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2019届高中数学 专题1.1.1 集合的含义与表示视角透析学案 新人教A版必修1.doc

1、1第 1 课时 集合的含义与表示【双向目标】课程目标 学科素养A 理解集合的概念及其三要素,理解用描述法表示集合的特点B 判断元素与集合间的“属于”与“不属于”关系,利用互异性判断元素的值C. 能用集合语言表示一些实际生活中的集体性问题,会利用集合对实际生活的问题进行分类a 数学抽象:数学集合概念的理解、描述法表示集合的方法b 逻辑推理:集合的互异性的辨析与应用c 数学运算:集合相等时的参数计算,集合的描述法转化为列举法时的运算d 直观想象:利用数轴表示数集、集合的图形表示e 数学建模:用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类【课标知识】知识提炼 基础过关知识 1:元素与集合的概念1.元素:

2、一般地,我们把研究的对象称为元素.2.集合:把一些元素组成的总体统叫作集合(简称为集)3.集合相等:只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.集合中元素的特征:确定性、无序性、互异性。知识 2:元素与集合的关系集合通常用大写字母表示,如 A,B,C,元素用小写字母表示,如 a,b,c,元素和集合之间的专用符号是属于()或不属于( ),知识 3常用数集及表示符号自然数集(或非负整数集) ,记作:N;(注意:0 是自然数)正整数集,记作:N +或 N*。整数集,记作:Z;理数集,记作:Q;称实数集,记作:R。知识 4:集合常用的表示法有(1) 列举法:在大括号内把集合的元素一一列

3、举出来,特点是适用于元素的个数较少的集合;(2)描述法:用集合元素的属性表示集合,其一般形式是 x|x 所具有的属性;(3)图形法:用韦恩图或数轴表示集合, 如1 下列对象能组成集合的是( )A中央电视台著名节目主持人B我市跑得快的汽车C上海市所有的中学生D香港的高楼2. 若 且,则 3. 若一个集合中的三个元素 a,b,c是ABC 的三边长, 则此三角形一定不是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形4.下列说法中:集合 N 与集合 N 是同一个集合 集合 N 中的元素都是集合 Z 中的元素 集合 Q 中的元素都是集合 Z 中的元素 集合 Q 中的元素都是集合

4、R 中的元素其中正确的有_5.已知集合 A 中含有两个元素 a 和a2,若 1 A,则实数 a 的值 6.已知 xN,则方程 x2 x20 的解集用列举法可表示为_基础过关参考答案:21. 【解析】对 A,“著名”无明确标准;对 B,“快”的标准不确定;对 D,“高”的标准不确定,因而A、B、D 均不能组成集合而对 C,上海市的中学生是确定的,能组成集合 【答案】C2.【解析】 :因为 ,所以 ,又 ,所以【答案】13.【解析】:根据集合中元素的互异性可知,一定不是等腰三角形【答案】D【答案】1【能力素养】探究一 集合含义的考查集合是由元素构成的,因而分析集合问题,常常从元素入手。 例 1判断

5、下列表述是否正确,并说明理由(1)某个班级中年龄较小的男生组成一个集合;(2)Z=全体整数;(3)集合1,2与2,1相等;(4)集合(1,2)与1,2相等.【分析】根据集合的有关概念进行判断. 【解析】 (1)不正确,年龄较小的标准不明确,所以某个班级中年龄较小的男生不能组成一个集合.(2)不正确, “”就包含了所有的含义,应写成 Z=整数.(3)正确,根据集合中元素的无序性,可知集合1,2与2,1相等.(4)不 正 确 , 集 合 ( 1, 2) 表 示 直 角 坐 标 平 面 上 的 一 个 点 ( 1, 2) , 而 1, 2是 1, 2 的 集合 , 它 们 是 不 可 能 相 等 的

6、 .【点评】 (1)确定性是判断一组对象能否组成集合的标准.(2)判断集合中的元素个数时,要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个,即集合中的元素满足互异性.(3)集合符号“”已包含“所有”的意思,因而大括号内的文字描述不应再用“全体”“所有” “全部”或“集”等词语.【变式训练】1.下列所给的对象能构成集合的是 所有的正三角形;比较接近 1 的数的全体;某校高一年级所有 16 岁以下的学生;平面直角坐标系内到原点距离等于 1 的点的集合;所有参加 2012 年伦敦奥运会的年轻运动员; 的近似值的全体.【答案】2.下列各组对象能组成一个集合吗?请判断并说明理由.(1)所有很大的实数;(2)好

7、心的人;(3)方程 在实数范围内的解;(4)中国古代的四大发明;(5)小于 18 的既是奇数又是质数的正实数;(6)高一新生中数学成绩较好的同学;(7)立方接近零的正数;(8)2012 年伦敦奥运会的所有比赛项目.【解析】一组对象能否组成集合主要看这组对象是否能确定,只要研究对象是确定的,就可以构成集合,否则就不能组成集合.探究二 元素与集合之间的关系的应用元素与集合间的关系有两种关系即;属于“ ”和不属于“ ”,分析时需准确把握集合中所含的元素。例 2:设集合 (1)试判断元素 1 和 2 与集合 的关系;(2)用列举法表示集合【分析】 (1)令 , ,判断 是否成立,从而判断 , 是否成立

8、 (2)令 分别取自然数,代入 逐一确定 的值,得集合 【解析】 (1)当 时, ,当 时, , , (2)令 ,1,2,3,4,代入 检验,可得 【点评】 (1)判断所给元素 是否属于给定集合时,若 在集合内,则用符号“ ”;若不在集合内,则用符号“ ” (2)对于所给集合是常见的数集时,要注意符号的书写规范【变式训练】1.设集合 , 若 , ,试判断 与A, B 的关系【解析】 , , 又 , 从而 【答案】 ,2.若 ,则实数 的取值范围是 【解析】因为 ,所以 2 不满足不等式 ,即 2 满足不等式 ,所以 , 所以实数 的取值范围是 【答案】探究三 元素互异性的应用集合中元素的互异性

9、(即集合中的元素各不相同) ,它是分析集合问题的一个重要切入口。例 3: 为集合 的四个元素,那么以 为边长构成的四边形可能是( )A 矩形 B平行四边形 C菱形 D梯形【分析】欲判断四边形的形状,需判断四边形的四条边之间的关系【解析】由于集合中的元素具有“互异性” ,故 四个元素互不相同,即组成四边形的四条边互不相等 【答案】D【点评】解答本题应抓住集合的元素具有“互异性”这一特征,由 互异转化为四边形的四条边互不相等【变式训练】1给出下列说法,其中正确的个数为( )(1)由 1, , , , 这些数组成的集合有 5 个元素;(2)方程 的解组成的集合有 3 个元素;(3)由一条边为 2,一

10、个内角为 的等腰三角形组成的集合中含有 4 个元素;(4)由 , , 组成的三元素集合中含有 ,则 的值是 0 或 A1 B 2 C3 D 4合中有 4 个元素(4)不正确当 时,三个数分别为 ,0, ,组成的集合中只有两个元素,不合题意;当 时,三个数分别为 , , ,符合题意,即 只能取 【答案】A2含有两个元素的集合 A 可以表示为 ,求实数 的取值范围【解析】根据题意可知 ,由集合中元素的互异性,可得 ,所以 即实数 的取值范围为 【答案】探究四 集合的表示方法集合作为一种数学语言,需要对它的三种表示方法充分熟悉,特别是描述法应能准确解读。例 4:用适当的方法表示下列集合:(1)方程组

11、 的解集;(2)1000 以内被 3 除余 2 的正整数组成的集合;(3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合;(4)所有的正方形组成的集合【分析】【点评】所谓适当的表示方法,就是较简单、较明了的表示方法,用描述法表示集合时,若需要多层次描述属性,可选用“且”与“或”等词连接;若描述部分出现代表元素以外的字母,要说明新字母的含义或指出其取值范围【变式训练】1判断:(正确的打“” ,错误的打“” )(1)任何一个集合都可以用列举法表示 ( )(2)由 1,1,2,3 组成的集合可用列举法表示为1,1,2,3 ( )(3)0,1和(0,1)是相同的集合 ( )【答案】 2用另一种方法表示下列集

12、合:(1)绝对值不大于 2 的整数;(2)能被 3 整除且小于 10 的正数;(3) ;(4) ;(5) ;(6)自然数中六个最小数的平方;(7) ;(8) (6) ;(7) ;(8) 集合为 【课时作业】课标 素养数学抽象逻辑推理数学运算直观想象数学建模数据分析A 1 1,5,7, 10,13 5 1B 2,3,6,8 9,11,14,15C 4 12一、选择题1.下列对象能构成集合的是( )NBA 联盟中所有优秀的篮球运动员所有的钝角三角形2005 年诺贝尔经济学奖得主大于等于 0 的整数北京师范大学的所有聪明学生A B C D 2.已知集合 A 中只有一个元素 1,若| b| A,则 b

13、 等于( )A1 B1 C1 D0【解析】由题意可知| b|1, b1.【答案】C3.给出下列 5 个关系: R, Q,00,0N,Q,其中正确命题的个数为( )A4 B3 C2 D1【解析】 Q,Q 不正确【答案】B4.集合 xZ|1 x5的另一种表示形式是( )A0,1,2,3,4 B1,2,3,4C0,1,2,3,4,5 D1,2,3,4,5【解析】集合 xZ|1 x50,1,2,3,4【答案】A5.直线 y2 x1 与 y 轴的交点所组成的集合为( )A0,1 B(0,1)C ,0 D( ,0) 【解析】把 x0 代入 y2 x1 得 y1,交点为(0,1),选 B.【答案】B6.已知

14、集合 M 中的元素 a、 b、 c 是 ABC 的三边,则 ABC 一定不是( )A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D等腰三角形【解析】因为集合中元素具有互异性,所以 a, b, c 互不相等,因此选 D.【答案】D7.集合 M( x, y)|xy0, xR, yR是指( )A第一象限内的点集 B第三象限内的点集C第一、三象限内的点集 D第二、四象限内的点集【解析】 xy0, x、 y 同号, M 表示第一、三象限内的点集,选 C.【答案】C8.集合 A y|y x21,集合 B( x, y)|y x21( A, B 中 xR, yR)选项中元素与集合的关系都正确的是( )A2 A,且

15、 2 B B(1,2) A,且(1,2) BC2 A,且(3,10) B D(3,10) A,且 2 B 【答案】C9.已知集合 ,则集合 中元素的个数是( )A1 B3 C5 D9【解析】用列举法把集合 中的元素一一列举出来根据集合中元素的互异性知, 中元素有 0,-1,-2,1,2,共 5 个.【答案】C二、填空题10.已知 1 m, m2,则实数 m= .【解析】当 m=1 时, m2=1,与元素的互异性矛盾;当 m2=1 时, m=-1 或 m=1(舍).【答案】-111.设5 x|x2 ax50,则集合 x|x2 ax30中所有元素之和为 【答案】412.集合 可用列举法表示为 【解

16、析】首先依据题意确定 的值,则对 分类讨论由 ,得 ,则有 , , , , 故用列举法表示为 【答案】13.若集合 A 中有三个元素, x, x1,1,集合 B 中也有三个元素 x, x x2, x2,且 A B,则实数 x 的值为_【解析】 A B,Error! 或Error!解得 x1.经检验, x1 不适合集合元素的互异性,而 x1 适合 x1.【答案】114.若集合 A 中含有三个元素 a3,2 a1, a24,且3 A,则实数 a 的值为_【解析】(1)若 a33,则 a0,此时 A3,1,4,满足题意(2)若 2a13,则 a1,此时 A4,3,3,不满足元素的互异性(3)若 a243,则 a1.当 a1 时, A2,1,3,满足题意;当 a1 时,由(2)知不合题意综上可知: a0 或 a1.【答案】0 或 1三、解答题15.已知集合 A xR| ax23 x10, aR,(1)若 1 A,求 a 的值;(2)若 A 为单元素集合,求 a 的值;(3)若 A 为双元素集合,求 a 的范围

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