1、第二章 2.2 2.2.2 第 2 课时一、选择题1(2014贵州遵义)椭圆 1 中，以点 M(1,2) 为中点的弦所在的直线斜率为( )x216 y29A. B.916 932C. D964 932答案 B解析 设直线与椭圆交于 A，B 两点，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有 x1x 22，设直线为 yk(x 1)2，联立Error!得(916k 2)x232k(k2) x( k2) 21440.x 1x 2 ， 32kk 29 16k2 2. 32kk 29 16k2解得 k .932故选 B.2已知以 F1( 2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x y40 有
2、且仅有一个交点，3则椭圆的长轴长为( )A3 B22 6C2 D47 2答案 C解析 设椭圆方程为 1，x2a2 y2b2联立Error!得(a23b 2)y28 b2y16b 2a 2b20，3由 0 得 a2 3b2160，而 b2a 24代入得 a23(a 24)160解得 a27，a .7长轴长为 2 ，选 C.73P 是椭圆 1 上的一点，F 1、F 2 是焦点，若F 1PF260，则PF 1F2 的面x2100 y264积是( )A. B64(2 )6433 3C64(2 ) D643答案 A解析 在PF 1F2 中，设|PF 1|r 1，| PF2|r 2，则由椭圆定义知 r1r
3、 220 由余弦定理知cos60 r21 r2 |F1F2|22r1r2 r21 r2 1222r1r2 ，即 r r r 1r2144 12 21 2 2得 r1r2 .2563SPF 1F2 r1r2sin60 .12 643 34已知 F 是椭圆 b2x2a 2y2 a2b2(ab0)的一个焦点，PQ 是过其中心的一条弦，且c ，则 PQF 面积的最大值是( )a2 b2A. ab Bab12Cac Dbc答案 D解析 设它的另一个焦点为 F，则| FO |FO|，|PO| QO|，FPFQ 为平行四边形SPQF SPFQF S PFF ，则当 P 为椭圆短轴端点时，P 到 FF距离最大
4、，此时 S12PFF 最大为 bc.即(S PQF )maxbc.5椭圆 1 的焦点为 F1 和 F2，点 P 在椭圆上如果线段 PF1 的中点在 y 轴上，x212 y23那么| PF1|是| PF2|的( )A7 倍 B5 倍C4 倍 D3 倍答案 A解析 不妨设 F1(3,0)，F 2(3,0)，由条件知 P(3， )，即 |PF2| ，由椭圆定义知32 32|PF1| PF2|2 a4 ，|PF 1| ，| PF2| ，即|PF 1|7| PF2|.3732 326设 0cos0. 在第二象限且|sin|cos|.二、填空题7(2014江西理，15)过点 M(1,1)作斜率为 的直线与
5、椭圆 C： 1(ab0)相12 x2a2 y2b2交于 A， B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率为_答案 22解析 本题考查直线与椭圆的位置关系及椭圆的离心率的求法依题意设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1x 22，y 1y 22， 1， 1，所x21a2 y21b2 x2a2 y2b2以 0，x21 x2a2 y21 y2b2 ，b2a2 y21 y2x21 x2 y1 y2y1 y2x1 x2x1 x2 12因此 e .1 b2a2 228在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆 1(ab0)的焦距为 2c，以点 O 为圆心，x2a2 y2b2a 为
6、半径的圆过点 P 过 P 作圆的两切线又互相垂直，则离心率 e_.(a2c，0)答案 22解析 如图，切线 PA、PB 互相垂直，又半径 OA 垂直于 PA，所以OAP 是等腰直角三角形，故 a，解得 e .a2c 2 ca 22三、解答题9已知椭圆 C： 1(ab0)的两个焦点分别为 F1、F 2，斜率为 k 的直线 l 过左x2a2 y2b2焦点 F1 且与椭圆的交点为 A、B，与 y 轴交点为 C，又 B 为线段 CF1 的中点，若| k| ，142求椭圆离心率 e 的取值范围解析 设 l： yk( xc )则 C(0，kc) ，B ( ， )c2 kc2B 在椭圆上， 1.c24a2
7、k2c24b2即 1e 2 4.c24a2 k2c24a2 c2 ke21 e2k 2 2e 417e 2804 e21 e2e2 72e 2b0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P，F 2 为右焦点，x2a2 y2b2若F 1PF260，则椭圆的离心率为 ( )A. B. 22 33C. D.12 13答案 B解析 考查椭圆的性质及三角形中的边角关系运算把 xc 代入椭圆方程可得 yc ，b2a|PF 1| ，| PF2| ，b2a 2b2a故|PF 1| |PF2| 2a，即 3b22a 23b2a又a 2b 2c 2，3( a2c 2)2a 2，( )2 ，即 e .ca 1
8、3 333椭圆 1 上有 n 个不同的点 P1、P 2、P n，椭圆的右焦点为 F，数列|P nF|是x24 y23公差大于 的等差数列，则 n 的最大值是( )11 000A2 000 B2 006C2 007 D2 008答案 A解析 椭圆 1 上距离右焦点 F(1,0)最近的点为右端点(2,0) ，距离右焦点x24 y23F(1,0)最远的点为左端点(2,0)，数列|P nF|的公差 d 大于 ，不妨11 000|P1F|1 ，| PnF|3,31( n 1)d，d ，n 1 )的左焦点为 F，直线 xm 与椭圆相交于点x2a2 y25 5A、B ，FAB 的周长的最大值是 12，则该椭
9、圆的离心率是_答案 23解析 画图分析可知FAB 的周长的最大值即为 4a12，a3，从而c 2，故离心率 e .a2 5ca 236设 F1、F 2 分别为椭圆 y 21 的左、右焦点，点 A，B 在椭圆上，若x235 ，则点 A 的坐标是 _F1A F2B 答案 (0,1)或(0，1)解析 思路分析：本题主要考查椭圆的几何性质，向量的运算等基础知识，如图，设直线 AB 与 x 轴交于点 N(n,0)， 5F 2B，F1A ， ， n|NF2|NF1| 15 n 2n 2 15 322设直线 AB 方程为 xmy ，代入椭圆方程，得：( m23) y23 my 0.322 2 32设 A(x
10、1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 y1y 2 ，y 1y2 ，由 5 得32mm2 3 32m2 3 F1A F2B y15y 2.Error!， ，m ，y 2 ，从而 y11，5m22m2 32 32m2 3 322 15A 点坐标为(0，1) 7在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F 2 在 x 轴上，离心率为 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且ABF 2 的周长为 16，那么 C 的方程为22_答案 1x216 y28解析 本题主要考查椭圆的定义及几何性质依题意：4a16，即 a4，又 e ，c2 ， b28.ca 22 2椭圆 C
11、 的方程为 1.x216 y28三、解答题8如图所示，某隧道设计为双向四车通，车道总宽 22 米，要求通行车辆限高 4.5 米，隧道全长 2.5 千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状若最大拱高 h 为 6 米，则隧道设计的拱宽 l 是多少？解析 如图所示，建立直角坐标系，则点 P 坐标为(11，4.5)，椭圆方程为 1.x2a2 y2b2将 bh6 与点 P 代入椭圆方程，得 a ，4477此时 l2a 33.38877因此隧道的拱宽约为 33.3 米9如图，直线 ykxb 与椭圆 y 21，交于 A、B 两点，记 AOB 的面积为 S.x24(1)求在 k0,00，故直线 AB 的方程为 y x 或 y x 或 y x22 62 22 62 22或 y x .62 22 62
