1、1第 1 课时 集合的含义与表示【双向目标】课程目标 学科素养A 理解集合的概念及其三要素，理解用描述法表示集合的特点B 判断元素与集合间的“属于”与“不属于”关系，利用互异性判断元素的值C. 能用集合语言表示一些实际生活中的集体性问题，会利用集合对实际生活的问题进行分类a 数学抽象：数学集合概念的理解、描述法表示集合的方法b 逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用c 数学运算：集合相等时的参数计算，集合的描述法转化为列举法时的运算d 直观想象：利用数轴表示数集、集合的图形表示e 数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类【课标知识】知识提炼 基础过关知识 1：元素与集合的概念1.元素：
2、一般地，我们把研究的对象称为元素.2.集合：把一些元素组成的总体统叫作集合（简称为集）3.集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.集合中元素的特征：确定性、无序性、互异性。知识 2：元素与集合的关系集合通常用大写字母表示，如 A,B,C,元素用小写字母表示，如 a,b,c,元素和集合之间的专用符号是属于（）或不属于（ ）,知识 3常用数集及表示符号自然数集（或非负整数集） ，记作：N；（注意：0 是自然数）正整数集，记作：N +或 N*。整数集，记作：Z；理数集，记作：Q；称实数集，记作：R。知识 4：集合常用的表示法有(1) 列举法:在大括号内把集合的元素一一列
3、举出来，特点是适用于元素的个数较少的集合；（2）描述法：用集合元素的属性表示集合，其一般形式是 x|x 所具有的属性；（3）图形法：用韦恩图或数轴表示集合， 如1 下列对象能组成集合的是( )A中央电视台著名节目主持人B我市跑得快的汽车C上海市所有的中学生D香港的高楼2. 若 且,则 3. 若一个集合中的三个元素 a,b，c是ABC 的三边长， 则此三角形一定不是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形4.下列说法中:集合 N 与集合 N 是同一个集合 集合 N 中的元素都是集合 Z 中的元素 集合 Q 中的元素都是集合 Z 中的元素 集合 Q 中的元素都是集合
4、R 中的元素其中正确的有_5.已知集合 A 中含有两个元素 a 和a2，若 1 A，则实数 a 的值 6.已知 xN，则方程 x2 x20 的解集用列举法可表示为_基础过关参考答案：21. 【解析】对 A，“著名”无明确标准；对 B，“快”的标准不确定；对 D，“高”的标准不确定，因而A、B、D 均不能组成集合而对 C，上海市的中学生是确定的，能组成集合 【答案】C2.【解析】 ：因为 ，所以 ，又 ，所以【答案】13.【解析】：根据集合中元素的互异性可知，一定不是等腰三角形【答案】D【答案】1【能力素养】探究一 集合含义的考查集合是由元素构成的，因而分析集合问题，常常从元素入手。 例 1判断
5、下列表述是否正确，并说明理由（1）某个班级中年龄较小的男生组成一个集合；（2）Z=全体整数；（3）集合1，2与2，1相等；（4）集合（1，2）与1，2相等.【分析】根据集合的有关概念进行判断. 【解析】 （1）不正确，年龄较小的标准不明确，所以某个班级中年龄较小的男生不能组成一个集合.（2）不正确， “”就包含了所有的含义，应写成 Z=整数.（3）正确，根据集合中元素的无序性，可知集合1，2与2，1相等.（4）不 正 确 ， 集 合 （ 1， 2） 表 示 直 角 坐 标 平 面 上 的 一 个 点 （ 1， 2） ， 而 1， 2是 1， 2 的 集合 ， 它 们 是 不 可 能 相 等 的
6、 .【点评】 （1）确定性是判断一组对象能否组成集合的标准.（2）判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性.（3）集合符号“”已包含“所有”的意思，因而大括号内的文字描述不应再用“全体”“所有” “全部”或“集”等词语.【变式训练】1.下列所给的对象能构成集合的是 所有的正三角形；比较接近 1 的数的全体；某校高一年级所有 16 岁以下的学生；平面直角坐标系内到原点距离等于 1 的点的集合；所有参加 2012 年伦敦奥运会的年轻运动员； 的近似值的全体.【答案】2.下列各组对象能组成一个集合吗？请判断并说明理由.（1）所有很大的实数；（2）好
7、心的人；（3）方程 在实数范围内的解；（4）中国古代的四大发明；（5）小于 18 的既是奇数又是质数的正实数；（6）高一新生中数学成绩较好的同学；（7）立方接近零的正数；（8）2012 年伦敦奥运会的所有比赛项目.【解析】一组对象能否组成集合主要看这组对象是否能确定，只要研究对象是确定的，就可以构成集合，否则就不能组成集合.探究二 元素与集合之间的关系的应用元素与集合间的关系有两种关系即；属于“ ”和不属于“ ”，分析时需准确把握集合中所含的元素。例 2：设集合 （1）试判断元素 1 和 2 与集合 的关系；（2）用列举法表示集合【分析】 （1）令 ， ，判断 是否成立，从而判断 ， 是否成立
8、 （2）令 分别取自然数，代入 逐一确定 的值，得集合 【解析】 （1）当 时， ，当 时， ， ， （2）令 ，1，2，3，4，代入 检验，可得 【点评】 （1）判断所给元素 是否属于给定集合时，若 在集合内，则用符号“ ”；若不在集合内，则用符号“ ” （2）对于所给集合是常见的数集时，要注意符号的书写规范【变式训练】1.设集合 ， 若 , ，试判断 与A， B 的关系【解析】 ， ， 又 ， 从而 【答案】 ，2.若 ，则实数 的取值范围是 【解析】因为 ，所以 2 不满足不等式 ，即 2 满足不等式 ，所以 ， 所以实数 的取值范围是 【答案】探究三 元素互异性的应用集合中元素的互异性
9、（即集合中的元素各不相同） ，它是分析集合问题的一个重要切入口。例 3： 为集合 的四个元素，那么以 为边长构成的四边形可能是（ ）A 矩形 B平行四边形 C菱形 D梯形【分析】欲判断四边形的形状，需判断四边形的四条边之间的关系【解析】由于集合中的元素具有“互异性” ，故 四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等 【答案】D【点评】解答本题应抓住集合的元素具有“互异性”这一特征，由 互异转化为四边形的四条边互不相等【变式训练】1给出下列说法，其中正确的个数为（ ）（1）由 1， ， ， ， 这些数组成的集合有 5 个元素；（2）方程 的解组成的集合有 3 个元素；（3）由一条边为 2，一
10、个内角为 的等腰三角形组成的集合中含有 4 个元素；（4）由 ， ， 组成的三元素集合中含有 ，则 的值是 0 或 A1 B 2 C3 D 4合中有 4 个元素（4）不正确当 时，三个数分别为 ，0， ，组成的集合中只有两个元素，不合题意；当 时，三个数分别为 ， ， ，符合题意，即 只能取 【答案】A2含有两个元素的集合 A 可以表示为 ，求实数 的取值范围【解析】根据题意可知 ，由集合中元素的互异性，可得 ，所以 即实数 的取值范围为 【答案】探究四 集合的表示方法集合作为一种数学语言，需要对它的三种表示方法充分熟悉，特别是描述法应能准确解读。例 4：用适当的方法表示下列集合：（1）方程组
11、 的解集；（2）1000 以内被 3 除余 2 的正整数组成的集合；（3）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；（4）所有的正方形组成的集合【分析】【点评】所谓适当的表示方法，就是较简单、较明了的表示方法，用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性，可选用“且”与“或”等词连接；若描述部分出现代表元素以外的字母，要说明新字母的含义或指出其取值范围【变式训练】1判断：（正确的打“” ，错误的打“” ）（1）任何一个集合都可以用列举法表示 （ ）（2）由 1,1,2,3 组成的集合可用列举法表示为1,1,2,3 （ ）（3）0,1和(0,1)是相同的集合 （ ）【答案】 2用另一种方法表示下列集
12、合：（1）绝对值不大于 2 的整数；（2）能被 3 整除且小于 10 的正数；（3） ；（4） ；（5） ；（6）自然数中六个最小数的平方；（7） ；（8） （6） ；（7） ；（8） 集合为 【课时作业】课标 素养数学抽象逻辑推理数学运算直观想象数学建模数据分析A 1 1,5,7, 10,13 5 1B 2,3,6，8 9,11,14,15C 4 12一、选择题1.下列对象能构成集合的是（ ）NBA 联盟中所有优秀的篮球运动员所有的钝角三角形2005 年诺贝尔经济学奖得主大于等于 0 的整数北京师范大学的所有聪明学生A B C D 2.已知集合 A 中只有一个元素 1，若| b| A，则 b
13、 等于（ ）A1 B1 C1 D0【解析】由题意可知| b|1， b1.【答案】C3.给出下列 5 个关系： R， Q，00，0N，Q，其中正确命题的个数为（ ）A4 B3 C2 D1【解析】 Q，Q 不正确【答案】B4.集合 xZ|1 x5的另一种表示形式是（ ）A0，1，2，3，4 B1，2，3，4C0，1，2，3，4，5 D1，2，3，4，5【解析】集合 xZ|1 x50，1，2，3，4【答案】A5.直线 y2 x1 与 y 轴的交点所组成的集合为（ ）A0,1 B（0,1）C ，0 D（ ，0） 【解析】把 x0 代入 y2 x1 得 y1，交点为（0,1），选 B.【答案】B6.已知
14、集合 M 中的元素 a、 b、 c 是 ABC 的三边，则 ABC 一定不是（ ）A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D等腰三角形【解析】因为集合中元素具有互异性，所以 a， b， c 互不相等，因此选 D.【答案】D7.集合 M( x， y)|xy0， xR， yR是指（ ）A第一象限内的点集 B第三象限内的点集C第一、三象限内的点集 D第二、四象限内的点集【解析】 xy0， x、 y 同号， M 表示第一、三象限内的点集，选 C.【答案】C8.集合 A y|y x21，集合 B( x， y)|y x21( A， B 中 xR， yR)选项中元素与集合的关系都正确的是（ ）A2 A，且
15、 2 B B(1,2) A，且(1,2) BC2 A，且(3,10) B D(3,10) A，且 2 B 【答案】C9.已知集合 ，则集合 中元素的个数是（ ）A1 B3 C5 D9【解析】用列举法把集合 中的元素一一列举出来根据集合中元素的互异性知， 中元素有 0，-1，-2，1，2，共 5 个.【答案】C二、填空题10.已知 1 m， m2,则实数 m= .【解析】当 m=1 时， m2=1，与元素的互异性矛盾；当 m2=1 时， m=-1 或 m=1（舍）.【答案】-111.设5 x|x2 ax50，则集合 x|x2 ax30中所有元素之和为 【答案】412.集合 可用列举法表示为 【解
16、析】首先依据题意确定 的值，则对 分类讨论由 ，得 ，则有 ， ， ， ， 故用列举法表示为 【答案】13.若集合 A 中有三个元素， x， x1,1，集合 B 中也有三个元素 x， x x2， x2，且 A B，则实数 x 的值为_【解析】 A B，Error! 或Error!解得 x1.经检验， x1 不适合集合元素的互异性，而 x1 适合 x1.【答案】114.若集合 A 中含有三个元素 a3,2 a1， a24，且3 A，则实数 a 的值为_【解析】(1)若 a33，则 a0，此时 A3，1，4，满足题意(2)若 2a13，则 a1，此时 A4，3，3，不满足元素的互异性(3)若 a243，则 a1.当 a1 时， A2,1，3，满足题意；当 a1 时，由(2)知不合题意综上可知： a0 或 a1.【答案】0 或 1三、解答题15.已知集合 A xR| ax23 x10， aR，(1)若 1 A，求 a 的值；(2)若 A 为单元素集合，求 a 的值；(3)若 A 为双元素集合，求 a 的范围
