1、第八章 状态空间数学模型8-1 状态空间表达式一、状态、状态变量和状态空间1、状态变量：系统的状态变量就是确定系统状态的最小一组变量。如果已知这些变量在任意初始时刻 的值以及 的系统输入，便能完整地确定系统在0t0t时刻 的状态，这样一组最小的变量称为系统的状态变量。t2、状态：任意时刻下系统的状态变量的值。3、状态空间：以选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交空间，称为状态空间。例：R-L-C 电路 )()(1 )()()()(00tudtiCtuttRitiLi二、状态空间表达式 DuCxybA其中：A：nn 系数矩阵，B：nr 输入矩阵，C：mn 输出矩阵，D：mr 直接传输矩阵。ui(
2、t) u0(t)R LCB CADu(t) y(t)x+例 1：R-L-C 电路 00 0000111111uiu uLuiCLRdtutdiictuuLuiLRdti ii例：直流电动机 i TuJLiJcJkLkRdtti TJciJkdt uLiLRtikTTcdtJkeueRidtiL lit elt iet lei10 1018-2 由微分方程求状态空间表达式一、输入不含有导数项 321 32120321 0213233221 0121 0xy ubxaax bxaxxayxyxbuyaya二、输入含有导数项0)()( ():,: 1021324 2003 12112022130 0
3、123 01232 201021324 3210431021 3332104 223 111021 0123012 xaxxaxbabubu uaaaa uxxxxuyxuy uxux xuyx ububyayay 对 应 项 系 数 相 等整 理 得代 入 原 方 程得 到 uxxuxy uxaaxx uxaxaux 032101 32132110321 3322103232121 00 8-3 传递函数矩阵一、传递函数矩阵 DuCxyBABAsIGxxssxsI sxu 1)(0)0()()()(Guy mrmm rryuyu ggggDBAsICGsusuIsxsy 21 2221 11
4、11 )()()()(二、闭环系统传递函数矩阵 )()()( )()()()( )()()( 1sGsHGIGuysI syHssBusy EsyBsEclose 8-4 线性变换一、等价系统方程（状态变量的非唯一性）DCPuxCuxyPBA uBxAPBuxPAAxxPxxnPDuCxyBA 11 11)(:非 奇 异 矩 阵001 1010010 01,11 0022110 00 DCP LCPBLRLCACPCP uiuiPu uLR 为 状 态 变 量和若 选电 路 为 例以二、化系数矩阵为标准形 的 特 征 向 量 。的 对 应 特 征 值为称成 立 维 非 零 向 量若 存 在 一
5、 个的 特 征 值矩 阵是设 iiii ii AqqAI qnAn ,0)( ,1、化 A 阵为对角阵 3211 121 0)( 00PAqqQAnii令 的 特 征 值 互 异若 1221 ,10, ,120 0321012,1 0)2)(1(31detdet2: 121 22221111 1211 QPqQqqAIqq qqAIIA得同 理 取 化 为 对 角 阵将 矩 阵例 20121320121PA2、将 A 化为约当阵若矩阵 A 有重特征值时,可化为约当阵 11100PAJ112121 00 nn qqqA例：3、模态型复根 jj21 1111)(QPjqAqjM8-5 组合系统的数
6、学描述讨论两个子系统 构成的组合系统S和221222 22211111 111)(: )(: DBAsICsGuxyBAS DsICsGuxyBAS 传 递 函 数 矩 阵传 递 函 数 矩 阵一、并联连接： )()()( 021 21121 2121212121 sGssGuDxCy BxAxyyuu二、串联连接：S1S2uu1u2y1y2yuDxCDuxCDxy BAxBBAux 1221211222111 )( )()(012 122112 1221221sGs uDxCDy BAB三、反馈连接： )()()()(00)(00121211 121221121222 111221 sGsG
7、IsxCy uBxABCxxxAuByD S1 S2u u1 y1 u2y2 yS1S2u+ -u1 y1 yu2y28-5 线性系统状态方程的解给定线性定常系统非齐次状态方程为： (2.1）)()()( tButAxtx其中， ，且初始条件为 。rnnrn RRtutx ,)(,)( )0()(xtx将方程（2.1）写为 )()()(tButAxtx在上式两边左乘 e-At，可得 )()()()( tuetxedttxt AtAAt 将上式由 O 积分到 t，得 dBuextetoAAt )()0()(故可求出其解为(2.2a)totAAt dBuexetx )()0()( )(或(2.2b)toduxttx )()()0()(式中 为系统的状态转移矩阵。Atet)(其状态转移矩阵由下式确定 )()( 11AsILetAt
