 (1，0，5)，v( t， 5，1)，则 t 的值为_.答案 5解析 平面 与平面 垂直，平面 的法向量 与平面 的法向量 v 垂直， uv0，即1 t05510，解得 t5.三、解答题11.已知平面 经过点 A(1，2，3)， B(2，0，1)， C(3，2，0)，试求平面 的一个法向量.解 A(1，2，3)， B(2，0，1)， C(3，2，0)， (1，2，4)， (2，4，3).AB AC
