1、2017学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题卷选择题部分（共 40分）一、选择题：（本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分）1. 设集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由集合 解得 .则故 ，故选2. 双曲线 的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由双曲线 得 ，所以渐近线方程为 ，故选3. 设数列 的通项公式为 则“ ”是“数列 为单调递增数列”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当 时 ，则数列 为单调递增数列若数列 为单调递增数列，则 即可，所
2、以“ ”是“数列 为单调递增数列”的充分不必要条件故选4. 若函数 的导函数 的图像如图所示，则（ ）A. 函数 有 1个极大值，2 个极小值B. 函数 有 2个极大值，2 个极小值C. 函数 有 3个极大值，1 个极小值D. 函数 有 4个极大值，1 个极小值【答案】B【解析】由导函数图像可知原函数的单调性为先增后减再增再减，最后增，所以原函数有 2个极大值，2 个极小值，所以选5. 若直线 与曲线 （ ，为自然对数的底数）相切，则 （ ）A. 1 B. 2 C. -1 D. -2【答案】C【解析】设切点坐标为 ， ， ，则切线方程为，又因为切线为 过 代入得 ，将 代入 中得故选6. 设不
3、等式组 ，所表示的区域面积为 .若 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图：当 与 交点为 时面积为 ，此时 ，若 则故选7. 设函数 （ 且 ）则函数 的奇偶性（ ）A. 与无关，且与 无关 B. 与有关，且与 有关C. 与有关，且与 无关 D. 与无关，但与 有关【答案】D【解析】由函数 则当 时函数 为奇函数，当 时函数为非奇非偶函数所以函数 的奇偶性与无关，但与 有关故选8. 在三棱锥 中， 平面 ， ， 分别是 的中点， ，且 .设 与 所成角为 ， 与平面 所成角为 ，二面角 为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图可知 ， ，因为 平面 则 ，
4、又由 ，故 ，则 ，同理可证得所以故选9. 设函数 ，记 为函数 在 上的最大值， 为 的最大值.（ ）A. 若 ，则 B. 若 ，则C. 若 ，则 D. 若 ，则【答案】C【解析】由题意得 ，则若 ，则 ，此时任意 有则 ， ， ，在 时与题意相符，故选点睛：本题是道函数综合题目，考查了含有绝对值的最值问题，借助条件计算得最值情况，这里需要注意取最值时的讨论以及在运算过程中对于绝对值不等式的放缩求结果，本题有一定难度10. 在四边形 中，点 分别是边 的中点，设 ， .若， ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】又点 分别是边 的中点，所以 ，两式相加得 ，两边同时平方得
5、，所以则 ，代入得 即 ，故选点睛：本题是道向量综合题目，难度较大，主要在向量之间的转化上较为复杂，从一个结果出发，不断进行向量间的转化得到结果，注意当遇到题目中“点 分别是边 的中点”需要计算出 ，这样方便继续计算非选择题部分（共 110分）二、填空题（本大题共 7小题，第 11-14题，每题 6分，15-17 每小题 4分，共 36分）11. 设复数 （其中为虚数单位） ，则复数的实部为_ ，虚部为_【答案】 (1). 2 (2). 1【解析】所以复数的实部为 ，虚部为12. 在一次随机试验中，事件 发生的概率为 ，事件 发生的次数为，则期望_ ，方差 的最大值为 _【答案】 (1). (
6、2). 【解析】记事件 发生的次数为可能的值为期望方差故期望 ，方差 的最大值为13. 在 中，角 所对的边分别为 ， ， ， ，则_ ；设 为 边上一点，且 ，则 的面积为 _【答案】 (1). (2). 2【解析】由 得 ， ，又因为 ，则点 为 边上靠近点 的三等分点，14. 如图是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为_ ；表面积为 _【答案】 (1). (2). 【解析】还原几何体如图：根据图中数据可得：15. 在二项式 的展开式中，若含 的项的系数为-10，则 _【答案】-2【解析】二项式通项 ，当 的项的系数为 时，即解得 ，则所以16. 有红，黄，蓝三种颜色的小球（除颜色外均相同
7、）各 4只，都分别标有字母 任意取出 4只，字母各不相同且三种颜色齐备的取法有_ 种【答案】36【解析】字母各不相同且三种颜色齐备则分别取出 个小球，共有点睛：本题考查了排列组合，要满足题目中“字母各不相同且三种颜色齐备”先理清可能性，然后运用组合法求出数量后除去重复的可能，再进行全排列，即可计算出结果17. 已知单位向量 的夹角为 ，设 ，则当 时， 的取值范围是_【答案】【解析】 ，所以 ，不妨令 ，原式 ，当 时当 时所以 的取值范围是点睛：本题借助向量考查了范围问题，先根据题目条件计算出 的表达式，然后运用换元法令 ，转换为 ，计算其范围可以先判定其单调性，然后借助极限法求得结果三、解
8、答题 （本大题共 5小题，共 74分） 18. 设向量 ， ， .（）求函数 的最小正周期；（）若方程 无实数解，求的取值范围.【答案】 （） 的最小正周期为 .（） 或 .【解析】试题分析：利用两个向量的数量积公式，三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 ，利用周期公式即可得到函数 的最小正周期；由题意得无解故 时，即可解得答案解析：（）因为 ，故 的最小正周期为 .（）若方程 无解，则 ，所以 或 ，由 解得 或 ；由 ，故不等式 无解，所以 或 .19. 如图，在三棱锥 中， ， ， .（）证明： ；（）求 与平面 所成角的正弦值.【答案】 （）见解析（）【解析】试题分析：(1)由余弦
9、定理易得 ，取 的中点 ，连接 ， ，由等腰三角形三线合一， 与 ， 垂直，再用线面垂直的判定和性质定理即可证得；以 为轴， 为 轴， 为 轴，建立坐标系，计算出平面 的法向量为 ，然后运用公式计算出 与平面 所成角的正弦值解析：（） ， ， ， ， .取 的中点 ，连接 ，则 ， ，又 ， 平面 ， .（）在 中，根据余弦定理，得，所以 ，又因为 ，所以 ， ，所以 ，即 .则以 为轴， 为 轴， 为 轴，建立坐标系，则 ， ， ，.所以 ， ， .设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，则 ，即 与平面 所成的角正弦值为 .20. 设函数 .（）求证： ；（）当 时，函数 恒成立，求实数的取值范
10、围.【答案】 （）见解析（）【解析】试题分析：(1)要证 ，转化为 ，求导利用单调性即可证明(2)要证明 恒成立，分离参量得 ，计算出 的范围即可解析：（）原不等式等价于 ，设 ，所以，当 时， ， 单调递减；当时， ， 单调递增.又因为 ，所以 .所以.（）当 时， 恒成立，即 恒成立 .当 时， ；当 时，而 ，所以 .21. 已知椭圆 ，直线 ，设直线与椭圆 交于 两点.（）若 ，求实数 的取值范围；（）若直线 的斜率成正等比数列（其中 为坐标原点） ，求 的面积的取值范围.【答案】 （） 或 .（）【解析】试题分析：(1)由直线与椭圆 交于 两点，联立直线与椭圆方程，解得，根据 ，求出
11、实数 的取值范围(2) 设 ，由直线 的斜率成正等比数列，得 ，计算得 ，再由点到直线的距离算出 ，算出面积表达式 ，计算出范围解析：（）联立方程 和 ，得，所以 ，所以 ，所以 ，即 ，解得 或 .（）设 ， ，则 ， ，设直线 的斜率 ，因为直线 的斜率成等比数列，所以 ，即 ，化简，得 ，即 .因为 ，原点 到直线 的距离 ，所以 ，当 时，直线 或 的斜率不存在，等号取不到，所以 .点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，由题意中直线与椭圆有两个交点，联立直线与椭圆方程，根据判别式求出参数范围，在计算三角形面积时，先确定三角形的底与高，然后给出其表达式，根据范围求得结果22. 设数列 满
12、足 ， .（）求证： ；（）求证： ；（）设数列 的前 项和为 ，求证： .【答案】 （）见解析（）见解析（）见解析【解析】试题分析：(1)根据题目中的表达式化简为 ，利用基本不等式求得(2)由题目化简得 ，判定出 与 同号，再由，证得 ， (3)化简得 ，由（2）得 ， 即三边同时求和，即可证明解析：（）整理得 ，因为 ，故 .（）又因为 ，因为 ，所以 与 同号，所以 与 同号，因为 ，所以 ，那么 ，则 ，所以 .（）由（）知 ，故 ，因为 ，所以 ，故 ，所以 ，不等式三边同时求和，得 ，所以 .点睛：本题是道数列综合题目，主要考察了数列里的不等式，在第一问中利用了基本不等式证明结果，第二、三问中通过化简、变形，确定符号或是由结果得出了不等式成立，需要构造，题目有一定难度
