1、2018 全国高中数学联赛安徽省初赛试卷第卷（共 64 分）一、填空题（每题 8 分，满分 64 分，将答案填在答题纸上）1.设三个复数 ， ， 在复平面上对应的三点共线，且 ，则 1iz 5zz2.设 是正整数，且满足 ，则 n5438279nn3.函数 的最小正周期= si2isifxx4.设点 ， 分别在函数 和 的图象上，则 的最小值= PQy2logxPQ5.从 中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差 的概率= 1,0 21s6.在边长为 的正方体 内部有一小球，该小球与正方体的对角线段 相1ABCD 1AC切，则小球半径的最大值= 7.设 是 的垂心，且 ，则 H3450HCco
2、sAHB8.把 按照顺时针螺旋方式排成 行 列的表格 ，第一行是 .例如：21,n nnT1,2n.设 在 的第 行第 列，则 3894765T0180Tij,ij第卷（共 86 分）二、解答题 （本大题共 4 小题，共 86 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 9. 如图所示，设 是矩形，点 ， 分别是线段 ， 的中点，点 在线段ABCDEFADBCG上，点 ， 关于线段 的垂直平分线 对称.求证： .EFHGl 3HA10. 设 是坐标原点，双曲线 上动点 处的切线交 的两条渐近线于 ，O2:1xyCabMCA两点.B（1）求证： 的面积 是定值；AOBS（2）求 的外心 的轨
3、迹方程.P11. （1）求证：对于任意实数 ， ， 都有 .xyz223xyzxyz（2）是否存在实数 ，使得对于任意实数 ， ， 下式恒成立？3k23xyzxyz试证明你的结论.12. 在正 边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图018形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.试卷答案一、填空题1. 或 2. 3. 4.43ii21321ln25. 6. 7. 8.15465634,95二、解答题9.解：由 ， 分别是 ， 的中点，得 .EFADBC/EFABD设 是 关于 的对称点，则 ，故四边形 是等腰梯形.Pl/PGlPG进而 ， ，从而 .GH再由 ，得 .
4、HH因此 .3AB10.解：（1） 处的切线方程 .0,Mxy021xyab与渐近线方程联立，得 ， .100,Axy200,abBxyyx从而， 是定值.121Sxyab（2）由（1）可设 ， ， ， 为非零常数.,A,B,Pxy由 ，得 .PO 22222abxayby从而有 ， .2axby21a上述两式相乘，得 的轨迹方程为 .224xbyb11.解：（1）由均值不等式， ， ，33xzx.213yzy故 .23xxz（2） 22222 344kkkxyzkxyzxyzyzkyz上式 恒成立当且仅当 且 .0204k22234kk化简得 且 .显然， 满足要求.2k32612.设 是此图形中三边颜色都相同的三角形数目， 是此图形中三边颜色不全相同的三角NM形数目， 是以第 个顶点为端点的红色线段数目，则有ixi， .32018MC72iix当且仅当每个 或 时， 取得最小值 .ix09N323201810998CC是可以取到的，例如把线段 染成红31092N mod,54ijij色，其它线段染成蓝色.
