1、江苏省横林 2018 届高三年级数学（文）周练(六)一填空题（本大题共 14 小题，共计 70 分）1. 若集合 ，集合 ，则集合 _ .【答案】 【解析】略2. 设 是虚数单位，若 是实数，则实数 _【答案】 【解析】z ai ai iR，所以 a 0，a .3. 若命题“ ， ”是真命题，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】 ,由于 ，命题“ ， ”是真命题，则 ，实数的取值范围是 .4. 已知等差数列 的前 项和 ，若 ，且 三点共线( 为该直线外一点)，则 等于_ .【答案】【解析】若 ，且 三点共线( 为该直线外一点)，则，.5. 已知 ，则 的值为_ .【答案】 【解析】略6.
2、若函数 对任意的实数 且则 =_ .【答案】 【解析】对任意的实数 ,说明函数图像的一条对称轴为 ，则 ， 或 .7. 已知 是非零向量，且它们的夹角为 若 =_ .【答案】 【解析】 ，则 8. 已知 ，则 的值为_ .【答案】 【解析】略9. 已知 满足不等式组 ，则 的最小值为_ .【答案】210. 若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为 ，则实数 的取值范围是_【答案】 【解析】钝角三角形内角 的度数成等差数列，则 ，可设三个角分别为 ，故，又 ，令，且 ，则 ，在 上是增函数， ，故答案为 . 11. 设 是等比数列，公比 ， 为 的前 n 项和.记设 为数列 的
3、最大项，则 =_ .【答案】4【解析】试题分析：等比数列的前 项和公式得 ，则，令 ，则，当且仅当 时，即 时等号是成立的，即 ，即时 取得最大值考点：等比数列的前 项和公式；基本不等式的应用【方法点晴】本题主要考查了数列与不等式的综合应用，其中解答中涉及到等比数列的前项和公式、基本不等式求最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中利用等比数列的前 项和公式，正确化简 ，合理利用基本不等式求最值是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题12. 已知函数 若存在 ，当时， ，则 的取值范围是_【答案】 【解析】试题分析：因为 ，所以 可化为
4、，因此 ，于是当 时， 单调递增；当 时， 单调递减；即当 时， 取最大值 ；当 取最小值 ，所以的取值范围是 .考点：分段函数、求导运算的法则、最值的求解及建立函数，模型的数学思想及分析问题解决问题的能力13. 已知函数 , 若对任意 ，存在 ，使 ，则实数 取值范围是_ .【答案】 【解析】试题分析：函数 的导函数 , ，若, , 为增函数;若 , 或 , 为减函数；在 上有极值, 在 处取极小值也是最小值； ,对称轴 , ,当 时, 在 处取最小值；当 时, 在 处取最小值；当 时, 在 上是减函数,； 对任意 ,存在 ,使, 只要 的最小值大于等于 的最小值即可,当 时,计算得出 ,故
5、 无解;当 时, ,计算得出 ,综上: ,因此，本题正确答案是: .考点：函数最值问题.【方法点晴】本题主要考查函数导数与不等式，恒成立问题.解决本题的关键是根据题意对任意 ,存在 ,使 转化为求 的最小值大于等于 的最小值即可. 类似地这种问题还有存在 ,存在 ,使 ，则转化为求 的最大值大于等于 的最小值.解决这种问题一定要正确转化.14. 若实数 满足 ，则 的最大值为_【答案】 【解析】试题分析：由题意得 ，令 ，则因此 ，其中 ，当且仅当时取等号，故 的最大值为考点：基本不等式求最值二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分15. （本题满分 14 分）已知函数(1) 求函数 的
6、最小正周期和单调递增区间；(2) 当 时，试求 的最值，并写出取得最值时自变量 x 的值【答案】(1) , f(x)的单调递增区间为 (2) x时，f(x)取得最大值 2；x 时，f(x)取得最小值 .【解析】试题分析：（1）运用两角和与差的正弦公式将其化为 的形式，再利用 及正弦函数的单调性即可获解；（2）借助正弦函数的图象及定义域的约束即可获解.试题解析：（1）由题意知， ，所以 的最小正周期为 当 （ ）时， 单调递增解得 （ ） ，所以 的单调递增区间为 （ ） （2）因为 ，所以 ，分当 ，即 时， 取得最大值 ，当 ，即 时， 取得最小值 考点：正弦函数的图象和性质.16. (本小
7、题满分 14 分)如图，在正三棱柱 中，点 分别是 的中点求证： 平面若 求证：A 1B平面 B1CE.【答案】详见解析【解析】试题分析：证明线面垂直，只需寻求线线垂直，利用中位线定理可得线线平行，继而得证；证明线面垂直，只需寻求线线垂直，找出这条直线垂直平面内的两条相交直线垂直，即可得证.试题解析证明：(1) 连结 AC1，BC 1，因为 AA1C1C 是矩形，D 是 A1C 的中点，所以 D 是 AC1的中点在ABC 1中，因为 D，E 分别是 AC1，AB 的中点，所以 DEBC 1.因为 DE 平面 BB1C1C，BC 1 平面 BB1C1C，所以 ED平面 BB1C1C.(2) 因为
8、ABC 是正三角形，E 是 AB 的中点，所以 CEAB.因为正三棱柱 A1B1C1ABC 中，平面 ABC平面 ABB1A1，交线为 AB，所以 CE平面 ABB1A1.从而 CEA 1B.在矩形 ABB1A1中，因为 ，所以 RtA 1B1BRtB 1BE，从而B 1A1BBB 1E.因此B 1A1BA 1B1EBB 1EA 1B1E90，所以 A1BB 1E.因为 CE，B 1E 平面 B1CE，CEB 1EE，所以 A1B平面 B1CE.【点睛】证明线面平行有两种方法：第一寻求线线平行，利用线面平行的判定定理去证明，第二可借助面面平行，达到线面平行，这是不可忽略的一种方法.17. （本
9、小题满分 14 分）在 中，角 的对边分别为 已知 ，且 成等比数列求：(1) 的值；(2) 的值；(3) 的值【答案】 （1） （2） （3） 【解析】试题分析：首先已知条件要合理变形，左边角有 ，因此右边的角 A 要转化为 ，利用和差角公式恒等变形得出 ，利用 成等比，利用正弦定理“边转角”结合第一步结论，求出角 ，根据 角的余弦求出 ，进而得出.试题解析：(1) 因为 ABC，所以 A(BC)由 cos(BC)1cosA，得 cos(BC)1cos(BC)，展开，整理得 sinBsinC . (2) 因为 b，a，c 成等比数列，所以 a2bc.由正弦定理，得 sin2AsinBsinC
10、，从而 sin2A .因为 A(0，)，所以 sinA .因为 a 边不是最大边，所以 A .(3) 因为 BCA ，所以 cos(BC)cosBcosCsinBsinC ，从而 cosBcosC .所以 tanBtanC 2 .18. （本小题满分 16 分）一个玩具盘由一个直径为 米的半圆 和一个矩形 构成， 米，如图所示小球从 点出发以大小为 的速度沿半圆 轨道滚到某点 处后，经弹射器 的速度沿与点 切线垂直的方向弹射到落袋区 内，落点记为 .设 弧度，小球从 到 所需时间为 .试将 表示为 的函数 ，并写出定义域；（2） 求时间 最短时 的值【答案】 （1）T() ， . （2）cos
11、 时，时间 T 最短【解析】试题分析：（1）首先 ，则通过 所用时间为 ，过 作于 ，可得 ，则此时所用时间为 ，故，特别注意， ；（2）对求导，求其极小值，即为最小值试题解析：（1）过 作 于 ，则 ， ， ，所以 ， （2） ，记 ， ，故当 时，时间 最短考点：函数在实际问题中的应用19. （本小题满分 16 分）设数列 的前 项的和为 ，已知 .求 , 及 ；设 ，若对一切 ,均有 ，求实数 的取值范围。【答案】 （1）S n=n（n+1） （nN +） ， （2）m0 或 m5【解析】试题分析：根据数列题中 的前 项和与前 项和作差求出 ，再利用 求出 ，从而写出 ，判断 为等比数列
12、，利用等比数列的求和公式求出前 项和，根据单调型求出的范围，再根据题意求出 的范围.试题解析：（1）依题意，n=1 时，S 1=2，n=2 时，S 2=6， ，n2 时， ，得 ，S n=n（n+1） （nN +） ，（2）由（1）知 Sn=n（n+1） ，当 n2 时，a n=SnS n1 =2n，a 1=2，a n=2n，nN +， ，数列b n是等比数列，则 b 1+b2+bn= 随 n 的增大而增大， b1+b2+bn ，因为 ，则依条件，得 ，即 ，m0 或 m520. （本小题满分 16 分）已知函数 在 处的切线方程为（1）若 = ，求证：曲线 上的任意一点处的切线与直线 和直线
13、围成的三角形面积为定值；（2）若 ，是否存在实数 ，使得 对于定义域内的任意都成立；（3）在（2）的条件下，若方程 有三个解，求实数 的取值范围【答案】 （1）详见解析（2） 【解析】试题分析：证明：（1）因为 f（x）= 所以 f（3）= ， 又 g（x）=f（x+1）=ax+ ，设 g（x）图象上任意一点 P（x 0，y 0）因为 g（x）=a ，所以切线方程为 y（ax 0+ ）=（a ） （xx 0）令 x=0 得 y= ； 再令 y=ax 得 x=2x 0，故三角形面积 S= | |2x0|=4，即三角形面积为定值 （2）由 f（3）=3 得 a=1，f（x）=x+ 1 假设存在 m，k 满足题意，则有 x1+ +mx1+ =k化简，得 对定义域内任意 x 都成立，故只有 解得 所以存在实数 m=2，k=0 使得 f（x）+f（mk）=k 对定义域内的任意都成立（3）由题意知，x1+ =t（x 22x+3）|x|因为 x0，且 x1 化简，得 t= 即 =|x|（x1） ，如图可知， 0，所以 t4 即为 t 的取值范围
