2017届高三数学一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明试题（打包14套）.zip

1开卷速查(三十三) 不等关系与不等式A 级 基础巩固练1．[2016·嘉兴模拟]设 M＝x 2，N＝－x－1，则 M 与 N 的大小关系是( )A．M ＞N B．M＝NC．M＜N D．与 x 有关解析：M－N＝x 2＋x＋1＝ 2＋ ＞0，(x＋12) 34所以 M＞N。答案： A2．[2015·成都模拟]已知 a，b 为非零实数，且 a＜b，则下列不等式一定成立的是( )A．a 2＜b 2 B．ab 2＞a 2bC. ＜ D. ＜1ab2 1a2b ba ab解析：若 a＜b＜0，则 a2＞b 2，故 A 错；若 0＜a＜b，则 ＞ ，故 D 错；若 ab＜0，即ba aba＜0，b＞0，则 a2b＞ab 2，故 B 错。答案： C3．[2016·广东实验中学模拟]已知 0＜a＜b＜1，则( )A. ＞ B. a＜ b1b 1a (12) (12)C．( lga)2＜( lgb)2 D. ＞1lga 1lgb解析：因为 0＜a＜b＜1，所以 － ＝ ＜0，1b 1a a－ bab可得 ＜ ； a＞ b；( lga)2＞( lgb)2；1b 1a (12) (12)lga＜ lgb＜0，可得 ＞ 。1lga 1lgb综上可知，只有 D 正确。答案： D4．[2016·富阳模拟]如果 a，b，c 满足 c＜b＜a，且 ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是( )A．ab＞ac B．bc＞acC．cb 2＜ab 2 D．ac(a－c)＜0解析：因为 c＜b＜a，且 ac＜0，所以 a＞0，c＜0。所以 ab－ac＝a(b－c)＞0，bc－ac＝(b－a)c＞0，ac(a－c)＜0，所以 A， B， D 均正确。因为 b 可能等于 0，也可能不等于 0。所以 cb2＜ab 2不一定成立。答案： C5．[2015·上海模拟]若 a，b 为实数，则 a＞b＞0 是“a 2＞b 2”的( )A．充分不必要条件2B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分条件也非必要条件解析：若 a＞0，b＞0，因为 a2＞b 2，所以 a2－b 2＞0，所以 a＞b 或 a＜－b，所以a＞b＞0⇒a 2＞ b2，反之则不成立，所以 a＞b＞0 是 a2＞b 2的充分不必要条件，故选 A。答案： A6．若－ ＜α＜β＜ ，则 α－β 一定不属于的区间是( )π 2 π 2A．(－ π ， π ) B.(－π 2， π 2)C．(0， π ) D．(－ π ，0)解析：因为－ ＜α＜β＜ ，所以－ ＜－β＜ ，所以－ π ＜α－β＜0，结合选项可知π 2 π 2 π 2 π 2选项 C 一定不可能，故选 C。答案： C7．[2015·北京模拟]已知 a＋b＞0，则 ＋ 与 ＋ 的大小关系是________。ab2 ba2 1a 1b解析： ＋ － ＝ ＋ab2 ba2 (1a＋ 1b) a－ bb2 b－ aa2＝(a－b) ＝ 。(1b2－ 1a2)  a＋ b  a－ b 2a2b2因为 a＋b＞0，(a－b) 2≥0，所以 ≥0，所以 ＋ ≥ ＋ 。 a＋ b  a－ b 2a2b2 ab2 ba2 1a 1b答案： ＋ ≥ ＋ab2 ba2 1a 1b8．[2016·临沂模拟]用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，要求菜园的面积不小于 216 m2，靠墙的一边长为 x m，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________。解析：矩形的另一边长为 (30－x)＝15－ x，12 12矩形面积为 x 且 0＜x＜18，则不等式组为Error!(15－ 12x)答案：Error!9．[2016·盐城模拟]若－1＜a＋b＜3,2＜a－b＜4，则 2a＋3b 的取值范围为________。解析：设 2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，则Error!解得 Error!又因为－ ＜ (a＋b)＜ ，52 52 152－2＜－ (a－b)＜－1，123所以－ ＜ (a＋b)－ (a－b)＜ ，92 52 12 132即－ ＜2a＋3b＜ 。92 132答案： (－92， 132)10．若实数 a、b、c 满足 b＋c＝5a 2－8a＋11，b－c＝a 2－6a＋9，试比较 a、b、c 的大小。解析：∵b－c＝a 2－6a＋9＝(a－3) 2≥0，∴b≥c。由Error!由①＋②得 b＝3a 2－7a＋10，∴b－a＝3a 2－7a＋10－a＝3a 2－8a＋10＝3 2＋ ＞0，(a－43) 143∴b＞a。由①－②得 c＝2a 2－a＋1，∴c－a＝2a 2－2a＋1＝2 2＋ ＞0，(a－12) 12∴c＞a。综上：b≥c＞a。B 级 能力提升练11．[2015·烟台模拟]已知－1＜a＜0，A＝1＋a 2，B＝1－a 2，C＝ ，比较 A，B，C 的大小11＋ a结果为( )A．A＜B＜C B．B＜A＜CC．A＜C＜B D．B＜C＜A解析：方法一：不妨设 a＝－ ，则 A＝ ，B＝ ，C＝2，由此得 B＜A＜C，选 B。12 54 34方法二：由－1＜a＜0 得 1＋a＞0，A－B＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2＞0 得 A＞B，C－A＝ －(1＋a 2)＝－11＋ a a a2＋ a＋ 11＋ a＝－ ＞0，得 C＞A，a[(a＋ 12)2＋ 34]1＋ a所以 B＜A＜C。答案： B12．[2016·遵义模拟]已知下列结论：①若 a＞|b|，则 a2＞b 2；②若 a＞b，则 ＜ ；1a 1b③若 a＞b，则 a3＞b 3；④若 a＜0，－1＜b＜0，则 ab2＞a。其中正确的是________(只填序号即可)。4解析：对于①，因为 a＞|b|≥0，所以 a2＞b 2，即①正确；对于②，当 a＝2，b＝－1 时，显然不正确；对于③，显然正确；对于④，因为 a＜0，－1＜b＜0，ab2－a＝a(b 2－1)＞0，所以 ab2＞a，即④正确。答案：①③④13．已知 x，y 为正实数，满足 1≤ lg(xy)≤2,3≤ lg ≤4，求 lg(x4y2)的取值范围。xy解析：设 a＝ lgx，b＝ lgy，则 lg(xy)＝a＋b，lg ＝a－b， lg(x4y2)＝4a＋2b，xy设 4a＋2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，∴Error! 解得Error!∴ lg(x4y2)＝3 lg(xy)＋ lg 。xy∵3≤3 lg(xy)≤6,3≤ lg ≤4，xy∴6≤ lg(x4y2)≤10。14．已知函数 f(x)＝ax 2＋bx＋c 满足 f(1)＝0，且 a＞b＞c，求 的取值范围。ca解析：∵f(1)＝0，∴a＋b＋c＝0，∴b＝－(a＋c)。又 a＞b＞c，∴a＞－(a＋c)＞c，且 a＞0，c＜0，∴1＞－ ＞ ，即 1＞－1－ ＞ ，a＋ ca ca ca ca∴Error!解得－2＜ ＜－ 。ca 121【状元之路】2017 届高三数学一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 6.1不等关系与不等式模拟试题高考模拟 备考套餐加固训练 练透考点1．[2016·重庆一中调研]设 a＞1＞ b＞－1，则下列不等式中恒成立的是( )A． a＞ b2 B. ＞1a 1bC. ＜ D． a2＞2 b1a 1b解析：对于 A，∵－1＜ b＜1，∴0≤ b2＜1。又∵ a＞1，∴ a＞ b2，故 A 正确；对于 B，若 a＝2， b＝ ，此时满足 a＞1＞ b＞－1，12但 ＜ ，故 B 错误；1a 1b对于 C，若 a＝2， b＝－ ，此时满足 a＞1＞ b＞－1，12但 ＞ ，故 C 错误；1a 1b对于 D，若 a＝ ， b＝ ，此时满足 a＞1＞ b＞－1，98 34但 a2＜2 b，故 D 错误，综上可知，选 A。答案：A2．[2016·湘潭模拟]设 a， b 是实数，则“ a＞ b＞1”是“ a＋ ＞ b＋ ”的( )1a 1bA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件解析：因为 a＋ － ＝ ，1a (b＋ 1b)  a－ b  ab－ 1ab若 a＞ b＞1，显然 a＋ － ＝ ＞0，1a (b＋ 1b)  a－ b  ab－ 1ab则充分性成立，当 a＝ ， b＝ 时，12 23显然不等式 a＋ ＞ b＋ 成立，但 a＞ b＞1 不成立，1a 1b所以必要性不成立，故选 A。答案：A3．[2016·武汉模拟]若 a＞ b＞0，则下列不等式中一定成立的是( )A． a＋ ＞ b＋ B. ＞1b 1a ba b＋ 1a＋ 12C． a－ ＞ b－ D. ＞1b 1a 2a＋ ba＋ 2b ab解析：取 a＝2， b＝1，排除 B 和 D；另外，函数 f(x)＝ x－ 是(0，＋∞)上的增函数，但函数1xg(x)＝ x＋ 在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以当 a＞ b＞0 时， f(a)＞ f(b)必定成立，但1xg(a)＞ g(b)未必成立，这样， a－ ＞ b－ ⇔a＋ ＞ b＋ ，故选 A。1a 1b 1b 1a答案：A4．[2016·泰安模拟]若 a＞ b，则下列各式正确的是( )A． algx＞ blgx B． ax2＞ bx2C． a2＞ b2 D． a·2x＞ b·2x解析：A 项，当 lgx＝0，即 x＝1 时不满足；B 项，当 x2＝0 时不满足；C 项，当a＝1， b＝－2 时不满足；D 项，因为 2x＞0，所以 a·2x＞ b·2x，综上可知选 D。答案：D5．[2016·徐州模拟]若 a＞ b＞0，且 ＞ ，则实数 m 的取值范围是________。a＋ mb＋ m ab解析：由条件知， － ＞0，a＋ mb＋ m ab即 ＞0， ＞0，ab＋ bm－ ab－ amb b＋ m  b－ a mb b＋ m又∵ a＞ b＞0，∴ b－ a＜0，∴ ＜0。mm＋ b解得－ b＜ m＜0。答案：(－ b,0)1开卷速查(三十四) 一元二次不等式及其解法A级 基础巩固练1．[2016·成都诊断]使不等式 2x2－5x－3≥0 成立的一个充分不必要条件是( )A．x≥0 B．x＜0 或 x＞2C．x∈{－1,3,5} D．x≤－ 或 x≥312解析：不等式 2x2－5x－3≥0 的解集是Error!。由题意，选项中 x的范围应该是上述解集的真子集，只有 C满足。答案： C2．[2016·温州模拟]若不等式(x－a)(x－b)＜0 的解集为{x|1＜x＜2}，则 a＋b 的值为( )A．3 B．1C．－3 D．－1解析：因为不等式(x－a)(x－b)＜0 的解集为{x|1＜x＜2}，所以 1和 2为方程(x－a)(x－b)＝0 的两个根，则有Error!或Error!所以 a＋b＝1＋2＝3，即 a＋b 的值为 3。答案： A3．已知函数 f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式 f(x)＞0 的解集是(－1,3)，那么不等式f(－2x)＜0 的解集是( )A. ∪(－ ∞ ， －32) (12， ＋ ∞ )B.(－32， 12)C. ∪(－ ∞ ， －12) (32， ＋ ∞ )D.(－12， 32)解析：由 f(x)＞0，得 ax2＋(ab－1)x－b＞0，又其解集是(－1,3)，∴a＜0，且Error!解得 a＝－1 或 ，13∴a＝－1，b＝－3，∴f(x)＝－x 2＋2x＋3，∴f(－2x)＝－4x 2－4x＋3，由－4x 2－4x＋3＜0，得 4x2＋4x－3＞0，解得 x＞ 或 x＜－ ，故选 A。12 32答案： A4．已知函数 f(x)＝ax 2＋bx＋c，不等式 f(x)＜0 的解集为{x|x＜－3 或 x＞1}，则函数y＝f(－x)的图象可以为( )2A.B.C.D.解析：由 f(x)＜0 的解集为{x|x＜－3 或 x＞1}知 a＜0，y＝f(x)的图象与 x轴交点为(－3,0)，(1,0)，所以 f(－x)图象开口向下，与 x轴交点为(3,0)，(－1,0)。答案： B5．若不等式 x2－2ax＋a＞0 对一切实数 x∈R 恒成立，则关于 t的不等式 at2＋2 t－3＜1 的解集为( )A．(－3,1) B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C．∅ D．(0,1)解析：不等式 x2－2 ax＋ a＞0 对一切实数 x∈R 恒成立，则 Δ ＝(－2 a)2－4 a＜0，即a2－ a＜0，解得 0＜ a＜1，所以不等式 at2＋2 t－3＜1 转化为 t2＋2 t－3＞0，解得 t＜－3 或t＞1，故选 B。答案：B6．若不等式( a－ a2)(x2＋1)＋ x≤0 对一切 x∈(0,2]恒成立，则 a的取值范围是( )A.(－ ∞ ，1－ 32 ]B.[1＋ 32 ， ＋ ∞ )C. ∪(－ ∞ ，1－ 32 ] [1＋ 32 ， ＋ ∞ )D.[1－ 32 ， 1＋ 32 ]3解析：∵ x∈(0,2]，∴ a2－ a≥ ＝ 。xx2＋ 1 1x＋ 1x要使 a2－ a≥ 在 x∈(0,2]时恒成立，1x＋ 1x则 a2－ a≥ max，(1x＋ 1x)由基本不等式得 x＋ ≥2，当且仅当 x＝1 时，等号成立，即 max＝ 。1x ( 1x＋ 1x) 12由 a2－ a≥ ，解得 a≤ 或 a≥ 。12 1－ 32 1＋ 32答案：C7．若不等式 x2－( a＋1) x＋ a≤0 的解集是[－4,3]的子集，则 a的取值范围是__________。解析：原不等式即( x－ a)(x－1)≤0，当 a＜1 时，不等式的解集为[ a,1]，此时只要 a≥－4 即可，即－4≤ a＜1；当 a＝1 时，不等式的解集为 x＝1，此时符合要求；当 a＞1 时，不等式的解集为[1， a]，此时只要 a≤3 即可，即 1＜ a≤3。综上可得－4≤ a≤3。答案：[－4,3]8．已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a，且不等式 f(x)＞0 的解集为(1,2)，若 f(x)的最大值小于 1，则 a的取值范围是__________。解析：由题意知 a＜0，可设 f(x)＝ a(x－1)( x－2)＝ ax2－3 ax＋2 a，∴ f(x)max＝ f ＝－ ＜1，∴ a＞－4，故－4＜ a＜0。(32) a4答案：(－4,0)9．若关于 x的不等式 x2＋ x－ n≥0 对任意 n∈N *在 x∈(－∞， λ ]上恒成立，则实数 λ 的12 (12)取值范围是__________。解析：由题意知 x2＋ x≥ ＝ ，12 (12)nmax 12解得 x≥ 或 x≤－1。12又 x∈(－∞， λ ]，所以 λ 的取值范围是(－∞，－1]。答案：(－∞，－1]10．已知 f(x)＝ x2－2 ax＋2( a∈R)，当 x∈[－1，＋∞)时， f(x)≥ a恒成立，求 a的取值范围。解析：方法一： f(x)＝( x－ a)2＋2－ a2，此二次函数图象的对称轴为 x＝ a。①当 a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝ f(－1)＝2 a＋3。要使 f(x)≥ a恒成立，只需 f(x)min≥ a，即 2a＋3≥ a，解得－3≤ a＜－1；4②当 a∈[－1，＋∞)时， f(x)min＝ f(a)＝2－ a2，由 2－ a2≥ a，解得－1≤ a≤1。综上所述，所求 a的取值范围是[－3,1]。方法二：令 g(x)＝ x2－2 ax＋2－ a，由已知，得 x2－2 ax＋2－ a≥0 在[－1，＋∞)上恒成立，即 Δ ＝4 a2－4(2－ a)≤0 或Error!解得－3≤ a≤1。所求 a的取值范围是[－3,1]。B级 能力提升练11．[2015·长春模拟]已知一元二次不等式 f(x)＜0 的解集为{ x|x＜－1，或 x＞ }，则 f(10x)12＞0 的解集为( )A．{ x|x＜－1，或 x＞－lg2}B．{ x|－1＜ x＜－lg2}C．{ x|x＞－lg2}D．{ x|x＜－lg2}解析：依题意知 f(x)＞0 的解为－1＜ x＜ ，故－1＜10 x＜ ，解得 x＜lg ＝－lg2。12 12 12答案：D12．[2015·青岛模拟]已知 a为正的常数，若不等式 ≥1＋ － 对一切非负实数 x恒成1＋ xx2 x2a立，则 a的最大值为________。解析：原不等式即 ≥1＋ － (*)，令 ＝ t， t≥1，则 x＝ t2－1，所以(*)即x2a x2 1＋ x 1＋ x≥1＋ － t＝ ＝ 对 t≥1 恒成立，所以 ≥ 对 t≥1 恒 t2－ 1 2a t2－ 12 t2－ 2t＋ 12  t－ 1 22  t＋ 1 2a 12成立，又 a为正的常数，所以 a≤[2( t＋1) 2]min＝8，故 a的最大值是 8。答案：813．已知函数 f(x)＝ ax2＋( b－8) x－ a－ ab，当 x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时， f(x)＜0。当x∈(－3,2)时， f(x)＞0。(1)求 f(x)在[0,1]内的值域；(2)若 ax2＋ bx＋ c≤0 的解集为 R，求实数 c的取值范围。解析：(1)因为当 x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)＜0，当 x∈(－3,2)时， f(x)＞0，所以－3,2 是方程 ax2＋( b－8) x－ a－ ab＝0 的两根，所以可得Error!所以 a＝－3， b＝5，所以 f(x)＝－3 x2－3 x＋18＝－3 2＋18.75，(x＋12)函数图象关于 x＝－0.5 对称，且抛物线开口向下，5所以在区间[0,1]上 f(x)为减函数，所以函数的最大值为 f(0)＝18，最小值为 f(1)＝12，故 f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]。(2)由(1)知，不等式 ax2＋ bx＋ c≤0 化为－3 x2＋5 x＋ c≤0，因为二次函数 y＝－3 x2＋5 x＋ c的图象开口向下，要使－3 x2＋5 x＋ c≤0 的解集为 R，只需Error!即 25＋12 c≤0⇒ c≤－ ，2512所以实数 c的取值范围为 。(－ ∞ ， －2512]14．设二次函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c，函数 F(x)＝ f(x)－ x的两个零点为 m， n(m＜ n)。(1)若 m＝－1， n＝2，求不等式 F(x)＞0 的解集；(2)若 a＞0，且 0＜ x＜ m＜ n＜ ，比较 f(x)与 m的大小。1a解析：(1)由题意知， F(x)＝ f(x)－ x＝ a(x－ m)·(x－ n)，当 m＝－1， n＝2 时，不等式 F(x)＞0，即 a(x＋1)( x－2)＞0。当 a＞0 时，不等式 F(x)＞0 的解集为{ x|x＜－1，或 x＞2}；当 a＜0 时，不等式 F(x)＞0 的解集为{ x|－1＜ x＜2}。(2)f(x)－ m＝ a(x－ m)(x－ n)＋ x－ m＝( x－ m)(ax－ an＋1)，∵ a＞0，且 0＜ x＜ m＜ n＜ ，1a∴ x－ m＜0,1－ an＋ ax＞0。∴ f(x)－ m＜0，即 f(x)＜ m。1【状元之路】2017 届高三数学一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 6.2一元二次不等式及其解法模拟试题高考模拟 备考套餐加固训练 练透考点1．[2016·长沙模拟]在关于 x 的不等式 x2－( a＋1) x＋ a＜0 的解集中恰有两个整数，则 a 的取值范围是( )A．(3,4) B．(－2，－1)∪(3,4)C．(3,4] D．[－2，－1)∪(3,4]解析：由题意得，原不等式化为( x－1)( x－ a)＜0。当 a＞1 时，解得 1＜ x＜ a，此时解集中的整数为 2,3，则 3＜ a≤4；当 a＜1 时，解得 a＜ x＜1，此时解集中的整数为 0，－1，则－2≤ a＜－1，故 a∈[－2，－1)∪(3,4]。答案：D2．[2016·菏泽模拟]已知 a∈R，不等式 ≥1 的解集为 p，且－2∉ p，则 a 的取值范围为( )x－ 3x＋ aA．(－3，＋∞) B．(－3,2)C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪[2，＋∞)解析：∵－2∉ p，∴ ＜ 1 或－2＋ a＝0，解得 a≥2 或 a＜－3。－ 2－ 3－ 2＋ a答案：D3．[2016·九江模拟]若关于 x 的不等式 x2－4 x－2－ a＞0 在区间(1,4)内有解，则实数 a 的取值范围是( )A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)解析：不等式 x2－4 x－2－ a＞0 在区间(1,4)内有解等价于 a＜( x2－4 x－2) max，令 g(x)＝ x2－4 x－2， x∈(1,4)，∴ g(x)＜ g(4)＝－2，∴ a＜－2。答案：A4．[2016·德州模拟]如果不等式 5－ x＞7| x＋1|和不等式 ax2＋ bx－2＞0 有相同的解集，那么( )A． a＝－8， b＝－10 B． a＝－1， b＝9C． a＝－4， b＝－9 D． a＝－1， b＝2解析：由不等式 5－ x＞7| x＋1|，可知 5－ x＞0，两边平方得(5－ x)2＞49( x＋1) 2，整理得4x2＋9 x＋2＜0，即－4 x2－9 x－2＞0。又因为两不等式的解集相同，所以可得 a＝－4， b＝－9，故选 C。答案：C5．[2016·合肥模拟]已知函数 f(x)＝Error!则不等式 f(x)＜0 的解集为________。解析：若 x＞0，由 f(x)＜0 得 x2－1＜0，解得 0＜ x＜1。若 x≤0，由 f(x)＜0 得－| x＋1|＜0，解得 x≤0 且 x≠－1，综上不等式的解为 x＜1 且 x≠－1，即不等式的解集为2(－∞，－1)∪(－1,1)。答案：(－∞，－1)∪(－1,1)1开卷速查(三十五) 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题A 级 基础巩固练1．设变量 x， y 满足约束条件Error!则目标函数 z＝ x＋2 y 的最小值为( )A．2 B．3C．4 D．5解析：画出可行域，不难发现在点 A(1,1)处目标函数 z＝ x＋2 y 有最小值 zmin＝3。选 B。答案：B2．设 x， y 满足约束条件Error!则 z＝2 x－ y 的最大值为( )A．10 B．8C．3 D．2解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由 z＝2 x－ y 得 y＝2 x－ z，作出直线 y＝2 x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点 B(5,2)时，对应的 z 值最大。故 zmax＝2×5－2＝8。答案：B3．当变量 x， y 满足约束条件Error!时， z＝ x－3 y 的最大值为 8，则实数 m 的值是( )A．－4 B．－3C．－2 D．－1解析：画出可行域，如图所示，目标函数 z＝ x－3 y 变形为 y＝ － ，当直线过点 C 时， z 取到x3 z3最大值，2又 C(m， m)，所以 8＝ m－3 m，解得 m＝－4。答案：A4．变量 x， y 满足约束条件Error!若使 z＝ ax＋ y 取得最大值的最优解有无数个，则实数 a 的取值集合是( )A．{－3,0} B．{3，－1}C．{0,1} D．{－3,0,1}解析：作出不等式组Error!表示的区域如下图所示。由 z＝ ax＋ y 得 y＝－ ax＋ z。当－ a＞0 时，平行直线的倾斜角为锐角，从第一个图可看出， a＝－1 时，线段 AC 上的所有点都是最优解；当－ a＜0 时，平行直线的倾斜角为钝角，从第二个图可看出，当 a＝3 时，线段 BC 上的所有点都是最优解。故选 B。答案：B5．[2016·岳阳模拟]若实数 x， y 满足Error!则 S＝2 x＋ y－1 的最大值为( )A．6 B．4C．3 D．2解析：作出的可行域将 S＝2 x＋ y－1 变形为 y＝－2 x＋ S＋1，作直线 y＝－2 x 平移至点 A(2,3)时， S 最大，将 x＝2， y＝3 代入 S＝2 x＋ y－1 得 S＝6。3答案：A6．[2014·湖南]若变量 x， y 满足约束条件Error!且 z＝2 x＋ y 的最小值为－6，则k＝__________。解析：画出可行域(图略)，由题意可知不等式组表示的区域为一个三角形，平移参照直线2x＋ y＝0，可知在点( k， k)处 z＝2 x＋ y 取得最小值，故 zmin＝2 k＋ k＝－6，解得 k＝－2。答案：－27．设 x， y 满足约束条件Error!若目标函数 z＝ ax＋ by(a＞0， b＞0)的最大值为 8，则 ab 的最大值为__________。解析：画出可行域，如图所示，目标函数变形为 y＝－ x＋ ，由已知得－ ＜0，且纵截距最ab zb ab大时， z 取到最大值，故当直线 l 过点 B(2,4)时，目标函数取到最大值，即 2a＋4 b＝8，因a＞0， b＞0，由基本不等式，得 2a＋4 b＝8≥4 ，即 ab≤2(当且仅当 2a＝4 b＝4，即2aba＝2， b＝1 时取“＝”)，故 ab 的最大值为 2。4答案：28．[2016·衡阳模拟]已知点 P(t,2)在不等式组Error!所表示的平面区域内运动， l 为过点 P和坐标原点 O 的直线，则 l 的斜率的取值范围为______________。解析：由不等式组Error!可得所表示的可行域，由图可知：当取点 P(1,2)时，直线 l 的斜率取得最大值， k＝ ＝2。21当取点 P(2,2)时，直线 l 的斜率取得最小值， k＝ ＝1，故 k∈[1,2]。22答案：[1,2]9．若 x， y 满足约束条件Error!(1)求目标函数 z＝ x－ y＋ 的最值；12 12(2)若目标函数 z＝ ax＋2 y 仅在点(1,0)处取得最小值，求 a 的取值范围。解析：(1)作出可行域如图，可求得 A(3,4)， B(0,1)， C(1,0)。平移初始直线 x－ y＋ ＝0，12 125过 A(3,4)取最小值－2，过 C(1,0)取最大值 1。所以 z 的最大值为 1，最小值为－2。(2)直线 ax＋2 y＝ z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－ ＜2，解得－4＜ a＜2。a2故所求 a 的取值范围为(－4,2)。B 级 能力提升练10．[2014·课标Ⅰ]不等式组Error!的解集记为 D。有下面四个命题： p1：∀( x， y)∈ D， x＋2 y≥－2， p2：∃( x， y)∈ D， x＋2 y≥2， p3：∀( x， y)∈ D， x＋2 y≤3， p4：∃ (x， y)∈ D， x＋2 y≤－1。其中的真命题是( )A． p2， p3 B． p1， p4C． p1， p2 D． p1， p3解析：画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数 z＝ x＋2 y 经过可行域内的点A(2，－1)时，取得最小值 0，故 x＋2 y≥0，因此 p1， p2是真命题，选 C。答案：C11．[2014·福建]已知圆 C：( x－ a)2＋( y－ b)2＝1，平面区域 Ω：Error!若圆心 C∈Ω，且圆C 与 x 轴相切，则 a2＋ b2的最大值为( )A．5 B．29C．37 D．496解析：平面区域 Ω 为如图所示的阴影部分的△ ABD，因圆心 C(a， b)∈Ω，且圆 C 与 x 轴相切，所以点 C 在如图所示的线段 MN 上，线段 MN 的方程为 y＝1(－2≤ x≤6)，由图形得，当点 C 在点N(6,1)处时， a2＋ b2取得最大值 62＋1 2＝37，故选 C。答案：C12．若Error! ⊆{(x， y)|x2＋ y2≤ m2(m＞0)}，求实数 m 的范围。解析：设 A＝Error!，B＝{( x， y)|x2＋ y2≤ m2(m＞0)}，则集合 A 表示的区域为图中阴影部分，集合 B 表示以坐标原点为圆心， m 为半径的圆及其内部，由 A⊆B 得， m≥| PO|，由Error!解得Error! 即 P(3,4)，所以| PO|＝5，即 m≥5。13．实系数一元二次方程 x2＋ ax＋2 b＝0 有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内，求：(1)点( a， b)对应的区域的面积；7(2) 的取值范围；b－ 2a－ 1(3)(a－1) 2＋( b－2) 2的值域。解析：方程 x2＋ ax＋2 b＝0 的两根在区间(0,1)和(1,2)上的几何意义分别是：函数 y＝ f(x)＝ x2＋ ax＋2 b 与 x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,2)内，由此可得不等式组Error!⇔Error!由Error! 解得 A(－3,1)；由Error! 解得 B(－2,0)；由Error! 解得 C(－1,0)。∴在如图所示的坐标平面 aOb 内，满足约束条件的点( a， b)对应的平面区域为△ ABC(不包括边界)。(1)△ ABC 的面积为 S△ ABC＝ ×|BC|×h＝ h(h 为 A 到 Oa 轴的距离)＝ ×1＝ 。12 12 12 12(2) 的几何意义是点( a， b)和点 D(1,2)连线的斜率。b－ 2a－ 1kAD＝ ＝ ， kCD＝ ＝1。2－ 11＋ 3 14 2－ 01＋ 1由图可知， kAD＜ ＜ kCD。b－ 2a－ 1∴ ＜ ＜1，即 ∈ 。14 b－ 2a－ 1 b－ 2a－ 1 (14， 1)(3)∵( a－1) 2＋( b－2) 2表示区域内的点( a， b)与定点(1,2)之间距离的平方，由图可知，在 A点与 C 点分别取最大值和最小值。∴( a－1) 2＋( b－2) 2∈(8,17)。1【状元之路】2017 届高三数学一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 6.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题模拟试题高考模拟 备考套餐加固训练 练透考点1．[2015·湖南]若变量 x， y 满足约束条件Error!则 z＝3 x－ y 的最小值为( )A．－7 B．－1C．1 D．2解析：画出可行域如图中阴影部分所示，平移直线 3x－ y＝0，可知直线 z＝3 x－ y 在点A(－2,1)处取得最小值，故 zmin＝3×(－2)－1＝－7，选 A。答案：A2．[2015·福建]若变量 x， y 满足约束条件Error!则 z＝2 x－ y 的最小值等于( )A．－ B．－252C．－ D．232解析：作出可行域如图中阴影部分所示，当目标函数 z＝2 x－ y 过点 A 时， z＝2 x－ y(－ 1，12)取得最小值，且 zmin＝2×(－1)－ ＝－ ，故选 A。12 522答案：A3．[2015·山东]已知 x， y 满足约束条件Error!若 z＝ ax＋ y 的最大值为 4，则 a＝( )A．3 B．2C．－2 D．－3解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数 z＝ ax＋ y 的最大值为 4，即目标函数对应直线与可行域有公共点时，在 y 轴上的截距的最大值为 4，作出过点 D(0,4)的直线，由图可知，目标函数在点 B(2,0)处取得最大值，故有 a×2＋0＝4，解得 a＝2。故选 B。答案：B4．[2015·广东]若变量 x， y 满足约束条件Error!则 z＝3 x＋2 y 的最小值为( )A．4 B.235C．6 D.3153解析：作出如图中阴影部分所示的可行域，当直线 y＝－ x＋ 经过点 A 时 z 取得最小值。32 z2由Error! 得Error!，此时， zmin＝3×1＋2× ＝ 。45 235答案：B5．[2015·陕西]某企业生产甲、乙两种产品均需用 A， B 两种原料。已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示。如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲 乙 原料限额A(吨) 3 2 12B(吨) 1 2 8A.12 万元 B．16 万元C．17 万元 D．18 万元解析：设生产甲 x 吨、乙 y 吨，则有目标函数 z＝3 x＋4 y，依题意得约束条件为Error!易知最优解为(2,3)，代入目标函数可得 z 的最大值为 18，故选 D。答案：D1开卷速查(三十六) 基本不等式A 级 基础巩固练1．[2014·重庆]若 log4(3a＋4 b)＝log 2 ，则 a＋ b 的最小值是( )abA．6＋2 B．7＋23 3C．6＋4 D．7＋43 3解析：因为 log4(3a＋4 b)＝log 2 ，所以 log4(3a＋4 b)＝log 4(ab)，即 3a＋4 b＝ ab，且abError!即 a＞0， b＞0，所以 ＋ ＝1( a＞0， b＞0)， a＋ b＝( a＋ b)4a 3b＝7＋ ＋ ≥7＋2 ＝7＋4 ，当且仅当 ＝ 时取等号，故选 D。(4a＋ 3b) 4ba 3ab 4ba·3ab 3 4ba 3ab答案：D2．若正实数 x， y 满足 x＋ y＋ ＋ ＝5，则 x＋ y 的最大值是( )1x 1yA．2 B．3C．4 D．5解析：∵ xy≤ ， x＞0， y＞0， x＋ y 24∴ ≥ ， ≥ ，1xy 4 x＋ y 2 x＋ yxy 4x＋ y∴ x＋ y＋ ≤5.设 x＋ y＝ t，即 t＋ ≤5，得到 t2－5 t＋4≤0，解得 1≤ t≤4，∴ x＋ y 的最4x＋ y 4t大值是 4。答案：C3．[2016·马鞍山模拟]设 x＞0， y＞0，且 2x＋ y＝6，则 9x＋3 y有( )A．最大值 27 B．最小值 27C．最大值 54 D．最小值 54解析：因为 x＞0， y＞0，且 2x＋ y＝6，所以 9x＋3 y≥2 ＝2 ＝2 ＝54，9x·3y 32x＋ y 36当且仅当 x＝ ， y＝3 时，9 x＋3 y有最小值 54。32答案：D4．若正数 a， b 满足 ＋ ＝1，则 ＋ 的最小值为( )1a 1b 1a－ 1 9b－ 1A．1 B．6C．9 D．16解析：方法一：因为 ＋ ＝1，所以 a＋ b＝ ab⇒(a－1)( b－1)＝1，所以 ＋ ≥2 1a 1b 1a－ 1 9b－ 1＝2×3＝6。1a－ 1·9b－ 12方法二：因为 ＋ ＝1，所以 a＋ b＝ ab， ＋ ＝ ＝ b＋9 a－10＝( b＋9 a)1a 1b 1a－ 1 9b－ 1 b－ 1＋ 9a－ 9ab－ a－ b＋ 1－10≥16 －10＝6。(1a＋ 1b)方法三：因为 ＋ ＝1，所以 a－1＝ ，1a 1b 1b－ 1所以 ＋ ＝( b－1)＋ ≥2 ＝2×3＝6。1a－ 1 9b－ 1 9b－ 1 9答案：B5．设 a＞0， b＞0，若 是 3a与 32b的等比中项，则 ＋ 的最小值为( )32a 1bA．8 B．4 C．1 D.14解析：由题意可知 3＝3 a32b＝3 a＋2 b，即 a＋2 b＝1。因为 a＞0， b＞0，所以 ＋ ＝ (a＋2 b)＝ ＋ ＋4≥2 ＋4＝8，当且仅当 ＝ ，2a 1b (2a＋ 1b) ab 4ba ab·4ba ab 4ba即 a＝2 b＝ 时取“＝” 。12答案：A6．[2016·黄冈模拟]若实数 x， y， z 满足 x2＋ y2＋ z2＝2，则 xy＋ yz＋ zx 的取值范围是( )A．[－1,2] B．[1,2]C．[－1,1] D．[－2,2]解析：因为( x－ y)2＋( x－ z)2＋( y－ z)2≥0，所以 x2＋ y2＋ z2≥ xy＋ xz＋ yz，所以 xy＋ yz＋ zx≤2。又( x＋ y＋ z)2＝ x2＋ y2＋ z2＋2( xy＋ yz＋ xz)≥0，所以 xy＋ xz＋ yz≥－ (x2＋ y2＋ z2)＝－1。12综上可得：－1≤ xy＋ xz＋ yz≤2。故选 A。答案：A7．已知正数 x， y 满足 x＋2 y＝2，则 的最小值为__________。x＋ 8yxy解析：由已知得 ＝1，x＋ 2y2则 ＝ ＋ ＝ ＝ ≥ (10＋ 2 )＝9，当且仅当 x＝ ， y＝ 时取x＋ 8yxy 1y 8x (1y＋ 8x)(x＋ 2y2 ) 12(10＋ xy＋ 16yx) 12 16 43 13等号。答案：98．已知 x， y 为正实数，3 x＋2 y＝10， ＋ 的最大值为________。3x 2y解析：由 ≤ a＋ b2 a2＋ b223得 ＋ ≤ 3x 2y 2  3x 2＋  2y 2＝ ＝2 ，23x＋ 2y 5当且仅当 x＝ ， y＝ 时取等号。53 52答案：2 59．[2016·青岛模拟]下列命题中正确的是________(填序号)。① y＝2－3 x－ (x＞0)的最大值是 2－4 ；4x 3② y＝sin 2x＋ 的最小值是 4；4sin2x③ y＝2－3 x－ (x＜0)的最小值是 2－4 。4x 3解析：①正确，因为 y＝2－3 x－ ＝2－ ≤4x (3x＋ 4x)2－2 ＝2－4 。3x·4x 3当且仅当 3x＝ ，即 x＝ 时等号成立。4x 233②不正确，令 sin2x＝ t，则 0＜ t≤1，所以 g(t)＝ t＋ ，4t显然 g(t)在(0,1]上单调递减，故 g(t)min＝ g(1)＝1＋4＝5。③不正确，因为 x＜0，所以－ x＞0，最小值为 2＋4 ，3而不是 2－4 。3答案：①10．已知 f(x)＝ 。2xx2＋ 6(1)若 f(x)＞ k 的解集为{ x|x＜－3 或 x＞－2}，求 k 的值；(2)若对任意 x＞0， f(x)≤ t 恒成立，求实数 t 的范围。解析：(1) f(x)＞ k⇔kx2－2 x＋6 k＜0，由已知其解集为{ x|x＜－3，或 x＞－2}，得 x1＝－3， x2＝－2 是方程 kx2－2 x＋6 k＝0 的两根，所以－2－3＝ ，即 k＝－ 。2k 25(2)∵ x＞0， f(x)＝ ＝ ≤ ，2xx2＋ 6 2x＋ 6x 66由已知 f(x)≤ t 对任意 x＞0 恒成立，故实数 t 的取值范围是 。[66， ＋ ∞ )4B 级 能力提升练11．[2016·太原模拟]正数 a， b 满足 ＋ ＝1，若不等式 a＋ b≥－ x2＋4 x＋18－ m 对任意实数1a 9bx 恒成立，则实数 m 的取值范围是( )A．[3，＋∞) B．(－∞，3]C．(－∞，6] D．[6，＋∞)解析：因为 a＞0， b＞0， ＋ ＝1，1a 9b所以 a＋ b＝( a＋ b)(1a＋ 9b)＝10＋ ＋ ≥10＋2 ＝16，ba 9ab 9由题意，得 16≥－ x2＋4 x＋18－ m，即 x2－4 x－2≥－ m 对任意实数 x 恒成立，而 x2－4 x－2＝( x－2) 2－6，所以 x2－4 x－2 的最小值为－6，所以－6≥－ m，即 m≥6。答案：D12．[2016·吉林模拟]已知各项均为正数的等比数列{ an}满足 a7＝ a6＋2 a5，若存在两项 am， an使得 ＝4 a1，则 ＋ 的最小值为( )aman1m 4nA. B.32 53C. D.94 256解析：由各项均为正数的等比数列{ an}满足 a7＝ a6＋2 a5，可得 a1q6＝ a1q5＋2 a1q4，所以 q2－ q－2＝0，解得 q＝2 或 q＝－1(舍去)。因为 ＝4 a1，所以 qm＋ n－2 ＝16，aman所以 2m＋ n－2 ＝2 4，所以 m＋ n＝6，所以 ＋ ＝ (m＋ n)1m 4n 16 (1m＋ 4n)＝ ≥ (5＋4)＝ 。16(5＋ nm＋ 4mn) 16 32当且仅当 ＝ ，即 m＝2， n＝4 时，等号成立，nm 4mn故 ＋ 的最小值等于 。1m 4n 32答案：A513．如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为 2 米的无盖长方体的沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从 B 孔流出。设箱体的长度为 a 米，高度为 b 米。已知流出的水中该杂质的质量分数与 a， b 的乘积 ab 成反比。现有制箱材料 60 平方米。问当 a， b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小( A， B 孔的面积忽略不计)?解析：方法一：设 y 为流出的水中杂质的质量分数，则 y＝ ，其中 k 为比例系数，且 k＞0，kab依题意，即所求的 a， b 值使 y 最小。据题意有：4 b＋2 ab＋2 a＝60( a＞0， b＞0)，所以 b＝ (0＜ a＜30)。30－ a2＋ a所以 ab＝ a× ＝ ＝－ a＋32－30－ a2＋ a 30a－ a22＋ a 642＋ a＝34－ ≤34－2 ＝18。(a＋ 2＋64a＋ 2)  a＋ 2 ·64a＋ 2当 a＋2＝ 时取等号， y 达到最小值。64a＋ 2此时解得 a＝6， b＝3。答：当 a 为 6 米， b 为 3 米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。方法二：设 y 为流出的水中杂质的质量分数，则 y＝ ，其中 k 为比例系数，且 k＞0，kab依题意，即所求的 a， b 值使 y 最小。据题意有：4 b＋2 ab＋2 a＝60( a＞0， b＞0)，即 2b＋ ab＋ a＝30，因为 a＋2 b≥2 ，2ab所以 30－ ab＝ a＋2 b≥2 。2ab所以 ab＋2 －30≤0。2ab因为 a＞0， b＞0，所以 0＜ ab≤18，当 a＝2 b 时取等号， ab 达到最大值 18。此时解得 a＝6， b＝3。答：当 a 为 6 米， b 为 3 米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。14．[2015·郑州模拟]若 a＞0， b＞0，且 ＋ ＝ 。1a 1b ab6(1)求 a3＋ b3的最小值；(2)是否存在 a， b，使得 2a＋3 b＝6？并说明理由。解析：(1)因为 a＞0， b＞0，且 ＋ ＝ ，1a 1b ab所以 ＝ ＋ ≥2 ，ab1a 1b 1ab所以 ab≥2，当且仅当 a＝ b＝ 时取等号。2因为 a3＋ b3≥2 ≥2 ＝4 ，当且仅当 a＝ b＝ 时取等号， ab 3 23 2 2所以 a3＋ b3的最小值为 4 。2(2)由(1)可知，2 a＋3 b≥2 ＝2 ≥4 ＞6，2a·3b 6ab 3故不存在 a， b，使得 2a＋3 b＝6 成立。