1、刍议“数学理解动态生长模型”在数学理解性解题活动中的作用 刘亚平 江苏省睢宁高级中学南校 基金：2016 年江苏省教育科学“十三五”规划立项课题“数学理解动态生长模型”指导下高中数学理解性学习实践研究 (立项编号为 D/2016/02/15) 的阶段性成果数学理解动态生长模型由 8 个不同的理解阶段组成, 即初步了解、产生表象、形成表象、关注性质、形式化、观察评述、构造化与发明创造.1该模型使学生理解过程显性化、直观化, 为分析学生的数学理解水平提供了一个理论框架, 教师可以选择某些有针对性的问题让学生解决, 通过学生解题的状况, 借助数学理解动态生长模型来判断学生理解处于什么阶段, 发现学生
2、在相应阶段上理解存在的困难, 并采取相应理解阶段的补救措施, 提高学生对知识的理解水平.下面, 笔者将结合一个解题教学的三个教学片断, 探讨数学理解动态生长模型对数学理解性解题活动的指导意义.(1) 求椭圆 C 的方程;一、“数学理解动态生长模型”对数学理解性解题活动的指导意义1.数学解题的回归性数学教育家 Pirie 和 Kieren 认为, 人无论在哪一级理解水平上, 面对一个不能马上理解或解决的问题, 为了加深和扩充自己的理解, 有必要返回内层水平.这种重新返回到内层水平所进行的解题活动与原先内层水平的理解活动是不同的, 而是具有外层理解水平的特点.回归的有效性取决于学习环境和学生的个人
3、, 特别是当学生被鼓舞而回归内层收集特定的信息时, 这种回归会变得更有效, 因为它具有探究解题方向的目的性.1数学解题的回归性是指学生的解题过程并不是一定遵循着数学理解动态生长模型单向地由内向外发展, 当学生解题思维受阻时, 学生思维就会折回内层理解水平, 寻找解题的切入点和突破点.教学片段 1在第 (3) 问中, E 是椭圆的焦点吗?有的学生通过取通径与长轴两个特殊位置加以计算, 很快得出 E 不是椭圆的焦点 (2, 0) .教师接着追问:E 不是椭圆的焦点, 那能不能先求出点 E, 再证明 为定值? (看到学生茫然四顾, 教师接着又追问) 刚才大家判断 E 不是椭圆的焦点时, 运用什么策略
4、?学生回答:运用的是“特殊探路, 再证一般”的策略.教师启发:能不能“故伎重演”先求出点 E, 再进行一般性证明?学生恍然大悟 (忍俊不禁) , 解题思路峰回路转.在师生共同努力下得到如下的解法一:在观察评述阶段, 教师提问:为什么 的结果与 k 无关?学生总结反思:那是因为 (*) 式中分子与分母同时出现公因式 1+t 的缘故, 这种求定值的方法我们在证明一个数列为等差数列或等比数列时用过多次了.还有学生指出, 如果设直线 AB 的方程为 , 那又该如何处理?师生通过尝试、操作, 确认处理过程与上述解题过程类似, 只是代入韦达定理时运算略复杂一些.2.数学解题的超越性数学理解动态生长模型只是
5、给出了学生理解某一数学知识所经历的全过程.事实上, 各个层次的理解阶段是相互联系、相互影响的, 前一阶段的理解是后一阶段理解的前提与基础;后一阶段的理解是前一阶段的理解的拓展与延伸.数学解题的超越性是指外层理解水平包含了内层理解水平, 并将内层理解水平协调统一起来时, 学生的解题思维就会从低层次向高层次发生质的飞跃, 具有解题的预见性、前瞻性.教学片段 2在上述解法中, 同学们运用了“特殊探路, 再证一般”的解题策略, 找到了解题的切入点, 并得知 的结果之所以与 t 无关, 那是因为 (*) 式中分子与分母同时出现公因式 1+t 的缘故.如果大家不“特殊探路”, 那能不能直接求出的结果?教师
6、的提问引发了学生的思考, 经过大家的讨论、交流, 有位思维敏捷的学生给出了深邃的见解:只要我们抓住问题的本质, 就没有必要先“特殊探路”, 并在黑板上写出如下的解法二:在观察评述阶段, 师生共同对上述两种解法进行思考、讨论和对比, 大家一致认为两种解法的算理完全一样:若使 为定值, 则分子与分母必然有相同的公因式.解法一思路自然, 但运算量较大;解法二简洁明了, 但对学生的数学素养要求较高.3.数学解题的创造性从一般意义上说, 创造力是在人的心理结构整体背景和心理活动的最高水平上所实现的向社会提供的具有首创性和社会价值的产物的综合能力.3发现和发明是创造力的主要表现.对基础教育而言, 什么是创
7、造呢?教育家刘佛年指出:“只要在学习中, 有一点新意思、新思想、新观念、新设计、新意图、新做法、新方法, 就可称得上创造, 我们要把创造的范围看得广一些, 不要看得太神秘.”在 2000 年教育部国家级骨干教师培训会上, 罗增儒教授曾把“教育中的创造”概括为:“无中生有是创造, 有中生新是创新”.数学创造性思维既是逻辑思维与非逻辑思维的综合, 又是发散思维与收敛思维辩证统一.4现在心理学的研究认为, 创新能力=知识量发散思维能力.另外, 人们通过实践还认为, 数学新发现通常有特定模式, 如图 2 所示.从这个过程我们可以看出, 观察、实验是引发猜想的基础, 归纳、联想、类比是发现猜想的途径,
8、我们在平时数学教学时, 特别是进行有关合情推理问题教学时, 一定要给学生提供观察实验、寻找规律的机会.数学解题的创造性就是在数学理解动态生长模型的发明创造阶段, 教师要引导学生从类似事物中得到新结论、新观点, 从相近事物的联想得到新思想、新视角, 再进行严谨的论证, 进而培养学生的分散思维与创新能力.教学片断 3点 E (p, 0) . (过程略) 从教学片断 3 我们不难得知, 在数学解题教学中, 教师可以把一题多解、一题多问、一题多变及合情推理等作为一种常用的解题教学模式, 这是培养学生创新能力的一种行之有效的举措.二、“数学理解动态生长模型”对数学理解性解题活动的启示1.理解性解题教学应
9、尊重学生的思维需求从数学学习的角度看, 数学理解是个体在已有知识经验的基础上, 对数学知识中的概念、原理、公式、法则等进行解释, 主动构建其意义, 并在构建意义的过程中通过同化或顺应的方式将新知识纳入原有认知结构的一种思维活动.也就是说, 数学理解需要经历一个思维过程.1数学理解动态生长模型 8 个不同的理解阶段也决定了学生的数学理解不可能是一蹴而就, 需要教师按照 8 个不同的理解阶段循序渐进地进行教学.本节课的解题教学, 教师并没有开门见山直接讲解解法二, 而是遵循数学教学实事求是的态度, 即根据教学内容的疑难点和学生思维的起始点, 引导学生挖掘解题的切入点, 既强调了教师适度的提示与引导
10、, 也鼓励了学生积极主动的思考与探索.学生通过解法一的形成过程逐步掌握了求问题的方法、规律与性质, 在此基础上水到渠成地过渡到解法二, 接着又顺应学生思维的需求通过解题的创造性的教学环节, 培养了学生观察、猜想、归纳、探究、创造等数学能力.2.多元表征是数学理解性解题活动的中心全美数学教师理事会出版的学校数学教育的原则和标准一书中指出:“表征数学知识的方式, 对于人们如何理解和应用这些知识是至关重要的, 表征是数学学习的中心, 当学生创造、比较和运用不同的表征时, 他们发展和加深了对数学概念的理解, 不同的表征方式, 能帮助学生交流他们的思维.”2因此, 对问题作出什么样的表征, 这种表征是否
11、得当, 是否简洁, 是否容易被学生的知识结构同化或顺应, 对数学问题的解决起至关重要的影响.3.形式化是数学理解性解题活动的难点数学解题教学是数学活动的教学, 要使学生真正学会解决数学问题, 必须要有学生的亲身实践、反复体验把数学的文字语言、图形语言如何转化为形式化语言的过程, 以及用形式化语言来分析、表征要解决问题的要点.数学形式化语言表现为抽象、简洁、严谨.学生不易记忆、理解与运用, 教师可以在例题讲解的基础上, 适当增加一些变式题组, 强化学生对疑难问题的辨析及理解, 使学生经历从特殊到一般、从具体到抽象、从感性到理性的认知过程, 逐步养成透过事物的表象把握本质的思维习惯, 培养学生的抽
12、象概括能力、理性思维等能力.4.观察评述是数学理解性解题活动的保证数学理解的观察评述阶段, 表现为观察和反省解题活动所经历的过程, 对前面几个阶段抽象出来的方法或性质进行思考、讨论和检验, 并将思考和讨论的结果进行整理和组织, 纳入原有的知识体系中.平时解题与高考是两码事, 高考要求学生用最简捷的方法在最短时间内解决问题, 赢得时间.而平时的解题教学恰恰相反, 快速解题不是教学的唯一目的, 教师要舍得花时间引导学生多角度思考、深挖问题的内涵、揭示问题的本质, 结合数学理解动态生长模型判断学生的解题处于哪一阶段的水平, 帮助学生找出理解上存在的困难, 制定解决问题难点的各种对应策略, 在各种解法
13、的甄别中, 选出优法, 确立通法.波利亚在怎样解题中把解题过程概括为“审题探索表达回顾”四个环节, 明确指出解题回顾是解题的最后一个环节.这里的回顾就是平时我们所说的解题反思, 也就是数学理解动态生长模型中的观察评述环节.在本节课教学中, 每当阶段性问题解决之后, 教师都会引导学生对学习过程和方法进行全方位的监控, 提炼解题策略、思想与方法, 这无疑为以后的解题活动打下了坚实的基础.5.发明创造是数学理解性解题活动的动力数学教育家弗赖登塔尔反复强调:“学习数学的唯一正确方法是实行再创造, 也就是由学生本人把要学的知识发现或创造出来.”解题教学时教师不仅要启发、示范, 还要鼓励学生讲思路、讲方法
14、, 不仅要学生讲出正确解法的心路历程, 还要学生讲出错误方法的形成缘由, 提高学生发现问题与创新能力.作为素质教育重要内容的“创新教育”已成为人们关注的热点, 培养创新能力、提高民族素质已成为当今数学教学追求的目标.4数学教学要实现“从复现性学习的数学到创造性学习的数学转变”.在解题过程中, 教师多次运用了合情推理培养学生的发现问题、提出问题能力, 开拓了学生的思维.如教师提示:在第 (3) 问中, E 是椭圆的焦点吗?那能不能“故伎重演”先求出点 E, 再进行一般性证明?以及整个教学片断 3 等.合情推理是一种具有创造性的推理.通过合情推理得到的结论, 可以作为进一步探究的起点, 帮助学生窥探问题的本源, 培养学生的创造能力, 激发学生学习数学的兴趣与热情.参考文献1 .罗新兵, 石雪梅.数学理解性学习的条件分析基于 Pirie-Kieren 数学理解模型的思考J.中学数学教学参考 (上) , 2012 (12) . 2 .刘亚平.运用数学活动经验提升数学教学实效J.中学数学 (上) , 2016 (5) . 3 .张汉昌, 赵菡.开放式课堂教学法研究M.开封:河南大学出版社, 2000. 4 .刘亚平.倾听有收获沿途真精彩J.中学数学 (上) , 2016 (12) .
