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【成才之路】高中数学人教b版选修2-1同步练习:2.2.2 第2课时椭圆方程及性质的应用.doc

1、第二章 2.2 2.2.2 第 2 课时一、选择题1(2014贵州遵义)椭圆 1 中,以点 M(1,2) 为中点的弦所在的直线斜率为( )x216 y29A. B.916 932C. D964 932答案 B解析 设直线与椭圆交于 A,B 两点,设 A(x1,y 1),B(x 2,y 2),则有 x1x 22,设直线为 yk(x 1)2,联立Error!得(916k 2)x232k(k2) x( k2) 21440.x 1x 2 , 32kk 29 16k2 2. 32kk 29 16k2解得 k .932故选 B.2已知以 F1( 2,0),F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x y40 有

2、且仅有一个交点,3则椭圆的长轴长为( )A3 B22 6C2 D47 2答案 C解析 设椭圆方程为 1,x2a2 y2b2联立Error!得(a23b 2)y28 b2y16b 2a 2b20,3由 0 得 a2 3b2160,而 b2a 24代入得 a23(a 24)160解得 a27,a .7长轴长为 2 ,选 C.73P 是椭圆 1 上的一点,F 1、F 2 是焦点,若F 1PF260,则PF 1F2 的面x2100 y264积是( )A. B64(2 )6433 3C64(2 ) D643答案 A解析 在PF 1F2 中,设|PF 1|r 1,| PF2|r 2,则由椭圆定义知 r1r

3、 220 由余弦定理知cos60 r21 r2 |F1F2|22r1r2 r21 r2 1222r1r2 ,即 r r r 1r2144 12 21 2 2得 r1r2 .2563SPF 1F2 r1r2sin60 .12 643 34已知 F 是椭圆 b2x2a 2y2 a2b2(ab0)的一个焦点,PQ 是过其中心的一条弦,且c ,则 PQF 面积的最大值是( )a2 b2A. ab Bab12Cac Dbc答案 D解析 设它的另一个焦点为 F,则| FO |FO|,|PO| QO|,FPFQ 为平行四边形SPQF SPFQF S PFF ,则当 P 为椭圆短轴端点时,P 到 FF距离最大

4、,此时 S12PFF 最大为 bc.即(S PQF )maxbc.5椭圆 1 的焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上如果线段 PF1 的中点在 y 轴上,x212 y23那么| PF1|是| PF2|的( )A7 倍 B5 倍C4 倍 D3 倍答案 A解析 不妨设 F1(3,0),F 2(3,0),由条件知 P(3, ),即 |PF2| ,由椭圆定义知32 32|PF1| PF2|2 a4 ,|PF 1| ,| PF2| ,即|PF 1|7| PF2|.3732 326设 0cos0. 在第二象限且|sin|cos|.二、填空题7(2014江西理,15)过点 M(1,1)作斜率为 的直线与

5、椭圆 C: 1(ab0)相12 x2a2 y2b2交于 A, B 两点,若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率为_答案 22解析 本题考查直线与椭圆的位置关系及椭圆的离心率的求法依题意设 A(x1,y 1),B(x 2,y 2),则 x1x 22,y 1y 22, 1, 1,所x21a2 y21b2 x2a2 y2b2以 0,x21 x2a2 y21 y2b2 ,b2a2 y21 y2x21 x2 y1 y2y1 y2x1 x2x1 x2 12因此 e .1 b2a2 228在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 1(ab0)的焦距为 2c,以点 O 为圆心,x2a2 y2b2a 为

6、半径的圆过点 P 过 P 作圆的两切线又互相垂直,则离心率 e_.(a2c,0)答案 22解析 如图,切线 PA、PB 互相垂直,又半径 OA 垂直于 PA,所以OAP 是等腰直角三角形,故 a,解得 e .a2c 2 ca 22三、解答题9已知椭圆 C: 1(ab0)的两个焦点分别为 F1、F 2,斜率为 k 的直线 l 过左x2a2 y2b2焦点 F1 且与椭圆的交点为 A、B,与 y 轴交点为 C,又 B 为线段 CF1 的中点,若| k| ,142求椭圆离心率 e 的取值范围解析 设 l: yk( xc )则 C(0,kc) ,B ( , )c2 kc2B 在椭圆上, 1.c24a2

7、k2c24b2即 1e 2 4.c24a2 k2c24a2 c2 ke21 e2k 2 2e 417e 2804 e21 e2e2 72e 2b0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F 2 为右焦点,x2a2 y2b2若F 1PF260,则椭圆的离心率为 ( )A. B. 22 33C. D.12 13答案 B解析 考查椭圆的性质及三角形中的边角关系运算把 xc 代入椭圆方程可得 yc ,b2a|PF 1| ,| PF2| ,b2a 2b2a故|PF 1| |PF2| 2a,即 3b22a 23b2a又a 2b 2c 2,3( a2c 2)2a 2,( )2 ,即 e .ca 1

8、3 333椭圆 1 上有 n 个不同的点 P1、P 2、P n,椭圆的右焦点为 F,数列|P nF|是x24 y23公差大于 的等差数列,则 n 的最大值是( )11 000A2 000 B2 006C2 007 D2 008答案 A解析 椭圆 1 上距离右焦点 F(1,0)最近的点为右端点(2,0) ,距离右焦点x24 y23F(1,0)最远的点为左端点(2,0),数列|P nF|的公差 d 大于 ,不妨11 000|P1F|1 ,| PnF|3,31( n 1)d,d ,n 1 )的左焦点为 F,直线 xm 与椭圆相交于点x2a2 y25 5A、B ,FAB 的周长的最大值是 12,则该椭

9、圆的离心率是_答案 23解析 画图分析可知FAB 的周长的最大值即为 4a12,a3,从而c 2,故离心率 e .a2 5ca 236设 F1、F 2 分别为椭圆 y 21 的左、右焦点,点 A,B 在椭圆上,若x235 ,则点 A 的坐标是 _F1A F2B 答案 (0,1)或(0,1)解析 思路分析:本题主要考查椭圆的几何性质,向量的运算等基础知识,如图,设直线 AB 与 x 轴交于点 N(n,0), 5F 2B,F1A , , n|NF2|NF1| 15 n 2n 2 15 322设直线 AB 方程为 xmy ,代入椭圆方程,得:( m23) y23 my 0.322 2 32设 A(x

10、1,y 1),B(x 2,y 2),则 y1y 2 ,y 1y2 ,由 5 得32mm2 3 32m2 3 F1A F2B y15y 2.Error!, ,m ,y 2 ,从而 y11,5m22m2 32 32m2 3 322 15A 点坐标为(0,1) 7在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F 2 在 x 轴上,离心率为 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且ABF 2 的周长为 16,那么 C 的方程为22_答案 1x216 y28解析 本题主要考查椭圆的定义及几何性质依题意:4a16,即 a4,又 e ,c2 , b28.ca 22 2椭圆 C

11、 的方程为 1.x216 y28三、解答题8如图所示,某隧道设计为双向四车通,车道总宽 22 米,要求通行车辆限高 4.5 米,隧道全长 2.5 千米,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状若最大拱高 h 为 6 米,则隧道设计的拱宽 l 是多少?解析 如图所示,建立直角坐标系,则点 P 坐标为(11,4.5),椭圆方程为 1.x2a2 y2b2将 bh6 与点 P 代入椭圆方程,得 a ,4477此时 l2a 33.38877因此隧道的拱宽约为 33.3 米9如图,直线 ykxb 与椭圆 y 21,交于 A、B 两点,记 AOB 的面积为 S.x24(1)求在 k0,00,故直线 AB 的方程为 y x 或 y x 或 y x22 62 22 62 22或 y x .62 22 62

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