1、第四章 三角形自我测试一、选择题1如图,AF 是BAC 的平分线,EFAC 交 AB 于点 E.若125,则BAF 的度数为( C )A15 B50 C25 D12.5第 1 题图第 3 题图2在 RtABC 中,C 90,sinA ,b4,则 tanB( B )35A. B. C. D.45 43 34 54(导学号 02052310)3(2016荆州)如图,在 RtABC 中,C 90,CAB 的平分线交 BC 于 D,DE 是AB 的垂直平分线,垂足为 E.若 BC3,则 DE 的长为( A )A1 B2 C3 D4(导学号 02052311)4(2016济南)济南大明湖畔的“超然楼”被
2、称作“江北第一楼” ,某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量,如图,他们在 A 处仰望塔顶,测得仰角为 30,再往楼的方向前进 60 m 至 B 处,测得仰角为 60,若学生的身高忽略不计, 1.7,结果精确到 1 3m,则该楼的高度 CD 为( B )A47 m B 51 m C53 m D54 m(导学号 02052312)第 4 题图第 5 题图5(201 6泸州 )如图,矩形 ABCD 的边长 AD3,AB2,E 为 AB 的中点,F 在边 BC 上,且 BF 2FC, AF 分别与 DE、DB 相交于点 M、N ,则 MN 的长为( B )A. B. C. D.225 9220
3、324 425(导学号 02052313)二、填空题6(2016滨州)如图,ABC 中,D 为 AB 上一点,E 为 BC 上一点,且ACCDBDBE,A50,则CDE 的度数为_52.5_第 6 题图第 8 题图 7(2016绵阳)OAB 三个顶点的坐标分别为 O(0,0),A(4,6) ,B(3,0),以 O 为位似中心,将OAB 缩小为原来的 ,得到OAB,则点 A 的对应点 A的坐标为_(2,3)或12(2,3)_(导学号 02052314)8(2016安顺)如图,矩形 EFGH 内接于ABC ,且边 FG 落在 BC 上,若ADBC,BC3,AD2, EF EH,那么 EH 的长 为
4、_ _(导学号 02052315)23 32解析:设 EH 与 AD 交于点 M,四边形 EFGH 是矩形,EHBC,AEHABC,AM EH ,ADBC, ,设 EH3x,则有AMAD EHBCEF2x,AM ADEF 22x, ,解得:x ,则 EH2 2x2 3x3 12 329如图,在ABC 中,ABAC,ADBC,垂足为点 D,AD 18,点 E 在 AC 上且CE AC,连接 BE,与 AD 相交于点 F.若 BE15,则 DBF 的周长是_24_12解析:在ABC 中,AB AC,ADBC,AD 是ABC 的中线,CE AC,即12BE 是ABC 的中线,BE 与 AD 相交于点
5、 F,F 是 ABC 的重心,BF BE10 ,DF AD6.在 RtBDF 中, BDF90,BD 23 13 BF2 DF28,DBF 的周长BDDFBF861024102 62第 9 题图第 10 题图10( 2016十堰 )在综合实践课上 ,小聪所在小组要测量一条河的宽度如图 ,河岸EFMN,小聪在河岸 MN 上点 A 处用测角仪测得河对岸小树 C 位于东北方向,然后沿河岸走了 30 米,到达 B 处,测得河对岸电线杆 D 位于北偏东 30 方向,此时,其他同学测得 CD10 米请根据这些数据求出河的宽度为_3010 _米(结果保留根号)3(导学号 02052316)解析:如图,作 B
6、HEF,CKMN ,垂足分别为 H、K,则四边形 BHCK 是矩形,设CKHBx,CKA 90 ,CAK45,CAKACK45,AKCKx,BKHC AKABx30,HDx 3010x20,在 RtBHD 中,BHD90,HBD 30 ,tan 30 , ,解得 x3010HDHB 33 x 20x 311(2016包头)如图,已知ABC 是等边三角形,点 D、E 分别在边 BC、AC 上,且 CDCE ,连接 DE并延长至点 F,使 EFAE ,连接 AF,CF,连接 BE 并延长交 CF 于点 G.下列结论: ABEACF;BCDF;S ABC S ACF S DCF ;若 BD2DC,则
7、 GF2EG.其中正确的结论是_ _(填写所有正确结论的序号)(导学号 02052317)解析:正确ABC 是等边三角形,ABACBC ,BACACB60,CDCE,DEC 是等边三角 形,ED EC DC, DECAEF60EFAE,AEF 是等边三角形,AFAE ,EAF60,在ABE 和ACF 中,ABEACF(SAS) ,故正确正AB AC BAE CAFAE AF )确ABCFDC,ABDF,EAFACB60 ,ABAF ,四边形ABDF 是平行四边形,DFABBC,故正确正确ABEACF, BECF ,S ABE S AFC ,在BCE 和FDC 中 , ,BCEBC DFCE C
8、DBE CF)FDC(SSS),S BCE S FDC ,S ABC S ABE S BCE S ACF S BCE ,S ABC S ACFS DCF ,故 正确正确BCE FDC, DBEEFG,BEDFEG ,BDE FGE, , BDFG DEEG FGEG,BD 2DC,DCDE, 2,FG2EG. 故 正确 BDDE FGEG三、解答题12(2016泸州)如图,为了测量出楼房 AC 的高度,从距离楼底 C 处 60 米的点 D(点 D3与楼底 C 在同一水平面上)出发,沿斜面坡度为 i1 的斜坡 DB 前进 30 米到达点 B,3在点 B 处测得楼顶 A 的仰角为 53,求楼房 A
9、C 的高度(参考数据:sin530.8,cos530.6,tan53 ,计算结果用根号表示,不取近似值)( 导学号 4302052318)解:如图,作 BNCD 于 N,BMAC 于 M.在 RtBDN 中,BD30,BN ND1 , BN15,DN15 , CCMBCNB 90,3 3四边形 CMBN 是矩形,CMBN15,BMCN60 15 45 ,在 RtABM 中,3 3 3tanABM ,AM60 ,AC AM CM60 15AMBM 43 3 313如图,在ABC 中,AD 是中线,AE 是角平分线,CF AE 于点F,AB 10,AC4,延长 CF 交 AB 于点 G. (1)求
10、证: AFGAFC; (2)求 DF 的长(导学号 02052319 )(1)证明:AE 是BAC 的平分线,GAF CAF.CFAE,GFAAFC90,在AFG 和AFC 中,AFGAFC( ASA);(2 )解:AFG GAF CAF,AF AF, AFG AFC)AFC, ACAG4,GFCF ,BG ABAG1046.又点 D 是 BC 中点,DF 是CBG 的中位线,DF BG31214(2016黔东南州)黔东南州某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动,带领同学们测量学校附近一电线杆的高已知电线杆直立于地面上,某天在太阳光的照射下,电线杆的影子(折线 BCD)恰好落在水平地面和斜坡
11、 上,在 D 处测得电线杆顶端 A 的仰角为 30,在C 处测得电线杆顶端 A 得仰角为 45,斜坡与地面成 60角,CD4 m,请你根据这些数据求电线杆的高(AB)(结果精确到 1 m,参考数据: 1.4, 1.7)2 3(导学号 02052320) 解:延长 AD 交 BC 的延长线于 G,作 DHBG 于 H,如图所示,在 RtDHC 中,DCH60,CD4,则 CHCD cosDCH 4cos602,DHCDsinDCH4 sin602 ,3DHBG,G30, HG 6,CGCHHG268,设DHtan G 23tan30ABx m,AB BG,G30,BCA45,BC x,BG AB
12、tan G xtan30x, BG BCCG,3 xx8,解得:x4 111( m),3 3答:电线杆的高约为 11 m15(2016太原一模)如图是小明同学画出的某同学放风筝的示意图从地面 A 处放飞的风筝几分钟后飞至 C 处,此时, 点 B与旗杆 PQ 的顶部点 P 以及点 C 恰好在一直线上,PQAB 于点 Q.(1)已知旗杆的高为 10 米,在 B 处测得旗杆顶部点 P 的仰角为 30,在 A 处测得点 P 的仰角为 45,求 A,B 之间的距离;(2)此时,在 A 处测得风筝 C 的仰角为 75,设绳子 AC 在空中为一条线段,求 AC 的长(结果保留根号)( 导学号 0205232
13、1)解:(1)PQAB,BQP AQP90,在 RtBPQ 中,PQ10,BQP90,B30,tanB ,PQBQ ,33 10BQBQ10 ,3在 RtAPQ 中,PAB45,APQ 90 PAB45,AQPQ10,ABBQ AQ10 10.3答:A、B 之间的距离为(10 10)米;3(2)如图,作 AEBC 于 E.在 RtABE,AEB90,B30,AB10 10,3AE AB5 5,12 3CAD75,B30,C45,在 RtCAE 中,sinC , ,AEAC 22 53 5ACAC (5 5)5 5 ,2 3 6 2答:AC 的长为(5 5 )米6 216(2016沈阳)在ABC
14、 中,AB6,ACBC5,将ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转,得到ADE ,旋转角为 (0180) ,点 B 的对应点为点 D,点 C 的对应点为点E,连接 BD,BE. (1)如图,当 60时,延长 BE 交 AD 于点 F. 求证:ABD 是等边三角形; 求证:BF AD,AFDF; 请直接写出 BE 的长; (2)在旋转过程中,过点 D 作 DG 垂直于直线 AB,垂足为点 G,连接 CE,当DAGACB,且线段 DG 与线段 AE 无公共点时,请直接写出 BECE 的值. 温馨提示:考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答. (导学 号 02052322)解:(1)ABC 绕点
15、 A 顺时针方向旋转 60得到ADE,ABAD,BAD 60,ABD 是等边三角形 由得ABD 是等边三角形,ABBD,ABC 绕点 A顺时针方向旋转 60得到ADE,ACAE ,BCDE ,又AC BC,EAED ,点 B、E 在 AD 的中垂线上, BE 是 AD 的中垂线,点 F 在 BE 的延长线上,BF AD,AFDF 由知BFAD ,AFDF,AF DF 3,AEAC5,EF4,在等边三角形 ABD 中,BFAB sinBAF6 3 ,BE BFEF3 4 (2)如图,32 3 3DAGACB,DAE BAC,ACBBACABC DAGDAEABC180,又DAGDAEBAE180,BAEABC,AC BCAE,BAC ABC ,BAEBAC ,ABCE,且 CHHE CE,ACBC,AHBH AB3,则12 12CE2CH8,BE5,BECE 13