1、第 1 章 时间序列第 1 页 共 33 页1.3 线性平稳序列和线性滤波简介1. 有限运动平均 2. 线性平稳序列 3. 时间序列的线性滤波1. 有限运动平均设 是 , 称,t2WN(0)1,tttqtXaa为白噪声 的(有限)运动平均, 也称滑动平均, t简称MA(Moving Average) 0均值白噪声MA必平稳注 : 此处的 =前2节中的 =去除趋势季节的时间序列ttR第 1 章 时间序列第 2 页 共 33 页*证: 对此有 ,E0tX0()()qnmkjnkmjja()20,qjnjj q所以 是平稳序列, 自协方差函数tX第 1 章 时间序列第 3 页 共 33 页200,E
2、(),.qkjkkaqX为了推广至无限, 介绍下面定理.*定理3.1 (单调收敛定理) 设不减随机列为 , 即n, 则当 时, 有120 a.sn.Elim此处 可以是广义随机变量, 可能有 ,()0P这时, . 第 1 章 时间序列第 4 页 共 33 页对任何 , 由以上定理, 得tY.E|limE|nt t tnt t tY*定理3.2(控制收敛定理) 若随机变量序列 满足n和 , 则当 时, 有0|a.sn0|a.sn.ad2. 线性平稳序列称 是绝对可和的: 若 .ta|jj第 1 章 时间序列第 5 页 共 33 页设 为零均值白噪声, 用绝对可和列 定义:tja无穷滑动和,tjt
3、jXa则 是平稳序列.(即称线性平稳序列 )t即0均值白噪声无穷滑动和必平稳*证: E|E|jt jtjj jaa单 调 收 敛第 1 章 时间序列第 6 页 共 33 页2E|()|tjtjjaSch不 等 式故 是a.s.绝对收敛 , 从而是a.s. 收敛.,jtjaZ又因为.|njtjtjja故由控制收敛定理, 得第 1 章 时间序列第 7 页 共 33 页Elim0ntjtjXa对 , 定义tsZ, njtjnjsj则 且a.sntsX.defnjktjsjkVa又利用单调收敛定理, 得第 1 章 时间序列第 8 页 共 33 页22EEjktjskjjk kVaa 故由控制收敛定理,
4、 得lim=liEntsnjktjskjkX2()jtsja即 是平稳序列, 有t 2,kjkja第 1 章 时间序列第 9 页 共 33 页定理3.3 设 是 ,用t2WN(0)定义的: ja2()jj,tjtjX是平稳序列, 且 .2limli0kjkja只证 .由Cauchy 不等式li0k2jjjb第 1 章 时间序列第 10 页 共 33 页2kjkja2/2/jkjkjkjka1 12222/ /jjkjjkj jaa.122/0,whenjjkj线性平稳序列运用较广.第 1 章 时间序列第 11 页 共 33 页实用意义:若序列 平稳, 且其样本 自协方差函数tX1Nx,1()(
5、,Nkkttt k当 时, 趋于零, 则 就可用,tX描述.tjtjXa即大部分平稳序列=0均值白噪声无限滑动和实用中, 常用到单边无穷滑动:第 1 章 时间序列第 12 页 共 33 页0,tjtXa表明, 现在的 仅受当前及过去噪声影响.t后面的任务: 若已知 平稳, 如何求出 .t ta再后: 估计或预测未来3. 时间序列的线性滤波简介-处理信号的一种方法线性低通滤波器: 结构-线性功能-滤除高频噪声的变换第 1 章 时间序列第 13 页 共 33 页设 为绝对可和实数列(滤波器参数), 则称jHh,tjtjYhX为一个保时(时不变)线性滤波器. 如3214,ttttta=rand(1,
6、100); plot(a);pause;for i=4:100 b(i)=mean(a(i-3:i)/4;end;plot(b);pause;第 1 章 时间序列第 14 页 共 33 页for i=4:100c(i)=mean(b(i-3:i)/4;end;plot(c);若 为平稳信号, 有 及 . 参照2中tXEtXk方法, 可得 是平稳信号, 有tYtjtjjj jhh和自协方差函数第 1 章 时间序列第 15 页 共 33 页11,()Cov()()()YnjknjkjkYhEX ,jnjjk若取 1,20j jMh则 1(),t tMttYXX Z第 1 章 时间序列第 16 页
7、共 33 页直观意义: 前后平滑, 具有抑制噪声的作用 .例3.1 余弦波信号的滤波. 设cos(),t tXbtU其中 ( )是平稳序列, , t2E0,Vartt0b, 随机变量 且与 独立. t由例2.2知:信号 的方差 信号的强度,cos()bt2b噪声 的方差 噪声的强度tar(t第 1 章 时间序列第 17 页 共 33 页信号噪比 .2tbX大 易 被 识 别小 易 被 淹 没用滤波器滤波 11()2t tMttMYcos)tjjbjU1(2tjjMtj第 1 章 时间序列第 18 页 共 33 页cos()2MtjbjtUsin0.5(1)(2tt其中 .,Mt tjm滤波器的
8、输出 与输入 同频, tYtX中信号强度t 22sin(0.5)1)ib第 1 章 时间序列第 19 页 共 33 页中噪声tY2Var()tM故 信噪比 .2sin(05)1)ib当取 时, 信噪比(0.5)2224sin(b例如取 1.5co),Var()17t ttXtU3M0 20 40 60 80 10-4-2024 3tYtX第 1 章 时间序列第 20 页 共 33 页321(7tttYX)t滤前信噪比1.125滤后信噪比3.245, 放大了2.884倍.1.4 正态时间序列和随机变量的收敛性简介1. 随机向量的数学期望和方差第 1 章 时间序列第 21 页 共 33 页设 为随
9、机向量, 则 ,12(,)TnX EXCovE()T.,()TTij对 , 有11mmnBYa, .ov()TBXY定义 4.1 维正态分布随机向量 12(,)mY1mn这里 ,其中 独立.12(,)TX (0,)iN第 1 章 时间序列第 22 页 共 33 页则有.E,Cov(,)TBY简记为 .()N2. 正态平稳序列(严平稳的概念 )定义 4.2 正态时间序列 : tX若 , 12,)(nTttX 12,ntt 若又是平稳的, 则称 是正态平稳序列.t定义 4.3 设随机变量 和 的分布函数为n第 1 章 时间序列第 23 页 共 33 页和()nnFxPx()FPx(1) 依分布收敛
10、到 : 若 ,在每lim(n个连续点 上.(2) 依概率收敛到 : 若nli|0nn(3) 在 下收敛到 : 若 .1LE(4) 均方收敛到 : 若 .n 2li()n定理4.2 (4) (3) (2) (1). 证明略.定理4.3 若正态时间序列 依分布收敛,n第 1 章 时间序列第 24 页 共 33 页到随机变量 , 则 , 并且(E,Var)N.(nn定理4.4 若 是正态 , 绝对可和, t2W(0)j则由 定义的平稳序列是零均值,tjtjXa正态序列, 自协方差函数同前.1.5 严平稳序列及其遍历性简介概率中, 随机向量 联合分布函数为12(,)TnY第 1 章 时间序列第 25
11、页 共 33 页.122(,)(,)n nFyPYyYy 定义5.1 是严平稳序列: 对 ,有tXk与 同分布.12(,)Tn 12(,)TknX即分布平移不变.与平稳序列的关系:若严平稳序列的 , 则一定平稳序列. Var()t反之不然, 参考文献第 1 章 时间序列第 26 页 共 33 页对于正态时间序列 : 严平稳与平稳等价.tX因绝对时间不可重复, 希望一次实现来推断 .tX平稳序列的遍历性的基本含义:只要观测的时间充分长, 它的每个现实都能“ 遍历”各种可能的状态, 因而一个实现按时间平均可以近似地代替它在固定时刻取值的统计平均严平稳遍历序列: 具有遍历性的严平稳序列 .第 1 章
12、 时间序列第 27 页 共 33 页在大多数实际问题中, 皆可视为具有遍历性的平稳序列, 即可用代 ;1NkxEtX代 ;()(ktkttxk代 .0kk1.7 平稳序列的谱函数简介随机变量 由其分布 或密度 惟一确定.()Fx()fx第 1 章 时间序列第 28 页 共 33 页类似地, 平稳序列由其相应的谱函数惟一确定.注: 谱密度不一定有.定义7.1 设平稳序列 有自协方差函数 ,tXk(1) 若有 上单调不减右连续 , 使得,()Fied(),0kk则称 是 的谱分布函数, 简称谱函数.()F(2) 若有 上的非负函数 , 使得()f第 1 章 时间序列第 29 页 共 33 页i()ed,kkf则称 是 的谱密度函数, 简称谱密度.()f(功率谱密度 , 简称功率谱)注: 在信号处理中, 相当于Fourrier逆变换( 频率):i1()e2kkf定理7.1 平稳序列的谱函数是惟一存在的.定理7.2 若 是 , 平方可和, 则t2WN(0)ja第 1 章 时间序列第 30 页 共 33 页线性平稳序列 ,tjtjXa有谱密度及, 22i()ejjf2,kjkj且 i()d,kkfi1()e2kkf定理7.3 设 和 是相互正交的零均值平稳序tXtY
