1、第八章 空间解析几何与向量代数8.1 向量及其线性运算1.填空题（1）点 关于 面对称的点为（ ） ，关于 面对称的点),(xoy)1,(yoz为（ ） ，关于 面对称的点为（ ）. z（2）点 关于 轴对称的点为（ ） ，关于 轴对称的点为)2,(x)2,(y（ ） ，关于 轴对称的点为（ ） ，关于坐标原点对称的1,z1点为（ ）. )(2. 已知两点 和 ，计算向量 的模、方向余弦和,(1M),2(21M方向角. 解：因为 ，故 ，方向余弦为 ，)0,(21|212cos， ，方向角为 ， ， . coscos43. 在 平面上，求与 、 、 等距离的点. yz)1,(A)2,(B)3,
2、(C解：设该点为 ，则),0(z，222222 )3()(9)()1(4)1()(1 zyzyzy即 ，解得 ，则该 2222 )3()(9)()(4 点为 . 3,04. 求平行于向量 的单位向量的分解式. kjia432解：所求的向量有两个，一个与 同向，一个与 反向. 因为aa，所以 . 9)(| 22a )432(91kjie5.设 ， ，求向量 在各坐标轴kjimkjinnma上的投影及分向量. 解：因为 ， kjijijia 796)2()(4所以在 轴上的投影为 ，分向量为 ， 轴上的投影为x6xaxy，分向量为 ， 轴上的投影为 ，分向量为9y jy9zz. kaz76. 在
3、平面上，求与 、 和 等距离的点. yO)1,2(A)0,(B)1,(C解：设所求的点为 ，由 可得),0(zyP|CMBA，解之得 ， 故22222 )1()(1)(1zy 21y0z所求的点为 . 0,7. 已知点 且向量 在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影分别为)6,2(BAB，求点 的坐标. 1,4A解：设点 的坐标为 ，由题意可知),(zyx，则 ，即点 的坐标146,2,(yx 5,6,zyxA为 . )58.试用向量法证明：三角形各边依次以同比分之，则三个分点所成的三角形必与原三角形有相同的重心. 证明：若 、 、 是一个 的三),(1zyxA),(2zyxB),(3zyxCF
4、GH个顶点，设三角形的重心为 ，则E),(3)(31 321321321CE 设 的同比 之分点分别为 、 、 ，分点的坐标为ABnmFGH),( 212121 mnzynmxF, 323232G),( 131313nzynxH则三角形 的重心为F,()(31 1321 mxxmxG ), 1321321 nzznznyyny . ),(3321321321 zx所以三个分点所成的三角形必与原三角形有相同的重心. 8.2 数量积 向量积1.若 ，求 的模. 3),(4|,| baabac解： bac 23223|2 74cos419|1|9 所以 . 7|c2.已知 ，证明： . |ba0ba
5、证明：由 ，可得 ，可知| 22|，展开可得)()(ba，即 ，故 . ba2|2| 22 04ba3.已知 ，求 . 0|,18|,0| |解：因为 babababa 234102|)(|422所以 ，4 )(| |. 7823104.已知 ， ，求 与 的夹角及 在 上的投影. ),(a)3,(babab解： ，94， . 因为71649cos 7arcos，所以 . ajbaPr| 39rajb5.已知 , , 为单位向量，且满足 ，计算 . abc0cbaacba解：因为 ，所以)()(，22|2 c而 ，所以 . 1|2ba 3acba6.求与 都垂直的单位向量. kjikji3,解
6、： kjikjijibc 35712312312 而 ，所以 . 8)(5)7(| 2),(8ce7.设 ，试证 、 、 三)(,16, baCDbaBbaAABD点共线. 证明：只需证明 . /因为 ，所以 . baCD2)5(102 /8.已知 ， ，)3,1(ab),(m9,3c（1）确定 的值，使得 与 平行. mbac（2）确定 的值，使得 与 垂直. 解：（1）要使 与 平行，只需 ，因为0c)(ba，而)3,(，cba)( )9,0(932mmkji 所以当 时 与 平行. 1m（2）要使 与 垂直，只需 ，因为bac0)(cbaba，而)3,()(，所以当2437639,1 m
7、时， 与 垂直. 8mbac8.3 曲面及其方程1.填空题（1）将 xOz 坐标面上的抛物线 绕 轴旋转一周，所生成的旋转xz42曲面的方程为（ ） ，绕 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的yz2方程为（ ）. 224yxz（2）以点 为球心，且通过坐标原点的球面方程为（),3(）. 172()(2zyx（3）将 坐标面的圆 绕 轴旋转一周，所生成的旋转曲面O4yxx的方程为（ ）. 22zyx2.求与点 与点 之比为 的动点的轨迹，并注明它是什)1,(A),0(B2:1么曲面. 解：设动点为 ，由于 ，所以),(zyxP:|:PBA，解222222 )()0()1()1( zyxx之，可得 ，即
8、9463zzy，所以所求的动点的轨迹为以点0)()8()( 222x为心，半径为 的球面. 3,1353.求与点 和点 等距离的动点的轨迹. ),2()4,(解：设动点为 ，由题意知),(zyxP，222222 )4()()4(31)( zyxx整理得 . 0zy4. 写出下列曲面的名称，并画出相应的图形. （1） . 25962x解：该曲面为单叶双曲面. （2） . 22zy解：该曲面为双叶双曲面. （3） . 12542x解：该曲面为旋转椭球面. （4） . xy92解：该曲面为双曲柱面. （5） . z2解：该曲面为椭圆抛物面. （6） . 0)3()()1(4222zyx解：该曲面为椭
9、圆锥面.8.4 空间曲线及其方程1. 填空题（1）二元一次方程组 在平面解析几何中表示的图形是（两相3412xy交直线的交点 ） ；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，)5,(平行于 轴且过点 ）. z02（2）旋转抛物面 在 面上的投影为（)2(2zyxxOy） ，在 面上的投影为（ ） ，在 面上的投2zyxOzzz影为（ ）. 22.求球面 与平面 的交线在 面上的投影方程. 42zyx1zxxOy解：将 代入 ，得 ，因此z122 4)(22投影方程为 . 3022yx3.分别求母线平行于 轴、 轴及 轴且通过曲线 的xyz0242zyx柱面方程. 解：在 中消去 得 ，即为
10、母线平行于0242zyxx432zy轴且通过曲线的柱面方程. 在 中消去 得 ，即为母线平行于 轴22zyxy52zxy且通过曲线的柱面方程. 在 中消去 得 ，即为母线平行于 轴且0242zyxz82yxz通过曲线的柱面方程. 4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1） . 14)(22xyz解：将 代入 得 ，即)(22zy4)1(2zx. 令 ， ，所求的参数方程为14)2(2zxcosxsin .sin2co1zyx（2） . 492zx解：做变换 ，将其带入方程 ，即得 . sinco922zyx52y所以参数方程为 （ ）. si25zyx05.求螺旋线 在三个坐标面上的投影曲线
11、的直角坐标方程. 3incozyx解：螺旋线在 面上的投影为xO，直角坐标方程为 . 0sin2cozyx042zyx螺旋线在 面上的投影为Oz，直角坐标方程为 . 03sin2xzy03sin2xzy螺旋线在 面上的投影为O，直角坐标方程为 . 03cos2yz03cos2yz6.画出下列方程所表示的曲线：（1） . 16422zzx（2） . 1)2(2yx（3） . 46yz8.5 平面及其方程1. 填空题（1）一平面过点 且平行于向量 和 ，平面),1()1,2(a)1,0(b的点法式方程为（ ）,平面的一般方程为（04)(3zyx）,平面的截距式方程（ ）,平面的一023zyx 12
12、3zyx个单位法向量为（ ）. )1,3(（2）设直线 的方程为 ，当L02211DzCyBxA（ ）时，直线 过原点；当（ ）且（ 或021D1A01有一个成立）时，直线 平行于 轴但不与 轴相交；当（Lx）时，直线 与 轴相交；当（ ）时，21By 02121DC直线 与 轴重合. Lz2.求过三点 ， 和 的平面方程. ),()3,1(),0(解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为 131313222zyx1203zyx=0，即 . 124zyx 0735zyx3.求过点 且垂直于两平面 和 的平面),( 205zyx方程. 解：该平面的法向量为 ，平面的方程为kjikji 3752
13、1，即 . 0)(3)(7)1(zyx 05zyx4.求点 到平面 的距离. ,2yx解：点 到平面 的距离公式是),(00zPDCzByAx，因此点 到平面22|CBADyaxd)1,2(的距离为 . 01z 1|0| 22d5.求平面 与各坐标面的夹角的余弦. 52yx解：所给平面的法向量为 ，设该平面与 面、 面和)1,2(nxOyz面的夹角为 、 和 ，于是zOxzxy，zcos|nk 61)2(1|0，x|i)(|22. ycos|nj 61)(|01226.求过点 且在三个坐标轴上的截距相等的平面的方程. )5,4(解：设所求平面的方程为 ，由于点 在平面上，则ayx)5,41(，
14、 ，所求方程为 . 11a202zx7.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于 平面且经过点 ；yOz),3(（2）通过 轴和点 ；)1,2(（3）求平行于 轴，且经过两点 和 的平面方程. x)2,()1,04(解：（1） 平面的法向量是 ，可作为所求平面的法向量，yOzn因此所求平面的方程为 ，即 . 0)2()3(0)2(1 zyx 2x（2）所求平面的法向量即垂直于 轴又垂直于向量 ，所以所1,n求平面的法向量为 ，因此所求平面的方程为kiji2012，即 . )()(0)(1 zyx 0zx（3）由于所求平面平行于 轴，故设所求平面方程为 . x 0DCzBy将点 和 分别代入 得
15、及)2,()1,4(CzBy2，解得 及 . 因此所得方程为 ，0DCDzy即 . zy8.6 空间直线及其方程1. 填空题（1）直线 和平面 的关系是（平面与直线互42zyx42zx相垂直）. （2）过点 且与直线 平行的直线的方程是（)0,1( 313y）. 31zyx（3）直线 与直线 的夹角为（ ）. 1825326zyx2.化直线 为对称式方程和参数方程. zyx解：直线的方向向量为 . 取kjikjins 32121 ，代入直线方程可得 ， . 所以直线的对称式方程为10x0y0z. 322zy令 ，所给直线的参数方程为 . tx1tzytx3213.求过点 且与直线 垂直的平面方
16、程. )3,02(12574zyx解：直线的方向向量可作为所求平面的法向量，即. 21n)1,46(253kji所求平面的方程为 ，即0)3()0()(1zyx. 0146zyx4. 求直线 与直线 夹角的余弦.123012zyx解：因为两直线的方向向量为 ，kjikjin2431 ，设两直线的夹角为 ，则kjikjin23102 . 4215)2(34|1|cos22 5. 求点 在直线 上的投影. )5,1(P:Lzyx解：过 作垂直于已知直线 的平面 ，则其法向量 ，2)1,3(n于是平面的方程为 ，即 . 0)5(13)2(zyx 03zyx将已知直线的参数方程 代入 ，可得 ，tzt
17、3yx14t因此点 在直线 上的投影即为平面 与直线 的交点)5,12(PLL. 4,76. 求直线 在平面 上的投影直线:083zyx:12zyx的方程. 解：设所给直线 的平面束方程为 ，L 0)83(zz即，其中 为待定常数，要使该平08)1()3()2( zyx面与已知平面 垂直，则有 ，解得0)1(3(2，将其代入 ，可得34 8)( zyx，因此直线 在平面 上的投影直线方程为756zyxL. 1232756zyx7.确定 的值，使直线 与平面 平行，:L021zxy1:zyx并求直线 与平面 之间的距离. 解：直线 的方向向量 ，要使直线 与平面nkjiji10L平行，只要 （其
18、中 为平面 的法向量） ，即ss),(，解得 . 令 ，代入直线 的方程可得 ，0120xL10y，直线 与平面 之间的距离 . 0zL3)(1| 22d8.求通过直线 的两个互相垂直的平面，其中一个平021:zyx面平行于直线 . 2解：设平面束方程为 ，即0)2(1zyxzyx， . 2)()1()2( x n)1,(设平行于直线 的平面为 ，由12zyx1，可知 ，令 ，代入直线0)(1)2(0x的方程，可得 平面 的方程为 ，即L0zy12)(y. 设垂直于平面 的平面为 ，由x 12，可得 ，平面 的方程为)1(2)(42，即 . 0453zyx 06536zyx第八章 空间解析几何
19、与向量代数综合练习1.填空题：（1）已知 ， ，且 与 夹角为 ，则1|a2|bab3（ ）. |b3（2）若向量 ， 平行，则 （ ）. ),(),3(),()3,6(（3）已知向量 的模为 ，且与 轴的夹角为 ，与 y 轴的夹角为OM10x，与 z 轴的夹角为锐角，则 =（ ）. )05, (（4）曲线 (a、b 为常数) 在 xOy 平面上投影曲线是zyxsinco（ ）. 022x（5）xOy 平面上曲线 绕 x 轴旋转一周所得旋转曲面方程是 1642yx（ ）.)(422zyx（6）直线 与平面 的夹角 pznym111 0DCzByAx的正弦 （ ）. si 222（7）方程 所表
20、示的曲面名称为（双曲抛物面）. yzx2（8）与两直线 及 都平行，且过原点的tz112zyx平面方程是（ ）. 0yx（9）已知动点 到 平面的距离与点 到点 的距离相),(zPOP)2,1(等，则点 的轨迹方程为（ ）. P012)()1(2xzy（10）与两平面 和 等距离的平面方02zx3yx程为（ ）. y2. 设 ， ，求向量 ，使得 成立，这样的kiakjibcbca有多少个，求其中长度最短的 . c解：设 ，则),(zyx，则 ，因此这cakyjxziyxkji )(10 1,xz样的 ，有无穷个. ),(由于 ，因此，当 时，|c 23)1(1(22 xx 21x即 长度最短
21、. )2,(3. 已知点 和点 ，试在 轴上求一点 ，使得 的01A)2,(BxCAB面积最小. 解：设 ，则 ， ，)0,(xC)2,01(AB)0,1(xAC，故 的面积为kjixkjiAB)(01B，显然，当 时，1)(2|212xCS 1x的面积最小，为 ，所求点为 . AB50,4. 求曲线 在各坐标平面上的投影曲线方程. 224yxzz解：在 平面投影为 ；在 平面投影为O02zyOz；在 zOx 平面投影为 . 04322xyz 0432yx5.求原点关于平面 的对称点的坐标. :DCzBAx解：过原点作垂直于平面 的直线，该直线的方向向y量等于平面 的法向量 ，所求直线的对称式
22、方程为),(CBA，即 为其参数方程. 将此参数方程代入平面 ，有CzByAxtytx ，解得 ，即直线与平面的交0)(22Dt 22CBADt点为 . 设所求的对称点),222BA为 ，则 ， ，),(0zyx 220x220CBAy，即所求的对称点为220CBAD.)2,( 222 CBAD6.求直线 在平面 上的投影直线1:zyxL 01:zyx绕 轴线转一周所成曲面的方程. 解：过 作垂直于平面 的平面 ，所求的直线 在平面 上的投影0L就是平面 和 的交线. 平面 的法向量为：0 0，则过点 的平面 的方程为：kjikjin23120 ),(100，即 . 所以投影线为0)(3)(z
23、yx zyx. 将投影线表示为以 为参数的形式：12 x，则绕 轴的旋转面的方程为)2(xzyx，即 . 22 )1(y 04164522 zyx7.求球心在直线 上，且过点 和点 的球zyx),(),(面方程. 解：设球心为 ，则),(z，即222222 )1()()1()1( zyxyx. 0z 又因为球心在直线上，直线的参数方程为 ，将直线的参数方程tzytx12代入 ，可得 ，球心坐标为 ，所求球面02zyx61t )67,3(方程为 .5)7()3()61( 22z8.已知两条直线的方程是 ，141:zyxL，求过 且平行于 的平面方程. 02:zyxL2L解：因为所求平面过 ，所以
24、点 在平面上. 由于平面的法向量垂1)4,(直于两直线的方向向量，因此平面的法向量为 . kjikji43210因此所求平面的方程为 ，即)4()2(3)1(2zyx.08432zyx9. 在过直线 的所有平面中，求和原点距离最大的平面. zx解：设平面束方程为 ，即0)2(1zyxzyx，平面与原点的距离为0)()1()2( x 31)2(6)1()()( |0| 222 d要使平面与原点的距离最大，只要 ，即该平面方程为3. 03zyx10. 设两个平面的方程为 和052zyx062zyx（1）求两个平面的夹角. （2）求两个平面的角平分面方程. （3）求通过两个平面的交线，且和 坐标面垂
25、直的平面方程. Oz解：（1）两个平面的法向量为 和 ，设两个平)1,(1n)2,(2n面的夹角为 ，则，1)2(1)1(2|)(|cos 221 n所以 . 3（2）因为角平分面上任意一点 到两个平面的距离相等，由点到),(zyx平面的距离公式，可得 ，即22222 )(1|6|)(1|5| zyx，所求的角平分面方程为6(52zyxzyx或 . 13（3）设通过两个平面的交线的平面方程为，即0)62(52zyxzyx，由于该平面垂直于51)(坐标面，所以 ，可得 ，yOz 0)12()( 2因此所求的平面方程为 . 073zy11. 求直线 绕 轴旋转所得旋转曲面的方程. 21x解：由于空间曲线 绕 轴旋转所得旋转曲面的)(tzytx)tz方程为 ，消去参数 即可. )()(22tztyxy)tt此直线的参数方程为 ，故该直线绕 轴旋转所得旋转曲面的方tzyt32z程为 ，消去参数 ，旋转曲面的方程为tzyx3)(222 t.229512. 画出下列各曲面所围立体的图形：（1） . 0,1643zyxzyx（2） . 22（3） . 24,yxzyxz（4） . 2（5） ， . 2yxz2xz（6） ， ， ， . 01y
