2018年秋九年级数学上册 第23章 图形的相似同步练习（打包12套）（新版）华东师大版.zip

1第 23 章 图形的相似23.1.1 成比例线段知识点 1 线段的比1．已知线段 a＝20 cm， b＝30 cm，则 a∶ b＝________， b∶ a＝________．2．已知线段 AB，在 BA 的延长线上取一点 C，使 CA＝3 AB，则线段 CA 与线段 CB 的比为( )A．3∶4 B．2∶3 C．3∶5 D．1∶23．如图 23－1－1， C 是线段 AB 的中点，点 D 在 BC 上， AB＝24 cm， BD＝5 cm.(1)AC∶ CB＝________， AC∶ AB＝________；(2) ＝______， ＝________， ＝______．BCBD CDAB ADCD图 23－1－1知识点 2 成比例线段的概念4．线段 a＝8 cm， b＝30 cm， c＝10 cm， d＝24 cm 中，最短两条线段的比a∶ c＝________，最长两条线段的比 d∶ b＝________，所以这四条线段________成比例线段(填“是”或“不是”)．5．下列各组中的四条线段，是成比例线段的是( )A．3 cm，6 cm，12 cm，18 cmB．2 cm，3 cm，4 cm，5 cmC. cm， cm， cm，5 cm2 10 5D．5 cm，2 cm，3 cm，6 cm6．判断下列线段是不是成比例线段，若是，请写出比例式．(1)a＝7 cm， b＝4 cm， c＝ d＝2 cm；7(2)a＝20 mm， b＝8 m， c＝28 m， d＝7 cm.知识点 3 比例的基本性质7．已知 ＝ ，若其中 a＝5 cm， b＝3 cm， c＝2 cm，则可列比例式 ＝ab cd （ ）（ ），根据比例的基本性质，可得________，所以线段 d＝________ cm.（ ）（ ）8．已知 ＝ ，那么下列等式一定成立的是( )xy 792A． x＝ y B．7 y＝9 x97C．7 x＝9 y D． xy＝639．若 2x＝5 y，则下列式子中错误的是( )A. ＝ B. ＝yx 25 x－ yy 32C. ＝ D. ＝x＋ yx－ y 73 y－ xx 3510. 画在图纸上的某一零件长 3.2 cm，若比例尺是 1∶20，则该零件的实际长度是__________．11．已知 ＝ ＝ ≠0，则 的值为________．c4 b5 a6 b＋ ca12．已知 ＝ ，求 和 的值．ab 43 a＋ bb a－ ba13. 等腰直角三角形斜边上的高与腰的长度之比是( )A. ∶1 B．1∶22C．2∶ D．1∶2 214．已知三个数 2， ，4.若再添加一个数，就得到这四个数成比例，则添加的数是( )2A．2 B．2 或2 222C．2 ，4 或 8 D． 2 ， 或 4 2 2 2 222 215．若 ＝ ，则下列各式一定成立的有( )ab cd① ＝ ；② ＝ ；a＋ bb c＋ dd a－ bb c－ dd③ ＝ ；④ ＝ .aa＋ b cc＋ d aa－ b cc－ dA．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个16． ［教材练习第 2 题变式］若 ＝ ＝ ，且 a－ b＋ c＝8，则 a＝________．a5 b3 c217．已知 ＝ ＝ ＝2，且△ ABC 的周长为 18 cm，求△ A′ B′ C′的周ABA′ B′ BCB′ C′ ACA′ C′长．318．如图 23－1－2，若点 P 在线段 AB 上，点 Q 在线段 AB 的延长线上， AB＝10， ＝APBP＝ .求线段 PQ 的长．AQBQ 32图 23－1－219．已知线段 a＝0.3 m， b＝60 cm， c＝12 dm.(1)求线段 a 与线段 b 的比；(2)如果 a∶ b＝ c∶ d，求线段 d 的长．20．已知 ＝ ，求下列各式的值：x－ yx＋ y 911(1) ； (2) .xx＋ y 2x＋ yy－ x21．已知△ ABC 的三边长 a， b， c 满足关系式 ＝ ＝ ，且 a＋ b＋ c＝12，则这个a＋ 43 b＋ 32 c＋ 84三角形的面积是多少？422．阅读下列解题过程，然后解题：题目：已知 ＝ ＝ (a，b，c 互不相等)，求 x＋y＋z 的值．xa－ b yb－ c zc－ a解：设 ＝ ＝ ＝k(k≠0)，则 x＝k(a－b)，y＝k(b－c)，z＝k(c－a)，xa－ b yb－ c zc－ a∴x＋y＋z＝k(a－b＋b－c＋c－a)＝k·0＝0，∴x＋y＋z＝0.依照上述方法解答下面的问题：已知 a，b，c 为非零实数，且 a＋b＋c≠0，当 ＝ ＝ 时，求a＋ b－ cc a－ b＋ cb － a＋ b＋ ca的值．（ a＋ b） （ b＋ c） （ c＋ a）abc51．2∶3 3∶2 2. A3．(1)1∶1 1∶2 (2) 125 724 1974．4∶5 4∶5 是5．C [解析] 只有 C 中 ＝ ，为成比例线段．210 556．[解析] 判断四条线段是不是成比例线段，可根据线段长度的大小关系，从小到大排列，判断较短的两条线段的比是否等于较长的两条线段的比，若比值相等则这四条线段是成比例线段．解：(1)因为 ＝ ＝ ＝ ， ＝ ，所以这四条线段是成比例线段，bc 42 7 4×72 7×7 2 77 da 2 77比例式为 ＝ .bc da(2)将线段从小到大排列，得 a＝20 mm＝0.02 m， d＝7 cm＝0.07 m， b＝8 m， c＝28 m．因为 ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，所以这四条线段是成比例线段，比例式为 ＝ .ad 0.020.07 27 bc 828 27 ad bc7．5 3 2 d 5 d＝6 658. B 9. D 10. 64 cm11. [解析] 设 ＝ ＝ ＝ k，则 c＝4 k， b＝5 k， a＝6 k，所以 ＝ ＝ .32 c4 b5 a6 b＋ ca 5k＋ 4k6k 3212．解：由已知可设 a＝4 k， b＝3 k(k≠0)，∴ ＝ ＝ ＝ ，a＋ bb 4k＋ 3k3k 7k3k 73＝ ＝ ＝ .a－ ba 4k－ 3k4k k4k 1413． D14． D [解析] 设这个数是 x，由题意，得当 2∶ ＝4∶ x 时，则 2x＝4 ，解得 x＝2 ；2 2 2当 2∶4＝ x∶ 时，则 4x＝2 ，解得 x＝ ；2 222当 2∶ ＝ x∶4 时，则 x＝8，解得 x＝4 .2 2 2故选 D.15． A16．10 [解析] 由 ＝ ＝ ，得 b＝ ， c＝ ，由 a－ b＋ c＝8，得 a－ ＋ ＝8，a5 b3 c2 3a5 2a5 3a5 2a5解得 a＝10.17．解：∵ ＝ ＝ ＝2，ABA′ B′ BCB′ C′ ACA′ C′∴ AB＝2 A′ B′， BC＝2 B′ C′， AC＝2 A′ C′.6∵ AB＋ BC＋ AC＝18，∴2 A′ B′＋2 B′ C′＋2 A′ C′＝18，∴2( A′ B′＋ B′ C′＋ A′ C′)＝18，∴ A′ B′＋ B′ C′＋ A′ C′＝9，∴△ A′ B′ C′的周长为 9 cm.18．[解析] 根据 ＝ ＝ ，分别求出 BP， BQ 的长，两者相加即可求出 PQ 的长．APBP AQBQ 32解：∵ AB＝10， ＝ ＝ ，APBP AQBQ 32∴ BP＝4， BQ＝20，∴ PQ＝ BP＋ BQ＝24.答：线段 PQ 的长为 24.19．解： a＝0.3 m＝3 dm， b＝60 cm＝6 dm， c＝12 dm.(1)a∶ b＝3∶6＝1∶2.(2)∵ a∶ b＝ c∶ d，∴1∶2＝12∶ d，解得 d＝24(dm)．故线段 d 的长是 24 dm.20．解：由已知可得 9(x＋ y)＝11( x－ y)，整理得 x＝10 y.(1) ＝ ＝ ＝ .xx＋ y 10y10y＋ y 10y11y 1011(2) ＝ ＝ ＝－ .2x＋ yy－ x 20y＋ yy－ 10y 21y－ 9y 7321．令 ＝ ＝ ＝ k，则 a＝3 k－4， b＝2 k－3， c＝4 k－8，a＋ 43 b＋ 32 c＋ 84代入 a＋ b＋ c＝12，可得 k＝3，∴这个三角形的三边长为 a＝5， b＝3， c＝4.∵ a2＝ b2＋ c2，∴这个三角形为直角三角形，∴ S＝ bc＝ ×3×4＝6.12 1222．设 ＝ ＝ ＝ k(k≠0)，a＋ b－ cc a－ b＋ cb － a＋ b＋ ca则 a＋ b－ c＝ kc①， a－ b＋ c＝ kb②，－ a＋ b＋ c＝ ka③，由①＋②＋③，得 a＋ b＋ c＝ k(a＋ b＋ c)．∵ a＋ b＋ c≠0，∴ k＝1，∴ a＋ b＝2 c， b＋ c＝2 a， c＋ a＝2 b，∴ ＝ ＝8.（ a＋ b） （ b＋ c） （ c＋ a）abc 2c·2a·2babc123.3.1 相似三角形知识点 1 相似三角形的有关概念1．已知△ ABC∽△ A′ B′ C′， AB＝6 cm，其对应边 A′ B′＝4 cm，则相似比为________．2．已知△ ABC∽△ A′ B′ C′，且△ ABC与△ A′ B′ C′的相似比是 ，则△ A′ B′ C′与23△ ABC的相似比是( )A. B. C. D. 23 32 49 943．如图 23－3－1，Rt△ ADC∽Rt△ DBC， AC＝3， BC＝4，试求△ ADC与△ DBC的相似比．图 23－3－1知识点 2 对应边、对应角的识别4．在△ ABC中，∠ A＝45°，∠ B＝35°，则与△ ABC相似的三角形三个角的度数分别为( )A．35°，45°，45° B．45°，105°，35°C．45°，35°，110° D．45°，35°，100°5．已知△ ABC与△ DEF相似，且∠ A＝50°，∠ B＝70°，∠ C＝60°，∠ D＝60°，∠ E＝70°，则( )A．∠ F＝50°， AB与 DE是对应边B．∠ F＝50°， AB与 EF是对应边C．∠ F＝50°， AB与 DF是对应边D． AB与 DE， AC与 DF， BC与 EF是三组对应边图 23－3－26．如图 23－3－2，△ AED∽△ ABC，且∠1＝∠ B＝50°，∠ C＝70°，则2∠2＝________°， ＝ .AD（ ） （ ）BC7．如图 23－3－3 所示，根据下列情况写出各组相似三角形的对应边的比例式．(1)△ ABC∽△ ADE，其中 DE∥ BC；(2)△ OAB∽△ OA′ B′，其中 A′ B′∥ AB；(3)△ ADE∽△ ABC，其中∠ ADE＝∠ B.图 23－3－38．如图 23－3－4，已知 AC＝4， BC＝6，∠ B＝36°，∠ D＝117°，且△ ABC∽△ DAC.(1)求∠ BAD的大小；(2)求 CD的长．图 23－3－4知识点 3 由平行线判定三角形相似9．如图 23－3－5， DE∥ BC， EF∥ AB，则图中相似三角形一共有( )A．1 对 B．2 对C．3 对 D．4 对图 23－3－5310．如图 23－3－6，点 F在平行四边形 ABCD的边 AB上，射线 CF交 DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△ AEF相似的三角形有( )A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个图 23－3－611． ［教材例 1变式］如图 23－3－7，在△ ABC中，已知DE∥ BC， AD＝4， DB＝8， DE＝3.(1)求 的值；ADAB(2)求 BC的长．图 23－3－712．已知△ ABC与△ A1B1C1的相似比为 2∶3，△ A1B1C1与△ A2B2C2的相似比为 3∶5，那么△ ABC与△ A2B2C2的相似比为________．13．已知△ ABC的三边长分别为 ， ，2，△ A′ B′ C′的两边长分别为 1和 .若△2 6 3ABC∽△ A′ B′ C′，则△ A′ B′ C′的第三边长为________．4图 23－3－814. 如图 23－3－8 所示，在▱ ABCD中， E是 BC上一点， BE∶ EC＝2∶3， AE交 BD于点F，则 BF∶ DF＝__________．15．如图 23－3－9， AB∥ GH∥ DC，点 H在 BC上， AC与 BD交于点 G， AB＝2， DC＝3，求 GH的长．图 23－3－916． ［2016·黄冈］如图 23－3－10，已知△ ABC, △ DCE, △ FEG, △ HGI是 4个全等的等腰三角形，底边 BC， CE， EG， GI在同一条直线上，且 AB＝2， BC＝1.连结 AI，交 FG于点Q，则 QI＝________．图 23－3－1017．已知边长分别为 5，6，7 的三角形与一边长为 3的三角形相似，求另一个三角形的另外两边的长．51. 322. B3．解：∵Rt△ ADC∽Rt△ DBC，∴ ＝ ，即 ＝ ，ACDC DCBC 3DC DC4∴ DC2＝12，则 DC＝2 ，3∴△ ADC与△ DBC的相似比为 ＝ .32 3 324．D ．5．B6．70 AC ED 7．解：(1) ＝ ＝ .ADAB AEAC DEBC(2) ＝ ＝ .AOA′ O BOB′ O ABA′ B′(3) ＝ ＝ .ADAB AEAC DEBC8．解：(1)∵△ ABC∽△ DAC，∴∠ DAC＝∠ B＝36°，∠ BAC＝∠ D＝117°，∴∠ BAD＝∠ BAC＋∠ DAC＝153°.(2)∵△ ABC∽△ DAC，∴ ＝ .BCAC ACCD又∵ AC＝4， BC＝6，∴ CD＝ ＝ .4×46 839．C [解析] ∵ DE∥ BC，∴△ ADE∽△ ABC.∵ EF∥ AB，∴△ CEF∽△ CAB，∴△ ADE∽△ EFC，共 3对．故选 C.10．C [解析] ∵四边形 ABCD是平行四边形，∴ AD∥ BC， AB∥ DC，∴△ AEF∽△ BCF，△ AEF∽△ DEC，∴与△ AEF相似的三角形有 2个．11．解：(1)∵ AD＝4， DB＝8， ∴ AB＝ AD＋ DB＝4＋8＝12，∴ ＝ ＝ .ADAB 412 13(2)∵ DE∥ BC，6∴△ ADE∽△ ABC，∴ ＝ .DEBC ADAB∵ DE＝3，∴ ＝ ，3BC 13∴ BC＝9.12 2∶5 [解析] ∵△ ABC与△ A1B1C1的相似比为 2∶3，△ A1B1C1与△ A2B2C2的相似比为3∶5，∴ AB∶ A1B1＝2∶3， A1B1∶ A2B2＝3∶5.设 AB＝2 x，则 A1B1＝3 x， A2B2＝5 x，∴ AB∶ A2B2＝2∶5，∴△ ABC与△ A2B2C2的相似比为 2∶5.13． 214． 2∶515．∵ AB∥ GH∥ DC，∴△ CGH∽△ CAB，△ BGH∽△ BDC，∴ ＝ ， ＝ ，GHAB CHCB GHDC BHBC∴ ＋ ＝ ＋ ＝1.GHAB GHDC CHCB BHBC∵ AB＝2， DC＝3，∴ ＋ ＝1，∴ GH＝ .GH2 GH3 6516． 4317．解：因为题目没有具体说明相似三角形的对应边，所以分三种情况讨论．设另外两条边的长分别为 x， y(xy)．根据题意，得＝ ＝ 或 ＝ ＝ 或 ＝ ＝ ，5x 6y 73 5x 63 7y 53 6x 7y所以 x＝ ， y＝ 或 x＝ ， y＝ 或 x＝ ， y＝ .157 187 52 72 185 215故另一个三角形的另外两边的长为 ， 或 ， 或 ， . 157 187 52 72 185 215123.3.2 第 1 课时 相似三角形的判定定理 1知识点 1 两角分别相等的两个三角形相似1．图 23－3－11 中有两个三角形，角的度数已在图中标注，则这两个三角形( )A．相似 B．不相似C．全等 D．无法判断图 23－3－112．下列各组三角形中，一定相似的是( )A．两个等腰三角形 B．两个等边三角形C．两个钝角三角形 D．两个直角三角形3．如图 23－3－12，已知∠ ADE＝∠ ACD＝∠ ABC，则图中的相似三角形共有( )A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对图 23－3－124．如图 23－3－13，添加一个条件：______________，可根据“两角分别相等的两个三角形相似”判定△ ADE∽△ ACB(写出一个即可)．图 23－3－135.如图 23－3－14， AB 与 CD 相交于点 O， AC 与 BD 不平行，则∠ A＝________或∠ C＝________时，△ AOC∽△ DOB.图 23－3－146． ［教材例 3 变式］如图 23－3－15，已知四边形 ABCD 为平行四边形，点 E 在 BC 的延长线上， AE 与 CD 相交于点 F.求证：△ AFD∽△ EAB.2图 23－3－157．如图 23－3－16，已知∠1＝∠2，∠ C＝∠ E，则△ ABC 和△ ADE 相似吗？请说明理由．图 23－3－168．如图 23－3－17，在△ ABC 中， AB＝ AC， BD＝ CD， CE⊥ AB 于点 E.求证：△ ABD∽△ CBE.图 23－3－17知识点 2 仅有一对角相等的两个三角形不一定相似9．下列各组中的两个三角形，不相似的是( )A．有一个角为 100°的两个等腰三角形B．底角为 40°的两个等腰三角形C．有一个角为 30°的两个直角三角形D．有一个角为 30°的两个等腰三角形310．如图 23－3－18， CD 是 Rt△ ABC 斜边 AB 上的高，则图中的相似三角形有( )A．0 对 B．1 对 C．2 对 D．3 对图 23－3－1811．如图 23－3－19，在△ ABC 中，∠ ACB＝90°， CD⊥ AB， DE⊥ AC，则图中与△ ABC 相似的三角形有( )A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个图 23－3－1912．如图 23－3－20，矩形 ABCD 中，点 E， F 分别在边 AD， CD 上，且∠ BEF＝90°，则三角形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ中，一定相似的是________．图 23－3－2013．如图 23－3－21 所示， P 是 Rt△ ABC 的斜边 BC 上异于点 B， C 的一点，过点 P 作直线截△ ABC，使截得的三角形与△ ABC 相似，则满足这样条件的直线有________条．图 23－3－2114．如图 23－3－22，在△ ABC 中，∠ ABC＝80°，∠ BAC＝40°， AB 的垂直平分线分别与 AC， AB 交于点 D， E，连结 BD.求证：△ ABC∽△ BDC.4图 23－3－2215．如图 23－3－23，已知△ ABC， AE 交 BC 于点D，∠ C＝∠ E， AD∶ DE＝3∶5， AE＝8， BD＝4.(1)求证：△ ADC∽△ BDE；(2)求 DC 的长．图 23－3－2316．如图 23－3－24，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB＝90°， P 是边 AB 上一点，AD⊥ CP， BE⊥ CP，垂足分别为 D， E.已知 AB＝3 ， BC＝3 ， BE＝5.求 DE 的长. 6 5图 23－3－24517．如图 23－3－25，在△ PAB 中，∠ APB＝120°， M， N 是 AB 上的两点，且△ PMN 是等边三角形．求证： BM·PA＝ PN·BP.图 23－3－256教师详答1．A 2.B 3.D4．答案不唯一，如∠ ADE＝∠ C 或∠ AED＝∠ B5．∠ D ∠ B6．证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD∥ BE，∠ D＝∠ B，∴∠ DAE＝∠ E，∴△ AFD∽△ EAB.7．解：相似．理由：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠ DAC＝∠2＋∠ DAC，即∠ BAC＝∠ DAE.又∵∠ C＝∠ E，∴△ ABC∽△ ADE.8．证明：∵ AB＝ AC， BD＝ CD，∴ AD⊥ BC.∵ CE⊥ AB，∴∠ ADB＝∠ CEB＝90°.又∵∠ B＝∠ B，∴△ ABD∽△ CBE.9．D 10．D 11．D12．Ⅰ与Ⅲ 13． 3 14．证明：∵ DE 是 AB 的垂直平分线，∴ AD＝ BD.∵∠ BAC＝40°，∴∠ ABD＝40°.∵∠ ABC＝80°，∴∠ DBC＝40°，∴∠ DBC＝∠ BAC.又∵∠ C＝∠ C，∴△ ABC∽△ BDC.15．[全品导学号：15572124]解：(1)证明：∵∠ C＝∠ E，∠ ADC＝∠ BDE，∴△ ADC∽△ BDE.(2)∵△ ADC∽△ BDE，∴ ＝ .DCDE ADBD又∵ AD∶ DE＝3∶5， AE＝8，∴ AD＝3， DE＝5.∵ BD＝4，∴ ＝ ，DC5 34∴ DC＝ .15416．[全品导学号：15572125]解：∵∠ ACB＝90°， AB＝3 ， BC＝3 ，6 5∴ CA＝3，同理可求 CE＝2 .5∵ AD⊥ CP，∴∠ DAC＋∠ ACD＝90°.∵∠ ACD＋∠ ECB＝90°，7∴∠ DAC＝∠ ECB.又∵∠ ADC＝∠ CEB＝90°， ∴△ ACD∽△ CBE，∴ CA∶ BC＝ CD∶ BE，∴3∶3 ＝ CD∶5，∴ CD＝ ，5 5∴ DE＝2 － ＝ .5 5 517．证明：∵△ PMN 为等边三角形，∴∠ PMN＝∠ PNM＝∠ MPN＝60°，∴∠ BMP＝∠ PNA＝120°.∵∠ APB＝120°，∴∠ BPM＋∠ APN＝60°.在△ BMP 中，∠ B＋∠ BPM＝60°，∴∠ B＝∠ APN，∴△ BMP∽△ PNA，∴ ＝ ，BMPN BPPA∴ BM·PA＝ PN·BP.123.3.2 第 2 课时 相似三角形的判定定理知识点 1 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似1．如图 23－3－26，若 ＝________，则△ AEF∽△ ABC，理由是___________________AEAB图 23－3－262．如图 23－3－27，已知∠1＝∠2，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ ABC∽△ADE 的是( )A. ＝ B. ＝ABAD BCDE ABAD ACAEC．∠ B＝∠ ADE D． ∠ C＝∠ E图 23－3－273．在△ ABC 和△ A′ B′ C′中，∠ C＝∠ C′＝90°， AC＝12， BC＝15， A′ C′＝8，则当 B′ C′＝________时，△ ABC∽△ A′ B′ C′.4．如图 23－3－28，△ ABC 中，点 D， E 分别在边 AB， AC 上．若AE＝2， AB＝5， AD＝4， AC＝10，则△ ABC 与△ AED 相似吗？请说明理由．图 23－3－285．如图 23－3－29， AE 与 BD 相交于点 C， AB＝4， BC＝2， AC＝3， DC＝6， CE＝4，试问：(1)△ ABC 与△ DEC 是否相似？为什么？(2)求 DE 的长．2图 23－3－29知识点 2 三边成比例的两个三角形相似6．已知 AB ＝12 cm， AC＝15 cm， BC＝21 cm， A1B1＝16 cm， B1C1＝28 cm，当A1C1＝________ cm 时，△ ABC∽△ A1B1C1.7．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为 1， ， ，乙三角形木框2 5的三边长分别为 ， ，5，则甲、乙两个三角形( )5 10A．一定相似 B．一定不相似C．不一定相似 D．无法判断8．图 23－3－30 中的两个三角形是否相似？为什么？图 23－3－309． ［2017·枣庄］如图 23－3－31，在△ ABC 中，∠ A＝78°， AB＝4， AC＝6，将△ ABC沿图 23－3－32 中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )图 23－3－31图 23－3－3210．如图 23－3－33，点 P 在△ ABC 的边 AC 上，要判定△ ABP∽△ ACB，添加一个条件，不正确的是( )A．∠ ABP＝∠ C B．∠ APB＝∠ ABCC. ＝ D. ＝APAB ABAC ABBP ACCB3图 23－3－3311．下列条件中，能判定△ ABC 与△ DEF 相似的有( )①∠ A＝45°， AB＝12， AC＝15，∠ D＝45°，DE＝16， DF＝40；② AB＝12， BC＝15， AC＝24， DE＝20， EF＝25， DF＝40；③∠ A＝50°，AB＝15， AC＝20，∠ E＝50°， DE＝28， EF＝21.A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个12．如图 23－3－34，在△ ABC 中， D 是边 AC 上一点，连结 BD，给出下列条件：①∠ ACB＝∠ ABD；② AB2＝ AD·AC；③ AD·BC＝ AB·BD；④ AB·BC＝ AC·BD.其中单独能够判定△ ABC∽△ ADB 的是( )A．①② B．①②③C．①②④ D．①②③④图 23－3－3413．如图 23－3－35，在△ ABC 中，点 D， E 分别在边 AB， AC 上，∠ AED＝∠ B，射线 AG分别交线段 DE， BC 于点 F， G，且 ＝ .ADAC DFCG(1)求证：△ ADF∽△ ACG；(2)若 ＝ ，求 的值．ADAC 12 AFFG图 23－3－3514．如图 23－3－36，网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ ACB 和△ DCE 的顶点都在格点上， ED 的延长线交 AB 于点 F.求证：(1)△ ACB∽△ DCE；(2)EF⊥ AB.4图 23－3－3615．如图 23－3－37，已知 AB⊥ BD， CD⊥ BD，垂足分别为 B， D.(1)若 AB＝9， CD＝4， BD＝10，请问在 BD 上是否存在点 P，使以 P， A， B 三点为顶点的三角形与以 P， C， D 三点为顶点的三角形相似？若存在，求出 BP 的长；若不存在，请说明理由．(2)若 AB＝9， CD＝4， BD＝12，请问在 BD 上存在多少个点 P，使以 P， A， B 三点为顶点的三角形与以 P， C， D 三点为顶点的三角形相似？并求出 BP 的长．图 23－3－375教师详答1. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似AFAC2． A3．10 [解析] 由 ＝ 得 ＝ ，解得 B′ C′＝10.ACA′ C′ BCB′ C′ 128 15B′ C′4．解：相似．理由：∵ ＝ ， ＝ ＝ ，AEAB 25 ADAC 410 25∴ ＝ .AEAB ADAC又∵∠ A＝∠ A，∴△ ABC∽△ AED.5．解：(1)相似．理由：∵ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，BCEC 24 12 ACDC 36 12∴ ＝ .BCEC ACDC又∵∠ ACB＝∠ DCE，∴△ ABC∽△ DEC.(2)∵△ DEC∽△ ABC，∴ ＝ ＝ ＝2，DEAB DCAC 63∴ DE＝2 AB＝8.6．20 7. A8．解：相似．理由：∵ ＝ ＝ ＝ ，ACDF BCEF ABDE 53∴△ ABC∽△ DEF.9．C 10．D [解析] A．当∠ ABP＝∠ C 时，又∵∠ A＝∠ A，∴△ ABP∽△ ACB；B．当∠ APB＝∠ ABC 时，又∵∠ A＝∠ A，∴△ ABP∽△ ACB；C．当 ＝ 时，APAB ABAC又∵∠ A＝∠ A，∴△ ABP∽△ ACB；D．无法得到△ ABP∽△ ACB.故选 D.11． C 12． A 14．证明：(1)∵ AC＝3， DC＝2， BC＝6， EC＝4，∴ ＝ ， ＝ ＝ ，∴ ＝ .ACDC 32 BCEC 64 32 ACDC BCEC又∵∠ BCA＝∠ ECD＝90°，6∴△ ACB∽△ DCE.(2)∵△ ACB∽△ DCE，∴∠ B＝∠ E.∵∠ B＋∠ A＝90°，∴∠ E＋∠ A＝90，∴∠ AFE＝90°，∴ EF⊥ AB.15． (1)存在．设 BP＝ x，则 PD＝10－ x.∵∠ B＝∠ D，∴当 ＝ 时，△ ABP∽△ PDC，ABPD PBCD即 ＝ ，910－ x x4整理得 x2－10 x＋36＝0，此方程没有实数根；当 ＝ 时，△ ABP∽△ CDP，ABCD PBPD即 ＝ ，解得 x＝ ，94 x10－ x 9013即 BP 的长为 .9013(2)存在 2 个符合题意的点 P.设 BP＝ y，则 PD＝12－ y.∵∠ B＝∠ D，∴当 ＝ 时，△ ABP∽△ PDC，ABPD PBCD即 ＝ ，912－ y y4整理得 y2－12 y＋36＝0，解得 y1＝ y2＝6；当 ＝ 时，△ ABP∽△ CDP，ABCD PBPD即 ＝ ，解得 y＝ ，94 y12－ y 10813即 BP 的长为 6 或 .10813123.3.4 相似三角形的应用知识点 1 利用三角形相似测量宽度1．如图 23－3－47，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点 A，在近岸取点B， C， D，使得 AB⊥ BC， DC⊥ BC，点 E 在 BC 上，并且点 A， E， D 在同一条直线上．若测得BE＝20 m， EC＝10 m， DC＝20 m，则河的宽度 AB 等于( )A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m图 23－3－472. 如图 23－3－48 是一个折叠小板凳的左视图，图中有两个等腰三角形框架，其中一个三角形框架的腰长为 4，底边长为 6，另一个三角形框架的腰长为 2，则相应的底边长为________．图 23－3－483. 如图 23－3－49，测量小玻璃管口径的量具 ABC 上， AB 的长为 10 毫米， AC 被分为60 等份．如果小管口中 DE 正好对着量具上 30 份处( DE∥ AB)，那么小管口径 DE 的长是__________毫米．图 23－3－494．如图 23－3－50，小明设计了两个直角三角形来测量河宽 DE，他量得 AD＝20 m， BD＝15 m， CE＝45 m，求河宽 DE.图 23－3－50知识点 2 利用三角形相似测量高度5． ［2016·深圳］模拟在同一时刻，身高 1.6 米的小丽在阳光下的影长为 2.5 米，一棵2大树的影长为 5 米，则这棵树的高度为( )A．1.5 米 B．2.3 米 C．3.2 米 D．7.8 米6．如图 23－3－51 是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体 AB 的高度为 36 cm，那么它在暗盒中所成的像 CD 的高度应为________cm. 图 23－3－517． ［2017·吉林］如图 23－3－52，某数学活动小组为了测量学校旗杆 AB 的高度，使用长为 2 m 的竹竿 CD 作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面 O 处重合，测得 OD＝4 m， BD＝14 m，则旗杆 AB 的高为________m.图 23－3－528．如图 23－3－53，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB，他调整自己的位置，设法使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上．已知纸板的两条直角边 DE＝40 cm， EF＝20 cm，测得边 DF 离地面的高度 AC＝1.5 m， CD＝8 m，则树高AB＝________m.图 23－3－539．如图 23－3－54 所示(示意图)，铁道口的栏杆短臂长 1 米，长臂长 16 米，当短臂端点下降 0.5 米时，长臂端点升高了几米？图 23－3－5410．如图 23－3－55，△ ABC 是一块锐角三角形的材料，边 BC＝120 mm，高 AD＝60 3mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB， AC 上，则这个正方形零件的边长是________ mm.图 23－3－5511．雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面 2 米远的一小块积水处，他看到旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为 20 米，该学生的眼睛离地面的距离为 1.5 米，那么旗杆的高度是多少？12． ［教材练习第 1 题变式］数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的高度，下午课外活动时她测得一根长为 1 m 的竹竿的影长是 0.8 m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图 23－3－56)，她先测得留在墙壁上的影高为 1.2 m，又测得地面上的影长为 2.6 m．请你帮她算一下树高是多少？图 23－3－5613．如图 23－3－57(示意图)，小华在晚上由路灯 C 的底部 A 走向路灯 D 的底部 B.当她走到点 P 时，发现她身后影子的顶部刚好接触到路灯 C 的底部 A 处；当她向前再步行 12 m到达点 Q 时，发现她身前影子的顶部刚好接触到路灯 D 的底部 B 处．已知小华的身高是 1.6 m，两个路灯的高度都是 9.6 m，且 AP＝ QB.4(1)求两个路灯之间的距离；(2)当小华走到 B 处时，她在路灯 C 下的影长是多少？图 23－3－5751．B 2. 33. 54．解：∵∠ CEA＝∠ BDA＝90°，∠ A＝∠ A，∴△ ABD∽△ ACE，∴ ＝ .ADAE BDCE∵ AD＝20 m， BD＝15 m， CE＝45 m，∴ ＝ ，解得 DE＝40(m)．2020＋ DE 1545答：河宽 DE 为 40 m.5．C6．16 7．9 8．5.59．解：设长臂端点升高了 x 米．根据题意，得 ＝ ，解得 x＝8.116 0.5x答：长臂端点升高了 8 米．10． 40 11．]解：∵ ＝ ，∴旗杆高度＝15(米)．旗 杆 高 度1.5 202答：旗杆的高度是 15 米．12 如图：设 BD 是 BC 在地面上的影子，树高为 x m，则 ＝ .CBBD 10.8∵ CB＝1.2，∴ BD＝0.96，∴树在地面上的实际影长是 0.96＋2.6＝3.56.由竹竿的高与其影长的比值和树高与其影长的比值相同，得 ＝ ，解得x3.56 10.8x＝4.45，∴树高是 4.45 m.13．解：(1)∵ PM∥ BD，∴△ APM∽△ ABD，∴ ＝ ，即 ＝ ＝ ，APAB PMBD APAB 1.69.6 16∴ AP＝ AB.16∵ AP＝ QB，6∴ QB＝ AB，16而 AP＋ PQ＋ QB＝ AB，∴ AB＋12＋ AB＝ AB，∴ AB＝18.16 16答：两个路灯之间的距离为 18 m.(2)如图，设她在路灯 C 下的影子为 BE.∵ BF∥ AC，∴△ EBF∽△ EAC，∴ ＝ ，BEAE BFAC即 ＝ ＝ ，BEBE＋ 18 1.69.6 16解得 BE＝3.6.答：当小华走到 B 处时，她在路灯 C 下的影长是 3.6 m.123.5 位似图形知识点 1 位似图形1．位似图形的位似中心可以在( )A．原图形外 B．原图形内C．原图形的边上 D．以上三种都有可能2．下列说法正确的是( )A．相似图形一定是位似图形B．位似图形一定是相似图形C．全等的图形一定是位似图形D．位似图形一定是全等图形3．下列图形中，不是位似图形的是( )图 23－5－1知识点 2 位似图形的性质4．如果两个多边形是位似图形，它们的相似比为 2∶5，那么这两个多边形的周长之比是______________，面积之比是________．5． ［2017·绥化］如图 23－5－2，△ A′ B′ C′是由△ ABC以点 O为位似中心经过位似变换得到的，若△ A′ B′ C′的面积与△ ABC的面积比是 4∶9，则 OB′∶ OB等于( )A. 2∶3 B．3∶2 C．4∶5 D．4∶9图 23－5－26．如图 23－5－3 所示，矩形 ABCD中， AB＝9， BC＝6，若矩形 AEFG与矩形 ABCD位似，且相似比为 ，则点 C， F之间的距离为( )23A. B．2 13 13C. 3 D．1213图 23－5－3知识点 3 位似图形的相关作图7．如图 23－5－4，已知△ EFH和△ MNK是位似图形，那么其位似中心是( )2图 23－5－4A．点 A B．点 B C．点 C D．点 D8．如图 23－5－5 所示，在下列由作位似图形的方法得到的图形中，其相似比为 2的是( )图 23－5－59．如图 23－5－6，以点 O为位似中心，将△ ABC放大，使新图形与原图形的相似比为2∶1.图 23－5－610．如图 23－5－7，△ DEF是由△ ABC经过位似变换得到的，位似中心是点 O，请确定点 O的位置，如果 OC＝3.6 cm， OF＝2.4 cm，求出它们的相似比．图 23－5－711．如图 23－5－8 所示，在平面直角坐标系中，有两点 A(4，2)， B(3，0)，以原点为位似中心， A′ B′与 AB的相似比为 ，得到线段 A′ B′.正确的画法是( )123图 23－5－812．如图 23－5－9，以点 O为位似中心，将边长为 256的正方形 OABC依次作位似变换，经第一次变换后得正方形 OA1B1C1，其边长 OA1缩小为 OA的 ，经第二次变换后得正方形12OA2B2C2，其边长 OA2缩小为 OA1的 ，经第三次变换后得正方形 OA3B3C3，其边长 OA3缩小为12OA2的 ，…，依此规律，经第 n次变换后，所得正方形 OAnBnCn的边长为正方形 OABC边长的12倒数，则 n＝________．图 23－5－913． ［教材习题 23.5第 2题变式］ ［2017·天等县一模］如图 23－5－10，在 6×8的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 O和△ ABC的顶点均在小正方形的顶点上．(1)在△ ABC的内部作△ A′ B′ C′，使△ A′ B′ C′和△ ABC位似，且位似中心为点 O，相似比为 1∶2；(2)连结(1)中的 AA′，则线段 AA′的长度是________．图 23－5－1014．印刷一张矩形的广告 ABCD，如图 23－5－11 所示，它的印刷面积(四边形A′ B′ C′ D′)是 32 cm2，上、下空白各 1 cm，左、右空白各 0.5 cm，设印刷部分从上到下( A′ B′)的长是 x cm.4(1)当要求四周空白处的面积为 18 cm2时，求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少；(2)在(1)的条件下，内外两个矩形是位似图形吗？请说明理由．图 23－5－1115．如图 23－5－12，用下面的方法可以画△ AOB的内接等边三角形，阅读后证明相应问题．画法：①在△ AOB内画等边三角形 CDE，使点 C在 OA上，点 D在 OB上；②连结 OE并延长，交 AB于点 E′，过点 E′作 E′ C′∥ EC，交 OA于点 C′，作 E′ D′∥ ED，交 OB于点D′；③连结 C′ D′.则△ C′ D′ E′是△ AOB的内接三角形．求证：△ C′ D′ E′是等边三角形．图 23－5－1251．D2．B 3．D 4．2∶5 4∶255．A6．A 7．B 8．B9．略 10．解：连结 AD， CF交于点 O，则点 O即为所求．∵ OC＝3.6 cm， OF＝2.4 cm，∴ OC∶ OF＝3∶2，∴△ ABC与△ DEF的相似比为 3∶2.11．D12．16 13．解：(1)如图，△ A′ B′ C′即为所作．(2) 514． (1)由题意得2×x×0.5＋2× ×1＋4×1×0.5＝18.32x∵ x≠0，∴ x2－16 x＋64＝0，∴( x－8) 2＝0，∴ x＝8(负值已舍去)．经检验 x＝8 符合题意．∴ x＋2＝10， ＋1＝5.32x答：用来印刷这张广告的纸张的长是 10 cm，宽是 5 cm.(2)是位似图形．理由：∵外面矩形的长与宽之比为 ＝2，里面矩形的长与宽之比为105＝2，故两图形相似，且知四对对应顶点的连线都经过同一点，∴内外两个矩形是位似图84形．15．证明：由题意知△ OEC∽△ OE′ C′，△ ODE∽△ OD′ E′，6∴ ＝ ＝ ＝ ＝ .OCOC′ OEOE′ CEC′ E′ DED′ E′ ODOD′∵ ＝ ，∠ COD＝∠ C′ OD′，OCOC′ ODOD′∴△ COD∽△ C′ OD′，∴ ＝ ，OCOC′ CDC′ D′∴ ＝ ＝ ，CEC′ E′ DED′ E′ CDC′ D′∴△ CDE∽△ C′ D′ E′.∵△ CDE是等边三角形，∴△ C′ D′ E′是等边三角形．