1、第二章 投影的基本知识五、直线的投影直线的投影一般仍为直线，特殊情况下为一点。因为直线可由两点确定，所以只要将直线上任意两点的同面投影连接，即为直线的投影。直线对投影面的相对位置：根据直线对投影面的相对位置的不同，直线分为三类：投影面平行线、投影面垂直线、一般位置直线，下面分别讨论它们的投影特性：1投影面平行线平行于一个投影面、倾斜于另外两个投影面的直线，称为投影面平行线。平行于 H 面的直线称为水平线；平行于 V 面的直线称为正平线，平行于 W 面的直线称为侧平线。下面以正平线为例分析投影面平行线的投影特性。AB 为正平线，即 AB 平行于 V 面，根据正投影的基本特性-真实性可知，AB 的
2、正面投影反映实长。另外两个投影有什么性质呢？因为 AB 平行于 V 面，AB 直线上所有点到 V 面的距离都相等，即 Y 坐标值相等，所以反映 Y 坐标的两个投影-水平投影和侧面投影应分别平行与 OX、OZ 轴。通过对投影面平行线的投影分析，我们可得出投影面平行线的投影特性：在所平行的投影面上的投影反映实长；其它两投影平行于相应的投影轴。2投影面垂直线：垂直于投影面的直线称为投影面垂直线，垂直于 H 面的直线称为铅垂线，垂直于 V 面的直线称为正垂线，垂直于 W 面的直线称为侧垂线；下面以铅垂线为例研究它们的投影特性：AB 为铅垂线，垂直于 H 面，所以水平投影积聚为一点。它垂直于一个投影面，
3、一定同时平行于另外两个投影面，即 V 面和 W 面，因此它平行于 V 面和 W 面的交线 oz 轴，所以正面投影和侧面投影平行于oz 轴，垂直于 ox、oy 轴；由此可概括出投影面垂直线的投影特性：在所垂直的投影面上积聚为一点；其它两投影垂直于相应的投影轴。上面我们讨论了投影面平行线和投影面垂直线的投影特性，如果直线即不平行也不垂直任一投影面，即对三个投影面都处于倾斜位置，那么这条直线叫一般位置直线。3一般位置直线由图可看出一般位置直线的投影特点：三个投影都倾斜于投影轴；各投影均不反映实长。例题 2找出 AB、CD、DE 直线的第三投影，判断空间位置。先看 AB 直线，AB 的水平投影重合为一
4、点，说明 AB 为铅垂线，由水平投影可知， AB 在物体的左前方，再根据高平齐，可找出 AB 的侧面投影；下面看 CD 直线，CD 的正面投影为一倾斜直线，水平投影平行于 OX 轴，说明 CD 为正平线，根据水平投影可知，CD 在物体的前端面，再根据高平齐，可找出 CD的侧面投影；注意：A 点和 C 点的侧面投影重合，为侧立面的重影点，因为 A 点离侧立面远，所以 A 点可见，C 点不可见。再看 DE 直线，DE 的正面投影重合为一点，说明为正垂线，由正面投影可知，DE 在物体的中间最高处， D 在物体的前端面，E 在物体的后端面，再根据高平齐，可找出 DE 的侧面投影。下面讨论直线上点的投影
5、特性。AB 直线上一点 C，由图很容易得出，C 点的投影一定在 AB 直线的同面投影上；C 点将 AB 直线分为两段，两段长度比等于投影长度比。由此可得出直线上点的投影特性：点在直线上，点的投影在直线的同面投影上，并符合点的投影规律；直线上一点把直线分成两段，两段长度之比等于投影长度之比。 例题 3判断点 M 是否在 CD 直线上。首先分析一下 CD 是什么直线。因为 CD 的正面投影和侧面投影都垂直于 ox 轴，说明 CD 直线上所有点的 x 坐标都相等，即直线上所有点到侧立面即 W 面的距离都相等，所以 CD 为侧平线。虽然 M 点的正面投影和侧面投影都在 CD 的同面投影上，但 M 点不
6、一定在 CD 直线上。那么如何判断呢？有两种方法。一是分别作出 CD 直线和 M 点的侧面投影，若 M 点的侧面投影在 CD 直线的侧面投影上，说明 M 点在 CD 直线上，否则 M 点不在 CD 直线上。还有一种方法就是可根据比例来判断，若 M 点在 CD 直线上，应该有 cm/d m=cm/dm。而这个等式是否存在，可通过几何作图判定。下面我们来具体作图。解法一：先画出 CD 直线的侧面投影和 M 点的侧面投影，由点和直线的侧面投影可以看出，m不在cd 上，因此可判定 M 点不在直线 CD 上。解法二：利用定比性作图，M 点若在 CD 上，应有 cm/dm=cm/dm ，过 c作辅助线，在
7、其上截取 c d0=cd，再截取 cm0=cm，由图可看出，c m/dmcm/dm，由此可判定 M 点不在直线CD 上。上面我们研究了直线的投影，下面研究平面的投影。六、平面的投影平面对投影面的相对位置有三种：投影面平行面、投影面垂直面、一般位置平面。 平行于一个投影面的平面，称为投影面平行面。垂直于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的平面称为投影面垂直面；倾斜于三个投影面的平面称为一般位置直线。下面分别讨论一下这三种位置平面的投影特性：1投影面平行面图中平面 P 平行于 V 面，称正平面，正面投影反映实形，它平行于 V 面的同时，垂直于另外两个投影面，即 H 面和 W 面，因此它的水平投影和侧
8、面投影积聚为一直线，且分别平行于 OX、OZ 轴。由此可以概括出投影面平行面的投影特性：在所平行的投影面上的投影反映实形，另外两投影积聚为直线且平行于相应投影轴。2投影面垂直面垂直于一个投影面、倾斜于另外两投影面的平面称为投影面垂直面。请同学们考虑一下投影面垂直面的投影特性。因为它垂直于一个投影面，所以它在所垂直的投影面上的投影积聚为一条直线，它倾斜于另外两个投影面，在另外两个投影面上的投影应该为平面图形的类似形。请大家看图。图中平面 P 垂直于水平投影面 H，称铅垂面。它在 H 面上的投影积聚为一直线，在 V、W 面上的投影反映平面 P 的类似型。由此可总结出投影垂直面的投影特性：在所垂直的
9、投影面上投影积聚为一直线，倾斜与投影轴。另外两投影为平面图形的类似形。例题 4已知平面的两投影，求第三投影。首先分析：该面水平投影为一倾斜直线，所以该面为铅垂面，正面投影和侧面投影都应是平面图形的类似形。正面投影已给出，为五边形，侧面投影应为五边形。那么如何求这个五边形的侧面投影呢？只要分别求出平面图形上各顶点的侧面投影，连线即可。为求侧面投影，我们在正面投影各顶点处标记点的符号 1、2、3、4、5，根据点的投影规律，找出各顶点的水平投影 1、2、3、4、5，作 45 度线，根据各点的正面投影和水平投影求出侧面投影。例题 5找出图中所标各面的第三投影，并判断它们的空间位置首先看 1 面。I 面
10、正面投影为一直线且平行于 OX 轴，所以 I 面应为水平面，侧面投影应为水平方向的直线，与正面投影高平齐，与水平投影的宽度相等。再看面，正面投影为一直线且平行于 OZ 轴，所以面应为侧平面，水平投影应为竖直方向的线。与正面投影长对正。再看面，水平投影为一直线且倾斜于投影轴，所以面应为铅垂面，侧面投影和正面投影应为类似形，由水平投影可知，面在物体的前半部分，再根据高平齐，可找出侧面投影。下面研究平面内的点和直线。点在平面内几何条件：如果点在已知平面内的一条直线上，则该点必在平面上，因此要在平面内取点，应该在属于该平面内的已知直线上取； 直线在平面内的几何条件：如果直线通过已知平面内的两点，则该直
11、线必在已知平面内，如果直线通过已知平面内一点，且平行于已知平面内一直线，则该直线也在平面内。因此要在平面内取直线，就要取平面内的两已知点，再连线。或取平面内的一个已知点和一条已知线，再过点作已知直线的平行线。例题 6已知平面四边形 ABCD 的水平投影 abcd* 和正面投影 a/b/d/，试完成四边形的正面投影。 分析：要完成四边形 ABCD 的正面投影，只要找出 C 点的正面投影连线即可。四边形 ABCD 为平面图形，所以 C 点一定在 A、B、D 三点所确定的平面内，要求 C 点的正面投影，就要找出平面 ABD 上的一条过 C 点的直线，不妨连接 ac，若能定出 AC 的正面投影，即可得
12、出 C 点的正面投影。现在 A 点是已知平面内的一点，只要再找出一个既在已知平面上，又在直线 AC 上的点就可以了。为了找这个一个点，我们连接 BD 的水平投影，bd 和 ac 的交点设为 e，e 点正是我们要找的点。因为 E 点在 BD 上，所以 E 点的正面投影容易求出。连接 BD 的正面投影，由 e 点向上作投影连线，和 b“d“的交点为 e“，因为 C 点在AE 上，C 点的正面投影在 AE 的正面投影上，连 a“e“并延长（连 a“e“并延长），由 c 作 OX 轴的垂线与a“e“相交，即得 c“。例题 7在平面内作一条距 H 面为 20mm 的水平线。平面内的水平线，既应满足水平线的投影特点，又应在已知平面内。要满足水平线的投影特点，正面投影应平行于 OX 轴，由已知条件，它和 OX 轴的距离应为 20。水平投影为一条倾斜与 OX 轴的线，如何确定呢？我们看正面投影，这条水平线的正面投影和 AB、AC 的正面投影分别交于 1、2，1 在 AB 上，水平投影在 AB 的水平投影上，2 在 AC 上，水平投影在 AC 的水平投影上，因此 1、2 的水平投影容易求出。由正面投影做投影连线，即得 1、2 的水平投影，连线。
