1、- 1 -桂林市第十八中学 14 级高三适应性考试试卷文科数学一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设复数 满足 （是虚数单位） ，则 （ ）A. B. 1 C. 2 D. 3【答案】A【解析】由题意可得： .本题选择 A 选项.2. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可得： ，则 .本题选择 D 选项.3. 若抛物线 上有一条过焦点且长为 6 的动弦 ，则 的中点到 轴的距离为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 6【答案】A【解析】由抛物线的焦点弦公式可得： ，则
2、的中点到轴的距离为 .本题选择 A 选项.点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式4. 是表示空气质量的指数， 指数值越小，表明空气质量越好，当 指数值不大于100 时称空气质量为“优良” 如图是某地 4 月 1 日到 12 日 指数值的统计数据，图中点表示 4 月 1 日的 指数值为 201则下列叙述不正确的是（ ）- 2 -A. 这 12 天中有 6 天空气质量为“优良”B. 这 12 天中空气质量最好的是 4 月 9 日C. 这 12 天的 指数值的中位数是 90D. 从 4 日到 9 日，空气质量
3、越来越好【答案】C【解析】由图可知, 不大于 100 天有 6 日到 11 日,共 6 天,所以 A 对,不选. 最小的一天为 10 日,所以 B 对,不选.中位为是 ,C 错.从图中可以 4 日到 9 日 越来越小,D 对.所以选 C.5. 等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）A. -3 B. -1 C. 1 D. 3【答案】A【解析】 ， 时,因为数列是等比数列, ,即 ,故选 A.点睛:本题考查等比数列的通项公式与求和公式,属于中档题目. 等比数列的判断方法有：(1)定义法：若 (q 为非零常数)或 (q 为非零常数且 n2 且 n )，则是等比数列(2)中项公式法：在数列 中，
4、且 (n )，则数列 是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成 (c，q 均是不为0 的常数，n )，则 是等比数列6. 已知 是第二象限角，且 ，则 （ ）A. B. C. D. - 3 -【答案】C【解析】由同角三角函数基本关系可得：，解得： ，则 .本题选择 C 选项.7. 如图是某个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A. B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】结合题意可知，三视图所对应的几何体是如图所示的四棱锥 ，其中 ，四棱锥的体积： .本题选择 A 选项.8. 若实数 满足不等式 ，且 的最大值为 9，则实数 （ ）- 4 -A. -2 B. -1 C. 1
5、D. 2【答案】C【解析】解析：画出不等式组表示的区域如图，结合图形可以看出当动直线 经过点 时，动直线 在 轴上的截距最大，即 ，也即，解之得 ，应选答案 C。9. 下图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” ，执行该程序框图时，若输入 分别为 18，27，则输出的 （ ）A. 0 B. 9 C. 18 D. 54【答案】B【解析】由 ，不满足 ，则 ，由 ，则，则 ，输出的 故选：B10. 某日，甲乙二人随机选择早上 6:00-7:00 的某个时刻到达七星公园早锻炼，则甲比乙提前到达超过 20 分钟的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】在平面直角
6、坐标系中， 轴分别表示甲乙两人的时间，满足题意时，有，由几何概型计算公式可得，甲比乙提前到达超过 20 分钟的概率为.本题选择 B 选项.- 5 -点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件 A 满足的不等式，在图形中画出事件 A 发生的区域进行计算即可.11. 已知双曲线的标准方程为 ，直线 与双曲线交于不同的两点 ，若 两点在以点 为圆心的同一个圆上，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设 CD 的中点为 E，联立直线与双曲线的方程可得：,由 可得： 直线与双曲
7、线有两个交点，则判别式：，整理可得： ，解得 或 ，又 ，解得： ，- 6 -综上可得实数 的取值范围是 .本题选择 D 选项.12. 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， 则对任意的，函数 的零点个数至多有（ ）A. 3 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 9 个【答案】A【解析】当 时 ,由此可知 在 上单调递减，在 上单调递增， , 且 ,数 是定义在 上的奇函数，而 时， ,所以 的图象如图，令 ,则 ，由图可知，当 时方程 至多 3 个根，当 时方程 没有根，而对任意 ， 至多有一个根 ，从而函数 的零点个数至多有 3 个.点晴:本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可
8、利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量 的夹角为 ，且 ， ，则 _【答案】3【解析】由题意可得： ，则： ，解得 .14. 已知函数 ，若 ，则 _- 7 -【答案】1【解析】由题意,函数 f(x)=|lnx|， f(
9、m)=f(n)，| lnm|=|lnn| mn0， lnm=lnn，即 lnm+lnn=0，可得 nm=1，则 .15. 设 ，将函数 的图象向右平移 个单位后与原图像重合，则的最小值是_【答案】【解析】试题分析：根据题意可知，设 ,函数 的图像向右平移个单位后与原图像重合，则说明了周期为最大为 ，那么结合周期公式，故答案为考点：本试题考查了三角函数的图象的变换运用。点评：解决该试题的关键是理解图象重合，意味着解析式相同，则可知周期，然后结合周期公式求解 w 的值。属于中档题。16. 四棱锥 的底面是一个边长为 的正方形，高为 1，其外接球的半径为 ，则正方形 的中心与点 之间的距离为_【答案
10、】【解析】由题意可知 ABCD 是小圆，对角线长为 4，四棱锥的高为 1，点 P,A,B,C,D 均在半径为 的同一球面上，所以球心 O 到平面 ABCD 的距离为 2，设 PE平面 ABCD,O 到 PE 的距离为 d,则 ，底面 ABCD 的中心与顶点 P 之间的距离为 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. 如图，在 中，点 在 边上， ， ， （）求 ；- 8 -（）若 的面积是 ，求 【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（I）根据余弦定理，求得 ，则 是等边三角形.，故（II）由题意可得 ，又由 ，可得以，再结合余弦定
11、理可得 ，最后由正弦定理可得 ，即可得到 的值试题解析：() 在 中, 因为 ,由余弦定理得 , 所以 ,整理得 , 解得 . 所以 . 所以 是等边三角形. 所以() 法 1: 由于 是 的外角, 所以 . 因为 的面积是 , 所以 . 所以 . 在 中, - 9 -, 所以 . 在 中, 由正弦定理得 , 所以 . 法 2: 作 , 垂足为 ,因为 是边长为 的等边三角形, 所以 . 因为 的面积是 , 所以 . 所以 . 所以 .在 Rt 中, , 所以 , . 所以. 18. 2017 年某市街头开始兴起“mobike” 、 “ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公
12、里的出行难题然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了 50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如下表：年龄受访人数 5 6 15 9 10 5支持发展 4 5 12 9 7 3- 10 -共享单车人数 （）由以上统计数据填写下面的 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系：年龄低于 35 岁 年龄不低于 35 岁 合计支持不支持合计（）若对年龄在 的被调查人中随机选取两人，对年龄在 的被调查人中随机选取一人进行调查，求选中的 3 人中支持发展共享
13、单车的人数为 2 人的概率参考数据：0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式： ，其中 【答案】 （1）不能（2）【解析】试题分析：（1）将数据代入 ，计算出 ，与参考数据比较得出结论：不能， （2）年龄在 的被调查人共 5 个，利用枚举法得到随机选取两人的总事件数共 10 个其中有 4 人支持，1 人不支持发展共享单车，选出恰好这两人都支持的事件数，最后根据古典概型概率公式求解.试题解析：解：（）根据
14、所给数据得到如下 列联表：年龄低于 35 岁 年龄不低于 35 岁 合计支持 30 10 40- 11 -不支持 5 5 10合计 35 15 50根据 列联表中的数据，得到 的观测值为不能在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系（） “对年龄在 的被调查人中随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持发展共享单车”记为事件 ，对年龄在 的 5 个受访人中，有 4 人支持，1 人不支持发展共享单车，分别记为则从这 5 人中随机抽取 2 人的基本事件为：，共 10 个其中，恰好抽取的两人都支持发展共享单车的基本事件包含共 6 个 对年龄在 的被调查人中随机选取两人进
15、行调查，恰好这两人都支持发展共享单车的概率是19. 如图，已知多面体 中，四边形 为菱形， ， 平面， ， ， （）求证： 平面 ；- 12 -（）求多面体 的体积【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：(1)利用题意证得 ， ，由线面垂直的判断定理可得 平面 (2) 连接 ，将多面体分割为两部分求体积可得 试题解析：解：（）连接 交 于点 ，则 ，又 平面 ， 平面 ，则 ，又 ， 平面 ，又 平面 ，则 ，又 ， ，所以 平面 （）连接 ，由（）知 平面 平面 ，得 ，所以，所以 ，即 ，所以 设所求多面体的体积为 ，则 20. 已知椭圆 的焦点在 轴上，且椭圆 的焦距为 2（）求椭
16、圆 的标准方程；（）过点 的直线与椭圆 交于两点 ，过 作 轴且与椭圆 交于另一点 ，为椭圆 的右焦点，求证：三点 在同一条直线上【答案】 （1） （2）见解析【解析】试题分析：（）由焦距为 2 可得 ，解方程得 的值，即可得椭圆 的标准方程；（）设直线的方程为 ，点 ，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得 ， ，直线 方程为- 13 -，结合点在上，用 ， 代替 ， ，化简整理直线 方程为，令 ，整理得 ，得证.试题解析：（）椭圆 的焦点在 轴上， ，即 ，椭圆 的焦距为 2，且 ， ，解得 ，椭圆 的标准方程为 ；（）由题知直线的斜率存在，设的方程为 ，点 ，则 得 ，即 ， ， ，由题
17、可得直线 方程为 ，又 ， ，直线 方程为 ，令 ，整理得 ，即直线 过点 ，又椭圆 的右焦点坐标为 ，三点 在同一条直线上21. 已知函数 ( )（）若曲线 在 处的切线的方程为 ，求实数 的值；- 14 -（）若 ，对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的最小值【答案】 （1） （2） 的最小值为 12【解析】试题解析：（） ， ，曲线 在 处的切线的方程为 ， ， ， ， ， ， （） 是函数 的极值点， ， ；当 时， ，定义域为 ，当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，所以， （）因为 ， ，所以 ，故函数 在 上单调递增，不妨设 ，则 ，可化为 ，设 ，则 所以 为 上的减函
18、数，即 在 上恒成立，等价于 在 上恒成立，即 在 上恒成立，又 ，所以 ，所以 ，而函数 在 上是增函数，所以 （当且仅当 ， 时等号成立） 所以 即 的最小值为 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值，恒成立问题，及参数- 15 -取值范围等内容请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22. 选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 的极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线过点 ，倾斜角为（）求曲线 的直角坐标方程与直线的标准参数方程；（）设直线与曲线 交于 两点，求 【答案】 （1）曲线 的普通方程为 直
19、线： （为参数） （2）【解析】试题分析：(1)由题意计算可得曲线 的普通方程为 直线： （为参数）(2)联立直线的参数方程与二次曲线，解析弦长公式可得 .试题解析：解：（）对于 由 得 ，所以曲线 的普通方程为 由直线过点 ，倾斜角为得 （为参数） （）设 两点对应的参数分别为 ，将直线的参数方程 （为参数）代入曲线 中，可得化简得： ， 23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 - 16 -（）当 时，求 图象与直线 围成区域的面积；（）若 的最小值为 1，求 的值【答案】 （1） （2） 或【解析】试题分析：(1)将函数写成分段函数的形式，绘制函数的图象可求得面积为；(2)分类讨论 和 两种情况可得 或 .试题解析：解：（）当 时， 其图象如图所示，易知，围成区域的面积为（）当 ，即 时， ；又当 ，即 时， 或点睛：绝对值不等式的解法：- 17 -法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想
