1、考研资料- 1 -第八章 向量代数和空间解析几何第八章 内容概要与重点难点提示本章由三个部分组成：（1）向量代数 包括向量的二要素（模和方向） 抽象向量和具体向量的线性运算法则 数量积、向量积和混合积的运算；（2）空间曲面（球面，旋转面，锥面，柱面和二次曲面）的图形与方程之间的对应，空间曲线与方程组之间的对应；（3）平面和直线的方程。重点 向量运算（线性运算、点乘、叉乘） 画出空间曲面曲线的图形 求平面和直线的方程本章 无特别难的难点考试内容要点讲解一、 向量1、定义 既有大小又有方向的量称为 向量（或者矢量） ，记为 或者 ，比aAB如位移、速度、加速度等，向量的二要素：（1）大小 也叫长度
2、,、模或者范数，记为 或者 ；方向 向量箭头的指向或用方向角 来刻画。常用的向量aAB有零向量 （模为零，方向任意） 、单位向量 （模为 1） 、向径 (其中0eOM为空间直角坐标系的一点)、自由向量（与起讫点无关） 。一般无特别(,Mxyz说明我们都学的向量都是自由向量。向量是不能比较大小的。抽象的向量用带箭头的线段来表示，具体向量表示为 (,)xyza， 叫做 的横坐标或者 在 轴上的投影， 叫做 在 轴上+xyzaijkxaaxi的分量。 ； ， ，22+xyz22cos+xyz22cos+yxza，与 同方向的单位向量为 。22coszxyaa0(,sco)a2、向量的运算 对于抽象向
3、量 （1）加减法（平行四边形法则） 做 ，以 为邻边做,ABaDb,AB平行四边形，则对角线构成的向量 。+Cb（2）数乘 规定 （ 为数量）是向量：模 ；方向是当 时a0考研资料- 2 -与 同向，当 时 与 反向，当 时 。a0a0a（3）数量积（点积，内积） （结果为数cosbabbprjj 量） ，式中 为向量 与 的夹角（ ） 。b,（4）向量积（叉积，外积） 的结果是向量：模 ，a sina为向量 与 的夹角（ ） ；方向 与 与 都垂直，且 、 、a0,bb符合右手系。b（5）混合积 三个向量 、 、 的运算 （结果为数量，abc(,)()acbc在几何上该数的绝对值等于以 、
4、、 为棱的平行六面体体积） 。对于具体向量 设 ，则(,),(,)xyzxyzb（1）加减法 ； zaba（2）数乘 ；(,)xyz（3）数量积 ；zb（4）向量积 ；xyzijkabab（5）混合积 ， （这里设 ） 。(,)xyzxyzcc (,)xyzc3、常用的结论 （1）投影定理 ； 。()bcbcaaprjjpr ()bbaajprjR（2）非零向量 。00xyz非零向量 (或 与 共线) 唯一的 使得abbayxzab。00xyzijkab考研资料- 3 -非零向量 、 、 共面 不全为零的数 使得abc123,1230abc。(,)00xyzxyzabc（3）非零向量 、 、
5、构成三角形，则 ；反之不一定成立。aabc（4）以 为邻边的平行四边形面积 。,b xyzijkSab4、运算性质（1）加减与数乘 ； ； ；ab()()abcc(1)ab； 。()()b（2）数量积 ； ；ab()abcac； 。()()2（3）向量积 ； ；ab()abcac； 。()() 0注 对点积和叉积都没有消去律，如由 ，且 不能推出 。abc0abc（4）混合积 ， ；(,)(,)(,)abc(,)(,)； ；(,)(,)a(,)(,)(,)0bab。1212(,)(,)(,)abcc例题 1 求同时垂直于向量 与 轴的单位向量。(,)y考研资料- 4 -解：法 1 设所求向量为
6、 ，则(,)bxyz， 。01abj22(,1)(,0xyz2201xyz12xz0y所以 。(,0)2b法 2 取 ，(1,)(0,caj120ijk(1,)故 。(1,0)2cb例题 2 设 ， 与 共面，且 ，求 。(1,)(,)ac,ab3ccabprj解：法 1 令 ，由 与 共面，得(,)cxyz,，解得 （1）(,)102abc 0xyz又 ，3cabprj32()xyz32()xyz由（1） （2） （3）得到 ， ，所以 。2x2yz2(,1)c法 2 因为 与 共面，且 ，知 在 的角平分线上，c,ab3ccabprj,ab考研资料- 5 -所以 也在 的角平分线上，0(1
7、,0)(2,)(,1)abc ,ab设 ，由 ，即 ，得到 ，(2,1)c3caprj(2,1),032所以 。(,)例题 3 （1）设 ，则 。()2()()()(（2）设（ ） （ ） ， （ ） （ ） ，则3ab75ab472ab。(,)(ab解：（1）因为 ，()()所以原式 ()()+(）。2()=4（2）由已知， 。375(4)(2)0ab（ ） 2271653080ab=两式相减，得 ，代入方程组第一式，有 ，把它代入2ab ab，即 ，求出 ，所以 。2ab 2cos(,)b1cos(,)2(,)3二、 空间曲面、曲线的方程定义 设有曲面 和三元方程 ，它们满足： ，则(,)
8、0Fxyz(,)Mxyz考研资料- 6 -满足方程 ； ，则 不满足方程,xyz(,)0Fxyz(,)Mxyz,xyz，那么称曲面 为三元方程 所表示的曲面，或说三()0F,0F元方程 为曲面 所对应的方程。,xyz1、常见的曲面及其对应的方程（1）球面 方程 表示球心为 、222000()()()xyzR00(,)Mxyz半径为 的球面。它的一般式方程为 （其中RxyAxByCzD） 。224ABCD（2）平面 一般式方程为三元一次方程 （ 不全为零）0xyz,。（3）旋转曲面 将 上平面曲线 绕 轴旋转一周所得到的曲面yoz:(,)CFyz的方程为 ；绕 轴旋转一周所得到的曲面的方程为2(
9、,)0Fx（其它情形以此类推） 。(,)yz（4）圆锥面 方程 （ ）表示顶点为原点、中心轴为 轴、22()axy0az半顶角 的圆锥面。cotar（5）柱面 方程 表示母线平行于 轴（因为缺变量 ） 、准线为(,)Fyzxx上平面曲线 的柱面。yoz:0C（5）二次曲面（即三元二次方程所表示的曲面）椭球面方程 。221xyzabc旋转抛物面 ；椭圆抛物面 ；双曲抛物面 。2xyzp2xyzpq2xyzpq考研资料- 7 -（ ） 。(,0)pq单叶双曲 ； 面双叶双曲面 。221xyzabc221xyzabc椭圆柱面 ；抛物柱面 （ ） ；双曲柱面 。2xy2xyp02xyab2、空间曲线及
10、所对应的方程（组）（1）一般式 方程组 在空间表示的图形为曲线 （被动的看成(,)0FxyzG 两个曲面 的交线） ，叫做曲线的一般式方程。12:(,),:(,)（2）参数式 方程组 ， 在空间表示的图形为曲线 （把曲线()xtyzt)R看成动点 的轨迹）,叫做曲线的参数式方程。(),()Mt3、空间曲线在坐标面上的投影（1）若 ，从方程组中消去 ，得到 （它表示母线(,)0:FxyzGz(,)0Hxy平行于 轴、准线为曲线 的投影柱面） 。联立得 C: 就是曲线z,z在 面上的投影。xoy（2） ，则 就是曲线 在 面上的投影。():tzt():0xtCyzxoy注 （1）一般地，在空间坐标
11、系一个三元方程所表示的图形为曲面，两个三元方程（组）所表示的图形为曲线；（2）将方程（或方程组）与它所表示的图形( 曲面或者曲线)对应起来并能画出来在多元函数的积分学中尤为重要。考研资料- 8 -例题 4 下列方程（组）各表示什么图形？（1） ； （2） ；21zxy2xzy（3） ； （4） 。2y 3xy答：（1）它表示球心在 、半径为 1 的下半球面。 （2）它表示顶点为(0,)、(2,0)开口向后的旋转抛物面。 （3）它表示母线平行于 轴、准线为 上半圆zxoy的半柱面。 （4）它表示两个平面 和 的交线（其实2yx 3xy2也是 所交的直线，可见曲线的一般式方程并不是唯一的） 。1,
12、三、平面、直线及其方程（一） 、平面的方程1、平面方程的基本形式（1）点法式 经过点 且法向量为 的平面方程为0(,)xyz(,)nABC。000()AxBC(2)一般式 在只知道曲面是平面的情况下，其方程为（ 不全为零） 。0xyzD,AB（3）三点式 经过不共面的三点 的平面的方程为(,)(1,23)iiMxyz或者为 。1112223330xyz1122330xyzz考研资料- 9 -(4)截距式 在三个轴上截距依次为 （ 都不为零）的平面方程为,abc,。1xyzabc（此时平面与三个坐标面所围的四面体体积为 ） 。16Vabc（5）参数式 经过点 且与两个不共线的向量0(,)xyz都
13、平行的平面方程为(,),(,)xyzxyzab。120xyzattb、 平面之间的关系设 ， 为两个已知的平111: 0AxByCzD222: 0AxByCzD面，则它们的夹角 （指非钝角）满足。121212cosn讨论：（1） ；1212n1122ABCD（2） （重合） ；121122=（3） 。1212n12120ABC注:至于三个平面的位置关系比较复杂，这需要用到线性代数中的矩阵的秩的概念，也是常考的知识点，希望大家注意。 （二） 、直线的方程1、直线方程的基本形式考研资料- 10 -（1）一般式（交面式） （把直线看成两个平面的交11220AxByCzD线） 。（2）对称式（点向式）
14、经过点 且方向向量为 的直线方程为0(,)xyz=(,)Smnp。000xmnp（3）参数式 经过点 且方向向量为 的直线的参数方程为0(,)xyz=(,)Smnp。0tynzpt（4）两点式 经过两点 的直线方程为(,)(1,2iiMxy。111222xzy、 直线之间的关系设两直线方程为 ， ，则111:xyzlmnp222:xyzlmnp它们的夹角 （指非钝角）满足。121212cosSnp讨论：（1） 。12l121212=0m（2） 。12l12S112np考研资料- 11 -（3） 且 。12l112mnp212121xyznp（4） 异面 。12,l12(,)0MS2121210
15、xyzmnp3、直线与平面的关系设 ， ，则它们的夹角 （指非钝000:xyzlmnp:0AxByCzD角）满足 。222siSmnpAB讨论：（1） ；lnSCABnp（2） ；l=0m（3） 且 且lnS0(,)xyzABnCp或者0AxByCzD l（ ） 。00(+()()mttptz） tR(三)直线、平面中的常见问题1、点到平面、点到直线的距离例题 5 求点 到平面 的距离。(2,13)M2xyz解：由点到平面的距离公式，得（点 为平面 外一点）0022AxByCzDd0(,)xyz0AxByCzD考研资料- 12 -。123546例题 6 求点 到直线 的距离。(,)M12xyz
16、解 法 1 由点到直线的距离公式，得（直线 过 且 ）0Sd000xyzmnpM0(,)xyz=(,)Smnp。(3,1),2)53法 2 先求出过点 、以 的平面方程为(,1)M(1,2)n， 即 。()30xyz10xyz再求出该平面和已知直线的交点，为此联立 ，解得210xyz。14(,)3N最后得到 。1453(2)()3dM二、点关于平面、直线对称点坐标例题 7 求点 关于直线 的对称点坐标。(2,1)12xyz解：同上题一样，求出过 点做出的与已知直线垂直的平面 ，M210xyz再求出该平面和直线的交点 ，最后设所求的点为 ，用中14(,)3N(,)M点公式， 得 ， ， ，2x2
17、y432z考研资料- 13 -解出 ，故所求的点为 。451,33xyz451(,)3M三、平面束设有直线 ，则过 得平面束方程为11220:AxBCDlyzl（其中 ）1122()0zxyzR其特点：随 不同，它表示不同位置的平面。但无论 为何值，这些平面都经过 （但不包含平面 ） 。l22ABCD例题 8 设平面 过两个平面 和 的交线，且与1:0,xy2:0xyz平面 垂直，求平面 的方程。3:20xyz解 法 1 （点法式）设平面 的法向量为 ，因为 交于一条直(,)nABC12,线，所以它们的法向量 共面，令 ，又因为 ，所以12,n123，即 ，取 ，得 。再在交30n2()()0
18、,(,4)n线上任取一点 （也在平面 上） ，由点法式得1xyz0(,1)M或 。:34()2()z:3420xyz法 2（混合积）平面 的交线的方向向量 。12,12(2,1)ijkSn是平面 上不共线的向量，取 ，则平面 的任意点 满3,Sn 0(,)M(,)Mxyz足的方程为 ，即3(,)MSn，解得 。120xyz3420xyz法 3 （平面束）过 得平面束为2xyz，或者 。1()0xy(1)(2)10xyz考研资料- 14 -令 ，解出 代入上式整理得到平面 的方程为3(1,2,n） 1,2。340xyz四、公垂线的方程和公垂线段的长例题 9 问直线 与 相交吗？若相交，求出交点；
19、131:24xyzl21:3xtlyzt若异面，求出公垂线段的长和公垂线的方程。解：两条直线的方向向量为 （显然不平行） ，分别在两条12(,)(,01)S直线上的点构成的向量为 ，因为 ，故两条12(4,3)M43280直线异面。下面来求公垂线段的长法 1 过 作平面 ，则平面 的法向量可取为 又由1l2l12(4,8)nS于过 ，所以平面 的方程为 即(3,0)M4(3)(0)8)0xyz。点 到平面 的距离即为所求的公垂线段的长，25xyz2(1,3)故 。1764d法 2 即为 在公垂线的方向向量 上投影的12(,3)M12(4,8)S绝对值。1212SSdprj423761再求公垂线
20、的方程 过 ，以 = 即 为法向量作平面1(3,0)M1S4(,72)(,)，或 ；7(0)10xyz72310xyz过 ，以 即 为法向量作平面2(,)2(,5)(,)，或 。(1)5(3)()0xyz520xyz考研资料- 15 -所以公垂线的方程为 。1723105xyz五 空间曲线绕坐标轴旋转所得曲面方程为求 绕 轴旋转所得曲面方程，只需要从方程组中解出(,)0:FxyzG，所得曲面方程为： 。()fygz222()xyfzg例题 10 (13，数一，6 分)设 过 ，将 绕 轴旋转一周所得曲L1,0,ABLz面 ，求 的方程并问曲面的名称。解：由两点式得 的方程为 ，化为 ，则它绕
21、轴旋转一周xyz1xyzz所得曲面 的方程为 或 。曲面可看成22(1)xyz22()114将 面上的双曲线 绕绕 轴旋转一周所得旋转双曲面。yoz22()14z习题一1、设 都是单位向量，夹角为 ，求向量 的夹角。,32,32、证明 到 三点所确定的平面的距离为 。P,ABC(,)PABCd3、求过直线 ，又切于球面 的平面方程。230xyz221xyz4、将直线 绕 轴旋转一周，求所得曲面 的方程，并讨论这是什1ba么曲面。5、设入射线方程为 ，入射面方程为 ，求反射线的2=3xyz2xyz方程。6、在第一卦限内做椭球面 的切平面，使得切平面与三个坐标面22+=1zabc考研资料- 16 -围成的立体体积最小，求切点的坐标。7、平面 与曲面 相切于点 ，而直线 在平2zxy(1,25)0:3xyblaz面 内，求 的值。,ab8、设柱面的母线平行于 ，准线为 ，求柱面的方程。xyz10xyz9、证明： 。 ()()()abcbca
