1、12.2.2 椭圆的几何性质(一)学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形知识点一 椭圆的范围、对称性和顶点坐标思考 观察椭圆 1( ab0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎x2a2 y2b2样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？答案 (1)范围： a x a， b y b；(2)对称性：椭圆关于 x 轴、 y 轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点 A1( a,0)， A2(a,0)， B1(0， b)， B2(0， b)梳理 椭圆的几何性质焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上标准方程 1(
2、 ab0)x2a2 y2b2 1( ab0)y2a2 x2b2图形焦点坐标 (c,0) (0， c)对称性 关于 x 轴、 y 轴轴对称，关于坐标原点中心对称顶点坐标A1( a,0)， A2(a,0)，B1(0， b)， B2(0， b)A1(0， a)， A2(0， a)，B1( b,0)， B2(b,0)范围 |x| a，| y| b |x| b，| y| a长轴、短轴 长轴 A1A2长为 2a，短轴 B1B2长为 2b2知识点二 椭圆的离心率思考 如何刻画椭圆的扁圆程度？答案 用离心率刻画扁圆程度， e 越接近于 0，椭圆越接近于圆，反之，越扁梳理 (1)焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心
3、率ca记为： e .ca(2)对于 1， b 越小，对应的椭圆越扁，反之， e 越接近于 0， c 就越接近于 0，从x2a2 y2b2而 b 越接近于 a，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当 a b 时， c0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为 x2 y2 a2.(如图)1椭圆 1( a b0)的长轴长是 a.()x2a2 y2b22椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆()3若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为 10,8，则椭圆的方程为 1.()x225 y2164设 F 为椭圆 1( a b0)的一个焦点， M 为其上任一点，则 MF 的最大值为x2a2 y2b2a c.(c 为椭圆
4、的半焦距)()类型一 由椭圆方程研究其几何性质例 1 求椭圆 9x216 y2144 的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标解 已知方程化成标准方程为 1，x216 y29于是 a4， b3， c ，16 9 7椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a8 和 2b6，3离心率 e ，又知焦点在 x 轴上，ca 74两个焦点坐标分别是( ，0)和( ，0)，7 7四个顶点坐标分别是(4,0)，(4,0)，(0，3)和(0,3)引申探究本例中若把椭圆方程改为“9 x216 y21” ，求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标解 由已知得椭圆标准方程为 1，x219y2116于是 a ， b ， c .
5、13 14 19 116 712长轴长 2a ，短轴长 2b ，23 12离心率 e .ca 74焦点坐标为 和 ，(712， 0) (712， 0)顶点坐标为 ， .(13， 0) (0， 14)反思与感悟 解决由椭圆方程研究其几何性质的问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用 a， b， c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量跟踪训练 1 求椭圆 9x2 y281 的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率解 椭圆的标准方程为 1，则 a9， b3， c 6 ，长轴长 2a18，短x29 y281 a2 b2 2轴长 2b6，焦点坐标为(0,
6、6 )，(0，6 )，2 2顶点坐标为(0,9)，(0，9)，(3,0)，(3,0)离心率 e .ca 223类型二 椭圆几何性质的简单应用命 题 角 度 1 依 据 椭 圆 的 几 何 性 质 求 标 准 方 程例 2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在 y 轴上，其离心率为 ，焦距为 8；124(2)已知椭圆的离心率为 e ，短轴长为 8 .23 5解 (1)由题意知，2 c8， c4， e ， a8，ca 4a 12从而 b2 a2 c248，椭圆的标准方程是 1.y264 x248(2)由 e 得 c a，ca 23 23又 2b8 ， a2 b2 c2
7、，所以 a2144， b280，5所以椭圆的标准方程为 1 或 1.x2144 y280 x280 y2144反思与感悟 依据椭圆的几何性质求标准方程问题应由所给的几何性质充分找出 a， b， c所应满足的关系式，进而求出 a， b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置跟踪训练 2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：(1)长轴长是短轴长的 2 倍，且过点(2，6)；(2)焦点在 x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且焦距为 12.解 (1)当焦点在 x 轴上时，设椭圆方程为 1( ab0)x2a2 y2b2依题意有Error!解得Error!椭圆方程为 1.x2148
8、 y237同样地可求出当焦点在 y 轴上时，椭圆方程为 1.x213 y252故所求椭圆的方程为 1 或 1.x2148 y237 x213 y252(2)依题意有Error! b c6， a2 b2 c272，所求的椭圆方程为 1.x272 y236命 题 角 度 2 最 值 问 题例 3 椭圆的中心是坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率 e ，已知点 P 到椭圆上的32 (0， 32)点的最远距离是 ，求这个椭圆的方程7解 设所求椭圆方程为 1( ab0)x2a2 y2b25 ， a2 b.ba a2 c2a2 1 e2 12椭圆方程为 1.x24b2 y2b2设椭圆上点 M(x， y)到点
9、 P 的距离为 d，(0，32)则 d2 x2 24 b2 y23 y(y32) (1 y2b2) 943 24 b23，(y12)令 f(y)3 24 b23.(y12)当 b ，即 b 时，12 12d f 4 b237，2max (12)解得 b1，椭圆方程为 y21.x24当 0)，则此椭圆的离心率为_答案 33解析 由 2x23 y2 m(m0)，得 1，x2m2y2m3 c2 ， e2 ，又0 e1， e .m2 m3 m6 13 332与椭圆 9x24 y236 有相同焦点，且短轴长为 2 的椭圆的标准方程是_答案 x2 1y26解析 由已知得 c ， b1，所以 a2 b2 c
10、26，5又椭圆的焦点在 y 轴上，故椭圆的标准方程为 x21.y263若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是_答案 35解析 由题意有，2 a2 c2(2 b)，即 a c2 b，又 c2 a2 b2，消去 b 整理得 5c23 a22 ac，即 5e22 e30，8又0 e1， e 或 e1(舍去)354若焦点在 y 轴上的椭圆 1 的离心率为 ，则 m 的值为_x2m y22 12答案 32解析 焦点在 y 轴上，0b0)的焦点分别为 F1， F2， F1F22，离心率 e ，则椭x2a2 y2b2 12圆的标准方程为_答案 1x24 y23解析 因为 F1F
11、22，离心率 e ，12所以 c1， a2，所以 b23，椭圆方程为 1.x24 y235中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为 ，且过点(2,0)的椭圆的标准方程是32_答案 y21 或 1x24 x24 y216解析 若焦点在 x 轴上，则 a2.又 e ， c . b2 a2 c21，32 3方程为 y21.x24若焦点在 y 轴上，则 b2.又 e ， 1 ， a24 b216，32 b2a2 34 14方程为 1.x24 y2166椭圆 1 的左焦点为 F1，点 P 在椭圆上，若线段 PF1的中点 M 在 y 轴上，则点 Px212 y23的纵坐标是_10答案 32解析 设椭圆的右焦点
12、为 F2，由题意知 PF2 x 轴，因为 a212， b23，所以 c2 a2 b29， c3.所以点 P 和点 F2的横坐标都为 3.故将 x3 代入椭圆方程，可得 y .327椭圆( m1) x2 my21 的长轴长是_答案 2mm解析 椭圆方程可化简为 1，由题意知 m0， b0)的左，右焦点， P 为直线 x 上一点，x2a2 y2b2 3a2F2PF1是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为_答案 34解析 设直线 x 与 x 轴交于点 M，则 PF2M60，3a2在 Rt PF2M 中， PF2 F1F22 c， F2M c，3a2故 cos60 ，F2MPF2 3a2 c2
13、c 12解得 ，故离心率 e .ca 34 34二、解答题12已知椭圆 C1： 1，设椭圆 C2与椭圆 C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆x2100 y264C2的焦点在 y 轴上(1)求椭圆 C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆 C2的方程，并研究其性质解 (1)由椭圆 C1： 1 可得其长半轴长为 10，x2100 y264短半轴长为 8，焦点坐标(6,0)，(6,0)，离心率 e .35(2)椭圆 C2： 1，性质：范围：8 x8，10 y10；对称性：关于 xy2100 x264轴、 y 轴、原点对称；顶点：长轴端点(0,10)，(0，10)，短轴端点(8,0)
14、，(8,0)，焦点坐标(0,6)，(0，6)；离心率： e .351213分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)离心率是 ，长轴长是 6；23(2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 6.解 (1)设椭圆的标准方程为 1 ( ab0)或 1 ( ab0)x2a2 y2b2 y2a2 x2b2由已知得 2a6， e ， a3， c2.ca 23 b2 a2 c2945.椭圆的标准方程为 1 或 1.x29 y25 x25 y29(2)设椭圆的标准方程为 1 ( ab0)x2a2 y2b2如图所示， A1FA2为等腰直角三角形， OF 为斜边 A1A2上的中线(高)，
15、且OF c， A1A22 b， c b3， a2 b2 c218，故所求椭圆的标准方程为 1.x218 y29三、探究与拓展14已知椭圆 1( ab0)的两个焦点分别为 F1( c,0)， F2(c,0)(c0)，过点 Ex2a2 y2b2的直线与椭圆相交于点 A， B 两点，且 F1A F2B， F1A2 F2B，则椭圆的离心率为(a2c， 0)_答案 33解析 由 F1A F2B， F1A2 F2B，得 ，EF2EF1 F2BF1A 12从而 ，整理得 a23 c2.故离心率 e .a2c ca2c c 12 ca 3315已知椭圆 E 的中心为坐标原点 O，两个焦点分别为 A(1，0)，
16、 B(1,0)，一个顶点为13H(2,0)(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)对于 x 轴上的点 P(t,0)，椭圆 E 上存在点 M，使得 MP MH，求实数 t 的取值范围解 (1)由题意可得， c1， a2， b .3所求椭圆 E 的标准方程为 1.x24 y23(2)设 M(x0， y0)(x02)，则 1.x204 y203( t x0， y0)， (2 x0， y0)，MP MH 由 MP MH 可得 0，MP MH 即( t x0)(2 x0) y 0.20由消去 y0，整理得t(2 x0) x 2 x03.1420 x02， t x0 .14 322 x02，2 t1.实数 t 的取值范围为(2，1)
