高中数学必修2第二章知识点总结.docx

高中数学必修2知识点总结 第14页共32页 立体几何初步 ' 特殊几何体表面积公式(c为底面周长，h为高，h为斜高，l为母线) S直棱柱侧面积 ch S正棱锥侧面积 1ch‛ 2 S 正棱台侧面积 1 2(c C2)h' S@i柱侧 2 rh S圆柱表 2 r r l Sa锥侧面打rl %锥表 r r l _ 2 , 〜 _2 S圆台表 r rl Rl R 柱体、锥体、台体的体积公式 V圆锥-r2h 3 V柱 Sh vb 1Sh V台 1(S1店S S)h V圆柱 Sh r2h 3 3 Va台 1(S' SS S)h 1 (r2 rR R2)h 3 3 (4)球体的表面积和体积公式： V球=4 R3 ； S球面=4 R2 3 第二章直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1平面含义：干面是无限延展的 2三个公理： (1)伦理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 公理1作用：判断直线是否在平面内. (2)於理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。一 符号表示为：A B、C => 使 AG a、 BG a、CG a。 公理2作用：确定一个平面的依据。 (3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：PG a A 0 => a A 0 =L，且PG L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 . 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 1空间的两条直线有如下三种关系: 共面直线 J目交直线：同一平面内，有且只有一个公共点; 1平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点 2公公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平于 符号表示为：设a、b、c是三条直线 a // b =>a // c c // b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3忤角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 . 4注意点： ①a'与b’所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与 O的选择无关，为了简便，点 O 一般取在两直线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角9 e (0 ,); ③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 a±b; 2 ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： (1)直线在平面内 ——有无数个公共点 (2)直线与平面相交一一有且只有一个公共点 a a来表本年 // a (3)直线在平面平行一一没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a ijx a C a =A a 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1直线与平面平行的判定 1、1线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示: 2.2.2平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 符号表示： a f b琢 aH b = P H a all a, b// a 2、判断两平面平行的方法有二种： (1)用定义； (2)判定定理； (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质  1、F线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示： a II a 、 a C 3 a k// b a C 0 = b - 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示： a // 0 aC 丫 = a a k b B n 丫 = b - 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义：如果直线L与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L与平面a互相垂直，记作 L，a ,直线L叫做平 b)定理体现了 “直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 0 或 a -AB- 0 3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 2.3.3 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、篁线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 2、两个平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 一 第三章直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。 特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 0度。因此，倾斜角的取值范围是 0。= a< 180- (2)直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。 直线的斜率常用 k表示。即k tan 。斜率 反映直线与轴的倾斜程度。 当直线l与x轴平行或重合时，a =0° , k = tan0 0 =0; 当直线l与x轴垂直时，a = 90 ° , k不存在. 当 0 ,90时，k 0； 当 90 ,180 时，k 0； 当 90时，k不存在。 1x2) l上每一点的横坐标都等于 x1，所 ②过两点的直线的斜率公式 ：k y——y1(x1 X2) ( P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1 x2 x1 注意下面四点：(1)当x1 x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 (2) k与P1、P2的顺序无关； (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式：y y1 k(x x1)直线余W k,且过点x1, y1 注意：当直线的斜率为0。时，k=0,直线的方程是 f。 当直线的斜率为90用时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因 以它的方程是x=x1。 Z斜截式： y kx b ,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b 斯 ，点式: y Yi ―—工(％ X2, Yi Y2)直线两点 9 yl ， X2N2 V2 Yi X2 X1 ④禄矩式: y- 1其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b。 ⑤一般式：Ax By C 0 (a, b不全为0) 注意：@各式的适用范围 ②特殊的方程如： 平行于x轴的直线:~~yb (b为常数)|； |平行于y轴的直线:―x~~a (a为常数) (6)两直线平行与垂直 当 1i： y k〔x b1， l2 ： Y k2X th 时， I1//I2 k1 k2,b1 b2； 11 12 k1 k2 1 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 (7)两条直线的交点 1i：AiX B〔y Ci 0 l2:A2x B2y C2 0相交 交点坐标即方程组A1x B1y C1 0的一组解。 A2x B2y C2 0 方程组无解 l1 //l2 ； 方程组有无数解 h与12重合 (8)两点间距离公式［ 设A(Xi，Yi), B x2 , Y2)是平面直角坐标系中的两个点， 则||AB［ 后 Xi)2 (y2 y11I (9)，到直线距离公式J 一点p Xo, y 到直线l1 : Ax By C 0的距离［~叵［卫匚© 7 A B2 (10)/平行直线距离公式 已知两条平行线直线l1和12的一般式方程为l1： Ax By C1 0, l2： Ax By C2 0 ,则1i与l 2的距离为 ^1 C2 A2 B2 第四章圆与方程 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。 2、圆的方程 2 2 2 (1)麻准万程 x a y b r ,圆心 a, b ,半径为r； 点 M (x0,y0)与圆(x 、2 , .、2 2..、一 一 a) (y b) r的位置关系: 2 , 当(xo a) (yo 2 2 ,,一八 b) >r ,点在圆外 当(Xo a)2 2 2 (yo b) =r ，点在圆上 .- -2 当(xo a) (yo  ,、2 2 b) 0)个单位，再沿x轴正方向平移a+1个单位得直线1',此时直线1'与1重合，则 直线1'的斜率为( ). A. a a+1 C. a+1 D. a+1 10.点(4, 0)关于直线5x + 4y + 21 =0的对称点是( ). D. ( —6, — 8) A. (-6, 8) B. (-8, -6) C. (6, 8) 、填空题 11 .已知直线11的倾斜角 1 = 15°,直线11与12的交点为A,把直线12绕着点A按逆时针方向旋转到和直线 11重合时所 转的最小正角为60°,则直线12的斜率k2的值为. 12 .若三点 A( -2, 3), B(3, —2), C( 1, m)共线，则 m 的值为. 2 13 .已知长方形 ABCD的三个顶点的坐标分别为 A(0, 1), B(1, 0), C(3, 2),求第四个顶点 D的坐标为. 14 .求直线3x+ ay= 1的斜率. 15 .已知点 A( —2, 1) , B(1 , — 2),直线y=2上一点P,使| AP| = | BP| ,则P点坐标为. 16 .与直线2x+3y+5=0平行，且在两坐标轴上截距的和为 6的直线方程是 . 17 .若一束光线沿着直线 x—2y+5=0射到x轴上一点，经x轴反射后其反射线所在直线的方程是 . 三、解答题 18 .设直线1的方程为(m2 —2m — 3)x+(2m2+m—1)y=2m—6(me R, mw—1),根据下列条件分别求 m的值： 1平行于AB,交AC, BC分别于E, F, △ CEF C E ①1在x轴上的截距是—3; ②斜率为1. 19 .已知△ ABC 的三顶点是 A(—1, —1), B(3, 1), C(1, 6).直线 的面积是^ CAB面积的1 .求直线1的方程. 4 20. 一直线被两直线li： 4x+y+6=0, 12： 3x—5y—6 = 0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程. 21.直线1过点（1, 2）和第一、二、四象限，若直线 1的横截距与纵截距之和为 6,求直线1的方程. 第四章圆与方程 、选择题 1 .若圆C的圆心坐标为(2, — 3),且圆C经过点M(5, —7),则圆C的半径为( ). A. V5 B. 5 C. 25 D.而 2 .过点A(1, —1), B( -1, 1)且圆心在直线 x+y—2 = 0上的圆的方程是( ). a (x-3)2 + (y+ 1)2 = 4 B. (x+3)2 + (y- 1)2 = 4 C. (x- 1)2+(y- 1)2 = 4 D. (x+1)2+ (y+ 1)2= 4 3 .以点(一3, 4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是( ). A (x-3)2 + (y+4)2=16 B. (x+3)2 + (y-4)2 = 16 C. ( x-3)2 +(y + 4)2= 9 D. (x + 3) 2+ (y-4) 2= 19 4 .若直线x + y+m=0与圆x2 + y2=m相切，则m为( )• 5 .0 或 2 B. 2 C. J2 D .无解 5 .圆(x—1)2+(y+2)2= 20在x轴上截得的弦长是( ). A. 8 B, 6 C, 6 <2 D, 4^/3 6 .两个圆 C1: x2+ y2+2x+2y —2=0 与 C2： x2+y2- 4x—2y+1 =0 的位置关系为( ). A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 7 .圆x2+y2- 2x—5=0与圆x2+y2 + 2x-4y-4 = 0的交点为A, B,则线段AB的垂直平分线的方程是( ). A . x+ y- 1 = 0 B. 2x-y+ 1 = 0 C. x-2y+ 1 = 0 D. x-y+1=0 8 .圆x2+y2— 2x=0和圆x2+y2 + 4y= 0的公切线有且仅有( ). A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条 9 .在空间直角坐标系中，已知点 M(a, b, c),有下列叙述： 点M关于x轴对称点的坐标是 M1(a, — b, c); 点M关于yoz平面对称的点的坐标是 M2(a, - b, — c); 点M关于y轴对称的点的坐标是 M3( a, — b, c); 点M关于原点对称的点的坐标是 M4( - a, — b, - c). 其中正确的叙述的个数是( ). A. 3 B. 2 C, 1 D, 0 10 .空间直角坐标系中，点 A( -3, 4, 0)与点B(2, —1, 6)的距离是( ). A. 2 43 B. 2 . 21 C. 9 D. ,86 二、填空题 11 .圆x2+y2— 2x—2y+1 = 0上的动点Q到直线3x+4y+8=0距离的最小值为 . 12 .圆心在直线y=x上且与x轴相切于点(1, 0)的圆的方程为 . 13 .以点C( -2, 3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是 . 14 .两圆x2 + y2= 1和(x+4)2+(y—a)2 = 25相切，试确定常数 a的值. 15 .圆心为C(3, —5),并且与直线 x-7y+2= 0相切的圆的方程为 . 16 .设圆x2 + y2- 4x—5 = 0的弦AB的中点为P(3, 1),则直线AB的方程是 . 三、解答题 17 .求圆心在原点，且圆周被直线 3x+4y+15 = 0分成1 : 2两部分的圆的方程. 18 .求过原点，在x轴，y轴上截距分别为a, b的圆的方程(ab，0). 19.求经过A(4, 2), B(-1, 3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是 2的圆的方程. 20.求经过点(8 3),并且和直线x=6与x=10都相切的圆的方程. 期末测试题 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 一、选择题：本大题共 14小题,每小题 4分，共56分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1.在直角坐标系中，已知 A(-1, 2) B(3 0),那么线段AB中点的坐标为( ). A. (2, 2) B. (1, 1) C. ( -2, -2) D. ( —1 —1) 2.右面三视图所表示的几何体是 ( ). A.三棱锥 B.四棱锥 正视图 侧视图 则实数k的值为( C.五棱锥 D.六棱锥 俯视图 (第2题) 3.如果直线x+2y—1 = 0和y=kx互相平行, A. 2 1 B.— 2 C. —2 4. 一个球的体积和表面积在数值上相等，则该球半径的数值为 )• A. 1 B. 2 5.下面图形中是正方体展开图的是 （ ( C. ). 工二 （第5题） 6. 圆x2+y2— 2x—4y —4 = 0的圆心坐标是（ ). A. ( — 2, 4) B. (2, -4) c. (-1, 2) D. (1, 2) 7. 直线y=2x+1关于y轴对称的直线方程为 A. y = - 2x+ 1 B. y=2x- 1 C. y = — 2x — 1 D . y= - x- 1 8. 已知两条相交直线 a, b, a//平面，则 b与的位置关系是 A. b 平面 B. b，平面 C. b//平面 D . b与平面相交，或b//平面 A. 在空间中，a, b是不重合的直线, B. a// 是不重合的平面，则下列条件中可推出 a // b的是（ C. a± , b1 10,圆x2 + y2 = 1和圆x2+ y2- 6y+5 = 0的位置关系是( A.外切 B.内切 11 .如图，正方体 ). A. / D'DB C. / ADB 12. A. D. C.外离 D.内含 ABCD A'B'C'D'中，直线D'A与DB所成的角可 B . / AD' C' D . / DBC' 圆（x—1）2十（y—1）2=2被x轴截得的弦长等于（ 3 B. 一 2 C. 2 13.如图，三棱柱 A1B1C1 —ABC中，侧棱AA」底面A1B1C1,底面三 第17页共32页 （第13题） AiBiCi是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是 ( )• A. CCi与BiE是异面直线 B. AC，平面 AiBiBA C. AE, BiCi为异面直线，且 AEXBiCi D. AiCi //平面 ABiE i4.有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为 4 cm,高为i2 cm.现要为i00个这种相同规格的笔筒涂色(笔筒内外均要 涂色，笔筒厚度忽略不计).如果每0.5 kg涂料可以涂i m2,那么为这批笔筒涂色约需涂料. A. i.23 kg B . i.76 kg C, 2.46 kg D , 3.52 kg 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共i6分.把答案填在题中横线上. i5.坐标原点到直线 4x+3y—i2 = 0的距离为 16 .以点 A(2, 0)为圆心，且经过点 B(—i, i)的圆的方程 是. 17 .如图，在长方体 ABCD—AiBiCiDi中，棱锥Ai——ABCD的 长方体的体积之比为. 18 .在平面几何中，有如下结论：三边相等的三角形内任意一点 (第i7题) 的距离之和为定值.拓展到空间，类比平面几何的上述结论，可得：四个面均为等边三角形的四面体内任意一点 三、解答题：本大题共3小题，共28分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. i9.已知直线l经过点(0, —2),其倾斜角是60°. (i)求直线l的方程； (2)求直线l与两坐标轴围成三角形的面积. 20.如图，在三棱锥 P—ABC中，PC，底面 ABC, ABXBC, D, E分别是AB, PB的中点. (i)求证：DE//平面PAC; (2)求证：ABXPB; 体积与 到三边 (第20题) (3)若PC=BC,求二面角 P—AB—C的大小. 21.已知半径为5的圆C的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线 4x+3y—29=0相切. (1)求圆C的方程； (2)