2015-2016学年高中数学 第2章 推理与证明章末检测（打包6套）苏教版选修1-2.zip

- 1 -推理与证明习题课课时目标 1.进一步理解直接证明和间接证明的思想.2.利用两种证明方法解决简单的实际问题．1．________证明和________证明是数学证明的两类基本证明方法．________法和________法是直接证明中最基本的两种证明方法；__________是间接证明的一种基本方法．2．综合法和分析法经常结合使用；直接证明比较麻烦的结论，我们可以采用__________．一、填空题1．若实数 a， b 满足 01＋ 成立的正整数 a 的最大值为________．3 8 a3．设 a， b， c 三数成等比数列，而 x， y 分别为 a， b 和 b， c 的等差中项，则＋ ＝________.ax cy4． m＝ ＋ ， n＝ ＋ (a≥0)，则 m 与 n 的大小关系是________．a a＋ 5 a＋ 2 a＋ 35．有下列叙述：①“ ab”的反面是“ ay 或 x2 ，∴2 ab ＝ ， a＋ b 22 12又∵0b，∴ 0.∴cos B0，即 B0，这与 a＋ b＋ c≤0 矛盾，故 a、 b、 c 中至少有一个大于 0.- 1 -第 2 章 推理与证明 章末复习提升 2 1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.题型一 归纳推理和类比推理归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论“合情”但不一定“合理” ，其正确性都有待严格证明．尽管如此，合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用．运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的．在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳、类比的方法进行探索、猜想，最后用逻辑推理方法进行验证．例 1 观察下列各式： a＋ b＝1， a2＋ b2＝3， a3＋ b3＝4， a4＋ b4＝7， a5＋ b5＝11，…，则a10＋ b10＝________.- 2 -答案 123解析 记 an＋ bn＝ f(n)，则 f(3)＝ f(1)＋ f(2)＝1＋3＝4； f(4)＝ f(2)＋ f(3)＝3＋4＝7； f(5)＝ f(3)＋ f(4)＝11.通过观察不难发现 f(n)＝ f(n－1)＋ f(n－2)(n∈N *， n≥3)，则 f(6)＝ f(4)＋ f(5)＝18； f(7)＝ f(5)＋ f(6)＝29； f(8)＝ f(6)＋ f(7)＝47； f(9)＝ f(7)＋ f(8)＝76； f(10)＝ f(8)＋ f(9)＝123.所以 a10＋ b10＝123.跟踪演练 1 给出下列三个类比结论：①( ab)n＝ anbn与( a＋ b)n类比，则有( a＋ b)n＝ an＋ bn；②log a(xy)＝log ax＋log ay 与 sin(α ＋ β )类比，则有 sin(α ＋ β )＝sin α sinβ ；③( a＋ b)2＝ a2＋2 ab＋ b2与( a＋ b)2类比，则有( a＋ b)2＝ a2＋2 a·b＋ b2.其中正确结论的个数是________．答案 1解析 ( a＋ b)n≠ an＋ bn(n≠1， a·b≠0)，故①错误．sin(α ＋ β )＝sin α sinβ 不恒成立．如 α ＝30°， β ＝60°，sin90°＝1，sin30°·sin60°＝ ，故②错误．34由向量的运算公式知③正确．题型二 直接证明综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法结合起来使用．例 2 已知 a0，求证： － ≥ a＋ －2.a2＋ 1a2 2 1a证明 要证 － ≥ a＋ －2，a2＋ 1a2 2 1a只需证 ＋2≥ a＋ ＋ .a2＋ 1a2 1a 2∵ a0，故只需证 2≥ 2，(a2＋ 1a2＋ 2) (a＋ 1a＋ 2)即 a2＋ ＋4 ＋4≥ a2＋2＋ ＋2 ＋2，1a2 a2＋ 1a2 1a2 2(a＋ 1a)从而只需证 2 ≥ ，a2＋ 1a2 2(a＋ 1a)只要证 4 ≥2 ，(a2＋1a2) (a2＋ 2＋ 1a2)- 3 -即 a2＋ ≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．1a2跟踪演练 2 如图，在四面体 B－ ACD 中， CB＝ CD， AD⊥ BD，且 E， F 分别是 AB， BD 的中点，求证：(1)直线 EF∥平面 ACD；(2)平面 EFC⊥平面 BCD.证明 (1)要证直线 EF∥平面 ACD，只需证 EF∥ AD 且 EF⊄平面 ACD.因为 E， F 分别是 AB， BD 的中点，所以 EF 是△ ABD 的中位线，所以 EF∥ AD，所以直线 EF∥平面 ACD.(2)要证平面 EFC⊥平面 BCD，只需证 BD⊥平面 EFC，只需证Error!因为Error! 所以 EF⊥ BD.又因为 CB＝ CD， F 为 BD 的中点，所以 CF⊥ BD.所以平面 EFC⊥平面 BCD.题型三 反证法如果一个命题的结论难以直接证明时，可以考虑反证法．通过反设结论，经过逻辑推理，得出矛盾，从而肯定原结论成立．反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常体现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要．反证法主要证明：否定性、惟一性命题；至多、至少型问题；几何问题．例 3 已知二次函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a0)的图象与 x 轴有两个不同的交点，若 f(c)＝0，且 00.(1)证明： 是函数 f(x)的一个零点；1a(2)试用反证法证明 c.1a证明 (1)∵ f(x)图象与 x 轴有两个不同的交点，∴ f(x)＝0 有两个不等实根 x1， x2，∵ f(c)＝0，∴ x1＝ c 是 f(x)＝0 的根，- 4 -又 x1x2＝ ，∴ x2＝ ( ≠ c)，ca 1a1a∴ 是 f(x)＝0 的一个根．1a即 是函数 f(x)的一个零点．1a(2)假设 0，由 00，1a 1a知 f( )0 与 f( )＝0 矛盾，∴ ≥ c，1a 1a 1a又∵ ≠ c，∴ c.1a 1a跟踪演练 3 若 a， b， c 均为实数，且 a＝ x2－2 y＋ ， b＝ y2－2 z＋ ， c＝ z2－2 x＋ .求π 2 π 3 π 6证： a， b， c 中至少有一个大于 0.证明 假设 a， b， c 都不大于 0，即 a≤0， b≤0， c≤0，则 a＋ b＋ c≤0，而 a＋ b＋ c＝ x2－2 y＋ ＋ y2－2 z＋ ＋ z2－2 x＋ ＝( x－1) 2＋( y－1)π 2 π 3 π 62＋( z－1) 2＋π－3.∵π－3＞0，且( x－1) 2＋( y－1) 2＋( z－1) 2≥0，∴ a＋ b＋ c＞0，这与 a＋ b＋ c≤0 矛盾，因此假设不成立，∴ a， b， c 中至少有一个大于 0.1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理(1)归纳推理的基本模式： a， b， c∈ M 且 a， b， c 具有某属性，结论：∀ d∈ M， d 也具有某属性．(2)类比推理的基本模式： A 具有属性 a， b， c， d； B 具有属性 a′， b′， c′；结论： B 具有属性 d′.( a， b， c， d 与 a′， b′， c′， d′相似或相同)2．使用反证法证明问题时，常见的“结论词”与“反设词”列表如下：原结论词 反设词 原结论词 反设词至少有一个 一个也没有 对所有 x 成立 存在某个 x 不成立至多有一个 至少有两个 对任意 x 不成立 存在某个 x 成立至少有 n 个 至多有 n－1 个 p 或 q p 且 q至多有 n 个 n＋1 个 p 且 q p 或 q- 1 -第 2 章 推理与证明 章末总结知识点一 合情推理归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理．例 1 在平面上有 n 条直线，任何两条都不平行，并且任何三条都不交于同一点，问这些直线把平面分成多少部分？例 2 如图所示，在△ ABC 中，射影定理可表示为 a＝ b·cos C＋ c·cos B，其中a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．- 2 -知识点二 演绎推理合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．演绎推理的一般模式是“三段论” ．例 3 已知函数 f(x)＝ ＋ bx，其中 a0， b0， x∈(0，＋∞)，确定 f(x)的单调区间，ax并证明在每个单调区间上的增减性．知识点三 综合法与分析法综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法和综合法可相互转换，相互渗透，充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．例 4 已知 a， b， c 均为正实数，且 a＋ b＋ c＝1，求证： ≥8.(1a－ 1)(1b－ 1)(1c－ 1)- 3 -知识点四 反证法反证法是间接证明的一种基本方法，它不去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用正确的推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．在证明一些否定性命题、唯一性命题或含有“至多” 、 “至少”等字句的命题时，正面证明较难，可考虑反证法，即“正难则反” ．例 5 已知 a， b， c∈(0,1)．求证：(1－ a)b，(1－ b)c，(1－ c)a 不可能都大于 .14例 6 如图所示，已知两直线 l∩ m＝ O， l⊂α ， m⊂α ， l⊄β ， m⊄β ， α ∩ β ＝ a.求证：l 与 m 中至少有一条与 β 相交．章末总结答案重点解读例 1 解 设 n 条直线分平面为 Sn部分，先实验观察特例有如下结果：- 4 -n 1 2 3 4 5 6 …Sn 2 4 7 11 16 22 …n 与 Sn之间的关系不太明显，但 Sn－ Sn－1 有如下关系：n 1 2 3 4 5 6 …Sn 2 4 7 11 16 22 …Sn－ Sn－1 2 3 4 5 6 …观察上表发现如下规律： Sn－ Sn－1 ＝ n(n＝2,3，…)．这是因为在 n－1 条直线后添加第 n 条直线被原( n－1)条直线截得的 n 段中的任何一段都将它所在的原平面一分为二，相应地增加 n 部分，所以 Sn＝ Sn－1 ＋ n，即 Sn－ Sn－1 ＝ n.从而 S2－ S1＝2， S3－ S2＝3， S4－ S3＝4，…， Sn－ Sn－1 ＝ n.将上面各式相加有 Sn－ S1＝2＋3＋…＋ n，∴ Sn＝ S1＋2＋3＋…＋ n＝2＋2＋3＋…＋ n＝1＋ .n n＋ 12例 2 解 如图所示，在四面体 P—ABC 中，设 S1， S2， S3， S 分别表示△ PAB，△ PBC，△ PCA，△ABC 的面积， α ， β ， γ 依次表示面 PAB，面 PBC，面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其形式应为：S＝ S1·cos α ＋ S2·cos β ＋ S3·cos γ .例 3 解 f(x)的单调区间为 和 ，证明如下：设 00,0b，ab ax1x2∴ f(x1)－ f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，- 5 -∴ f(x)在 上是减函数．(0， ab]当 x2x1≥ 时，ab则 x2－ x10， x1x2 ， ，(1－ b)c ，(1－ c)a ，14 14 14- 6 -三式相乘得：(1－ a)·a·(1－ b)·b·(1－ c)·c ， ①143又因为 0a1，∴0 a(1－ a)≤ 2＝ ，(a＋ 1－ a2 ) 14同理 0b(1－ b)≤ ，0 c(1－ c)≤ ，14 14所以(1－ a)a·(1－ b)b·(1－ c)c≤ ， ②143①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．例 6 证明 假设 l， m 都不与 β 相交，∵ l⊄β ， m⊄β ，∴ l∥ β 且 m∥ β .又∵ l⊂α ， m⊂α ， α ∩ β ＝ a，∴ l∥ a， m∥ a，∴ l∥ m.这与已知 l、 m 是相交直线矛盾．因此 l 和 m 至少有一条与 β 相交．- 1 -第 2章 推理与证明 章末检测 2 一、填空题(本大题共 14小题，每小题 5分，共 70分)1．在△ ABC中， E、 F分别为 AB， AC的中点，则有 EF∥ BC，这个问题的大前提为________．答案 三角形的中位线平行于第三边解析 这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提： EF为△ABC的中位线；结论： EF∥ BC.2．对大于或等于 2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：22＝1＋332＝1＋3＋542＝1＋3＋5＋723＝3＋533＝7＋9＋1143＝13＋15＋17＋19根据上述分解规律，若 m2＝1＋3＋5＋…＋11， n3的分解中最小的正整数是 21，则m＋ n＝________.答案 11解析 ∵ m2＝1＋3＋5＋…＋11＝ ×6＝36，1＋ 112∴ m＝6.∵2 3＝3＋5,3 3＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，∴5 3＝21＋23＋25＋27＋29，∵ n3的分解中最小的数是 21，∴ n3＝5 3， n＝5，∴ m＋ n＝6＋5＝11.3．用反证法证明命题“ ＋ 是无理数”时，其反证假设是________．2 3答案 ＋ 是有理数2 3解析 应对结论进行否定，则 ＋ 不是无理数，即 ＋ 是有理数．2 3 2 34．已知 f(x＋1)＝ ， f(1)＝1( x∈N *)，猜想 f(x)的表达式为________．2f(x)f(x)＋ 2答案 2x＋ 1解析 当 x＝1 时， f(2)＝ ＝ ＝ ，2f(1)f(1)＋ 2 23 22＋ 1当 x＝2 时， f(3)＝ ＝ ＝ ；2f(2)f(2)＋ 2 24 23＋ 1当 x＝3 时， f(4)＝ ＝ ＝ ，2f(3)f(3)＋ 2 25 24＋ 1- 2 -故可猜想 f(x)＝ .2x＋ 15．对“ a， b， c是不全相等的正数” ，给出下列判断：①( a－ b)2＋( b－ c)2＋( c－ a)2≠0；② a＝ b与 b＝ c及 a＝ c中至少有一个成立；③ a≠ c， b≠ c， a≠ b不能同时成立．其中判断正确的个数为________．答案 1解析 若( a－ b)2＋( b－ c)2＋( c－ a)2＝0，则 a＝ b＝ c，与“ a， b， c是不全相等的正数”矛盾，故①正确． a＝ b与 b＝ c及 a＝ c中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“ a， b， c是不全相等的正数” ，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确．6．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有________个．①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥．答案 2解析 类比相似形中的对应边成比例知，①③属于相似体．7．数列{ an}满足 a1＝ ， an＋1 ＝1－ ，则 a2015等于________．12 1an答案 －1解析 ∵ a1＝ ， an＋1 ＝1－ ，12 1an∴ a2＝1－ ＝－1， a3＝1－ ＝2， a4＝1－ ＝ ，1a1 1a2 1a3 12a5＝1－ ＝－1， a6＝1－ ＝2，1a4 1a5∴ an＋3 k＝ an(n∈N *， k∈N *)∴ a2015＝ a2＋3×671 ＝ a2＝－1.8．若数列{ an}中， a1＝1， a2＝3＋5， a3＝7＋9＋11， a4＝13＋15＋17＋19，…，则a8＝________.答案 512解析 由 a1， a2， a3， a4的形式可归纳：∵1＋2＋3＋4＋…＋7＝ ＝28，7×(1＋ 7)2∴ a8的首项应为第 29个正奇数，即 2×29－1＝57.∴ a8＝57＋59＋61＋63＋65＋67＋69＋71- 3 -＝ ＝512.8×(57＋ 71)29．在数列{ an}中， a1＝1，且 Sn， Sn＋1, 2S1成等差数列( Sn表示数列{ an}的前 n项和)，则S2， S3， S4分别为________，猜想 Sn＝________.答案 ，， (n∈N *)3274 158 2n－ 12n－ 1解析 由 Sn， Sn＋1, 2S1成等差数列，得 2Sn＋1 ＝ Sn＋2 S1，因为 S1＝ a1＝1，所以 2Sn＋1 ＝ Sn＋2.令 n＝1，则 2S2＝ S1＋2＝1＋2＝3⇒ S2＝ ，32同理，分别令 n＝2， n＝3，可求得 S3＝ ， S4＝ .74 158由 S1＝1＝ ， S2＝ ＝ ， S3＝ ＝ ，21－ 120 32 22－ 121 74 23－ 122S4＝ ＝ ，猜想 Sn＝ .158 24－ 123 2n－ 12n－ 110．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第 n个图案中有白色地面砖的块数是________．答案 4 n＋2解 观察可知：除第一个以外，每增加一个黑色地板砖，相应的白地板砖就增加四个，因此第 n个图案中有白色地面砖的块数是一个“以 6为首项，公差是 4的等差数列的第 n项”．故第 n个图案中有白色地面砖的块数是 4n＋2.11．观察下列等式：(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝2 2×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝2 3×1×3×5按此规律，第 n个等式可为________．答案 ( n＋1)( n＋2)( n＋3)…( n＋ n)＝2 n·1·3·5…(2n－1)12． f(n)＝1＋ ＋ ＋…＋ (n∈N *)，经计算得 f(2)＝ ， f(4)2， f(8) ， f(16)3， f(32)12 13 1n 32 52，推测当 n≥2 时，有________．72答案 f(2n) (n≥2)2＋ n2- 4 -解析 观测 f(n)中 n的规律为 2k(k＝1,2，…)不等式右侧分别为 ， k＝1,2，…，2＋ k2∴ f(2n) (n≥2)．2＋ n213．已知 ＝2 ， ＝3 ，2＋ 23 23 3＋ 38 38 4＋ 415＝4 ，…，若 ＝6 (a， b均为实数)，推测 a＝________， b＝________.415 6＋ ab ab答案 6 35解析 由前面三个等式，推测被开方数的整数与分数的关系，发现规律．由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是分子的平方减 1，由此推测 中，6＋ aba＝6， b＝6 2－1＝35，即 a＝6， b＝35.14．在平面几何中，△ ABC的内角平分线 CE分 AB所成线段的比为 ＝ ，把这个结论类比AEEB ACBC到空间：在三棱锥 ABCD中(如图所示)，面 DEC平分二面角 ACDB且与 AB相交于 E，则得到的类比的结论是________．答案 ＝AEEB S△ ACDS△ BCD解析 CE平分∠ ACB，而面 CDE平分二面角 ACDB.∴ 可类比成 ，故结论为 ＝ACBC S△ ACDS△ BCD AEEB.S△ ACDS△ BCD二、解答题(本大题共 6小题，共 90分)15．(14 分)已知 a、 b、 c是互不相等的非零实数．求证三个方程ax2＋2 bx＋ c＝0， bx2＋2 cx＋ a＝0， cx2＋2 ax＋ b＝0 至少有一个方程有两个相异实根．证明 反证法：假设三个方程中都没有两个相异实根，则 Δ 1＝4 b2－4 ac≤0， Δ 2＝4 c2－4 ab≤0， Δ 3＝4 a2－4 bc≤0.相加有a2－2 ab＋ b2＋ b2－2 bc＋ c2＋ c2－2 ac＋ a2≤0，(a－ b)2＋( b－ c)2＋( c－ a)2≤0.①由题意 a、 b、 c互不相等，∴①式不能成立．- 5 -∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．16．(14 分)设数列{ an}是公比为 q的等比数列， Sn是它的前 n项和．(1)求证：数列{ Sn}不是等比数列；(2)数列{ Sn}是等差数列吗？为什么？(1)证明 假设数列{ Sn}是等比数列，则 S ＝ S1S3，2即 a (1＋ q)2＝ a1·a1·(1＋ q＋ q2)，21因为 a1≠0，所以(1＋ q)2＝1＋ q＋ q2，即 q＝0，这与公比 q≠0 矛盾，所以数列{ Sn}不是等比数列．(2)解 当 q＝1 时， Sn＝ na1，故{ Sn}是等差数列；当 q≠1 时，{ Sn}不是等差数列，否则 2S2＝ S1＋ S3，即 2a1(1＋ q)＝ a1＋ a1(1＋ q＋ q2)，得 q＝0，这与公比 q≠0 矛盾．17．(14 分)请你把不等式“若 a1， a2是正实数，则有 ＋ ≥ a1＋ a2”推广到一般情形，并a21a2 a2a1证明你的结论．解 推广的结论：若 a1， a2，…， an都是正实数，则有＋ ＋…＋ ＋ ≥ a1＋ a2＋…＋ an.a21a2 a2a3 a2n－ 1an a2na1证明：∵ a1， a2，… an都是正实数，∴ ＋ a2≥2 a1； ＋ a3≥2 a2；…a21a2 a2a3＋ an≥2 an－1 ； ＋ a1≥2 an，a2n－ 1an a2na1＋ ＋…＋ ＋ ≥ a1＋ a2＋…＋ an.a21a2 a2a3 a2n－ 1an a2na118．(16 分)已知 a， b， c为正数，且 f(n)＝lg ，an＋ bn＋ cn3求证：2 f(n)≤ f(2n)．证明 要证 2f(n)≤ f(2n)只需证 2≤(an＋ bn＋ cn3 ) a2n＋ b2n＋ c2n3即证( an＋ bn＋ cn)2≤3( a2n＋ b2n＋ c2n)即 2anbn＋2 cnbn＋2 ancn≤2( a2n＋ b2n＋ c2n)∵ a2n＋ b2n≥2 anbn， a2n＋ c2n≥2 ancn，- 6 -b2n＋ c2n≥2 bncn∴2 anbn＋2 cnbn＋2 ancn≤2( a2n＋ b2n＋ c2n)∴原不等式成立．19．(16 分)正实数数列{ an}中， a1＝1， a2＝5，且{ a }成等差数列．证明数列{ an}中有无穷2n多项为无理数．证明 由已知有： a ＝1＋24( n－1)，2n从而 an＝ ，取 n－1＝24 2k－1 ，1＋ 24(n－ 1)则 an＝ (k∈N *)．1＋ 242k用反证法证明这些 an都是无理数．假设 an＝ 为有理数，则 an必为正整数，且 an＞24 k，1＋ 242k故 an－24 k≥1， an＋24 k＞1，与( an－24 k)(an＋24 k)＝1 矛盾，所以 an＝ (k∈N *)都是1＋ 242k无理数，即数列{ an}中有无穷多项为无理数．20．(16 分)设 a， b， c为一个三角形的三条边， s＝ (a＋ b＋ c)，且 s2＝2 ab，试证： s＜2 a.12证明 要证 s＜2 a，由于 s2＝2 ab，所以只需证 s＜ ，s2b即证 b＜ s.因为 s＝ (a＋ b＋ c)，所以只需证 2b＜ a＋ b＋ c，即证 b＜ a＋ c.12由于 a， b， c为一个三角形的三条边，所以上式成立，于是原命题成立．- 1 -第 2 章 推理与证明(A)(时间：120 分钟 满分：160 分)一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分)1．下列推理过程是类比推理的是__________．①人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为12②科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼③通过检测溶液的 pH 值得出溶液的酸碱性④由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数2．观察式子：1＋ 0，有 f(x2)－ f(x1)f .12 (x1＋ x22 )17．(14 分)已知 a0， b0， a＋ b＝1，求证： ＋ ≤2.a＋ 12 b＋ 12- 3 -18．(16 分) 如图所示，△ ABC 是正三角形， AE 和 CD 都垂直于平面 ABC，且AE＝ AB＝2 a， CD＝ a， F 是 BE 的中点．(1)求证： DF∥平面 ABC；(2)求证： AF⊥ BD.19．(16 分)设二次函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c (a≠0)中的 a， b， c 均为整数，且 f(0)，f(1)均为奇数，求证：方程 f(x)＝0 无整数根．20．(16 分)观察下表：1，2,3，4,5,6,7，8,9,10,11,12,13,14,15，…问：(1)此表第 n 行的最后一个数是多少？(2)此表第 n 行的各个数之和是多少？(3)2 008 是第几行的第几个数？第 2 章 推理与证明(A)- 4 -答案1．②2．1＋ ＋ ＋…＋ 0，有 f(x2)－ f(x1)＝－ x ＋ x ＝－( x2－ x1)32 31(x ＋ x1x2＋ x )2 21＝－( x2－ x1)· 2，(1x1－ 1)(1x2－ 1)( 2x1＋ x2－ 1)事实上，∵00. x1－ x2 2 1－ x1－ x2x1x2 x1＋ x2 2∴ 2，(1x1－ 1)(1x2－ 1)( 2x1＋ x2－ 1)即有 lg lg 2，[(1x1－ 1)(1x2－ 1)] ( 2x1＋ x2－ 1)故 [f(x1)＋ f(x2)]f .12 (x1＋ x22 )17．证明 ∵1＝ a＋ b≥2 ，∴ ab≤ .ab14∴ (a＋ b)＋ ab＋ ≤1.12 14∴ ≤1.(a＋ 12)(b＋ 12)从而有 2＋2 ≤4.(a＋ 12)(b＋ 12)即 ＋ ＋2 ≤4.(a＋12) (b＋ 12) (a＋ 12)(b＋ 12)∴ 2≤4.(a＋ 12＋ b＋ 12)- 6 -∴ ＋ ≤2.a＋ 12 b＋ 1218．证明 (1)取 AB 的中点 G，连结 FG， CG，可得 FG∥ AE， FG＝ AE，12又 CD⊥平面 ABC， AE⊥平面 ABC，∴ CD∥ AE， CD＝ AE，12∴ FG∥ CD， FG＝ CD.又∵ FG⊥平面 ABC，∴四边形 CDFG 是矩形， DF∥ CG， CG⊂平面 ABC，DF⊄平面 ABC，∴ DF∥平面 ABC.(2)Rt△ ABE 中， AE＝2 a， AB＝2 a， F 为 BE 的中点，∴ AF⊥ BE，∵△ ABC 是正三角形，∴ CG⊥ AB，∴ DF⊥ AB，又 DF⊥ FG， FG∩ AB＝ G，∴ DF⊥平面 ABE， DF⊥ AF，又∵ DF∩ BE＝ F，∴ AF⊥平面 BDF，又 BD⊂平面 BDF，∴ AF⊥ BD.19．证明 假设方程 f(x)＝0 有一个整数根 k，则 ak2＋ bk＋ c＝0.①因为 f(0)＝ c， f(1)＝ a＋ b＋ c 均为奇数，所以 a＋ b 必为偶数，当 k 为偶数时，令 k＝2 n (n∈Z)，则 ak2＋ bk＋ c＝4 n2a＋2 nb＋ c＝2 n(2na＋ b)＋ c 必为奇数，与①式矛盾；当 k 为奇数时，令 k＝2 n＋1 ( n∈Z)，则 ak2＋ bk＋ c＝(2 n＋1)(2 na＋ a＋ b)＋ c 为一奇数与一偶数乘积加上一个奇数，必为奇数，也与①式矛盾，故假设不成立．综上可知方程 f(x)＝0 无整数根．20．解 (1)由表知，从第二行起，每行的第一个数为偶数，所以第 n＋1 行的第一个数为 2n，所以第 n 行的最后一个数为 2n－1.(2)由(1)知第 n－1 行的最后一个数为 2n－1 －1，第 n 行的第一个数为 2n－1 ，第 n 行的最后一个数为 2n－1.又由观察知，每行数字的个数与这一行的第一个数相同，所以由等差数列求和公式得，Sn＝ ＝2 2n－3 ＋2 2n－2 －2 n－2 .2n－ 1 2n－ 1＋ 2n－ 12(3)因为 210＝1 024,211＝2 048，又第 11 行最后一个数为 211－1＝2 047，所以 2 008是在第 11 行中，由等差数列的通项公式得，2 008＝1 024＋( n－1)·1，所以 n＝985，所以2 008 是第 11 行的第 985 个数．- 1 -第 2 章 推理与证明(B)(时间：120 分钟 满分：160 分)一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分)1．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“ mn＝ nm”类比得到“ a·b＝ b·a”；②“( m＋ n)t＝ mt＋ nt”类比得到“( a＋ b)·c＝ a·c＋ b·c”；③“( m·n)t＝ m(n·t)”类比得到“( a·b)·c＝ a·(b·c)”；④“ t≠0， mt＝ xt⇒m＝ x”类比得到“ p≠0， a·p＝ x·p⇒a＝ x”；⑤“| m·n|＝| m|·|n|”类比得到“| a·b|＝| a|·|b|”；⑥“ ＝ ”类比得到“ ＝ ”．acbc ab a·cb·c ab以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是________．2．数列 1,1,2,3， x,8,13,21，…中的 x 值为________．3．若数列{ an}中， a1＝1， a2＝3＋5， a3＝7＋9＋11， a4＝13＋15＋17＋19，…，则a8＝________.4． p＝ ＋ ， q＝ · (m、 n、 a、 b、 c、 d 均为正数)，则 p、 q 的大小ab cd ma＋ ncbm＋ dn关系为________．5．凡自然数是整数，4 是自然数，所以 4 是整数．对以上三段论推理下列说法正确的是__________(请填写相应的序号)．①正确；②推理形式不正确；③两个“自然数”概念不一致；④“两个整数”概念不一致．6．观察下列等式：C ＋C ＝2 3－2，15 5C ＋C ＋C ＝2 7＋2 3，19 59 9C ＋C ＋C ＋C ＝2 11－2 5，13 513 913 13C ＋C ＋C ＋C ＋C ＝2 15＋2 7，17 517 917 137 17…由以上等式推测到一个一般的结论：对于 n∈N *，C ＋C ＋C ＋…＋C ＝______________.14n＋ 1 54n＋ 1 94n＋ 1 4n＋ 1＋7．对于等差数列{ an}有如下命题：“若{ an}是等差数列， a1＝0， s、 t 是互不相等的正整数，则有( s－1) at＝( t－1) as”．类比此命题，给出等比数列{ bn}相应的一个正确命题是：“__________________________________________”．8．设 f(x)是定义在实数集 R 上的函数，且满足 f(x＋2)＝ f(x＋1)－ f(x)，如果 f(1)＝lg ， f(2)＝lg 15，则 f(2 010)＝__________.329．将杨辉三角中的奇数换成 1，偶数换成 0，得到如图所示的 0～1 三角数表．从上往下数，第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行，第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行，…，第 n 次全行的数都为 1 的是第________行；第 61 行中 1 的个数是________．第 1 行 1 1第 2 行 1 0 1第 3 行 1 1 1 1第 4 行 1 0 0 0 1第 5 行 1 1 0 0 1 1…………- 2 -10．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数 f(x)在[0,1]上有意义，且 f(0)＝ f(1)，如果对于不同的 x1， x2∈[0,1]，都有| f(x1)－ f(x2)|0，求证： － ≥ a＋ －2.a2＋ 1a2 2 1a- 3 -18．(16 分)在不等边△ ABC 中， A 是最小角，求证： A－2－ ，1n而－2－ v0)，则船在流水中在甲、乙间来回行驶一次的时间 t＝ ＋ ＝ ，平均速度 v1＝ ＝Sv2＋ v Sv2－ v 2v2Sv2－ v2 2St.v2－ v2v2∵ v1－ v2＝ － v2＝－ 0，故只要证 2≥ 2，(a2＋ 1a2＋ 2) (a＋ 1a＋ 2)即 a2＋ ＋4 ＋41a2 a2＋ 1a2≥ a2＋2＋ ＋2 ＋2，1a2 2(a＋ 1a)从而只要证 2 ≥ ，a2＋ 1a2 2(a＋ 1a)只要证 4 ≥2 ，(a2＋1a2) (a2＋ 2＋ 1a2)即 a2＋ ≥2，1a2而上述不等式显然成立，故原不等式成立．18．证明 假设 A≥60°，∵ A 是不等边三角形 ABC 的最小角，∵ BA≥60°，CA≥60°，∴ A＋ B＋ C180°，与三角形内角和等于 180°矛盾，∴假设错误，原结论成立，即A60°.19．(1)证明 tan ＝(x＋π 4)tan x＋ tan π 41－ tan xtan π 4＝ ；1＋ tan x1－ tan x(2)解 f(x)是以 4 为一个周期的周期函数．证明如下：∵ f(x＋2)＝ f((x＋1)＋1)＝1＋ f x＋ 11－ f x＋ 1＝ ＝－ ，1＋ 1＋ f x1－ f x1－ 1＋ f x1－ f x 1f x∴ f(x＋4)＝ f((x＋2)＋2)＝－ ＝ f(x)，1f x＋ 2- 7 -∴ f(x)是周期函数．20．(1)解 由已知得Error!∴ d＝2，故 an＝2 n－1＋ ， Sn＝ n(n＋ )．2 2(2)证明 由(1)得 bn＝ ＝ n＋ .Snn 2假设数列{ bn}中存在三项 bp、 bq、 br (p、 q、 r∈N *且互不相等)成等比数列，则b ＝ bpbr，2q即( q＋ )2＝( p＋ )(r＋ )，2 2 2∴( q2－ pr)＋ (2q－ p－ r)＝0.2∵ p、 q、 r∈N *，∴Error!∴ 2＝ pr，( p－ r)2＝0，(p＋ r2 )∴ p＝ r，这与 p≠ r 矛盾．∴数列{ bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．