1、课时分层训练(十一) 函数与方程A 组 基础达标一、选择题1若函数 f(x) ax b 有一个零点是 2，那么函数 g(x) bx2 ax 的零点是( )A0,2 B0，12C0， D2，12 12C 由题意知 2a b0，即 b2 a.令 g(x) bx2 ax0，得 x0 或 x .ab 122已知函数 y f(x)的图像是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x 1 2 3 4 5 6y 124.4 33 74 24.5 36.7 123.6则函数 y f(x)在区间1,6上的零点至少有( )A2 个 B3 个C4 个 D5 个B 由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数 f(x)在区间
2、(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有零点，所以 y f(x)在1,6上至少有 3 个零点故选 B.3(2017广东揭阳一模)曲线 y 与 y x 的交点横坐标所在区间为( ) (13)x 【导学号：79140063】A. B.(0，13) (13， 12)C. D.(12， 23) (23， 1)4已知三个函数 f(x)2 x x， g(x) x2， h(x)log 2x x 的零点依次为 a， b， c，则( )A a b c B a c bC b a c D c a bB 由于 f(1) 1 0， f(0)10，且 f(x)为 R 上的增函数，故 f(x)12 122 x x 的零点
3、a(1,0)因为 g(x)是 R 上的增函数， g(2)0，所以 g(x)的零点 b2.因为 h 1 0， h(1)10，且 h(x)为(0，)上的增函数，所以(12) 12 12h(x)的零点 c ，因此 a c b.(12， 1)5(2018合肥第一次质检)从2,2中随机选取一个实数 a，则函数 f(x)4 x a2x1 1 有零点的概率是( )A. B.14 13C. D.12 23A 函数 f(x)有零点，即 f(x)4 x2 a2x10 有解，则2a2 x 2， a1，当且仅当 x0 时，等号成立所求概率为 ，故选 A.12x 2 12 2 14二、填空题6已知关于 x 的方程 x2
4、 mx60 的一个根比 2 大，另一个根比 2 小，则实数 m 的取值范围是_(，1) 设函数 f(x) x2 mx6，则根据条件有 f(2)0，即 42 m60，解得 m1.7函数 f(x)Error!的零点所构成的集合为_2，e 由 f(x)0 得Error!或 Error!解得 x2 或 xe.8若函数 f(x)|2 x2| b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是_. 【导学号：79140064】(0,2) 由 f(x)|2 x2| b0 得|2 x2| b.在同一平面直角坐标系中画出 y|2 x2|与 y b 的图像，如图所示，则当 0b2 时，两函数图像有两个交点，从而函数 f(x
5、)|2 x2| b 有两个零点三、解答题9已知函数 f(x) x3 x2 .证明：存在 x0 ，使 f(x0) x0.x2 14 (0， 12)证明 令 g(x) f(x) x. g(0) ， g f ，14 (12) (12) 12 18 g(0)g 0.(12)又函数 g(x)在 上连续，0，12存在 x0 ，使 g(x0)0，(0，12)即 f(x0) x0.10设函数 f(x) (x0)|11x|(1)作出函数 f(x)的图像；(2)当 0 a b，且 f(a) f(b)时，求 的值；1a 1b(3)若方程 f(x) m 有两个不相等的正根，求 m 的取值范围解 (1)如图所示(2)因
6、为 f(x) |11x|故 f(x)在(0,1上是减函数，而在(1，)上是增函数，由 0 a b 且 f(a) f(b)，得 0 a1 b，且 11 ，所以 2.1a 1b 1a 1b(3)由函数 f(x)的图像可知，当 0 m1 时，方程 f(x) m 有两个不相等的正根B 组 能力提升11已知 f(x)是奇函数且是 R 上的单调函数，若函数 y f(2x21) f( x)只有一个零点，则实数 的值是( )A. B.14 18C D78 38C 令 y f(2x21) f( x)0，则 f(2x21) f( x) f(x )，因为f(x)是 R 上的单调函数，所以 2x21 x 只有一个实根
7、，即 2x2 x1 0只有一个实根，则 18(1 )0，解得 .故选 C.7812(2018杭州质检)设方程 xln( ax)(a0，e 为自然对数的底数)，则( )A当 a0 时，方程没有实数根B当 0 ae 时，方程有一个实数根C当 ae 时，方程有三个实数根D当 ae 时，方程有两个实数根D 由 xln( ax)得 ex ax，则函数 ye x， y ax 图像的交点个数是原方程根的个数当 a0 时，在第二象限有一个根，A 错误；设过原点的直线与 ye x相切的切点坐标为( x0，e )，则 ex0 ， x01，则切线斜率为 e，所以当 0 ae 时，方x0 程无根；当 ae 时，方程有
8、一个实数根；当 ae 时，方程有两个实数根，D 正确，故选 D.13已知函数 f(x)Error!若函数 g(x) f(x) m 有 3 个零点，则实数 m 的取值范围是_(0,1) 函数 g(x) f(x) m 有 3 个零点，转化为 f(x) m0 的根有 3 个，进而转化为 y f(x)， y m 的交点有 3 个画出函数 y f(x)的图像，则直线 y m 与其有3 个公共点又抛物线顶点为(1,1)，由图可知实数 m 的取值范围是(0,1)14已知二次函数 f(x)的最小值为4，且关于 x 的不等式 f(x)0 的解集为x|1 x3， xR(1)求函数 f(x)的解析式；(2)求函数
9、g(x) 4ln x 的零点个数. f(x)x【导学号：79140065】解 (1) f(x)是二次函数，且关于 x 的不等式 f(x)0 的解集为x|1 x3， xR， f(x) a(x1)( x3) ax22 ax3 a，且 a0. f(x)min f(1)4 a4， a1.故函数 f(x)的解析式为 f(x) x22 x3.(2) g(x) 4ln x x 4ln x2( x0)， g( x)1 x2 2x 3x 3x 3x2 4x.(x 1)(x 3)x2令 g( x)0，得 x11， x23.当 x 变化时， g( x)， g(x)的取值变化情况如下：x (0,1) 1 (1,3) 3 (3，)g( x) 0 0 g(x) 极大值 极小值 所以当 0 x3 时， g(x) g(1)40.又因为 g(x)在(3，)上单调递增，且 g(3)0， g(e3)0，所以 g(x)在(3，)上只有 1 个零点故 g(x)在(0，)上仅有 1 个零点
