1、图形的变换与四边形教学准备一. 教学目标：1、掌握平移、旋转、对称的性质，灵活地运用平移、旋转、对称解决生活中的问题。2、 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形的定义、判定、性质，利用这些特殊四边形进行综合计算和证明。二. 教学重点与难点：特殊四边形的综合应用三. 知识要点：知识点 1：图形的变换与镶嵌知识点 2：四边形的定义、判定及性质知识点 3：矩形、菱形及正方形的判定知识点 4：矩形、菱形及正方形的性质知识点 5：梯形的判定及性质例题精讲例 1. 如图，四个图形中，对称轴条数最多的一个图形是（ ）【评析】本题所考查的是对称轴的概念应对给出的图形认真分析从题目中所给的四个图形来看，图A
2、 有 2 条对称轴；图 B 有 4 条对称轴；图 C 不是轴对称图形，它没有对称轴；图 D 只有一条对称轴，所以图B 的对称轴条数最多例 2. 如图是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在坐标系上将该图形绕原点顺时针依次旋转 90、180、270，并画出它在各象限内的图形，你会得到一个美丽的平面图形，你来试一试吧！但是涂阴影时要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果【分析】先确定每个三角形的顶点绕原点顺时针依次旋转 90、180、270后的位置，然后连线，涂上相应的阴影即可【解析】所画的图形如图所示例 3. 在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能
3、发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在平面几何里叫做平面镶嵌） 这显然与正多边形的内角大小有关当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360）时，就拼成了一个平面图形（1）请根据图，填写下表中的空格：正多边形边数 3 4 5 6 n正多边形每个内角的度数60 90 108 120（2）如果限定用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再从其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形；并探究这
4、两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由【解析】 （1） （2）正三角形、正四边形（或正方形） 、正六边形 （3）如：正方形和正n180)(八边形如图设在一个顶点周围有 n 个正方形的角，n 个正八边形的角，则 m、n应是方程 m90n135360的正整数解即 2m3n8 的正整数解，这个方程的正整数解只有 一组，又如正三角形和正十二边形，同样可求出利用一个正三角形，两个正十二边形也可以镶嵌2n成平面图形，所以符合条件的图形有 2 种例 4. 如图，在 ABCD 中，E 为 CD 的中点，连结 AE 并延长交 BC 的延长线于点 F，求证：S ABF S 平行四边形ABCD. 【
5、解析】四边形 ABCD 为平行四边形，ADBC E 是 DC 的中点，DECEAEDFEC S AED S FEC S ABF S 四边形 ABCES CEF S 四边形 ABCES AED S 平行四边形 ABCD 例 5. 如图，在 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E、F是对角线 AC 上的两点，当 E、F 满足下列哪个条件时，四边形 DEBF 不一定是平行四边形（ ）A. OEOF B. DEBF C. ADECBF D. ABECDF【分析】虽然判别平行四边形可从“边、角、对角线”三个角度来考虑，但此例图中已有对角线，所以最适当的方法应是“对角线互相平分的四边形为平行四
6、边形” 例 6. 如图，在 ABCD 中，已知对角线 AC 和 BD 相交于点 O，AOB的周长为 15，AB6，那么对角线ACBD_【分析】本例解题依据是：平行四边形的对角线互相平分，先求出 AOBO9，再求得 ACBD18 例 7. 如图，在 RtABC 中，ACB90，BAC60，DE垂直平分 BC，垂足为 D，交 AB 于点 E，又点F 在 DE 的延长线上，且 AFCE求证：四边形 ACEF 为菱形【分析】欲证四边形 ACEF 为菱形，可先证四边形 ACEF 为平行四边形，然后再证 ACEF 为菱形，当然，也可证四条边相等，直接证四边形为菱形例 8. 如图，在 ABCD 中，E、F
7、分别为边 AB、CD 的中点，BD 是对角线，AGDB 交 CB 的延长线于 G（1）求证：ADECBF；（2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形 AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论【解析】 （1）四边形 ABCD 是平行四边形1C，ADCB，ABCD. 点 E、F 分别是 AB、CD 的中点，AE AB，CF CD. 2AECFADECBF（2）当四边形 BEDF 是菱形时，四边形 AGBD 是矩形四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC. AGBD，四边形 AGBD 是平行四边形四边形 BEDF 是菱形，DEBEAEBE，AEBEDE12，34. 1234180，22231802
8、390即ADB90，四边形 AGBD 是矩形例 9. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB3 ，BC6，沿 EF 折叠后，点 C 落在 AB 边上的点 P 处，点 D 落在点 Q 处，AD 与 PQ 相交于点 H，BPE30（1）求 BE、QF 的长 （ 2） 求四边形 PEFH 的面积【分析】折叠型试题是近年中考试题的热点，要想解好此类题，考生必须有想像力，抓住折叠的角与边不发生变化，必要时需要考生剪一个四边形实际折叠一下帮助理解例 10. 如图，梯形 ABCD 中，ADBC，ABADDC，E 为底边 BC 的中点，且 DEAB，试判断ADE 的形状，并给出证明【解析】ADE 是等边三角形理
9、由如下：ABCD，梯形 ABCD 为等腰梯 形，BC. E 为 BC 的中点，BECE在ABE 和DCE 中， ABEDCE,ABDCEAEDE ADBC，DEAB， 四边形 ABED 为平行四边形ABDEABAD， ADAEDEADE 为等边三角形课后练习一、选择题1. 将叶片图案旋转 180后，得到的图形是（ ）2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）3. 下图是用 12 个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个图形中等腰梯形的上底长与下底长的比是（ ）A. 1：2 B. 2：1 C. 3：1 D. 1：34. 张明同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，在这四种瓷砖图案中，不能铺满地面的是（ ）5
10、. 如图，一块含有 30角的直角三角板 ABC，在水平桌面上绕点 C 按顺时针方向旋转到 ABC 的位置若 BC 的长为 15cm，那么顶点 A从开始到结束所经过的路径长为（ ）A. 10 cm B. 10 cm C. 15 cm D. 20 cm 36. 如图，ABAC，ADBC，ADBC，若用剪刀沿 AD 剪开，则最多能拼出不同形状的四边形的个数是（ ）A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 7. 如图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30到正方形 ABCD，图中阴影部分的面积为（ ）A. B. C. 1 D. 1233348. 将一矩形纸片按如图方式
11、折叠，BC、BD 为折痕，折叠后 AB 与 EB 在同一条直线上，则CBD 的度数（ ）A. 大于 90 B. 等于 90 C. 小于 90 D. 不能确定9. 如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AD2，AB3，BC6，沿 AE翻折梯形 ABCD，使点 B 落在 AD 的延长线上，记为 B，连结 BE 交 CD 于 F，则 的值为（ ）DCA. B. C. D. 134151610. 如图，梯形 ABCD 中，ABCD，对角线 AC、BD 相交于 O，下面四个结论：AOBCOD； AODBOC； ；S AOD S BOC ，其中结论始终正确的有（ DCBAS）A. 1 个 B. 2 个 C
12、 . 3 个 D. 4 个二、填空题1. 如图，四边形 ABCD 中，ABCD ，要使四边形 ABCD 为平行四边形，则应添加的条件是_（添加一个条件即可） 2. 如图，将边长为 8cm 的正方形 ABCD 的四边沿直线 l 向右滚动（不滑动） ，当正方形滚动两周时，正方形的顶点 A 所经过的路线的长是_cm3. 用两个全等的直角三角形拼下列图形：平行四边形；矩形；菱形；正方形；等腰三角形；等边三角形；一定可以拼成的是_（只填序号） 4. 如图，先将一矩形 ABCD 置于直角坐标系中，使点 A 与坐标系的原点重合，边 AB、AD 分别落在 x 轴、y轴上（如图所示） ，再将此矩形在坐标平面内按
13、逆时针方向绕原点旋转 30（如图所示） ，若AB4，BC3，则图和图中，点 B 的坐标为 _，点 C 的坐标为_5. 如图，在梯形 ABCD 中，DCB90，ABCD，AB25，BC24. 将该梯形折叠，点 A 恰好与点 D 重合，BE 为折痕，那么 AD 的长度为_三、解答题1. 在下图的方格纸中有一个 RtABC（A、B、C 三点均为格点） ，C90（1）请你画出将 RtABC 绕点 C 顺时针旋转 90后所得到的 RtABC. 其中 A、B 的对应点分别是A，B（不必写画法） ；（2）设（1）中 AB 的延长线与 AB相交于 D 点，方格纸中每一个小正方形的边长为 1，试求 BD 的长（
14、精确到 0.1） 2. 在 AB30m，AD20m 的矩形 ABCD 的花坛四周修筑小路（1）如果四周的小路的宽均相等，如图（1） ，那么小路四周所围成的矩形 ABCD和矩形 ABCD 相似吗？请说明理由（2）如果相对着的两条小路的宽均相等，如图（2） ，试问小路的宽 x 与 y 的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形 ABCD和矩形 ABCD 相似？请说明理由3. 如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABDCAD，ADC120求证：（1）BDDC；（2）若 AB4，求梯形 ABCD 的面积4. 如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABDC，B60，DEAB. 求证：（1）DEDC；（2
15、）DEC 是等边三角形5. 如图，在ABC 中，ACB90，AC2，BC3. D 是 BC 边上一点，直线 DEBC 于 D，交 AB 于E，CFAB 交直线 DF 于 F设 CDx（1）当 x 取何值时，四边形 EACF 是菱形？请说明理由；（2）当 x 取何值时，四边形 EACD 的面积等于 2？练习答案一、选择题1. D 2. A 3. A 4. C 5. D 6. D 7. C 8. B 9. A 10. B 二、填空题1. 答案不唯一，如 ABCD 等2. 16 1623. 4. B（4，0） ， （2 3，2） ，C（4，3） ， （ ）434,25. 30.三、解答题1. 解：（
16、1）方格纸中 RtABC 为所画的三角形 （2）由（1）得AA，又12，ABCABD， ，BCADBC1，AB2，AB ，221030,2BD即 BD 0.6，BD 的长约为 0.6102. 解：当 x0 时， 302,xABD故矩形 ABCD和矩形 ABCD 不相似 当 时，矩形 ABCD和矩形 ABCD 相似ABD所以 ，解得 302yx233. 证明：（1）由ADC120，可得CABC60，从而得到ADB30，BDDC. （2）12 34. 证明：（1）ADBC，DEAB，四边形 ABED 是平行四边形，DEAB，ABDC，DEDC （2）ADBC，ABDC，B60，CB60又DEDC，
17、DEC 是等边三角形5. 解：（1）ACB90，ACBC. 又DEBC，EFAC又AECF，四边形 EACF是平行四边形当 CFAC 时，四边形 ACFE 是菱形此时，CFAC2，BD3x，tanB ，EDBDtanB （3x） ，232DFEFED2 （3x） x在 RtCDF 中，CD 2DF 2CF 2，x 2（ x） 22 2，x （负值不合题意，舍去） ，613即当 x 时，四边形 ACFE 是菱形 613（2）由已知得，四边形 EACD 是直角梯形，S 梯形 EACD （4 x）x x22x12313依题意，得 x22x2，整理得，x 26x60. 解之，得 x13 ，x 23 13x3 BC3，x3 舍去，当 x3 时，梯形 EACD 的面积等于 2
