1、 数学专题突破 引“参”制动，以“静”求动 例谈抛物线中的动静转化策略 口陈晓燕 抛物线是我们最熟悉的它不仅在生活 中随处可见，而且作为数学知识的“抛物线”， 早在初中时就开始学习，那时它是代数部分 最基础的函数模型到了高中，抛物线又作为 圆锥曲线被学习，无论是图形还是方程，“抛 物线”都是圆锥曲线中形式上最简单的，并 且作为高中数学教材“解析几何”部分的“压 轴戏”，其题型新颖，解法灵活，综合性强，更 是同学们要重点学习的对象本文拟以“动静 转化策略”的视角，通过抛物线为载体的具 体例子，简要地谈谈对解析几何的一点理解 一、动定转化 在解析几何中，常常会遇到这样一类问 题：在一定的条件下所构
2、成的几何问题中，当 某些几何元素按一定的规律在确定的范围内 变化时，与它相关的某些几何元素或几何元 素的代数量(如点、线段、角、线段的和、积、 差、商等)保持不变我们称之为“定值问 题”，其主要特点是：图形的变化往往具有一 定的规律，题设中都包含着变动元素(可变化 运动的元素)和固定元素(不变量)定值问 题可以分为定量问题和定形问题：(1)定量 问题解决定量问题的关键在探求定值，一旦 定值被找出，就转化为熟悉的几何证明题了； (2)定形问题定形问题是指定直线、定角、 定向、定轨迹等问题在直角坐标平面上，定 点可对应于有序数对，定向直线可以看作斜 率一定的直线，实质上这些问题是轨迹问题， 圆锥曲
3、线的定义就是可看成是一种“范 例”一一“动点”的轨迹表示某类“确定”的曲 线解决这类问题需要使用“动静转化” 策略 所谓“动静转换”是问题解决的一种策 略，罗增儒教授在数学解题引论一书中是有 这样一段阐述：“在解决数学问题时，可以用动 的观点来处理静的数量和形状，如将常数看成 是变数的取值，将静止状态看成运动过程的瞬 间，即以动求静；也可用静的方法处理动的 事物，如用一个字母代替无限的变动的取值， 用一个函数表达或反映事物的相依关系，即 以静求动”在解析几何中这种“以一个字母 代替无限的变动的取值”称为“引参”，“引人参 数、以静求动”，例如：当点在曲线上运动时可 以用一个参数来表示点的坐标，
4、也就是通常所 说的“参数方程”；当曲线具有了某一“静”的属 性但又不能直接确定时(如直线过定点)，通常 引入一些参数，用参数来代替其他不确定的属 性(如设直线的斜率为志)，也就是通常所说的 “设方程”而对于“定值问题”则常常需要“以 静求动”，特别是以填空题的形式出现时，可以 用特殊值、特殊位置等探求变化之中的定值问 题，体现的是特殊与一般的转化思想，“定值问 题”也可能以解答题面目出现，这时还需要一 定的逻辑推理能力 二、以参制动 例1 如图1，在平面直角坐标系zOy 中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2，2)， 其焦点F在z轴上(1)求抛物线C的标准方 程；(2)求过点F，且与直线DA垂
5、直的直线 的方程；(3)设过点M(m，O)( O)的直线 交抛物线C于D，E两点， 一2DM，记D ， ， 一一 数学专题突破 ， 、 、 、一，、 和E两点间的距离为 -厂( )，求，( )关于 的表达式 分析本题的第 (1)、(2)两问考查直 线、抛物线中的基本知 识，同 ：f门能自己解 决，对于第(3)问，其中 动的元素很多，处理时 J 一 1 D 图1 要注意“以参制动”：首先，点M(m，0)中的 “m”表示大于0的一切实数，是“动”的，但由 于要求的是“厂(m)关于 的表达式”，只要将 m看成常数(“动”化“静”)求得D和E两点 间的距离即可，所以问题解决时首先要将“动 点M看成“定
6、点M”；其次，经过“定点M”的 “动直线”与抛物线的两交点肯定是“动”的， 但条件“ME一2DM”说明“两动点与定点M 之间的距离的比值是定值”，按照“以静制动” 的策略，：条件“A伍一2DM”的处理是本题的 关键 解答(1)抛物线 C的标准方程为 一 2z(2)直线的方程是 +一一10Y 十一一2一 (3)设D(等，s)， E(专， )，由点M(m， J 一 1 D 图2 o) 一2可 得丢t2- =2( 一等)， t一0一 0(Os)因此t一一2s， s2，所以， 厂(m)一DE一(2 s2)+(一2ss) 一 要 ( o) 评注1 解答中，条件“ME一2DM” 的处理采用的是“引进参数、
7、以静制动”，因为 D，E在抛物线上，所以分别用一个参数就可 以将它们表示，即设D( S2，s)，E(等， ) 再将已知条件“过点M(m，O)(m0)的直 线交抛物线C于D，E两点，且ME一2DM” 转化为向量等式：“商一2预 ”，进而得到 两个方程，将其中的 看成定值，参数s、t 就可以用m表示了，进而将D和E两点间的 距离用m表示本题中“动中有定”、“动定转 化”给人留下深刻印象 评注2 实际的考试中，学生更多地 采用如下解法： 设点D与E的坐标分别为(z ， 1)和 (z2， 2)，直线DE的方程是 k(xm)， ko，将38一孚+ 代人 一2x，有 一 2y-2kmO，解得yl,2一1J
8、 1+2rnkz 由M E一2D M，知1+12ink 2 2( 1+2mk 一1)，化简得k =兰，因此 DE。一( 一 )。+( 1一 ) 一(1+ 丢)( 一 z)。一(1+ 1) 丛 一 (m +4m)，所以厂(m)一 9JmZ4m ( 0) 比较两种解法，同样是“引人参数”，学生 常常只知道“设斜率”，引人一个参数，看似简 单，但在对条件“ME一2DM”处理时，却遇 到困难，可见用向量知识对该条件进行“翻 译”是本题解题优化的关健 。三、以静求动 例2 在平面直角坐标系xOy中，已知 抛物线 一2px上横坐标为4的点到该抛物 线的焦点的距离为5(1)求抛物线的标准方 程；(2)设点C
9、是抛物上的动点，若以点C为 圆心的圆在 轴上截得的弦长为4，求证：圆 一 爹 ：荸 ： 童 霎 埘 一 # 甩州 “， 数学专题突破 C过定点 分析(2)问中的“动”因很多，不仅C 是抛物线上的动点，而且圆C满足条件的只 有两个：“圆心在抛物线上”和“在y轴上截 得的弦长为4”，而圆必需三个独立条件才 能确定，所以圆C也是动的要研究圆C的 性质，必需了解圆C方程特征，本题可以通 过“引参来制“动”，设点c为(等， )，根据 已知条件得到圆C的方程，再进行动静 转化 解答(1)根据题意，抛物线y 一2px 的准线方程为 一 ，且 0因为抛物 线上横坐标为4的点到焦点的距离为5，所以 该点到准线z
10、=： 的距离也为5，所以户一 2故所求抛物线的标准方程为Y。一4x (2)因为点C在抛物线上，故可设点C 为( t2， )，所以点c到 轴的距离为 因 为圆C在y轴上截得的弦长为4，所以圆C的 半径r一(鲁) +2 一丢 ，所以 圆c的方程为(z一等) +( 一 )。= (丢 而) ，即 + 一譬z一2砂+ t。-40 接下来从“几何”和“代数”两个视角提 供两种解法： 解法1 因为圆C是动圆所以当t一 0时，圆C的方程为 。+ 一40，当t一 2，圆C的方程为z + 。一2 一4y一0 联立， +q-3 ?-24x一-n4y一。解 f 6 得x-2或一 l 一一5 把(2，O)代人圆C方程，
11、左边=2 + 0 一 22t0+t 一40一右边，方程 成立，所以圆C恒过定点(2，O)把 (一i6，i8)代入圆c的方程，得左边一i8 不恒为0，即随着 的变化而变化故点 (一i6，_誓_)可能不在圆c上所以圆C恒过 定点(2，O) 解法2将方程X。+ 一等 一2 + 一4一。整理为(1一号) 一 +( + 一 4)一0 (*) (*)式对任意实数t都成立的充要条件 1 1一要一0， 是： 2 。， ipx=2, 是：一2 一0， l + 240， 所以圆C恒过定点(2，0) 评注1 几何中的定值问题与一般几 何证明不同，它的结论中没有确定的定值对 象，所以探求定值成为首要任务解决这类问 题
12、时，要运用辩证的观点去思考分析，在“变” 中寻求“不变”例如，可用特殊值、特殊位置、 特殊图形等方法，先确定出定值，这样可确定 探索问题的方向，从而找到解决问题的突破 口【解法1】通过选取两个特殊的位置t一0、 一2，找到问题中的“定值”，再检验所求得 的“定值”是否对任意的情形也满足即可，体 现了“特殊一一般”的思想，这是处理“定值 问题”的常用方法 评注2 面对同样的等式“ 。+y。一 z一2 + 。一4一o”，【解法1】从特殊值的 视角切人，而【解法2】则体现了“数与形”的 完美结合，上式中含有三个字母，将其中可取 一切实数的t看成“变量”(动)，将z、 看成 “参数”(静)，上式就可看
13、成是“关于t的一元 ，一， 数学专题突破 一 、 一 二次方程”形式，由于其有无数解，上式不可 能是“二次”，只有当t。、t的系数及常数项均 f 一号一0， 为0才成立，即- n 所得“方程L lzz wy= _。 组的解”的几何意义就是“定点”的坐标其 实，这与“过定点的直线系”问题道理是一样 的，区别是一个是“二次”形式、一个是“一 次”形式，例如：对于动直线 ：(2k+1)x+(1 一k)y一30(尼R)，可变形为k(2x ) f2zv二=0。 +(z+ 一3)一0，由 Iz十Y一30 ：所以直线z恒过定点P(1，2) IYZ 笛卡儿创立解析几何，天才地将“静态” 的曲线置身于坐标系下，
14、从而曲线可以用其 上任意“动点”的横坐标与纵坐标之间关系 来刻画；并且对于平面内的任意动点，如果给 予一定的限制又可以生成“静态”的曲线，这 就是“解析法”即用“代数的方法来研究几何 问题”正如恩格斯所说：“数学中的转折点是 笛卡尔的变数有了变数，运动进入了数学，有 了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和 积分也就立刻成为必要了”这里的“变数”也 就是“参数”，“引人参数、动静转化”是对“解析 法”的一种解读，通过“引人参数、动静转化”， 我们可以架起“代数”和“几何”之间联系的桥 梁，将貌似复杂的解析几何“简单化” 1如图3，已知动圆过定点F(1，0)，且 与直线 ：=一1相切 F 一1
15、 D 1 z 图3 (1)求动圆的圆心轨迹C的方程； (2)是否存在直线l，使Z过点(0，1)，并 与轨迹C交于P、Q两点，且满足O芦 = O?若存在，求出直线z的方程；若不存在，说 明理由 2设 0，点A的坐标为(1，1)，点B在 抛物线y一 上运动，点Q满足B 一 Q ，经 过Q点与z轴垂直的直线交抛物线于点M，点P 满足( 一 A ，求点P的轨迹方程 J - l 一 一Q M 一 l O 1 j 户 图4 1(1)Y 一4x (2)由题可设直线的方程 为 k(y一1)(尼O) 由( 3 5“D z一4 -o由一 、V 一4 uu 16k 一16k0，得k1 1 设P(x1，Y1)，Q(z2，Y2)，则y1+Y24k， 器 1y24k 由 =0， =(m Y1)， ：( ， ； 2)，于是Xlz2+Y1Y20，即k ( 11)(Y21)+ # 1y20，(晟。+1)y1Y2一是 ( 1+yz)+k 一0，故 4k(k +1)-k 4忌+ 。：0，解得k一4(舍去0) 又k一一40，所以直线z存在，其方程为z+ 4 一40 2点P的轨迹方程为Y一2x1
