1、习题一， 求如图微幅倒立摆的固有频率。kOAWla OAlaBBk/2OAWlaBk/2解 首先利用弹簧的并联效应，将原模型等效为如图（b）所示的模型。以 o 点中心，用倒立摆的转角 来描述运动状态，并规定顺时针方向为正。易知，当转角较小时弹簧的伸长量： ；sina方法一 （利用动量矩定理，建立平衡方程） 重力矩为： sin1WlT弹簧恢复力矩： ak2 0sin)(221 llglg又由 较小时 ，固有：sin)(22Wlkal )1(/22lgWlkamen方法二 （能量法）以倒摆顶点为重力势能零点，则系统重力势能为： 2)/(sin2)cos1(21 WlmglmglU（若以铰支点为重力
2、势能零点，则系统重力势能为：）)21(cos1Wlgl弹性势能为： 222inkaakU系统动能为： 2)(1lgT故总的机械能： 22121 WlkaglE ， 对上式求导并整理可得0dt 0)(22lkalgW )1(/22lglmken习题二 试分析如右图所示旋转机械由于转子的偏心而导致的机器在垂直方向的稳态振动。设旋转机械的总质量为 ，偏心转子的质量为 ，偏心Mm距为 ，转子的转动角速度为 。etvuk/2 k/2c Mk cMm me2sint（a） (b)解： 用坐标 来表示非旋转部分质量 偏离平衡位置的垂直位移。umM显然偏心质量的垂直位移为： teusin由牛顿第二定律得到系统
3、在垂直方向的运动微分方程为：si)()()( 22 tetdtkcdtumM整理上方程可得：tekucsin2因此原题的力学模型可简化为如图（b）所示的单自由度受迫振动系统，离心扰力为幅值等于 的简谐击振力。2m显然，系统的稳态振动可写为： ，)sin()(tBtuc稳态振动的振幅和相位分别为：，22)(cMkeBc kM2arct讨论：将稳态位移的振幅化为无量纲形式 acemMB22)()1(从上式可见，位移幅频特性曲线与常幅值简谐力激励系统的加速度幅频特性曲线相同。参见图 3.6.2，可知：低速旋转（ ）时，离心力很小，10系统稳态振幅自然很小；高速旋转（ ）时 ，系统稳态位移振幅是1c偏
4、心矩的 倍；危险的是产生共振的转速（ ），即转速接近系统1/Mm固有频率。工程上称为转子的临界转速。1.01 2 3 4 52.03.00.0频率比=0=0.25=0.5=0.7 =1.0习题三 某直升机旋翼额定转速 360r/min 时，机身强烈振动为了使直升机上某电子装备的隔振效果达到 ，试求隔振器弹簧在自重下的静变形2.0dT。s解： 假设仪表设备质量为 ，支撑刚度为 ，则mk， kngs假设机身传给仪表板支撑基础的振动为 ，则仪表系统的方程为：tjAey0)()(yxkcxm由上方程利用复数解法，可得AjcXejj)()(2 所以 ，求模可得传递率表达式为：jcmkAXej 2 222
5、2 )()1()( Td忽略阻尼的影响，令阻尼比 ，又 则012dT所以有： ，又因为 ，dnT1)(2gsn2)(所以有 )(2dsg由已知条件： ， 可得srad/1260*32.0dTcms 4).1()28.9讨论：低频隔振的弹簧必须很软。柔软弹簧支撑带来的问题一是要求隔振系统有足够的变形空间，二是侧向稳定性很差。因此低频振动的隔离是工程实践中难题。习题四 汽车行驶过程中与障碍物相撞，驾驶员由于未系安全带，被惯性从座位向上抛起 3 英寸,然后堕落在静止的座椅上，忽略座垫重量、支撑阻尼和机车底盘的运动，假设座椅的支撑弹簧刚度为 =81000 N/m，司机体重为 160 磅，求k座椅传递给
6、司机的最大冲击过载是为多少个 g?解 记司机向上被抛起的高度为 ，按题意系统可以等价为如图所示的力学模型。hhkmxo根据以上力学模型，可建立带如下初始条件的运动微分方程（1）0tmgkx（2）h2)(,)0(显然微分方程（1）表示一个无阻尼单自由度系统受到阶跃力的作用。根据 Duhamel 积分,微分方（1）在零初始条件下的解为：cos)(in)(0* tmgdtxnnt根据非零初始条件下，系统的非定常总响应等于由非零初始条件引起的自由振动再迭加上卷积分响应，故系统的总响应为：24222)sin(cos1i )cos1()in0(cos)0(nn nn nngtghtt tgtxtxt 上式分别求二阶导数有： )si(2)(42tghtxnn所以司机承受的最大过载为：26.41212max mghkghn刚度影响系数 定义为由于沿坐标 j 的单位位移，把其它坐标固定，由此在坐ijk标 i 上所产生的力。柔度影响系数 定义为沿坐标 j 的作用单位力，其它坐标没有任何作用力，此ijr时在坐标 i 上所产生的位移。
