1、章末强化训练1直线 x2y2k 0 与直线 2x3yk0 的交点在圆 x2y 29 的外部，则 k 的取值范围为_解析：解方程组 得交点坐标为(4k，3k)，由( 4k) 2(3k) 29 解x 2y 2k 0，2x 3y k 0)得，k 或 k0)的焦点为 F，ABC 的顶点都在抛物线上，且满足 0，则 _FA FB FC 1kAB 1kAC 1kBC解析：设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，F ，(p2，0)由 ，得 y1y 2y 30.FA FB FC 因为 kAB ，所以 kAC ，k BC ，y2 y1x2 x1 2py1 y2 2py1 y3 2py
2、2 y3所以 0.1kAB 1kAC 1kBC y1 y22p y3 y12p y2 y32p答案：05已知圆 C 关于 y 轴对称，经过点 A(1，0)，且被 x 轴分成的两段弧长的比为 12，则圆 C 的标准方程为_ 解析：因为圆 C 关于 y 轴对称，所以圆 C 的圆心 C 在 y 轴上，可设 C(0，b) 设圆 C的半径为 r，则圆 C 的方程为 x2( yb) 2r 2.依题意，得 12 （ b）2 r2，|b| 12r ) r2 43，b 33，)于是，圆 C 的标准方程为 x2 .(y 33)2 43答案：x 2 (y33)2436以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值
3、为 1，则椭圆长轴的最小值为_解析：设 a，b，c 为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距长由题知，当三角形的高为b 时面积最大，所以 2cb1，bc1，2a2 2 2 (当且仅当 bc1 时取12 b2 c2 2bc 2等号) 答案：2 27设椭圆的左、右焦点分别为 F1、F 2，过 F1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为_解析：设椭圆方程为 1(a b0)，由 得 y2 F 1F ，即x2a2 y2b2 x2a2 y2b2 1，x c，) b4a2 2(2c )2，则 e 1.（a2 c2）2a2 2答案： 128已知圆 x2y 2x 6ym 0 和
4、直线 x2y30 交于 P，Q 两点，若 OPOQ(O为坐标原点)，则 m 的值为_解析：设 P(x1，y 1)，Q(x 2，y 2)，由 x 2y 3 0，x2 y2 x 6y m 0)得 5y220y12m0，则 y1 y2 4，y1y2 12 m5 ，)又 y1y2x 1x2 及 x12y 13 0 且 x22y 230，得 5y1y26( y1y 2)9，即 5649，12 m5解得 m3.答案：39抛物线 yx 2与直线 xy20 构成的封闭平面区域( 含边界)为 D，若曲线x22axy 24 ya 2 0 与 D 有公共点，则 a 的最小值为 _5125解析：曲线 x22ax y
5、24ya 2 0，即为(xa) 2( y2) 25125，其圆心坐标为 E(a，2) ，半径 r .4925 75作出抛物线 yx 2 与直线 x y20 如图所示，由图可知，当a0 时，存在 a 使圆与 D 有公共点；当 a0，b0)的右顶点作 x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线相x2a2 y2b2交于点 A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为 _解析：设双曲线的右顶点为 B，则 B(a，0) 不妨取渐近线 y x，则baA 点的坐标为(a，b) ，从而可知 OAc，由已知可得 OF AFc 4，所以OAF 为边长是 c 的等
6、边三角形又 ABOF ，所以OBa 2，AB b2 .故所求的双曲线方程为 1.3x24 y212答案： 1x24 y21211已知椭圆 E： 1(ab0) ，其焦点为 F1，F 2，离心率为 ，直线x2a2 y2b2 22l：x2y20 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B.(1)若点 A 是椭圆 E 的一个顶点，求椭圆的方程；(2)若线段 AB 上存在点 P 满足 PF1PF 22a，求 a 的取值范围解：(1)由椭圆的离心率为 ，得 a c，22 2由 A(2，0) ，得 a2，所以 c ，b ，2 2所以椭圆方程为 1.x24 y22(2)由 e ，设椭圆方程为 1，22 x2a2 2
7、y2a2联立 x2a2 2y2a2 1，x 2y 2 0)得 6y28y4a 20.若线段 AB 上存在点 P 满足 PF1PF 22a，则线段 AB 与椭圆 E 有公共点，等价于方程 6y28y4a 20 在 y 0，1上有解设 f(y)6y 28y 4a 2，所以 即 0，f（0） 0) a2 43，4 a2 0，)所以 a 24，43故 a 的取值范围是 a2.23312已知点 A(x1，y 1)，B(x 2， y2)(x1x20)，O 是坐标原点，P 是线段 AB 的中点，若 C是点 A 关于原点的对称点，Q 是线段 BC 的中点，且 OPOQ ，设圆 D 的方程为x2y 2( x1x
8、 2)x(y 1y 2)y 0.(1)证明：线段 AB 是圆 D 的直径；(2)若存在 p 使 2p(x1x 2)y y 8p 22y 1y2，当圆 D 的圆心到直线 x2y0 的距离21 2的最小值为 时，求 p 的值255解：(1)证明：由于点 P 的坐标为( ， )，点 A(x1，y 1)关于原点的对称点为x1 x22 y1 y22C( x 1，y 1)，那么点 Q 的坐标为( ， ) x1 x22 y1 y22由 OPOQ ，得 OP2OQ 2，即 ，(x1 x22 )2(y1 y22 )2( x1 x22 )2( y1 y22 )2得(x 1 x2)2(y 1y 2)2(x 1x 2
9、)2(y 1y 2)2，从而 x1x2y 1y20，由此得 OAOB.由方程 x2y 2(x 1 x2)x(y 1y 2)y0 知圆 D 过原点，故线段 AB 是圆 D 的直径(2)由 2p(x1x 2)y y 8p 22y 1y2，21 2得 x1x 2 (y1y 2)28p 212p又圆心 到直线 x2y 0 的距离 d(x1 x22 ，y1 y22 ) |x1 x22 （y1 y2）|5|14p（y1 y2）2 8p2 （y1 y2）|5 ，（y1 y2） 2p2 4p245p 4p245p 255从而得 p2.1已知圆 x2y 21 和直线 y2xb 交于 A，B 两点，且 OA，OB
10、 与 x 轴正方向所成的角分别为 ， ，则 sin() _解析：由 得 5x2 4bxb 210，设 A，B 两点坐标分别为 A(cos ，sin y 2x b，x2 y2 1) )，B(cos ，sin )，则 又cos cos 4b5，cos cos b2 15 ，) sin 2cos b，sin 2cos b，)则 sin() sin cos cos sin (2cos b)cos cos (2cos b) 4cos cos b(cos cos ) 4 b .b2 15 ( 4b5) 45答案：452已知椭圆 x2 1(00 时，椭圆离心率的取值范围为_解析：设 F、B、C 的坐标分别为
11、( c，0)、(0，b) 、(1，0) ，则 FC、BC 的中垂线分别为 x ，y ，联立方程，解得1 c2 b2 1b(x 12) x 1 c2 ，y b2 c2b .)于是 mn 0，即 bbcb 2c0，(1b)(bc)0，得 bc，从而1 c2 b2 c2bb2c2，即 a22c2，所以 e20，所以 00)，A 为抛物线上一点(A 不同于原点 O)，过焦点 F 作直线平行于 OA，交抛物线 C 于 P，Q 两点若过焦点 F 且垂直于 x 轴的直线交直线 OA 于 B，则 FPFQOA OB_解析：设 OA 所在的直线的斜率为 k，则由 得到 A ，易知y kx，y2 2px) (2p
12、k2，2pk)B ，P ，Q 的坐标由方程组 得到，消去 x 得 y 0，设 P(x1，y 1)，(p2，kp2) y k(x p2)y2 2px) ky22p kp2Q(x2，y 2)，由根与系数的关系得，y 1y2p 2，根据弦长公式， FPFQ |y1| 1 1k2|y2| |y1y2| p2，而 OAOB p2，1 1k2 (1 1k2) (1 1k2) (2pk2)2 (2pk)2 (p2)2 (kp2)2 (1 1k2)所以 FPFQ OAOB0.答案：04.如图，以 AB 为直径的圆有一内接梯形 ABCD，且 ABCD.若双曲线C1以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点，则当梯形
13、的周长最大时，双曲线的离心率为_解析：如图以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立坐标系，连结 AC.设双曲线方程为 1(a0 ，b0)，BAC，作 CE AB 于点 E，圆x2a2 y2b2的半径为 R，则 BC2Rsin ，EBBC cos(90) 2 Rsin2 .CD2R4Rsin 2 ，梯形的周长 lAB2BC CD2R 4Rsin 2R 4R sin2 4R 5R.(sin 12)2 当 sin ，即 30时， l 有最大值 5R，此时，BCR，AC R，a (ACBC)12 3 12 ( 1) R， cR，则 e 1.12 3 ca 3答案： 135.(2
14、018福建省质量检查)如图，设 P 是圆 O：x 2y 22 上的点，过 P 作直线 l 垂直 x 轴于点 Q，M 为 l 上的一点，且 .当点PQ 2MQ P 在圆上运动时，记点 M 的轨迹为曲线 .(1)求曲线 的方程；(2)某同学研究发现：若把三角板的直角顶点放置在圆 O 的圆周上，使其一条直角边过点 F(1，0) ，则三角板的另一条直角边所在直线与曲线 有且只有一个公共点你认为该同学的结论是否正确？若正确，请证明，若不正确，说明理由；(3)设直线 m 是圆 O 所在平面内的一条直线，过点 F(1，0) 作直线 m 的垂线，垂足为T，连结 OT，请根据“线段 OT 的长度”讨论“直线 m
15、 与曲线 的公共点个数” (直接写出结论，不必证明)解：(1)设 M(x，y )，P( xP，y P)，因为 PQ 垂直 x 轴于点 Q，M 为直线 l 上一点，且 ，所以 xPx，y P y，PQ 2MQ 2因为点 P 在圆 O：x 2y 22 上，所以 x y 2，2P 2P即 x2( y)22，整理得 y 21.2x22故曲线 的方程为 y 21.x22(2)正确证明：设三角板的直角顶点放置在圆 O 的圆周上的点 N(a，b)处，则a2b 22，设三角板的另一条直角边所在直线为 l.()当 a1 时，直线 NFx 轴，l：y 1，显然 l与曲线 有且只有一个公共点()当 a1 时，k N
16、F .ba 1若 b0 时，则直线 l：x ，显然 l与曲线 有且只有一个公共点；2若 b0，则直线 l的斜率 k .1 ab所以 l：yb (xa)，即 y x ，1 ab 1 ab 2 ab由 得 x2 x 0，即x22 y2 1，y 1 ab x 2 ab ) 12 (1 ab )2 2（1 a）（2 a）b2 (2 ab )2 1b22(1a) 2x24(1 a)(2a) x2(2a) 2b 20.(*)又 b22a 2，所以方程(*)可化为( a2) 2x24(1a)(2a)x 4(a1) 20，所以 4(1a)(2a) 216( a2) 2(a1) 20，所以直线 l与曲线 有且只
17、有一个公共点综上所述，该同学的结论正确(3)当 OT 时，直线 m 与曲线 没有公共点2当 OT 时，直线 m 与曲线 有且只有一个公共点2当 0b0)的y2a2 x2b2上、下焦点，其中 F1是抛物线 C2：x 24y 的焦点，点 M 是 C1与 C2在第二象限的交点，且MF1 .53(1)试求椭圆 C1的方程；(2)与圆 x2(y1) 21 相切的直线 l：yk(xt )(t0)交椭圆于 A、B 两点，若椭圆上一点 P 满足： (0) ，求实数 的取值范围OA OB OP 解：(1)由 C2：x 24y 知 F1(0，1)，c1.设 M(x0，y 0)(x00，所以 11，所以 024，(1t2)21t2所以 的取值范围为 (2，0) (0，2)
