二次函数图像与性质完整归纳.docx

实用标准文档 二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式： y ax2的性质： a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a 0 向上 0, 0 y轴 x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随 x的增大而减小；x 0时，y有最小值0. a 0 问卜 0, 0 y轴 x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随 x的增大而增大；x 0时，y有最大值0. a的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2 2. y ax c的性质: 上加下减。 a的符号 :开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a 0 向上 0, c y轴 x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随 x的增大而减小；x 0时，y有最小值c. a 0 问卜 0, c y轴 x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随 x的增大而增大；x 0时，y有最大值c . 2 3. y a x h的性质: 左加右减。 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a 0 向上 h , 0 X=h x h时，y随x的增大而增大；x h时，y 随x的增大而减小；x h时，y有最小值0 . a 0 问卜 h , 0 X=h x h时，y随x的增大而减小；x h时，y 随x的增大而增大；x h时，y有最大值0. 2 4. y ax h k的性质: a的符号 ；开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a 0 向上 h, k X=h x h时，y随x的增大而增大；x h时，y 随x的增大而减小；x h时，y有最小值k . a 0 问卜 h, k X=h x h时，y随x的增大而减小；x h时，y 随x的增大而增大；x h时，y有最大值k .  .、二次函数图象的平移 1 .平移步骤： 2 万法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h k ,确定其顶点坐标 h, k ; ⑵ 保持抛物线y ax2的形状不变，将其顶点平移到 h, k处，具体平移方法如下： y=ax2 y= y=ax2+k 向右（h>0）【或左（h<0）】 平移|k|个单位 向上（k>0）【或向下（k<0）】平移|k|个单位 向上（k>0） 【或下（k<0）】平移|k|个单位 向上（k>0）【或下（k<0） 平移|k|个单位 向右（h>0）【或左（h<0）】 平移|k|个单位 向右（h>0）［或左（h<0）】 平移|k|个单位 y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k 文案大全 2 .平移规律 在原有函数的基础上 h值正右移，负左移； k值正上移，负下移 概括成八个字“左加右减，上加下减” . 方法二： ⑴y ax2 bx c沿y轴平移：向上（下）平移m个单位，y ax2 bx c变成 2 ，八. 2 . 、 y ax bx c m （或 y ax bx c m） ⑵y ax2 bx c沿轴平移：向左（右）平移 m个单位，y ax2 bx c变成 y a（x m）2 b（x m） c （或 y a（x m）2 b（x m） c） 三、二次函数y k与y ax2 bx c的比较 从解析式上看, k与y ax2 bx c是两种不同的表达形式，后者通过配 , 2 2 方可以得到前者，即 y a x — 4ac b ,其中h 2a 4a b 4ac b 一,k 2a 4a 四、二次函数y ax2 bx c图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数 y ax2 bx c化为顶点式y a（x h）2 k ,确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图 .一般我们 选取的五点为：顶点、与 y轴的交点0, c、以及0, c关于对称轴对称的点 2h, c、 与x轴的交点 为，0, x2,0 （若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点） . 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x轴的交点，与y轴的交点. 五、二次函数y ax2 bx c的性质 1.当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为 —,顶点坐标为 2a b 4ac b2 2a ' 4a 当x 2时，y随x的增大而减小；当x 2a 2 时，y有最小值4ac b . 4a 2.当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为 x b b 一时，y随x的增大而增大；当x — 2a 2a —,顶点坐标为 — 2a 2a 4ac b2 4a ■b■时，y随x的增大而减小；当x -b■时，y 2a 2a x 2时，y随x的增大而增大；当x 2a 2 有最大值4ac b . 4a 六、二次函数解析式的表示方法 2 1 . 一般式：y ax bx c (a, b, c为常数，a 0)； 2 .顶点式：y a(x h)2 k (a, h, k为常数，a 0)； 3 .两根式：y a(x xi)(x x2) (a 0,为，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标). 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式， 但并非所有的二次函数都可以写 成交点式，只有抛物线与 x轴有交点，即b2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交 点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化 ^ 七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1 .二次项系数a 2 一次函数y ax bx c中，a作为二次项系数，显然 a 0 . ⑴ 当a 0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之 a的值越小，开口越大； ⑵当a 0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之 a的值越大，开口越大. 总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向， a的正负决定开口方向，| a的大小决 定开口的大小. 2. 一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴. ⑴在a 0的前提下， 当b 0时， — 0,即抛物线的对称轴在 y轴左侧； 2a 当b 0时， — 0,即抛物线的对称轴就是 y轴； 2a 当b 0时， — 0,即抛物线对称轴在 y轴的右侧. 2a ⑵在a 0的前提下，结论刚好与上述相反，即 当b 0时， 2 0,即抛物线的对称轴在 y轴右侧； 2a 当b 0时，_b_ 0,即抛物线的对称轴就是 y轴； 2a 当b 0时， 2 0,即抛物线对称轴在 y轴的左侧. 2a 总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置. b ab的符号的判定：对称轴 x 在y轴左边则ab 0,在y轴的右侧则ab 0 , 概括的说就是“左同右异” 总结： 3.常数项c ⑴当c ⑵当c ⑶当c 0时, 0时, 0时, 抛物线与 抛物线与 抛物线与 y轴的交点在x轴上方，即抛物线与 y轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y轴的交点在x轴下方，即抛物线与 y轴交点的纵坐标为正； y轴交点的纵坐标为0； y轴交点的纵坐标为负. 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置. 总之，只要a, b, c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的. 二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式， 通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的 解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便. 一般来说，有如下几种情 况： 1 .已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2 .已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3 .已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4 .已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 八、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1.关于x轴对称 y ax2 bx c关于x轴对称后，得到的解析式是 y ax2 bx c； 2 … … ..一 一 .. 2 y a x h k关于x轴对称后，得到的解析式是 y a x h k； 2.关于y轴对称 y ax2 bx c关于y轴对称后，得到的解析式是 y ax2 bx c； 2 … … ..一 一 .. 2 y a x h k关于y轴对称后，得到的解析式是 y a x h k ； 3.关于原点对称 y ax2 bx c关于原点对称后，得到的解析式是 2 ax bx c; 2 y a x h k关于原点对称后，得到的解析式是 4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180。） 2 y ax bx c关于顶点对称后，得到的解析式是 2 ax bx b2 2a ' k关于顶点对称后，得到的解析式是 5.关于点 对称 k关于点 m, n对称后，得到的解析式是 2 h 2m 2n k 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换， 抛物线的形状一定不会发生变化, 因此a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时， 可以依据题意或方便运算的原则, 选择合适 的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线） 的顶点坐标及开口方向, 再确 定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式. 二次函数图像参考: 2 x y= 2 _ 2 y=x y=2x 2 2 【例题精讲】 一、一元二次函数的图象的画法 一 一 一 【例1】求作函数y -x2 4x 6的图象 2 1c 1c 【解】y 1x2 4x 6 1(x2 8x 12) 2 2 2" 4)2—4］ 1(x2 4)2-2 以x 4为中间值，取x的一些值，列表如下: x … -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 … y … 5 2 0 3 2 -2 3 2 0 5 2 … 【例2】求作函数y x2 4x 3的图象。 【解】y x2 4x 3 (x2 4x 3) [(x 2)2 7] [(x 2)2 7 ⑴ 配方；(2)列表； (3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左(右)边部分图象，再利 用对称性描出右(左)部分就可。 一元二次函数性质 【例3】求函数y x2 6x 9的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。 【解】y x2 6x 2 x2 6x 9 7 (x 3)2 7 由配方结果可知：顶点坐标为 (3, 7),对称轴为x 3; 1 0 ••.当 x 3时，ymin 7 函数在区间(，3］上是减函数，在区间［3, )上是增函数。 【例4】求函数y 5x2 3x 1图象的顶点坐标、对称轴、最值。 b 3 3 4ac b2 4 ( 5) 1 32 29 2a 2 ( 5) 10 ' 4a 4 ( 5) 20 3 29 函数图象的顶点坐标为 （一，——），对称轴为x 10 20 3 当x —时，函数取得最大值 10 29 20 29 ymaz 20 3 一 函数在区间（，一］上是增函数，在区间［3, 10 ）上是减函数。 【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个: （1）配方法；如例3 （2）公式法：适用于不容易配方题目 （二次项系数为负数或分数）如例4,可避免出错。 任何一个函数都可配方成如下形式: b 2 4ac b / y a(x ) (a 0) 2a 4a 【二次函数题型总结】 1.关于二次函数的概念 例1如果函数y (m 2 m 3m 2 3)x mx 1是二次函数，那么m的值为 例2抛物线y 2x 4的开口方向是 2 .关于二次函数的性质及图象 2 例3函数y ax bx c（a 0）的图象如图所本, 则 a、b、c, , a b c, a b c的符号 例4已知a—b + c=0 9a+ 3b+c=0,则二次函数 y=ax2 + bx+c的图像的顶点可能在 （ ） （A）第一或第二象限 （B）第三或第四象限 （C）第一或第四象限 （D）第二或 第三象限 例5已知：函数y ax2 bx c的图象如图：那么函数解析式为（ (A) y x2 2x 3 (C) y x2 2x 3 2 (B) y x 2x 3 2 (D) y x2 2x 3 3 .确定二次函数的解析式 实用标准文档 4 . 一次函数图像与二次函数图像综合考查 例6已知一次函数y=ax+c二次函数y=ax2+bx+c(a w0),它们在同一坐标系中的大致图象是 (). AB在X轴上，点 C在第一象限，AC与Y 例7如图：△ ABC是边长为4的等边三角形, 轴交于点D,点A的坐标为(-1,0)(1)求B、C D三点的坐标；(2)抛物线y ax2 bx c 经过B、C D三点，求它的解析式; 10 【练习题】 -6 一、选择题 1 .二次函数y x2 4x 7的顶点坐标是() A.(2, —11) B. (—2, 7) C. (2, 11) D. (2, —3) 2 .把抛物线y 2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是( ) A. y 2(x 1)2 B. y 2(x 1)2 C. y 2x2 1 D. y 2x2 1 2 一一 k 3 .函数y kx k和y -(k 0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的 () x 实用标准文档 ，则下列结论：①a,b同号；② 2时，x的值只能取0.其中正 4 .已知二次函数y ax2 bx c（a 0）的图象如图所示 当x 1和x 3时，函数值相等：③4a b 0④当y 文案大全 确的个数是（） A.1个 5.已知二次函数 由图象可知关于 （ ） A. 1 1 . B.2 6.已知二次函数 D. 4 A. C. 第一象限 第三象限 个 C. 3 2 ax bx c（a 0）的顶点坐标（ 一元二次方程 2 ax -1 个 ,-3.2 ）及部分图象（如图）, bx c 0的两个根分别是x1 1.3ffix2 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 2 ax bx c的图象如图所不，则点 （ac,bc）在（ B.第二象限 D.第四象限 2 7.万程2x x2 —的正根的个数为（ ） x A.0个 B.1 个 C.2 个. 3 个 与y轴交于点 B. x 2 D. 8.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0), A. y x2 x 2 2 一. 2 C. y x x2 或 y x  C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为 2 y x x 2 2 2 c y x x 2 或 y x x 2 二、填空题 9 .二次函数y x2 bx 3的对称轴是x 2,则b 。 10 .已知抛物线y=-2 （x+3） 2+5,如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是 11 . 一个函数具有下列性质：①图象过点（一 1, 2）,②当Xv0时，函数值y随自变量x的 增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）。 12 .抛物线y 2（ x 2）2 6的顶点为C,已知直线y kx 3过点C,则这条直线与两坐 标轴所围成的三角形面积为 。 2 2 13 . 一次函数y 2x 4x 1的图象是由y 2x bx c的图象向左平移1个单位，再向 下平移 2 个单位得到的，则 b= ,c= 。 14 .如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是 —16米，跨度是40米，在线段AB上离中心 M处5米的地方，桥的高度是 L兀取3.14）. 三、解答题: 5 15.已知二次函数图象的对称轴是 x 3 0,图象经过（1,-6）,且与y轴的交点为（0,—）. 2 第15题图 （1）求这个二次函数的解析式； （2）当x为何值时，这个函数的函数值为 0? （3）当x在什么范围内变化时，这个函数的函数值 y随x的增大而增大？ 1 C 16 .某种爆竹点燃后，其上升图度h(米)和时间t(秒)符合关系式h v0t —gt2 (00 时，a2 2a 3 5 得 a 4,a 当 a2 2a 3v0 时，a2 2a 3 5 即 a2 2a 满足条件的点的坐标为(4, 5)或(一2, 5).