1、- 1 -湖北省部分重点中学 20182019 学年度上学期新高三起点考试数学（理科）试卷一、选择题（本题共 12 小题，毎小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.已知集合 M= ，N = ，则023|2x1)2(log|3xBAA. B. 1|x1|或C. D. | 2.已知复数 满足 ，则zii2)(zA.1 B. C. D. 213. 设等差数列 前 项的和为 ，若 ，则nanS10,254a16A. -32 B. 12 C. 16 D. 324. 已知命题 P： ，那么命题 为3x,RpA. B. 3,x3,C. D. x5.已知函数 ，若
2、 ，则exfx1ln)() 1)(af)(afA. 1 B.-1 C. 3 D.-36.执行程序框图，假如输入两个数是 S=1、k=2,那么输出的 S= A. B. C.4 D. 51177.有四位游客来某地旅游，若每人只能从此地甲、乙、丙三个不同景点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为A. B. C. D. 431698948.已知函数 0， ），其图象)(sin)(xf 20),若圆 上存在点 P，使得1)()3(22yx，则正实数 的取值范围为 09APBaA. (0,3 B. 1，3 C. 2,3 D. 1,211.已知 A，B，C 是双曲线 （ab0)上的三个12byax点
3、，AB 经过原点 0，AC 经过右焦点 F，若 BF 丄 AC 且 2|AF|=|CF|,则该双曲线的离心率是A. B. C. D. 351724912. 已知函数 ,若关于 的方程 恰有 3 个不同的实数xef)( 01)()(2mxff解，则实数 m 的取值范围是 A. (-, 2)U(2, +) B. ( ，+) C.( ，1) D. (1，e)1e1二、填空题：本题共 4 小题，毎小题 5 分，共 20 分。13. 的展开式中 项的系数为 .52)(xx14.函数 的最小正周期为 .xf 2sin3)4cos()sin(15.如图所示，圆 O 及其内接正八边形。已知 ,点21,eOBA
4、P 为正八边形边上任意一点， ，ReP、,21 则的最大值为 .- 3 -16. 某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积 为 .三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤，第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。）(一)必考题：共 60 分。己知数列 的前 项和为 ， ,且满足 .nanS1a1naS（1）求数列 的通项 ：（2）求数列 的前 项和为 .nnT18.(本小题满分 12 分）如图，四棱锥 P 一 ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形，DA = DP，(1)求证：PABD；(2)若 DA 丄
5、 DP，ABP = 60，BA=BP=2,求二面角 DPC 一 B 的正弦值19.为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标 x)、推理能力(指标 y)、建模能力(指标z 的相关性，将它们各自量化为 1、2、3 三个等级，再用综合指标 w=x+y+x 的值评定学生的数学核心素养，若 ,则数学核心素养为一级；若则数学核心素养为二级：若43w,则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问65了某校 10 名学生，得到如下数据：(1)在这10 名学生中任取两人，求这两人的建棋能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率；(2)在这 10 名学生中任取三人，其中数学核心素养等级足
6、一级的学生人数记为 X,求随机变量X 的分布列及其数学期望。- 4 -20.已知 A，B，C 为椭圆 E: 上三个不同的点，0 为12yx 坐标原点，若 O 为ABC 的重心。(1)如果直线 AB、0C 的斜率都存在，求证 为定值；OCABk(2)试判断ABC 的面积是否为定值，如果是就求出这个定值， 否则请说明理由。21.设函数 ,其中 , e=2.718为自然对数的底12)(,ln)( xegxaxf Ra数.(I)讨论 的单调性；)(f(II)证明：当 xl 时， 0；)(xg()如果 在区间（1，+)内恒成立，求实数 a 的取值范围.)(xf(二）选考题：共 10 分，请考生在第 22
7、、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修 4 一 4:坐标系与参数方程(10 分）已知在平面直角坐标系: 中，直线 的参数方程是 是参数），以原点xOyl tyx(620 为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 .cos2(I)求直线 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；l()设 M (x,y)为曲线 C 上任意一点，求 x+y 的取值范围。23.选修 4-5:不等式选讲(10 分己知函数 .|1|)(xaxf(I)若 a=2,求不等式 x+2 的解集：2(II)如果关于 的不等式 的解集不是空集，求实数 a 的取值范围
8、。x)(xf- 5 -湖北省部分重点中学 2018-2019 学年度上学期新高三起点考试理科数学参考答案ABDCDCDB BBBC13.4014. 15 1610317解：（1） ；当 时， ，当 时，不满足上式，所以数列 是从第二项起的等比数列，其公比为 2；所以 .6 分（2）当 时， ，当 时， ，时也满足，综上 12 分18解：（1）证明：取 中点 ，连 ，APM,DB ，DAB ， ，P 面 ，又 面 ， 4 分PA（2） ， ， ，A06B 是等腰三角形， 是等边三角形， ， ，2D1M.3BM ，22DMD以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，6 分,P,xyz则 ， ， ，
9、10A,301P0,1从而得 ， ， ，,3CAB,30P1,0BCAD设平面 的法向量DP11,nxyz- 6 -则 ，即 ， ，10 nDPC10 3xzy13,n设平面 的法向量 ，B212,nz由 ，得 ，20 nP20 3xy23,1n 1122cos,7n设二面角 为 ， 12 分DPCB2143sicos,7n19解：x 2 3 3 1 2 2 2 2 2 2y 2 2 3 2 3 3 2 3 1 2z 3 3 3 2 2 3 2 3 1 2w 7 8 9 5 7 8 6 8 4 6（1）由题可知:建模能力一级的学生是 ；建模能力二级的学生是 ；建模能力三级的学生是 .记“所取的
10、两人的建模能力指标相同”为事件 ，记“所取的两人的综合指标值相同”为事件 .则 6 分2345()1(|)64CPAB(2)由题可知，数学核心素养一级的学生为: ，非一级的学生为余下 4 人的所有可能取值为 0,1，2，3.0312646431 0230 1(),(),PXPXCC随机变量 的分布列为：0 1 2 310 分12 分20- 7 -解：（1）设直线 ，代入 得：设 ，则 ；由 得：线段 中点 ,因为 为 的重心，AB22(,)1kmD所以 为定值.6 分1(OCABk点差法求证相应给分.（2）设 ，则代入 得 ，又 ，原点 到 的距离于是所以 （定值） .12 分21解：（） 1
11、 分212(0).axfx0， 在 内单调递减.2 分0a当 时 ， ff0+（ ， ）由 =0 有 .当 时 ， fx12a当 时， 0， 单调递减；x10,)2a（ ffx当 时， 0， 单调递增.4 分+)（ ， ff（）1()xeg令 = ，则 = .s1xs1ex当 时， 0，所以 单调递增，又 ， ， 10ssx- 8 -从而 时， = 0.7 分1xgx1ex（）由（） ，当 时， 0.g当 ， 时， = .0axfx2ln0ax故当 在区间 内恒成立时，必有 .8 分fg1+)（ ， a当 时， 1.102aa由（）有 ,而 ，10ff102ga所以此时 在区间 内不恒成立.1
12、0 分fxg+)（ ，当 时，令 = （ ）.12ahfxg1x当 时， = .x221exax32210x因此， 在区间 单调递增.h+)（ ，又因为 =0，所以当 时， = 0，即 恒成立.11xhxfgxfxg综上， .12 分a2，22解：（）由 ，得 ，故直线 的普通方程为 ，由 ，得 ，所以 ，即 ，故曲线 的普通方程为 .5 分（）据题意设点 ，则 ，所以 的取值范围是 .10 分23- 9 -解：（）当 时，知 ，不等式 等价于21()()32xf或 或 解得：12x12x1x13x或故原不等式的解集为 .5 分|3或（） ，当 时取等号.若关于 的不等式 的解集不是空集，只需解得 ，即实数 的取值范围是 10 分
